谈谈含绝对值符号的函数的图象
含绝对值的函数的图像
在下面分别从三个方面讲如何画含绝对值的函数的图像，以及在具体的题目中的应用。
希望对雨我们学习这部分的知识有所帮助。
、三点作图法三点作图袪是画函数ιy = ⅛ f +⅛ ∖^-c(ak≠ 0)的图象的一种i罚捷方法(该函数图形®Ufft G V fl i故称召型图人步曝是E①先画出站型图顶点,石；—)②在顶点两侧各找出一点；卩③次顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数y ≈k∖ ax+⅛I⅛⅛⅛≠ 0)的图彖*例1作出下列各函数的圏象.(1) y =| 2x 亠J ll 一1； {2) y = 1- ∣2x ÷ 11 ・解’⑴ 顶点：,-才两点g 0λ (b O)D其图彖如图1所示.圏b<2)顶点f-lΛ两点(一1, 0), (0, 0).其图象如图2所示.I 2 j图2注I当40时图象奔口向上，当衣D时图彖开口向下•函数图象关于直线Λ= --对称口翻转作图法是画函数y H .rω I的图象的一种简捷方法.注I ⅛ k>0时图象开口向上，当衣0时图象开口向下.函数图象关于直线Λ = --对称"制转作图法是画函数丁H∕ω I的图象的一种简捷方法.二爾转作IS二詡转作l⅛步麋是* ©5t作出P = /(x)的图彖;②若y - /(Λ)的图家不位于X轴下方, 则函数I y = /(>)的图象就⅛⅛^ιy =| f{x) \的图象;③若函数4y = h∕(x)的图象育位于H轴下方的，则可把X轴下方的图象绕X轴翻转180φ到盟轴上方，就得到了函数I y=I I/(Λ)∣的图家・例t作出下列各函数的图讓.U) 7=U⅛-⅛i y=∣√-2^-3∣j ¢3) y=∣⅛(r+3)∣c 解；⑴先作出^=μ∣-l的图象如图3,把图3中盟轴下右的图家翻上去！得至(］图乳图召就是妾IsJ的函数图象nC2)先作出y = X2- 2x-3的图熟如图5.把图5中梵轴T方的图象翻±⅛⑶ 先作出^ = Ig(X+ 3)的图熟如图亿把图7中忙轴下丹的图象翻上去，得到图3.图&就是婪画的1S数图象・三、分段破作图法分段函数作图法是把瘟函数等价转化沟分段函数后再作图，这种右法是画含有绝对值的函数的图象的有效有法.例1作出下列函数的图家U(I)J = Z a-2μ∣+b ¢2) J=μ + l∣ + μ-l∣j (3) jμ=∣Λ2-2τr-3h图4图9就是所要画的函数图蒙.u≤-l)(2) 尹=| 忙+11+1 ;T-Il= $ 2 (-1 < <1)(E圏5就是所要画的函数圈家-(3) y⅛[x 2-2x-3∖_ ∖2-2τ-3(x i -Ξx -3≥0)^ -X 2 +Ξx + 3(x 3 -2x^3 <0)Λ2 - 2Λ- 3(Λ ≤ -1⅛S Λ ≥ 3)-X 2 +2^+3(-1 <x<3)ffl Ii 就是所ι≡ιfflι≥5数图象B解 I (1) I y = X J — 21 x I +1= Λ -2z+l(x> O) X a ÷2x + l(x <O)图11 S ioa：分段函数作图法是画含绝对值函数的图家的常规之法.三点作图法、翻转作图法虽然简便，但要注意适应的题型，第(引小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一试.四、应用把数化为形是"数形结合∙v思想.利用图形的直观性化难为易，有事半功倍之憩，简洁明快之感•1.求函数值⅛L例丄求函数＞=μ+ι∣+∣;C-IlSg值域.解：由图10知函数的值域为［⅛+∞) β2求函数的单调区间.例丄求函^=IX a"2X~3∣的单调谨増区间•解：由图6知函数单调谨増区间为［一打叮Y［3,+∞)β3.求育程解的个数.Vi 6求方程√-2μ∣+l =∣⅛(x + 3)∣解的个数.B：赛程√-2∣x∣+l=∣⅛tx+3)∣W的亍数就是函数j = √ -2∣Λ∣+1的图象与函数I ymIg(X+ R I的图象在同一坐标系中交点的个亂由≡ 12M两个函数图象荷5个交点，所UA肓程X2- 2∣ X I +1 =∣⅛(^+3)∣W 5个解Il图1；。
virtuoso绝对值的函数
virtuoso绝对值的函数绝对值函数是数学中的一种基本函数，也是一种常见的数学工具。
它可以将任意实数映射为非负实数，其定义如下：对于任意实数x，绝对值函数的取值为|x|，即：当x≥0时，|x| = x；当x<0时，|x| = -x。
绝对值函数在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
在数学中，绝对值函数常用于求解线性不等式、计算距离等问题。
在物理中，绝对值函数常用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量的绝对值。
我们来看一下绝对值函数的图像。
绝对值函数的图像呈现V字形，对称于y轴。
当x≥0时，函数图像与y=x重合；当x<0时，函数图像与y=-x重合。
绝对值函数的图像在x=0处有一个拐点，即图像从下方转向上方。
接下来，我们来研究一下绝对值函数的性质。
首先，绝对值函数是一个单调递增的函数。
当x1<x2时，有|x1|<|x2|。
其次，绝对值函数在x=0处取得最小值为0。
对于任意实数x，有0≤|x|。
此外，绝对值函数满足加法和乘法的绝对值不等式。
对于任意实数x和y，有以下两个不等式成立：1.加法的绝对值不等式：|x+y|≤|x|+|y|这个不等式表示，两个实数的和的绝对值不大于它们的绝对值之和。
例如，对于x=2和y=-3，有|2+(-3)|=|-1|=1，而|2|+|-3|=2+3=5，因此，|2+(-3)|≤|2|+|-3|成立。
2.乘法的绝对值不等式：|xy|=|x|·|y|这个不等式表示，两个实数的乘积的绝对值等于它们的绝对值之积。
例如，对于x=2和y=-3，有|2·(-3)|=|-6|=6，而|2|·|-3|=2·3=6，因此，|2·(-3)|=|2|·|-3|成立。
绝对值函数还可以与其他函数进行复合运算，得到新的函数。
例如，我们可以定义绝对值函数的复合函数为g(x) = |f(x)|，其中f(x)为任意函数。
复合函数g(x)的图像与函数f(x)的图像相似，只是在f(x)的图像上的负半轴部分被翻转到正半轴上。
专题-含有绝对值图像及综合问题
关于绝对值的图像法一：图像变换；法二：分类讨论改写成分段函数一关于max 与min1 （2008江西理科）函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(2，2)内的图象大致是A B CD二转化分段函数1 作出函数y ＝x ｜2－x｜的图像2函数的大致图像为（）．3函数()f x cos x tan x =⋅在区间322,ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）2|log |1()2x f x x x=--三相关应用1 求函数()221y x x x R =+--∈的最小值答案：最小值是342 已知函数()()(),2210f x x a g x x ax a =-=++>且函数()f x 与()g x 的图像与y 轴交于同一点。
（1）求a 的值；（2）求函数()()f x g x +的单调增区间。
答案：（1）a=1；（2）,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3 已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=（1） 如果[]1,4x ∈，求函数()()()()1h x f x g x =+的值域； （2） 求函数()()()()()2f xg x f x g x m x +--=的最大值；答案：（1）换元法。
（2）()()()()()()()22,log ,0232log ,2,g x f x g x x x m x x x f x f x g x ≥⎧<≤⎧⎪==⎨⎨-><⎩⎪⎩当02x <≤时()max 1m x =，当2x >时()1m x <，所以()max 1m x =此时2x =。
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含绝对值的函数
含绝对值的函数知识定位灵活的掌握含有绝对值的函数，主要包括图像画法、函数解析式、与分段函数之间的联系。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用知识梳理1、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象：)0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。
所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。
所以可用三点定其型。
三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。
2.用“两点定形法”作双绝对值差式函数b x a x x f ---=)(的图象（1）当a<b 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+<-=---=)()(2)()(b x a b b x a ba x a x ba b x a x x f ，可见其图象是由两端为两条平行的射线，中间为连接两射线的端点构成的图形，而图象总是在两个绝对值代数式的零点处转折。
（2）当a>b 时同理。
据此，可以点))(,()),(,(b f b a f a 确定函数b x a x x f ---=)(的图象3.用“多点定形法”作多绝对值函数)()(212211i i i a a a a x m a x m a x m x f <<<-++-+-= 的图象因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+++-++++<≤+++-+---+<++++----=)()()()()()()()()()(221121212211211221121i i i i i i i i i i a x a m a m a m x m m m a x a a m a m a m x m m m a x a m a m a m x m m m x f可知其图象是由i 个顶点i A A A 21、、、 决定的折线图，各顶点横坐标由各绝对值代数式的零点决定，中间由1-i 条顺次连接相邻两点的线段组成，两端为两条射线。
衔接点05 含绝对值函数的图象(解析版)
衔接点05 含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y k x b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12k x b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论； （3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b所求函数表达式为3242y x =-++． （2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示， 由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12k x b x+＞的解集是：60x-<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数（一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根；②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值； ②当x ＞1时，y 随x 的增大而减小； （4）①由图象得：抛物线与x 轴有两个交点 ∴方程﹣x 2+2|x |+1＝0有2个实数根； 故答案为2；②由图象可知：﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，即y ＝a 时，与图象有4个交点，所以a 的取值范围是：1＜a ＜2． 故答案为1＜a ＜2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，结合图像作答是解题的关键． 3．写出函数12)(2+-=x xx f 在什么范围内，y 随x 的增大而增大，. y 随x 的增大而减小？【答案】()f x 的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1]【解析】由题意转化条件为2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，作出函数图象，数形结合即可得解.由题意2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，其图象如图所示：由该函数的图象可得函数2()2||1f x x x =-+的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1].【点睛】本题考查了分段函数单调区间的确定，考查了二次函数图象与性质及数形结合思想的应用，属于基础题.（二）绝对值在解析式上 4．探究函数22y x x=-的图象与性质.(1)下表是y 与x 的几组对应值.其中m 的值为_______________；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分；(3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________；(4)若关于x 的方程220x x t --=有2个实数根，则t 的取值范围是___________________. 【答案】(1)3；(2)见解析；(3)图象关于直线x=1轴对称.（答案不唯一）；(4)t ＞1或t=0.【解析】（1）把x =3代入解析式计算即可得出m 的值；（2）画出图象即可；（3）根据图象得出性质；（4）观察图象即可得出结论．解：（1）当x =3时，y =2323-⨯=3，∴m =3； （2）如图所示：（3）图象关于直线x =1轴对称．（答案不唯一）（4）观察图象可知：当t ＞1或t =0时，关于x 的方程220x x t --=有2个实数根． 【点睛】本题考查了函数的图象及性质．解题的关键是画出图象． 5．某班数学兴趣小组对函数6||y x =的图象和性质将进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x 的取值范围是除0外的全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m =_________．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出一条函数性质． （4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴交点情况是________，所以对应方程60||x =的实数根的情况是________． ②方程62||x =有_______个实效根； ③关于x 的方程6||a x =有2个实数根，a 的取值范围是________． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）在第一象限内，y 随着x 的增大而减小；（4）①无交点，无实数根；②2；③0a >．【解析】（1）把x=-2代入6||yx=求得y的值，即可得出m的值；（2）根据表格提供的数据描点，连线即可得到函数6||yx=的另一部分图象；（3）观察图象，总结出函数的性质即可；（4）①由于x的值不能为0，故函数值也不能为0，从而可得出函数图象与x轴无交点，因而6||x=无实数根；解：（1）把m=-2代入6||yx=得，63|2|y==-，所以，m=3，故答案为：3（2）如图所示:（3）观察图象可得，在第一象限内，y随着x的增大而减小；（答案不唯一）（4）①∵0x≠，∴y≠0∴函数图象与x轴无交点，∴6||x=无实数根；故答案为：无交点；无实数根；②求方程62||x=的根的个数，可以看成函数6||yx=与直线y=2的交点个数，如图，函数6||yx=与直线y=2有两个交点，故方程62||x=有2个实数根，故答案为：2；③由②的图象可以得出，关于x的方程6||ax=有2个实数根，a的取值范围是0a＞，故答案为：0a＞．【点睛】本题考查的是反比例函数，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数的性质及函数特征．6．在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习过绝对值的意义(0(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩）．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题： 在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3． (1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质； (3)在图中作出函数y=3x -的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx -1|+b≤3x-的解集． 【答案】（1）y=|x -1|-3．（2）图象见解析．性质：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． ；（3）1≤x≤3或-3≤x<0．【解析】（1）根据在函数y ＝|kx−1|＋b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3，可以求得该函数的表达式； （2）由题意根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象； （3）由题意直接根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3∴2131b k b -=+⎧⎨-=-+⎩，解得：31b k =-⎧⎨=⎩，即函数解析式为：y=|x -1|-3．（2）图象如下：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． （3）图象如下，观察图像可得不等式|kx -1|+b≤3x-的解集为：1≤x≤3或-3≤x<0． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．7．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数⎪⎩⎪⎨⎧>--≤=)1(1)1(2x x x x y 的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ① 点()15,A y -，27,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，15,2C x ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,6D x 在函数图象上，1y 2y ，1x 2x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）② 当函数值2y =时，求自变量x 的值；③ 在直线1x =-的右侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ，()44,Q x y ，且34y y =，求34x x +的值；④ 若直线y a =与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①<，<；②3x =或1x =-；③342x x +=；④0<<2a . 【解析】 【分析】(1)描点连线即可；(2)①观察函数图象，结合已知条件即可求得答案； ②把y=2代入y=|x -1|进行求解即可；③由图可知1x 3-时，点关于x=1对称，利用轴对称的性质进行求解即可； ④观察图象即可得答案. 【详解】 (1)如图所示： (2)①()1A 5,y -，27B ,y 2⎛⎫- ⎪⎝⎭， A 与B 在1y x=-上，y 随x 的增大而增大，12y y ∴<；15C x ,2⎛⎫⎪⎝⎭，()2D x ,6， C 与D 在y=|x 1|-上，观察图象可得12x <x ， 故答案为<，<； ②当y 2=时，12x =-，1x 2∴=-(不符合)， 当y 2=时，2x 1=-，x 3∴=或x 1=-； ③()33P x ,y ，()44Q x ,y 在x=1-的右侧，1x 3∴-时，点关于x=1对称，34y y =， 34x x 2∴+=；④由图象可知，0<a<2.【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．。
绝对值函数图像的画法
最先要从简朴的千万于值函数绘起.之阳早格格创做 2-=x y ：是一条以()0,2为拐面的合线.
大概者不妨明白为将曲线2-=x y 正在x 轴底下的部分沿x 轴翻合上去 而后再发端于搀纯的图像的绘法.
22
1121-++=x x y ，先单独绘出二个千万于值的图像，再合到所有.（叠加后曲线的斜率分歧）
其中-2战4由二个千万于值为整算的，3为由x=-2战x=4算得的y 值. 末尾，最搀纯的二次函数中的千万于值的绘法.
122--=x x y ，很隐然千万于值是将x 形成正数，由前里的图像可知
a x y -=的图像总会闭于a x =轴对于称，故x y 21-=闭于
y 轴对于称，又122-=x y 也闭于y 轴对于称，所以图像合并起去便简单多了.。
【高中数学】绝对值函数的图像
1.一个绝对值函数图像（“V ”函数）y m a x =-
2.二个绝对值函数()()f x a x m b x n m n =-+-< 其它可以化为这种形式 写成分段形式()()()(),,,a b x am bn x n f x a b x am bn m a b x am bn x x n m +-->⎧⎪=--+⎨⎪-+++<⎩
从图中可以得到一些有用的结论：
当0a b +=时，()f x 有最大值和最小值
当0a b +>时，()f x 有最小值
当0a b +<时，()f x 有最大值
都在分界点取最值！
分三大类0,0,0a b a b a b +=+>+<共8个图
①当0a b +=时有两种情形
【高中数学】绝对值函数的图像
a b+>时有三种情形
②当0
a b+<时有三种情形
③当0
注：对于三个以上的绝对值函数图像，用同样的方法可以得到。
（高考很难见到！）三个以上绝对值配合图像求最值：奇尖偶平，取中间。
三个绝对值相加的函数图像
三个绝对值相加的函数图像
函数图像是数学中最重要的概念之一，函数图像描述了函数的变化趋势。
今天，让我们一起来看看三个绝对值相加的函数图像。
首先，关于三个绝对值相加的函数图像，我们需要了解绝对值函数。
绝对值函数是一种函数，它的定义域和值域都是实数集，作用是取出一个数的绝对值。
当自变量的取值在正数区间时，绝对值函数的图像只有一条直线段，而当自变量的取值在负数区间时，绝对值函数的图像也是一条直线段，只不过两者是相反的。
其次，我们再来看看三个绝对值相加的函数图像。
它由三个绝对值函数叠加而成，其图像是两个凸起的波形拼接而成。
从原点(0, 0)出发，先往右上方，然后往右下方，最后再往右上方，这样形成了一个完整的函数图像。
最后，我们来看看三个绝对值相加的函数图像的一般表达形式。
假设有三个正数u，v，w，那么三个绝对值相加的函数图像可表示为： y=|u|+|v|+|w|
由此可见，三个绝对值相加的函数图像只是对三个绝对值函数做一个叠加而已，其他没有任何变化。
总之，三个绝对值相加的函数图像是三个绝对值函数叠加而成的一个图像，是一种定义域和值域都是实数集的函数，可以使用一般表达式来进行描述。
通过本文的介绍，我们了解了三个绝对值相加的函数图像的结构和特点，希望大家也能掌握这一知识点，提高数学能力。
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26.7 含绝对值符号的函数+雷刚
第五节 含绝对值符号的函数26.7 含绝对值符号的函数1.形如)(x f y =的函数试一试 如何作出函数21+=x y 的图像？ 根据绝对值的定义，函数21+=x y 可以表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥+=021021x x x x y ，， （1）作当x ≥0时，21+=x y 的图像，即图26.7.1中的射线AC ； （2）作当x >0时，21+-=x y 的图像，即图26.7.1的射线AB ； （3）图26.7.1中的折线BAC 即为函数21+=x y 的图像。
由上面我们可以看出，对于函数)(x f y =，当自变量x 取值互为相反数时，所得到的函数值相等，即)()(x f x f -=，因此函数)(x f =图像就是函数)(x f y =（x ≥0）的图像与)0)((<-=x x f y 的图像的全部，并且函数)(x f 的图像关于y 轴对称。
例1 作函数3412--=x x y 的图像解 因为222x x x ==，所以3412--=x x y 是)(x f y =类型的函数 （1）作出当x ≥0时，3412--=x x y 的图像，这是一个开口向上的抛物线在y 轴右边的部分。
由03412=--x x 可以得知，抛物线与x 轴的交点为（2-，0）和（6，0），与y 轴的交点为（0，－3）.抛物线的顶点坐标为（2，－4），如图26.7.2所示，曲线ABC 就是当x ≥0时，3412--=x x y 的图像； （2）以y 轴为对称轴，作曲线ABC 的对称图形''C AB ；（3）图中的曲线ABC B C ''即为3412--=x x y 的图像由此，我们可以发现： 画函数)(x f y =的图像的一般步骤：①先作出)0)((>=x x f y 的图像；②将)0)((>=x x f y 的图像沿y 轴翻折到y 轴左侧，就得到了函数)(x f y =的图像例2 已知方程1+=ax x ，有一个负根且无一正根，求a 的取值范围分析 可以把等号两边的式子看作是函数，从函数图像入手比较直观地解决问题 解 原方程即ax x =-1，如图26.7.3，在同一坐标系作函数1-=x y 与ax y =的图像 1-=x y 是尖点（0，－1）的“V ”字形折线，而ax y =是过原点斜率为a 的直线，如图虚线OA 是ax y =的一个极根位置，y 轴是它的另一根限位置，易见当1≥a （即直线OA 的向上的方向与x 轴正方向的夹角不小于︒45）时，OA 与1-=x y 的图像交点位于第三 象限，即方程ax x =-1有一个负根且没有正根。
绝对值的十一种常见问题
绝对值的十一种常见问题绝对值是数学中常见且重要的概念，而在使用绝对值时，有一些常见问题需要注意。
以下是绝对值的十一种常见问题及其解答：1. 什么是绝对值？绝对值是一个数与零之间的距离。
绝对值表示一个数的大小，但忽略了它的正负。
2. 如何计算一个数的绝对值？一个数的绝对值可以通过取该数的绝对值函数来计算。
绝对值函数表示为|a|，其中a是一个数。
3. 绝对值函数的图像是什么样子的？绝对值函数的图像呈现V形，开口向上或向下。
图像关于y轴对称，过原点。
4. 绝对值可以为负数吗？不可以，绝对值总是非负的。
无论输入是正数、负数，或零，绝对值的结果都不会是负数。
5. 绝对值可以为零吗？是的，绝对值可以是零。
当输入为零时，绝对值的结果也是零。
6. 如何解决含有绝对值的方程或不等式？含有绝对值的方程或不等式可以分情况讨论来解决。
根据绝对值的定义，将绝对值分开，并根据绝对值的正负情况得出不同的解。
7. 绝对值有哪些常见的性质？- |a| ≥ 0，即绝对值总是非负的。
- |a| = 0 当且仅当a = 0。
- |ab| = |a| |b|，即绝对值的乘积等于各个数的绝对值的乘积。
- |a/b| = |a| / |b|，即绝对值的除法等于被除数和除数的绝对值的除法。
8. 如何求解包含多个绝对值的复杂方程？对于包含多个绝对值的复杂方程，可以将绝对值分情况讨论，并使用不等式或方程来解决每种情况。
9. 绝对值可以用于求解哪些实际问题？绝对值可以用于求解诸如距离、温度变化、利润等实际问题。
它提供了一种对数值的无偏估计。
10. 绝对值存在什么常见误区？一个常见的误区是错误地认为|a + b| = |a| + |b|。
实际上，只有当a和b同时具有相同的符号时，该等式才成立。
11. 绝对值可以应用于复数吗？绝对值可以应用于复数。
对于复数a + bi，其绝对值定义为√(a^2 + b^2)。
希望这份文档能帮助你对绝对值的理解更加深入。
带有绝对值的函数图像怎么画
带有绝对值的函数图像怎么画
最根本的方法就是找绝对值模闹的零点，然后消去绝对值，分段画图像。
最简单的比如y=，x，显然，绝对值内的零点是x=0，那么你就分两
段来讨论，x≤0和x＞0，可得
x≤0时的图像是y=-x，x＞0时毁液的图像为y=x，是个V字形。
复杂一点的比如
y=，(x-1)(x+5)，+，(x-3)(x+4)
可以看到，这里要去除的绝对值符号有两个，因此需要同时判断两个
绝对值符号内代数式的正负。
首先还是找零点，两个绝对值的零点共有四个，分别是x=-5,x=-
4,x=1和x=3，那么你就需要将整个数轴分成5段来考虑，分别是(-∞,-5)、(-5,-4)、(-4,1)、(1,3)和(3,+∞)，分界点带进去算，是多少就是
多少，分段考虑每个绝对值符号内代数式的正负。
比如(-4,1)这个区间，(x-1)(x+5)<0的区间是-5到1，因此，-4到
1这个区间内，(x-1)(x+5)<0成立，而(x-3)(x+4)＜0可得-4到旦余罩3，因此，-4到1区间内，(x-3)(x+4)也是小于0的，因此就消去了绝对值
符号可得在该区间内的函数表达式为
y=-(x-1)(x+5)-(x-3)(x+4)=-2x²-5x+17
原来的绝对值函数在-4到1这个区间内的就是函数y=-2x²-5x+17在
该区间内的一段。
初二数学绝对值函数知识点详解
初二数学绝对值函数知识点详解绝对值函数是初中数学中常见的一种函数类型，也是大家较早接触到的函数之一。
它在图像上以V形展现，更好地帮助我们理解和应用数学知识。
本文将详细探讨初二数学中的绝对值函数及其应用。
一、绝对值函数定义及性质绝对值函数是一个以自变量x为输入，返回其绝对值| x |为输出的函数。
其数学定义如下：f(x) = | x |绝对值函数的图像为一条从原点出发的V形曲线，关于y轴对称。
它的性质如下：1. f(x) ≥ 0，即绝对值函数的输出值永远大于等于零；2. 当x > 0时，f(x) = x，即在正数区间上，绝对值函数的输出等于自变量的值；3. 当x < 0时，f(x) = -x，即在负数区间上，绝对值函数的输出等于自变量的绝对值的相反数。
二、绝对值函数的图像与性质绝对值函数的图像是一条以原点为顶点的V形曲线。
在图像上，我们可以观察到以下性质：1. 绝对值函数的对称轴为y轴，即图像关于y轴对称；2. 当x > 0时，函数图像为一条直线，斜率为1，倾斜向上；3. 当x < 0时，函数图像为一条直线，斜率为-1，倾斜向下；4. 当x = 0时，函数图像通过原点(0,0)。
三、绝对值函数的运算性质绝对值函数具有一些独特的运算性质，我们来逐一了解：1. | a | = | -a |，即任意实数a的绝对值与其相反数的绝对值相等；2. | a · b | = | a | · | b |，即两个实数的乘积的绝对值等于它们的绝对值的乘积；3. | a ± b | ≤ | a | ± | b |，即两个实数的和或差的绝对值小于等于它们的绝对值之和或差值；4. | a + b | ≥ | a | - | b |，即两个实数的和的绝对值大于等于它们的绝对值之差；5. | 1 | = 1，即任意实数1的绝对值等于1。
四、绝对值函数的应用绝对值函数在实际问题中有许多应用，我们举两个例子来说明：1. 温度变化问题：假设某地初始温度为10摄氏度，随着时间的推移，温度每小时上升2摄氏度。
【高中数学】绝对值函数的图像
1.一个绝对值函数图像（“V ”函数）y m a x =-
2.二个绝对值函数()()f x a x m b x n m n =-+-< 其它可以化为这种形式 写成分段形式()()()(),,,a b x am bn x n f x a b x am bn m a b x am bn x x n m +-->⎧⎪=--+⎨⎪-+++<⎩
从图中可以得到一些有用的结论：
当0a b +=时，()f x 有最大值和最小值
当0a b +>时，()f x 有最小值
当0a b +<时，()f x 有最大值
都在分界点取最值！
分三大类0,0,0a b a b a b +=+>+<共8个图
①当0a b +=时有两种情形
【高中数学】绝对值函数的图像
a b+>时有三种情形
②当0
a b+<时有三种情形
③当0
注：对于三个以上的绝对值函数图像，用同样的方法可以得到。
（高考很难见到！）三个以上绝对值配合图像求最值：奇尖偶平，取中间。
含绝对值函数的图象
含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数 1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y kx b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12kx b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．【解析】（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论；（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集．解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b 所求函数表达式为3242y x =-++．（2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示，由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12kx b x +＞的解集是：60x -<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数 （一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y ＝﹣x 2+2|x |+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m ＝ ．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x 2+2|x |+1＝0有 个实数根；②关于x 的方程﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是 ．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x ＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①由图象得：抛物线与x轴有两个交点∴方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根；故答案为2；。
高考数学基础知识综合复习专题1含绝对值的函数课件
答案 [-1,
2+1
]
2
的取值范围是
.
解析 因为|bx-a|≤b-ax2,且 b>0,所以丨 x- 丨≤1- x2.令 t= ,则原不等
式为|x-t|≤1-tx2,即 tx2-1≤x-t≤1-tx2,
+1
1
且
t≥,
2 +1
+1
2+1
t∈[-1,
].
(ⅲ)当a>1时,因为x∈[-1,1],
1
2
1
4
所以 f(x)=|x2-a|+|a2-x|=a-x2+a2-x=-(x+ )2+a2+a+ ,
1
1
2
此时 M=f(- )=a +a+ ,
2
4
1
3
2 + + ≤ 4,
4
由
得 1<a≤ .
2
> 1,
3
2
综上所述,a 的取值范围为[-1, ].
5.(2020年1月浙江学考)设a,b∈R,函数f(x)=ax2+bx-3,g(x)=|x-a|,
.
答案 2+2 3
解析 因为函数f(x)=|x2+ax-2|-6在[2,b]上恰有两个零点,则必在x=2
与x=b时恰好取到零点的边界.
若x=2,f(x)的零点满足f(2)=|22+2a-2|-6=0,解得a=2或a=-4.
当a=2时,f(x)=|x2+2x-2|-6,满足f(x)在[2,b]上恰好有两个零点,则
绝对值函数的像和性质
绝对值函数的像和性质绝对值函数是一种常见的数学函数，以符号“|x|”表示。
它的定义如下：对于任意实数x，当x≥0时，|x| = x；当x<0时，|x| = -x。
绝对值函数的像是指函数所映射的值的集合。
在讨论绝对值函数的像之前，我们先来讨论一下绝对值函数的性质。
性质一：非负性绝对值函数的值永远是非负数，即对于任意实数x，有| x | ≥ 0。
性质二：对称性绝对值函数具有对称性，即对于任意实数x，有| x | = | -x |。
性质三：三角不等式绝对值函数满足三角不等式，即对于任意实数x和y，有| x + y | ≤ |x | + | y |。
性质四：单调性绝对值函数在自变量同号的情况下是单调递增的，即若x₁≥ x₂，则有| x₁ | ≥ | x₂ |。
绝对值函数的像是由函数的定义决定的，即对于给定的自变量集合，函数的像就是所有可能的函数值集合。
下面以一些具体的例子来说明绝对值函数的像和性质。
例子一：考虑绝对值函数| x |，当给定自变量集合为[-3,3]时，即x的取值范围为-3到3之间。
根据绝对值函数的定义，可以得到函数的值集合为[0,3]。
因为对于[-3,3]内的任意x值，都有|x|≥0，且最大值为3。
例子二：考虑绝对值函数| x - 2 |，当给定自变量集合为[-4,4]时，即x的取值范围为-4到4之间。
根据绝对值函数的定义，可以得到函数的值集合为[0,4]。
因为对于[-4,4]内的任意x值，都有|x - 2 |≥0，且最大值为4。
绝对值函数的像与自变量的范围密切相关。
在例子一和例子二中，当自变量范围加大时，函数的值集合也会相应地扩大。
绝对值函数还有一些重要的应用，比如在计算机科学、物理学等领域。
在计算机科学中，绝对值函数常常用于计算两个数之间的距离或差值。
在物理学中，绝对值函数常常用于表示与原点距离的物理量，例如速度的绝对值表示速度的大小。
综上所述，绝对值函数具有非负性、对称性、三角不等式和单调性等性质。
探究绝对值函数的图像与性质
探究绝对值函数的图像与性质绝对值函数是我们在数学中经常遇到的一种函数形式。
它的图像和性质在数学的学习中具有重要的意义。
本文将探究绝对值函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和运用这一函数。
首先，我们来了解一下绝对值函数的定义。
绝对值函数通常用符号“|x|”表示，其中x可以是任意实数。
绝对值函数的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
绝对值函数的定义可以简单地理解为，它的值就是x的绝对值，即无论x是正数还是负数，它的绝对值都是正数。
接下来，我们来探究绝对值函数的图像。
为了更好地理解，我们可以通过绘制函数图像来观察其特点。
我们以y=|x|为例，绘制其图像。
首先，我们将x轴分为两个区间：x≥0和x<0。
在x≥0的区间内，绝对值函数的值与x的值相等，因此图像为一条通过原点的斜率为1的直线。
在x<0的区间内，绝对值函数的值与x的值相反，即取相反数，因此图像为一条通过原点的斜率为-1的直线。
当x=0时，绝对值函数的值为0，因此图像在原点处有一个拐点。
综上所述，绝对值函数的图像是一条以原点为拐点的V字形曲线。
除了通过绘制图像来观察绝对值函数的特点，我们还可以通过分析函数的性质来深入理解。
首先，我们来讨论绝对值函数的奇偶性。
绝对值函数是一个奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
这是因为当x>0时，绝对值函数的值等于x，而当x<0时，绝对值函数的值等于-x。
因此，绝对值函数关于原点对称，即图像在原点处对称。
接下来，我们来讨论绝对值函数的单调性。
在x≥0的区间内，绝对值函数是递增的，即随着x的增大，函数的值也增大。
在x<0的区间内，绝对值函数是递减的，即随着x的减小，函数的值也减小。
这是因为在x≥0的区间内，绝对值函数的值与x的值相等，而在x<0的区间内，绝对值函数的值与-x的值相等。
此外，绝对值函数还具有一个重要的性质，即绝对值函数的最小值为0。
这是因为绝对值函数的定义中，当x=0时，函数的值为0。
带绝对值的三角函数研究
带绝对值的三角函数研究绝对值函数是一个常见的数学函数，用来计算一个数的绝对值。
三角函数是用来描述角度和比例的函数。
在数学中，有时候需要研究带绝对值的三角函数，这类函数通常包含绝对值和三角函数的组合。
本文将对带绝对值的三角函数进行研究。
首先，我们来研究带绝对值的正弦函数。
带绝对值的正弦函数可以定义为：sin(x)其中，x为角度。
正弦函数在0到π之间为正值，而在π到2π之间为负值，所以带绝对值的正弦函数的图像为两个正弦函数的叠加，一个在0到π之间，一个在π到2π之间。
这种叠加的图像有一个特点，就是在π/2和3π/2两个点处，函数值会突变。
具体来说，在这两个点处，带绝对值的正弦函数的值从正变为负，或者从负变为正。
接下来，我们来研究带绝对值的余弦函数。
带绝对值的余弦函数可以定义为：cos(x)其中，x为角度。
余弦函数在π/2到3π/2之间为负值，而在其他区间为正值，所以带绝对值的余弦函数的图像为两个余弦函数的叠加，一个在π/2到3π/2之间，一个在其他区间。
与带绝对值的正弦函数不同的是，带绝对值的余弦函数的值在π/2和3π/2两个点处不会突变，而是保持为0。
除了带绝对值的正弦函数和余弦函数，我们还可以研究带绝对值的正切函数和余切函数。
带绝对值的正切函数可以定义为：tan(x)其中，x为角度。
正切函数在0到π/2之间为正值，而在π/2到π之间为负值，在π到3π/2之间为正值，以此类推。
带绝对值的正切函数的图像可以看作是无数个正切函数在π/2,π,3π/2等点处垂直反转后的叠加。
cot(x)其中，x为角度。
余切函数与正切函数的特性相似，只是在各个区间的正负值相反。
带绝对值的余切函数的图像可以看作是无数个余切函数在0,π/2,π等点处垂直反转后的叠加。
综上所述，带绝对值的三角函数可以通过不同区间内的三角函数的叠加得到。
它们的图像具有特殊的形状和特性，包括在一些点处的突变和保持为0的特点。
这些特性使得带绝对值的三角函数在数学和应用中具有重要的作用，并且可以用来描述各种现象和问题，如波浪的形状和变化、电信号的幅度和相位差等。
带有绝对值符号的方程解法(1)
若a≤b，则|a|≤|b|。
绝对值函数图像
01
绝对值函数y=|x|的图像是一条折线，顶点在原点，两边分别 与x轴正半轴和y轴正半轴重合。
02
当x≥0时，y=x；当x<0时，y=-x。
03
绝对值函数图像关于y轴对称。
02
一元一次绝对值方程解法
方程类型及解法思路
类型一
01
$|ax+b|=c$，其中$aneq0$，$cgeq0$
实例分析与求解过程
• 实例二：解方程组$\left{ \begin{array}{l} |x + y - 3| + |x - y + 1| = 6 \ x + 2y = 4 \end{array} \right.$。
• 分析：这是一个多元绝对值方程组，可以将其化为四个分段函数进行求 解。
• 求解过程：根据绝对值的性质，将方程组化为四个分段函数组，然后分 别求解每个分段函数组。解得$\left{ \begin{array}{l} x = \frac{8}{3} \ y = \frac{2}{3} \end{array} \right.$或$\left{ \begin{array}{l} x = 0 \ y = 2 \end{array} \right.$或$\left{ \begin{array}{l} x = \frac{4}{3} \ y = \frac{8}{3} \end{array} \right.$。经检验，所有解均符合原方程组 。
高次绝对值方程类型及解法
类型一
形如$|x^n| = a$（$n geq 2$，$a > 0$）的高 次绝对值方程。
类型二
形如$|x^n - b| = c$（$n geq 2$，$b, c in R$ ）的高次绝对值方程。