大学概率论随机事件与概率

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第一章 随机事件与概率
样本空间Ω的某个子集. " A, B, C , 3. 随机事件：
"
例如: 在掷骰子试验中,事件A:出现偶数点 A 2, 4, 6 基本事件：由一个样本点构成的集合 复合事件：由多个样本点构成的集合 4. 事件的发生: A 发生
第一章
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第一章 随机事件与概率
引 言
概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征, 通常用P(A) 来表示事件A发生的可能性大小.
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第一章 随机事件与概率
一、概率的统计定义
① A
② A
B B
C A B A C C AB AC
3.对偶律： ① A BA ②A B A
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B（和的逆＝逆的积） B（积的逆＝逆的和）
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第一章 随机事件与概率
①可在相同条件下重复进行
②试验的所有可能结果明确可知，且不止一个 ③每一次试验的结果是不可预言的 2.样本空间: 由随机试验的一切可能结果组成的一个集合. " " 其每个元素称为样本点." "
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第一章 随机事件与概率
概率论是一门研究客观世界随机现象统计 规律的 数学分支学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科. 概率论是数理统计学的基础，数理统计 学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
第一章 随机事件与概率
例1. 写出下列试验的样本空间. E1: 将一枚硬币连抛两次,考虑正反面出现的情况;
1 (正,正),(正,反), (反,正),(反,反)
E2: 掷一颗均匀骰子, 考虑可能出现的点数;
2 1, 2, 3, 4, 5, 6
E3: 记录某网站一分钟内受到的点击次数;
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第一章 随机事件与概率
预备知识
1.加法原理: 如果完成某件事有m 种途径, 而每种途 径有 有 种不同的方法, 那么完成该件事共 种不同的方法.
2.乘法原理: 如果完成某件事须经过 m 个步骤, 而完 成每个步骤分别有 种不同的方法, 那么完成该件事共 有 种不同的方法. 3.重复排列: 从 n 个不同的元素中任意取出 r 个元素 (1≤r≤n), 按照一定顺序允许重复出现排成一列, 称为 从n 个元素取出 r 个元素的重复排列, 排列总数为
8. 许多服务系统，如电话通信、船舶 装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都 可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
识就是 《排队论》.
目前, 概率统计理论进入其他自然科学 领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领
领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经
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且有
6.组合: 从 n 个不同的元素中任意取出 r 个(0≤r≤n) 元素组成一组(不考虑次序), 称为从 n 个元素中取出r个 元素的一个组合,记为 且有
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第一章 随机事件与概率
一、基本概念
1.随机试验:(E) 对随机现象进行观察或试验.
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第一章 随机事件与概率
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制 及预测都与《概率论》紧密相关； 2. 产品的抽样验收，新研制的药品能
的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那 么我们就寸步难行, 无所作为.
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第一章 随机事件与概率
概率统计应用广泛,发展迅速.不仅高 等学校各专业都开设了该课程，而且在上 世纪末，此课程特意被教育部定为本科生 考研的数学课程之一. 概率统计的思想：看待万事万物的一 种方法。通过比较概率的大小做决定—— 统计规律、统计决策。
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第一章 随机事件与概率
济的稳定增长等问题 , 都大量采用《概率 统计方法》. 法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:
“ 生活中最重要的问题 , 其中绝大多数在
实质上只是概率的问题.” 英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾 对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正
第一章
随机事件与概率
随机事件及其运算
随机事件的概率
条件概率与事件的独立性
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第一章 随机事件与概率
前
言
确定性现象与不确定性现象 确定性现象: • 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾; 不确定性现象:(随机现象) • 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数. 随机现象的统计规律性 随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现 的结果的规律性.
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第一章 随机事件与概率
第一节 随机事件及其运算
一、基本概念
二、事件之间的关系
第一章
三、事件之间的运算
四、事件的运算律
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第一章 随机事件与概率
3.差: A发生而B不发生的事件, 称为A与B的差.
A B
且B

注: ① A B A AB ② 若A,B互斥, 则 A B A, B A B ③ A (B C) A B C 4.逆:(对立事件)
②对于一个随机试验而言, 样本空间并不唯一.
例如: 掷两枚均匀的骰子一次,若实验的目的是观察所有 可能出现的结果: 1 1,1 ,
1,6 , 6,1 , 6,6 ;
若试验目的是观察出现的点数和: 2 2, 3, 4, ,12 .
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3 0， 1 ，， 2

E4: 任选一人, 记录他的身高(m)和体重(kg).
4 h, g 0 h 3, 0 g 400
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第一章 随机事件与概率
注: ①样本空间是一个集合;
1.频率:
定义1: 在相同的条件下重复进行了N次试验, 若A发生
了 次, 则称 FN ( A) 2.概率的统计定义:

N
为A在N次试验中出现的频率.
高尔顿板
定义2: 独立重复地做N次试验, 当N很大时, 若事件A
发生的频率稳定地在某一数值p 附近摆动,则称p 为A发 生的概率.
注: 概率是确定的,而频率与试验次数有关.
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第一章 随机事件与概率
二、古典概率
①有限性
1.古典型随机试验: ②等可能性 2.古典概率的定义：
定义3: 设古典型试验的样本空间为 {1, 2 ,...,n },
k A k ( k n ) 若事件 中含有 个样本点, 则称 为 A 发生的概率, n k A 中的样本点个数 P( A) 记为 n 中的样本点个数
A
B
A B
若A与B满足 A B 且 AB ,
称 A与B互逆. 注: ①事件互斥与互逆的区别 ② A B AB
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A
B
BA
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第一章 随机事件与概率
四、事件的运算律
1.交换律、结合律:(略) 2.分配律：
{若 A, 有 B}
A
B

2.事件的相等: A B
A B

3.事件的互斥:(互不相容) A与B不能同时发生,则称A 与B互斥. 即 " AB "
A B
注: ①基本事件之间是互斥的;
② 与任何事件互斥.
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AB
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第一章 随机事件与概率
预备知识
4.选排列: 从 n 个不同的元素中任取出 r 个(1≤r≤n) 元素按照一定顺序不重复地排成一列, 称为从 n 个元素 中取出r 个元素的选排列, 记为 且有 5.全排列: r = n 的选排列称为全排列, 记为
否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
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第一章 随机事件与概率
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 和《数据处理》； 4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其 发射都离不开《可靠性估计》;
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第一章 随机事件与概率
求 例1.从编号为 1 ~ 10 的10个同样的球中任取一个,
A={抽到2号球}，B={抽到奇数号球}的概率.
解: 由题意知,问题归结为古典概率的计算,
1 Ω包含的样本点个数: C10 10
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第一章 随机事件与概率
三、事件的运算
1.和:(并) A,B中至少有一个发生的事件.

A B A B
或

A
B
A B

2.积:(交) A ,B 同时发生的事件.
A B AB
A
且
B
A B
注: 和、积运算可推广到有限个和可列无穷多个的情形.
5. 6. 处理通信问题, 需要研究《信息论》； 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间
序列分析》方法非常有用; 7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔 可夫过程》 来描述;
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第一章 随机事件与概率
A包含的样本点个数: 1 则 P( A) 1/10
A 所包含的某一个样本点出现 " "
5. 必然事件与不可能事件: " " 事件
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集合
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第一章 随机事件与概率
二、事件之间的关系
1.事件的包含: A 发生必然导致B发生,则称A包含于B.
A B
例2. 用A、B、C的运算关系表示下列各事件: ①三个事件中至少一个发生: A B C ②没有一个事件发生: ABC A B C ③恰有一个事件发生: ABC
ABC
ABC
（由对偶律）
④至多有两个事件发生:（考虑其对立事件）
ABC A B C
⑤至少有两个事件发生:
ABC
ABC
ABC
ABC AB BC CA
注:不能从字面上理解事件的对立.
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第一章 随机事件与概率
第二节 随机事件的概率
一、概率的统计定义 二、古典概率
三、几何概率 四、概率的性质
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