不动点的性质与应用(教师版)

不动点的性质与应用

一、不动点：

对于函数()()f x x D ∈,我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点,即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.

例１:求函数12)(-=x x f 的不动点. 解：有一个不动点为1

例2：求函数12)(2

-=x x g 的不动点． 解：有两个不动点12

1、- 二、稳定点:

对于函数()()f x x D ∈,我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点,即[()]y f f x =与

y x =图像交点的横坐标.

很显然，若0x 为函数)(x f y =的不动点,则0x 必为函数)(x f y =的稳定点.

证明:因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点．

解:设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2,解得1=x 故函数12-=x y 有一个稳定点1

【提问】有没有不是不动点的稳定点呢？答:当然有 例4:求函数12)(2

-=x x g 的稳定点.

解:令[()]g g x x =，则018801)144(21)12(22

4

2

4

2

2

=+--⇒=--+-⇒=--x x x x x x x x , 因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,21

21=-

=x x

⇒18824+--x x x 必有因式12)12)(1(2--=+-x x x x

可得0)124)(12)(1(2

=-++-x x x x ⇒另外两解4

5

14,3±-=

x , 故函数12)(2

-=x x g 的稳定点是1、2

1

-

、451451--+-、，其中451±-是稳定点,但不是不动点 下面四个图形，分别对应例1、２、3、4．

由此可见，不动点是函数图像与直线x y =的交点的横坐标,稳定点是函数))((D x x f y ∈=图像与曲线))((D y y f x ∈=图像交点的横坐标(特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标).

由图1和图3，我们猜测命题:若函数))((D x x f y ∈=单调递增,则它的不动点与稳定点或者相同,或者都没有.

证明:（１）

1若函数))((D x x f y ∈=有不动点0x ，即0

0)(x x f =

000)())((x x f x f f ==⇒,故0x 也是函数)(x f y =的稳定点；

2若函数))((D x x f y ∈=有稳定点0x ,即00))((x x f f =，

假设0x 不是函数的不动点，即00)(x x f ≠ﻫ①若f （x ０)>x 0，则 f(f （ｘ0））>f(x 0），即x 0>f （x ０)与f （x 0)>x ０

矛盾,故不存在这种情况;

②若f （x 0)

（2）

1若函数))((D x x f y ∈=无不动点,由（1）知若函数有稳定点,则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点;

2若函数))((D x x f y ∈=无稳定点，由(1）知若函数有不动点,则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动

点;

综上,若函数))((D x x f y ∈=单调递增,则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.

1

21

例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x ）＝x 成立的ｘ称为函数f （x ）的不动点。把使得f （f (x ））＝x 成立的ｘ称为函数的f (ｘ)的稳定点，函数f (x )的不动点和稳定点构成集合分别记为Ａ和 B. 即A =｛ｘ|f （x ）=x },B ={x |f (ｆ(ｘ))＝x }，

(１)请证明：A ⊆B ;（2）2

()(,)f x x a a R x R =-∈∈,且Ａ=B ≠∅，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明:①若A =∅时，A B ⊆

②若A ≠∅时,对任意的x A ∈,有()[()]()f x x f f x f x x x B A B =⇒==⇒∈⇒⊆ 综上，得A B ⊆ (2）

A ≠∅ 20x a x ∴-==有解1

1404

a a ⇒∆=+≥⇒≥-

B ≠∅ ∴（x 2-a ）2-a ＝x 有解⇒x 4-2ａx 2-x+a 2-a=0⊆A ﻫＢ ∴即ｘ4-２ａx 2－ｘ+a 2-ａ＝0的左边

有因式x 2-x －a ；ﻫ∴(x ２

-x －a ）(ｘ2+x －a+1)=０;ﻫ又Ａ=Ｂ ∴x ２

+x-ａ＋1=0无实数根，或实数根是方程x 2-x-a=0的根；

∴①若x 2+ｘ-a ＋1=0无实数根，则△=1-４（－a ＋１）＜０3

4

a ⇒<

ﻫ②若x 2+x-a+1=０有实根，且实根是方程x ２

－x-a ＝０的根；ﻫ作差，得2x+1=01324x a ⇒=-⇒=ﻫ综上,a 的取值范围为13[,]44

-ﻫ

例6、已知函数(),y f x x D =∈，若存在0x D ∈,使得00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的不动点;若存在

0x D ∈，使得00[()]f f x x =，则称0x 为函数()f x 的稳定点，则下列结论中正确的是＿_＿____＿_(填上

所有正确结论的序号).

①1

12

-、是函数2

()21f x x =-的两个不动点;

②若0x 为函数()y f x =的不动点，则0x 必为函数()y f x =的稳定点； ③若0x 为函数()y f x =的稳定点，则0x 必为函数()y f x =的不动点； ④函数2

()21f x x =-共有三个稳定点;

⑤()f x = 考点:[命题的真假判断与应用]

解：①解2

21x x -=得:121,12

x x =-=

故112

-、

是函数2

()21f x x =-有两个不动点,即①正确; ②若0x 为函数y =f (x )的不动点,则00()f x x =, 此时000[()]()f f x f x x ==，

则0x 必为函数ｙ=f (x )的稳定点,故②正确；

③若0x 为函数y =f (ｘ）的稳定点，则0x 不一定为函数y =f (x ）的不动点(见①④结论)，故③错误；