课时跟踪训练九答案

课时跟踪检测（九） 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

一、基础知识训练：

1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数

解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 2．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )

解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ，C ；当x ∈⎝⎛⎭

⎫0，π

2时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎫πx －π

2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2π

π＝2. 4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( )

A ．x 轴对称

B ．原点对称

C ．y 轴对称

D ．直线x ＝π

2

对称

解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称． 5．函数y ＝cos ⎝⎛⎭

⎫－x 2＋π

2的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数

D ．即是奇函数也是偶函数

解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 2＝sin x

2，故为奇函数． 6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭

⎫12x ＋π

6的周期为________．答案：4π 7．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________.答案：3 8．函数ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π

3

，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π

3得ω＝3，∴ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝⎛⎭⎫3π－π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－3cos π3＝－3

2

.

9．判断下列函数的奇偶性．

(1)ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x . 解：(1)x ∈R ，ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π

2＋2x cos(π＋x )＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴ƒ(－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x ＝－ƒ(x )．∴该函数ƒ(x )是奇函数． (2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴ƒ(x )＝1＋sin x ＋

1－sin x 的定义域为R. ∵ƒ(－x )＝

1＋sin (－x )＋

1－sin (－x )＝

1－sin x ＋

1＋sin x ＝ƒ(x )，

∴该函数是偶函数．

10．已知函数y ＝12sin x ＋1

2

|sin x |，

(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．

解：(1)y ＝12sin x ＋1

2|sin x |＝⎩

⎪⎨⎪⎧

sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )，

图象如图所示：

(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.

二 、能力提高训练：

1．下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( )

A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2

B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2

C ．y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭

⎫x －π

2 解析：选B 对于A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π

2－2x ＝sin 2x 是奇函数；对于B ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，且最小正周期T ＝2π

2＝π；对于C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，但最小正周期T ＝2π；对于D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π

2＝sin x 是奇函数，故选B. 2．函数ƒ(x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫

23

x ＋15π2是( ) A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为3π的奇函数

D ．周期为

4π

3

的偶函数

解析：选A ∵ƒ(x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋3π2＝－3cos 23x ，∴ƒ(x )为偶函数，且T ＝2π

2

3＝3π，.

3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭

⎫k 4x ＋π

3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A ．10 B ．11 C ．12

D ．13

解析：选D ∵T ＝2πk 4＝8π

k ≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.

4．函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( )

A ．π4

B ．π2

C ．π

D ．3π2

解析：选C 要使函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C. 5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π

2

，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，

则f ⎝⎛⎭⎫

－15π4＝________.

解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 6．函数y ＝⎪⎪⎪

⎪sin x

2的最小正周期是________． 解析：∵y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝4π，而y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是把y ＝sin x

2的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，∴y ＝⎪⎪⎪

⎪sin x

2的最小正周期为T ＝2π. 7．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π

2，3π时，求ƒ(x )的解析式．

解：x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π

2时，ƒ(x )＝1－sin x ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又ƒ(x )是以π为周期的偶函数，

所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤5π

2，3π. 8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2)

＝－

1

ƒ(x )

(ƒ(x )≠0)． (1)求证：函数ƒ(x )是周期函数． (2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．