材料力学06(第六章弯曲应力)讲义

F
l 4
l 2
M↓ Wz↑ 辅梁
l 4
F
l
8
Fl 4
Fl
3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采 用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工 作拉、压应力分别达到(或接近)材料的许用拉应 力[ t ] 和许用压应力[ c ] 。 y2
O y
y1
z
M max y1 t,max [ t] Iz M max y 2 c,max [ c] Iz
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d
b
D)
截面
D
o
y
zDd
o
y
z
h
o
y
z
Iz
D4 64 D 32
3
D4
64
1
4
1 bh3 12
1 2 bh 6
D3
32
Wz
1 4
* FS S z , max
max O
y
中性轴处 max
Izd
min
2 FS bd d h h d d Izd 22 2
(2) 垂直于y 轴的切应力
d
d
F
* N2
O
b

y
dM * Sz F F d FS Iz * FS S z 1 I zd
Fb/2
M ( x) y 注意到 Iz M max M max 而
20
y 20
y1 y2
因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条 件则B、C截面都要考虑。
Fb/4
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/2 考虑截面B ：
t,max
M B y2 F / 2 2 103 mm 86 mm 30 MPa 3 4 Iz 5493 10 mm F 19.2 kN
y1 [ t] y 2 [ c]
若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的 许用应力，则称为等强度梁（鱼腹梁）。
M ( x) ( F / 2) x max 2 [ ] W ( x) bh ( x) / 6
h(x)
F
l 2 l 2
b
3Fx h( x ) b[ ]
3FS 3( F/ 2) [ ] 2 A 2bhmin 3F hmin 4b[ ]
2
2


二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
d
d O b
O

y
' A*
y
* FS S z Izd
h
y
dA
2 bd d h * 2 h d d y Sz 2 2 2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS bd h d Izd 2
Ⅲ
梁的正应力强度条件
max
材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max y t,max Iz M max yc,max Iz
[ t] [ c]
min
Ⅱ、梁的切应力强度条件 一般max发生在FS ,max所在截面的中性轴处，该位置 =0。不计挤压，则max所在点处于纯剪切应力状态。
q
E m G mH l/2 C D F E
max
F
max
l
梁的切应力强度条件为
ql/2
max
ql/2
对等直梁，有
* FS,max S z , max
y
FS,max 80kN
FS(kN)
80 20
70
105
x
M max 150kN m
x
M(kN· m)
120
150
320 10
F1
60kN 50kN 40 kN
F2
10
100 9.5
C B E A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
y
最大弯矩为
M max 150kN m
第六章
弯曲应力
弯曲正应力计算公式
M EI z
1
E E
y

My Iz
中性轴 z 为横截面的对称轴时 b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
称为弯曲截面系数
中性轴 z 不是横截面的对称轴时 yt，max yc，max
320
F1
60kN 50kN 40kN
F2
10
100 9.5
C截面弯矩为
M C 120kN m
C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
10
y
C ,max
FS(kN)
80
20 30 70 105
MC 120 106 Wz 692.2 103 173.4MPa [ ]
(a) F (b)
max
解：对于矩形和圆形截面， 危险截面均为A （1)矩形截面，危险点分析：
z
A y
F1
l
l
F2
x
在H点，两外力引起的最大拉应力叠加， 在H’点，两外力引起的绝对值最大的 压应力叠加，故为危险点。
max
M z A M y A 6 F1 l 6 2 F2 l 2 [ ] 2 Wz Wy bh bh
Wz 2447cm3 2447103 mm3
与要求的Wz相差不到1%，可以选用。
FA
FB
20
y 20
F 解：1、梁的支反力为 FA 4
7 FB F 4
134
b
180
A
C b
B b
D
C 形心
86
例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对 中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉 应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试 求梁的许可荷载[F ] 。 120 q=F/b F
y t,max yc,max
c,max
[ t] [ c]
例 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。 钢的许用弯曲正应力[ ]=152 MPa 。试选择工字 钢的号码。 F F F=75kN B A FA 2.5m 2.5m 2.5m 10 m 2.5m
FB
单位： kN· m
解：1、支反力为 作弯矩图如上。


20
y 20
M B y1 mm 134 mm c,max 90 MPa 4 4 Iz 549310 mm F 73.8 kN
3
F / 2 2 10

Fb/4
40 180
120
C 形心 86 z 134
Fb/2
考虑截面C：
t,max
M C y1 F / 4 2 103 mm 134 mm 30 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 24.6 kN
3F 2 bh
y
max 6 Fl 2bh l 4 2 max bh 3 F h
当 l >> h 时，max >> max
§6-4 梁的合理设计
控制强度条件： max
一、合理配置梁的荷载和支座
Q 合理安排加载方式—尽量分散载荷
M max [ ] Wz
max
O
(1) 沿截面高度按二次抛物 线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应 力max在中性轴处( y=0 )；
(3)上下边缘处（y=±h/2)， 切应力为零。
max
z
y
max
FS h FS h 3 FS 3FS 3 8I z 8 bh 12 2 bh 2 A
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 横力弯曲时： 1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲； 2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。 平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都 不再成立。
弹性力学的分析结果：
对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。
F
l
M ( x) y Iz
* N2 * N1
F
* 1 N1
1'
h
1 d d x d FS
FS h d FS 1 1 d h d I z d 2 2 2 I z
d
1max
max O
y
max
FS 1 h d 2I z
3 FA FB F 112 .5 kN 2
281 375
M max 375 kN m
2、根据强度条件确定截面尺寸
Wz
M max

M max Wz 6 375 10 N mm 2460 103 mm3 152 MPa
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
3 100 10 320 10 2 4 I z 11075 .5 10 2[ 10010( ) ] 12 2 2 16522 104 mm4
Iz 16522104 Wz 972103 mm3 ymax (320/ 2) 10