大学概率论随机事件与概率
(完整版)概率论第一章随机事件与概率
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
大学概率论与数理统计公式全集
大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X 乞b) =F(b) P(a ：： X 冬b) = F(b) _ F(a)2、离散型随机变量3、连续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 P i =P(X =X i )二％ P(X = xi ,丫二 yj ) = ' pij pj =P( Y=yj )=' P(X 二 X j , 丫二 yj )=' pij j j离散型二维随机变量条件分布P(X =X j ,Y =yj )pij…= P(X =X j Y =y j ),i=1,2jP(丫 =yj )P j P(X=X j ,Y=y j )p j2、 P i j P ji3、x yf(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 边缘分布函数： F x (x) = [「f(u,v)dvdu 边缘密度函数：f x (x)二.-^o a-bof(u,y)du*^0.■bof (x, v)y ■:: F y (y)f (u,v)dudv f Y (y)二 5、二维随机变量的条件分布fYx (yx)二■■■■■y < fxY (xy)二<x :：: ■：：x Y四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)=.；「X k P k连续型随机变量：E(X)二=xf(x)dx2、数学期望的性质(1)E(C) =C,C为常数E[E(X)] =E(X) E(CX) =CE(X)(2)E(X _Y) =E(X) _E(Y) E(aX _b) =aE(X) _b E(C^X^ ■ C n X n^C1E(X1^ ■ C n E(X n) ⑶ 若GY相互独立则：E(XY) =E(X)E(Y)(4) [E(XY)]2 <E2(X)E2(Y)3、万差:D(x) =E(X2) —E2(x)4、方差的性质(1) D(C) =0 D[D(X)] =0 D(aX _b) =a2D(X) D(X) ：：:E(X -C)2⑵ D(X _Y)二D(X) • D(Y) _2Cov(X,Y)若 GY相互独立则：D(X _Y)二D(X) • D(Y)5、协方差：Cov(X,Y)二E(X,Y) _E(X)E(Y)若 GY相互独立则：Cov(X,Y)=06、相关系数：认「(X,Y)〜Cov(X,丫)若GY相互独立则：认=0即GY不相关J D(X)阿石7、协方差和相关系数的性质(1)Cov(X,X) =D(X) Cov(X,Y)二Cov(Y, X)(2)Cov(X1 X2,Y) =Cov(X1,Y) Cov(X2,Y) Cov(aX c, bY • d)二abCov(X,Y)&常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、 切比雪夫不等式若 E(X)-」.,D(X)=：；2,对于任意'.0 有 P{X _E(X) _ }空里^2 或 P{X _E(X) ：：： }n n2、 大数定律：若X i …X n 相互独立且「时，—、• X i —D r-7 E(X i )ni 4ni二nn(1)若 X i X n 相互独立，E(X i ) =A i , D(X i ) =52且 O i 2兰M 贝y ： -Z X i — 1瓦 E(X i ),(n T ©nyny1n⑵若X i …X n 相互独立同分布，且E(X j )=n 则当n 时：―、X, P> Jn y3、 中心极限定理(1) 独立同分布的中心极限定理：均值为 」，方差为C 20的独立同分布时，当n 充分 大时有：n' X k —n ・iY n = ------------------- 二 N(0,1)U n cr(2) 拉普拉斯定理：随机变量n (n =1,2 )~B( n, p)则对任意G 有:xt 2lim P { ：n np兰x} = f -j^e 2dt =Q (x) x -°p(1-p) - ： .2 二六、数理统计1、总体和样本n _(5) 样本 k 阶中心距：B k =Mk(X i -X)k ,^2,3'nm(1)样本平均值： n n n2X 」、X i (2)样本方差：S 2匚、(X i -X)2L' (X i 2-nx )n-1y n -1(3)样本标准差：，彳 n ns= 1v(X i-X)2(4)样本 k 阶原点距：A k X i k,k=1,2 … ,n -1^(X 1，X 2 X n )的联合分布为 F(X 1,X 2 X n )F (X k )心(3)近似计算:nP(a 乞、X k Eb) =P(生' X k -n 」■k'.nc<^n 1才一门.」：泸- nc、、..总体X 的分布函数F(X)样本 2、统计量(6)次序统计量：设样本(X1，X2…X n)的观察值凶七和，将为,X?…X.按照由小到大的次,记取值为X(i)的样本分量为X(i),则称X(1宀(2)「乞x(n) 序重新排列,得到X(1)乞X(2) <X(n)为样本(X1,X2…X n)的次序统计量。
随机事件与概率大学的教案
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解随机事件的概念，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的分类；（2）理解概率的定义，掌握概率的基本性质；（3）学会运用概率知识解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解随机事件与概率的关系；（2）通过小组讨论、合作学习，提高学生的探究能力和团队协作能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对概率论的兴趣，激发学生的学习热情；（2）使学生认识到概率论在现实生活中的应用价值。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）随机事件的概念及分类；（2）概率的定义及基本性质。
2. 教学难点：（1）概率的定义及基本性质的运用；（2）概率在实际问题中的应用。
三、教学过程（一）导入新课1. 展示生活中常见的随机事件，如掷骰子、抛硬币、抽奖等，引导学生思考这些事件的特点；2. 引入随机事件的概念，解释必然事件、不可能事件、随机事件的区别。
（二）新课讲授1. 随机事件的概念及分类：（1）必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件；（2）不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件；（3）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
2. 概率的定义及基本性质：（1）概率的定义：在一定条件下，某个事件发生的可能性大小；（2）概率的基本性质：① 非负性：任何事件的概率不小于0；② 稳定性：当试验次数足够多时，某个事件发生的频率将趋近于其概率；③ 稳定性：对于任意两个事件A和B，有0≤P(A)≤1，0≤P(B)≤1；④ 加法公式：对于任意两个互斥事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)；⑤ 对立事件概率之和为1：对于任意两个对立事件A和B，有P(A) + P(B) = 1。
（三）巩固练习1. 完成课本上的例题，巩固所学知识；2. 小组讨论，互相解答问题。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调重点和难点；2. 引导学生思考概率论在现实生活中的应用。
（五）布置作业1. 完成课后习题，巩固所学知识；2. 收集生活中与概率相关的事例，下节课分享。
随机事件与概率知识点
随机事件与概率知识点随机事件和概率是概率论中的基本概念，它们揭示了不确定性现象背后的规律性。
本文将介绍随机事件的定义及性质，以及概率的概念、性质和计算方法。
一、随机事件的定义随机事件是指在一定条件下，具有不确定性的事件。
简单来说，就是不知道会发生什么的事件。
一个事件发生与否，可以用0或1表示，其中0代表事件不发生，1代表事件发生。
这种不确定性使得我们需要运用概率论的知识来描述和研究。
对于一个随机试验，其样本空间为Ω，由所有可能出现的结果组成。
样本空间中的每一个元素称为一个样本点，记作ω。
而样本空间中的子集，称为事件。
简单来说，事件就是样本空间的一个子集，用来描述某些结果的集合。
二、随机事件的性质1. 必然事件和不可能事件：必然事件是指在所有可能的结果中，一定会发生的事件。
记作Ω，其对应的概率为1。
例如，在一次掷骰子的实验中，必然事件就是出现的点数在1至6之间。
不可能事件是指在所有可能的结果中，一定不会发生的事件。
记作∅，其对应的概率为0。
例如，在一次掷骰子的实验中，不可能事件就是出现的点数为7。
2. 事件的互斥与对立：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是互斥事件，因为在一次实验中，掷出奇数的点数和掷出偶数的点数不可能同时发生。
对立事件是指两个事件必定有一个发生，但不能同时发生的情况。
例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是对立事件。
三、概率的概念与性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。
1. 古典概型：古典概型是指所有样本点出现的概率相等的情况。
例如，在一次掷骰子的实验中，每个点数出现的概率都是1/6。
2. 几何概型：几何概型是指样本空间是一个有限的几何图形的情况。
例如，在一个正方形平面内随机选择一个点，那么点落在正方形的某个子区域中的概率就可以通过计算子区域面积与正方形面积的比值得到。
大学概率论随机事件与概率
② A B AB
AB
AB
A
B
BA
四、事件的运算律
1.交换律、结合律:(略)
2.分配律：
① AUBI C AUBAUC ② A I B UC AB U AC
3.对偶律：
① A U B A I B （和的逆＝逆的积） ② A I B A U B （积的逆＝逆的和）
例2. 用A、B、C的运算关系表示下列各事件:
P( A) A的测度(长度,面积,体积) 的测度(长度,面积,体积)
例4.
如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平
方公里的大陆架贮藏着石油,
若在海域里随意选取一点
钻探, 问钻到石油的概率是多少？
解:
由题意知, 问题归结为几何概率的计算,
设A={钻到石油},
则 P( A) 40 50000
①三个事件中至少一个发生:
A U B UC
②没有一个事件发生:
ABC A U B UC
③恰有一个事件发生:
ABC U ABC U ABC
④至多有两个事件发生:
（考虑其对立事件）
ABC A U B UC
⑤至少有两个事件发生:
（由对偶律）
ABC U ABC U ABC U ABC AB U BC UCA
考虑可能出现的点数;
2 1, 2, 3, 4, 5, 6
E3: 记录某网站一分钟内受到的点击次数;
3 0，1，2，L
E4: 任选一人,
记录他的身高(m)和体重(kg).
4 h, g 0 h 3, 0 g 400
注: ①样本空间是一个集合;
②对于一个随机试验而言,
例如:
掷两枚均匀的骰子一次,
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，在大学数学中占据着重要的地位。
以下是对大学概率论中一些重要知识点的总结。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
2、样本空间样本空间是随机试验的所有可能结果组成的集合。
3、事件的关系与运算包括包含、相等、并、交、差、互斥（互不相容）和对立等关系。
4、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
古典概型中，概率等于有利事件的个数除以总事件的个数；几何概型中，概率等于几何度量（如长度、面积、体积等）的比值。
5、概率的性质包括非负性、规范性和可加性等。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率称为条件概率，记作 P(B|A)。
2、乘法公式P(AB) ＝ P(A)P(B|A)三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式如果事件组 B1，B2，，Bn 是样本空间的一个划分，且 P(Bi) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），则对任意事件 A 有 P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi)2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A)，P(Bi) 和 P(A|Bi)，可以计算在事件 A 发生的条件下，事件 Bi 发生的概率 P(Bi|A)四、随机变量及其分布1、随机变量是定义在样本空间上的实值函数。
2、离散型随机变量其取值为有限个或可列个。
常见的离散型随机变量分布有：二项分布、泊松分布等。
3、连续型随机变量其取值可以是某个区间内的任意实数。
常见的连续型随机变量分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
4、随机变量的分布函数F(x) ＝ P(X ＜＝ x)，具有单调不减、右连续等性质。
五、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成。
2、联合分布函数F(x, y) ＝ P(X ＜＝ x, Y ＜＝ y)3、边缘分布包括边缘分布函数和边缘概率密度（离散型为边缘概率分布）。
概率论与数理统计教案随机事件与概率
概率论与数理统计教案-随机事件与概率一、教学目标1. 理解随机事件的定义及其分类。
2. 掌握概率的基本性质和计算方法。
3. 能够运用概率论解决实际问题。
二、教学内容1. 随机事件的定义与分类1.1 随机事件的定义1.2 随机事件的分类1.3 事件的运算2. 概率的基本性质2.1 概率的定义2.2 概率的取值范围2.3 概率的基本性质3. 概率的计算方法3.1 古典概型3.2 条件概率3.3 独立事件的概率3.4 互斥事件的概率4. 随机事件的排列与组合4.1 排列的定义与计算4.2 组合的定义与计算5. 概率论在实际问题中的应用5.1 概率论在社会科学中的应用5.2 概率论在自然科学中的应用三、教学方法1. 讲授法：讲解随机事件的定义、分类及概率的基本性质。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用概率论解决。
3. 互动教学法：提问、讨论，提高学生对知识点的理解和掌握。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 计算器、黑板、粉笔等教学工具。
3. 实际问题案例库。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对随机事件定义、分类和概率基本性质的理解。
2. 课后作业：布置有关概率计算和方法的应用题，检验学生掌握程度。
3. 课程报告：让学生选择一个实际问题，运用概率论进行分析，评价其应用能力。
4. 期末考试：设置有关概率论与数理统计的综合题，全面评估学生学习效果。
六、教学内容6. 大数定律与中心极限定理6.1 大数定律6.2 中心极限定理7. 随机变量及其分布7.1 随机变量的概念7.2 离散型随机变量7.3 连续型随机变量7.4 随机变量分布函数8. 随机变量的数字特征8.1 数学期望8.2 方差8.3 协方差与相关系数9. 抽样分布与抽样误差9.1 抽样分布的概念9.2 抽样误差的估计9.3 抽样方案的设计10. 估计量的性质与假设检验10.1 估计量的性质10.2 假设检验的基本概念10.3 常用的假设检验方法七、教学方法1. 讲授法：讲解大数定律、中心极限定理、随机变量及其分布等概念。
大学概率论公式总结
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
记住积分公式
,
x<0。
正态分布
设随机变量 的密度函数为
其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。
具有如下性质：
1° 的图形是关于 对称的；
2°当 时， 为最大值；
若 ，则 的分布函数为
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。如果 ~ ，则
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
函数分布
Z=X+Y
根据定义计算：
态分布的和仍为正态分布（ ）。
全概公式
。
贝叶斯公式
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
第二章 随机变量及其分布
概率论中的随机事件及概率的定义及计算
概率论中的随机事件及概率的定义及计算在概率论中，随机事件是指一个结果是不确定的事件，例如掷骰子的结果、抽奖的结果、病人是否能成功治愈等。
通过对随机事件的概率进行计算，我们可以预测它们发生的可能性大小，从而对未来的结果进行预测和控制。
随机事件的概率定义在概率论中，随机事件的概率定义为该事件在所有可能结果中出现的比例。
例如，在掷一次骰子时，获得6面的概率为1/6，因为6面是6个可能结果中的一个。
概率的计算方法一般来说，概率的计算方法有两种：相对频率方法和古典概型方法。
1. 相对频率方法相对频率方法是指通过实验来计算概率。
具体来说，我们可以对随机事件进行多次实验，然后统计该事件发生的次数与实验总次数之比。
例如，如果我们想要计算投掷骰子获得6面的概率，我们可以对骰子进行大量实验，并记录6面出现的次数。
然后，我们可以计算该事件发生的次数与实验总次数之比，即得到6面出现的概率。
2. 古典概型方法古典概型方法是指对于已知的固定有限集合，每个结果的概率相等时，对随机事件进行计算。
例如，对于投掷一枚骰子的情况，我们可以通过以下公式计算获得特定面的概率：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)是事件E中有利结果的数量，n(S)是样本空间中的所有结果数。
概率的性质在概率论中，概率具有以下几个重要的性质：1. 非负性：概率是非负的，即概率不会小于零。
2. 正则性：所有可能事件的概率之和等于1。
3. 加法性：对于两个不相交事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率。
4. 乘法性：对于两个事件A和B，它们的联合概率等于它们各自的概率的积。
总结概率论是应用广泛的一门学科，在许多领域都有着重要的应用，例如统计学、经济学、金融学等。
随机事件及概率的定义和计算方法是概率论中最基础的概念，建立了整个概率论体系的基础。
了解概率论的基本概念和方法，可以帮助我们更好地理解和应用它们，在实际应用中更加准确地估计未来的结果和降低风险。
概率论-第一章-随机事件与概率
第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。
样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验£样本空间。
《概率论与数理统计》1.1 随机试验与随机事件
i点 5, 6
}
在一起所构成的事件）
复合事件
事件 B = { 掷出奇数点 }
五. 随机事件间的关系及其运算
设试验 E 的样本空间为 S, A, B, Ak (k 1, 2, ) 是 S 的子集.
1. 事件的包含：如( A果中事的件每A个发样生本必点然都导包致含事在件BB中发）生.
注 ▲
则称 事件 B 包含事件 A 或 A 含于事 件 B 。记作：B A或 A B
从观察试验开始 研究随机现象，首先要对 研究对象进行观察或试验.
这里的试验指的是随机试验.
第一节 随机试验与随机事件
一. 试 验 : 为了研究随机现象，就要对客观事物进行 观察，观察的过程称之为试验。记为 E。
例1 E1：掷一枚硬币观察正面，反面出现的情况。 E2：记录一小时内，到某保险公司投保的户数 E3：射手射击一个目标，直到射中为止，观察 其射击的次数。 E4：从一批产品中抽取十件，观察其次品数。 E5：抛一颗骰子，观察其出现的点数。
A
B
为 A 与 B 的和 (并）, 记作：
A B 或 A B x xA 或 xB
AB
注
▲ 它是由事件 A 和 B 所有样本点构成的集合 n
▲ 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件
k1
k 1 Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
的和事件
4. 事件的积(交)： 若 “两个事件A与 B 同时发生” 也是一个事件，
样本空间元素 是由试验目的 所确定的，不 同的试验目的 其样本空间也 是不一样的。
S
.e
样本点e
例 3．若试验 E是将一枚硬币抛掷两次. 试写出该试验 E 的样本空间.
概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率
推广：
（1）n个事件A1,A2, An至少有一个发生
所构成的事件，称为 A1, A2, An的和或并，
记为
n
A1 A2 An Ai
i1
当A1, A2, An互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
（2）可列无限多个事件 A1, A2, 至少有一个
（1kn)的不同排列总数为：
n n n nk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
C
k n
Ank k!
n! (n k)!k!
Ai
i1
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 AB 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与 互斥。
S
A
B
推广：n个事件 A1,A2, An互斥
A1, A2, An 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
四．事件的和（并） 事件A与B至少有一个发生所构成的事件， 称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
六. 对立事件（逆事件） 由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
（逆事件）。记为 A
A
A
AA ,A A S,A A.
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点 数大于2”={3，4，5，6}， 求 A B,C D,AE,E.
概率论与数理统计公式整理（大学考试必备）
设 F (x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
x
F(x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。 密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 。
f (x)dx 1
2°
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形
式给出：
X
| x1, x2,, xk,
P( X xk) p1, p2,, pk, 。
显然分布律应满足下列条件：
（1） pk 0 ， k 1,2,，
pk 1
（2） k 1
。
（2）连续 型随机变 量的分布 密度
（3）离散 与连续型 随机变量 的关系
（16）贝叶 斯公式
设事件 B1 ， B2 ，„， Bn 及 A 满足
1° B1 ， B2 ，„， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i 1，2，„， n ，
n
A Bi
2°
i1 ， P( A) 0 ，
则
P(Bi / A)
P(Bi )P( A / Bi )
n
，i=1，2，„n。
P(Bj )P(A/ Bj )
1
概率论与数理统计 公式
（13）乘法 公式
例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A1，A2，„An，若 P(A1A2„An-1)>0，则有
P( A1A2 „ An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) „„ P( An | A1A2 „
大学数学概率论
大学数学概率论概率论是一门研究随机事件及其规律性的数学学科，它是现代数学的一个重要分支，也是应用数学中广泛使用的一种数学工具。
概率论用于描述和分析不确定性的现象和过程，通过概率的计算和推导，可以帮助我们预测、评估和决策。
一、概率论的基本概念概率论的研究对象是随机事件，随机事件是指在一定条件下不确定性地出现的事件。
概率是一个介于0到1之间的数，它描述了随机事件发生的可能性大小。
在概率论中，常用的描述方式包括频率概率和古典概率。
频率概率是通过大量的实验统计得到的概率值，而古典概率是通过对事件的理性分析得到的概率值。
二、概率的计算方法在概率论中，有多种方式可以计算概率。
其中，常见的方法有古典概率计算、条件概率计算和贝叶斯概率计算。
古典概率计算适用于等可能性事件的概率计算，条件概率计算则是在已知某个事件发生的条件下，计算其他事件发生的概率，贝叶斯概率计算则是在已知某个事件发生的条件下，反推事件的概率。
三、概率的基本性质概率具有相加性、相乘性和对立事件性质等基本性质。
相加性表示当两个事件互不相容时，它们的概率可以通过相加得到；相乘性表示当两个事件相互独立时，它们的概率可以通过相乘得到；对立事件性质表示事件A和其对立事件A'的发生概率之和为1。
四、概率分布函数概率分布函数是描述随机变量的概率分布情况的函数。
常见的概率分布函数有离散型概率分布函数和连续型概率分布函数。
在离散型概率分布函数中，随机变量只能取有限个或可数个值，例如二项分布、泊松分布等；而在连续型概率分布函数中，随机变量可以取连续的任意值，例如正态分布、指数分布等。
五、随机变量与概率密度函数随机变量是概率论中的一个重要概念，它用来描述随机现象中的某个数量特征。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
概率密度函数是用来描述连续型随机变量的概率分布情况的函数，它可以用来计算随机变量在某个区间内取值的概率。
六、大数定律和中心极限定理大数定律是概率论中的一个重要定理，它表明随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会趋于其概率。
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结越是临考试，大家一定要稳定自己的情绪，不能乱了脚步。
里头大学是大学概率论知识点总结，为大家提供参考。
第一章随机事件和概率1、随机惨案的关系与运算2、随机事件的运算律3、特殊随机事件(必然事件、不可能事件、互不相容事件和敌对事件)4、概率的基本性质5、随机事件的条件概率与独立性6、五大概率计算公式(加法、减法、乘法、全概率公式和贝叶斯公式)7、全概率公式的思想8、概型的计算(古典概型和几何概型)第二章随机变量及其分布1、分布函数的定义2、分布函数的开映射3、分布函数的性质4、离散型随机变量的分布律及分布函数5、概率密度的充要条件6、连续型随机变量的性质7、常见分布(0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布)8、特征值函数的分布(离散型、连续型)布季夫第三章多维随机变量及其分布1、二维离散型随机变量的三大分布(联合、边缘、条件)2、二维连续型随机变量的三大分布(联合、边缘和条件)3、随机变量的独立性(判断和性质)4、二维常见分布的性质(二维均匀分布、二维正态分布)5、概率分布函数的分布(离散型、连续型)第四章随机变量的数字特征1、期望公式(一个随机变量的期望及随机变量的期望)4、常见分布的期望期望和方差公式第五章大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式2、大数定律(切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律)3、中心极限定理(列维—林德伯格定理、棣莫弗—拉普拉斯定理)第六章形式系统数理统计的基本概念1、常见统计量(定义、数字特征公式)2、统计分布3、一维正态总体下的统计量具有的性质4、估计量的评选统一标准(数学一)5、上侧分位数(数学一)第七章参数估计1、矩估计法2、最大似然估计法3、区间估计(数学一)第八章假设检验(数学一)1、显著性检验2、洛佐韦的两类错误3、单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
在备考投资过程中提醒大家：要学着思考，学着"记忆"，最重要是要会举一反三，这样，我们才能脱离题海的浮沉，能够做到有效做题，高效提升!。
东华大学《概率论与数理统计》课件 第一章 随机事件与概率
(3) 设A1，A何2，…时,P是(A一|列B两)两<互P不(A相)容? 的事件，即AiAj＝
，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+….
则称P(A)为事件A的概率。
例 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两 色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的 是一只红球，试求该红球是新球的概率。
1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的 每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足 条件：
(1) 非负性: P(A) ≥0；
(2) 规范性: P(S)＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
概率论与数理统计
第一章 随机事件与概率
教材：
《概率论与数理统计》
魏宗舒编
高等教育出版社
本章主要内容：
1. 概率的概念与性质 2. 事件的关系与运算性质 3. 古典概型概率的计算 4. 加法公式、条件概率、乘法公式 5. 事件的独立性、伯努利概型
重点：古典概型、概率的计算 难点：事件的关系和运算
条件概率、伯努利概型
(2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B)
(3) 事件差: A、B是两个事件，
则
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形 ；
(5) 互补性：P(A)＝1－ P(A); (6) 可分性：对任意两事件A、B，有
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
概率论与数理统计随机事件与概率随机事件
概率论与数理统计第1章随机事件与概率第1讲随机事件第一讲随机事件随机现象随机现象的统计规律性随机试验如何研究随机现象的规律性？概率统计的研究对象概率统计的研究内容全概率统计的研究方法本讲内容01 随机试验与样本空间02 随机事件03 随机事件的关系与运算随机现象的规律性是通过大量试验呈现出来的，为了研究这种规律性，我们需要对随机现象进行调查、观察或试验.这类工作我们统称为“随机试验”，简称为“试验”，用E表示.随机试验具有下列三个特点：试验可以在相同的条件下重复进行；试验的所有结果明确可知，并且不止一个；每次试验只能出现一个结果，事先不能确定.随机试验具有下列三个特点：试验可以在相同的条件下重复进行；试验的所有结果明确可知，并且不止一个；每次试验只能出现一个结果，事先不能确定. 例1给微信好友发消息，观察对方是否回复；检验10件产品，记录其中的次品数；调查某收银台一天内使用移动支付的次数；研究某品牌电脑的使用寿命.随机试验E 所有可能的结果组成的集合,记为S 或Ω.E 1给微信好友发消息，观察对方是否回复.E 2检验10件产品，记录其中的次品数.1=S 2=S 样本空间 例2{0,1,2,,10}E 4研究某品牌电脑的使用寿命.E 3调查某收银台一天内使用移动支付的次数.3=S 4=S 注研究随机现象时, 第一步就是建立样本空间.{0,1,2,3,}{|0}≥t t本讲内容01 随机试验与样本空间02 随机事件03 随机事件的关系与运算随机事件样本空间的子集, 记为A ,B ,…基本事件仅由一个元素(样本点)组成的子集，每次试验必定生.发生且只可能发生一个的结果.复合事件由若干个基本事件组成的随机事件.每次试验必定不发生的事件，记为每次试验必定发生的事件，即样本空间S . 必然事件不可能事件∅=A =B =C =D 抛骰子例3.AS文氏图(Venn diagram)在一般情况下，事件的关系是怎样的呢？事件是样本空间的子集，因此，事件的关系和运算与01随机事件集合的关系和运算是完全相似的. 要学会利用概率论的语言来解释这些关系及其运算.这里需要强调的是，本讲内容01 随机试验与样本空间02 随机事件03 随机事件的关系与运算A=BSAB它表示事件A 发生，则事件B 一定发生.它表示：事件A 与事件B 的样本点完全相同.().⊂⊃A B B A 包含关系如果事件A 的样本点都在事件B 中，则称事件A 包含于事件B .抛一枚骰子中的随机试验中=A例4相等关系=B{2}，A B⋃ 事件的和(并)考察某同学期末考试的成绩情况.=A 例5事件A 与事件B 的样本点合在一起构成的事件.它表示：“事件A 与事件B 至少有一个发生”.A B ⋃=BA ABS=B推广推广它表示英语、高数至少有一门及格.1=ni i A 至少有一个发生.表示12,,,n A A A 1∞=i i A 同时发生.表示12,,A A它表示英语、高数两门课都及格.A B AB⋂或 事件的积(交)表示事件A 与事件B 共有的样本点构成的事件.考察某同学期末考试的成绩情况.A = 例5它表示：“事件A 与事件B 同时发生”.AB =B=推广推广1=ni i A 12,,n A A A 表示同时发生.1∞=i i A 12,,A A 表示同时发生.A B- 事件的差由属于A 但不属于B 的样本点构成的事件.A =考察电视机的使用寿命t (:h) 例4它表示：“事件A 发生而事件B 不发生”.B =A B -=SBA -A B{t |t 3000}.>{t |t 10000}≥，{t |3000t 10000}<<，互不相容（互斥）若事件A ，B 不能同时发生.即考察电视机的使用寿命t (:h)A = 例5B =ABS则事件A 与B 互不相容. 对立事件（逆事件）"A∩B=Φ".则称事件A 与B 互不相容.对于事件A ，由所有不包含在A 中的样SAB A=本点所组成的事件称为A 的对立件，{t |t 3000}>，{t |t 10000}≥，记对应事件运算集合运算()=A B C ()=A B C 03随机事件的关系和运算运算规律BA ，=AB =A B .BA ()ABC ，()=A B C ().A B C ()().A CBC ()=A B C ()().A B A C (1)交换律：(2)结合律：(3)分配律：逆交和差=A B 1==ni i A 03随机事件的关系和运算运算顺序括号优先AB ，.A B =A B 1=ni i A ， 1.=ni i A 1==ni i A(4)对偶律：(D.Morgan 律)CAB ABCABC A B C利用事件的关系和运算可表达复杂事件01随机事件的关系与运算例6设A 、B 、C 表示三个事件，利用A 、B 、C 表示下列(1)A 发生, B 与C 不发生.(2)A 与B 发生, C 不发生.(3)A 、B 、C 中至少有一个发生.(4)A 、B 、C 都发生.事件ABC =ABACBCC B A CB AC B A C B A C B A ——A ,B ,C 不都发生.=ABC ⋃⋃A B C03随机事件的关系和运算设A 、B 、C 表示三个事件，利用A 、B 、C 表示下列事件(5)A 、B 、C 都不发生.(6)A 、B 、C 中不多于一个发生.(7)A 、B 、C 中不多于两个个发生(8)A 、B 、C 中不至少有两个发生.D 如右图所示的电路中,设事件A 、B 、C 分别表示开关a 、b 、c 闭合，用A 、B 、C 表示事件“指示灯亮”及事件“指示灯不亮”. 例701排列及其逆序数解=D设abc=D ().A B C =D ,,则D 发生当且仅当A 及B ∪C 都发生A 发生当且仅当发生或 BC 发生=ABC =ABCABCABCABC A B C ABCABCABC设A ，B ，C 分别表示第1，2，3个产品为次品， 例8A B C AB BC CA用A ，B ，C 的运算可表示下列各事件(1)至少有一个次品(2)没有次品(3)恰有一个次品(4)恰有两个个次品()()()ABCABCABC ABCABCABC ABC ABC=(5)至多有两个次品(考虑其对立事件)ABC =第1讲随机事件这一讲我们学习了随机事件以及事件间的关系与运算，利用这些关系与运算，我们可以用简单事件去表示复杂事件，从而利用简单事件的概率得到复杂事件的概率.下一讲我们介绍一类简单概率模型——古典概型.学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。
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第一章 随机事件与概率
3.差: A发生而B不发生的事件, 称为A与B的差.
A B
且B
注: ① A B A AB ② 若A,B互斥, 则 A B A, B A B ③ A (B C) A B C 4.逆:(对立事件)
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第一章 随机事件与概率
样本空间Ω的某个子集. " A, B, C , 3. 随机事件：
"
例如: 在掷骰子试验中,事件A:出现偶数点 A 2, 4, 6 基本事件：由一个样本点构成的集合 复合事件：由多个样本点构成的集合 4. 事件的发生: A 发生
① A
② A
B B
C A B A C C AB AC
3.对偶律： ① A BA ②A B A
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B（和的逆＝逆的积） B（积的逆＝逆的和）
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第一章 随机事件与概率
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第一章 随机事件与概率
求 例1.从编号为 1 ~ 10 的10个同样的球中任取一个,
A={抽到2号球}，B={抽到奇数号球}的概率.
解: 由题意知,问题归结为古典概率的计算,
1 Ω包含的样本点个数: C10 10
A包含的样本点个数: 1 则 P( A) 1/10
①可在相同条件下重复进行
②试验的所有可能结果明确可知，且不止一个 ③每一次试验的结果是不可预言的 2.样本空间: 由随机试验的一切可能结果组成的一个集合. " " 其每个元素称为样本点." "
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第一章
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第一章 随机事件与概率
引 言
概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征, 通常用P(A) 来表示事件A发生的可能性大小.
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第一章 随机事件与概率
一、概率的统计定义
8. 许多服务系统，如电话通信、船舶 装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都 可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
识就是 《排队论》.
目前, 概率统计理论进入其他自然科学 领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领
领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经
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第一章 随机事件与概率
二、古典概率
①有限性
1.古典型随机试验: ②等可能性 2.古典概率的定义：
定义3: 设古典型试验的样本空间为 {1, 2 ,...,n },
k A k ( k n ) 若事件 中含有 个样本点, 则称 为 A 发生的概率, n k A 中的样本点个数 P( A) 记为 n 中的样本点个数
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第一章 随机事件与概率
第一节 随机事件及其运算
一、基本概念
二、事件之间的关系
第一章
三、事件之间的运算
四、事件的运算律
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3 0， 1 ，， 2
E4: 任选一人, 记录他的身高(m)和体重(kg).
4 h, g 0 h 3, 0 g 400
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第一章 随机事件与概率
注: ①样本空间是一个集合;
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第一章 随机事件与概率
济的稳定增长等问题 , 都大量采用《概率 统计方法》. 法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:
“ 生活中最重要的问题 , 其中绝大多数在
实质上只是概率的问题.” 英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾 对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正
1.频率:
定义1: 在相同的条件下重复进行了N次试验, 若A发生
了 次, 则称 FN ( A) 2.概率的统计定义:
N
为A在N次试验中出现的频率.
高尔顿板
定义2: 独立重复地做N次试验, 当N很大时, 若事件A
发生的频率稳定地在某一数值p 附近摆动,则称p 为A发 生的概率.
注: 概率是确定的,而频率与试验次数有关.
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目 录 上一与概率
预备知识
4.选排列: 从 n 个不同的元素中任取出 r 个(1≤r≤n) 元素按照一定顺序不重复地排成一列, 称为从 n 个元素 中取出r 个元素的选排列, 记为 且有 5.全排列: r = n 的选排列称为全排列, 记为
{若 A, 有 B}
A
B
2.事件的相等: A B
A B
3.事件的互斥:(互不相容) A与B不能同时发生,则称A 与B互斥. 即 " AB "
A B
注: ①基本事件之间是互斥的;
② 与任何事件互斥.
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AB
②对于一个随机试验而言, 样本空间并不唯一.
例如: 掷两枚均匀的骰子一次,若实验的目的是观察所有 可能出现的结果: 1 1,1 ,
1,6 , 6,1 , 6,6 ;
若试验目的是观察出现的点数和: 2 2, 3, 4, ,12 .
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第一章 随机事件与概率
三、事件的运算
1.和:(并) A,B中至少有一个发生的事件.
A B A B
或
A
B
A B
2.积:(交) A ,B 同时发生的事件.
A B AB
A
且
B
A B
注: 和、积运算可推广到有限个和可列无穷多个的情形.
5. 6. 处理通信问题, 需要研究《信息论》； 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间
序列分析》方法非常有用; 7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔 可夫过程》 来描述;
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第一章 随机事件与概率
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第一章 随机事件与概率
预备知识
1.加法原理: 如果完成某件事有m 种途径, 而每种途 径有 有 种不同的方法, 那么完成该件事共 种不同的方法.
2.乘法原理: 如果完成某件事须经过 m 个步骤, 而完 成每个步骤分别有 种不同的方法, 那么完成该件事共 有 种不同的方法. 3.重复排列: 从 n 个不同的元素中任意取出 r 个元素 (1≤r≤n), 按照一定顺序允许重复出现排成一列, 称为 从n 个元素取出 r 个元素的重复排列, 排列总数为
否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
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第一章 随机事件与概率
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 和《数据处理》； 4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其 发射都离不开《可靠性估计》;
注:不能从字面上理解事件的对立.
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第一章 随机事件与概率
第二节 随机事件的概率
一、概率的统计定义 二、古典概率
三、几何概率 四、概率的性质
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第一章
随机事件与概率
随机事件及其运算
随机事件的概率
条件概率与事件的独立性
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第一章 随机事件与概率
前
言
确定性现象与不确定性现象 确定性现象: • 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾; 不确定性现象:(随机现象) • 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数. 随机现象的统计规律性 随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现 的结果的规律性.
A 所包含的某一个样本点出现 " "
5. 必然事件与不可能事件: " " 事件
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集合
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