约束和广义坐标解析
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xi xi q1, q2, , qs ,t , yi yi q1, q2, , qs ,t , i 1, 2 , n s 3n zi zi q1, q2, , qs ,t ,
特点:注重力 F 和加速度 a 的运动规律
运动微分方程
求解质点（质点组）
优点：直观性强。缺点：处理质点组问题，特别是受约束问题特别复杂
分析力学用严格的数学分析方法研究力学问题
特点：注重具有广泛意义的“能量”，扩大坐标概念，引入“广义坐标” 便于研究受约束质点组的力学问题
优点：：（1）巧妙的消去“理想约束”，减少了方程组中未知量的个数； （2）观点高，理论完整，涉及范围广，内容丰富 形成许多专门分支 （3）“能量”，“广义坐标” 用于场的研究 量子力学，相对论， 统计物理
Fra Baidu bibliotek速度约束
微分约束
运动约束
经积分可以消去坐标导数 不能经积分消去坐标导数
几何约束（完整约束） 非完整约束
14
2、定常约束和不定常约束 （1）定常（稳定）约束：约束方程中不显含时间
f x, y, z 0 f x, y, z; x, y, z 0
（2）不定常（不稳定）约束：约束方程中显含时间
z 0
l
y
几何约束 位置约束
完整约束 完整系
13
（2）非完整（运动）约束－对体系的位置和速度都进行限制的约束
约束方程：f x, y, z; x, y, z 0或f x, y, z; x, y, z,t 0
Example:圆盘在竖直平面内沿水平直线的纯滚动
xc R
运动约束
q1, q2, , qs 称为该体系的广义坐标.常记作 qi i 1, 2, , s .
广义速度 q i ，广义加速度 qi.
18
说明
1. 广义坐标中的”坐标”的含义已超出几何学的范畴,它的真正含义 就是”独立参量”； 2. 广义坐标可以是线坐标,也可以是角坐标或其他物理量,如面积、 体积、电极化强度、磁化强度等；
一个自由质点
0
n个自由质点
0
n个非自由质点
k
自由度 3 3n 3n-k
独立坐标数目
3
3n 3n-k
=s
17
因此，我们完全可以用s个独立坐标确切的描述力学体系的位 置,这些独立量不一定是质点的笛卡儿坐标，有时选择某一种 其他坐标会更加方便,于是,人们提出了广义坐标的概念.
广义坐标:足以描述(具有s个自由度的)系统位置的任意量
9
牛顿力学
分析力学
代表人物 运动方程
计算方法 描述系统运动状
态的量 研究约束运动时
牛顿 牛顿方程
矢量计算 坐标、动量
给出约束力及约束方程
拉格朗日、哈密顿 拉格朗日方程 哈密顿方程 数学分析
广义坐标、广义动量
无需给出约束力及约束 方程
基本物理量
加速度、力
能量或功
与非力学系统的 联系
不易看出
易于推广
10
d 2r m dt2
F合力
F主动力 R约束力
难点约束力不能事先就给出确切的表达式，而是取决于约束
本身的性质、主动力和物体的运动状态。
4
牛顿力学 局限一：
m d2r dt 2
F合力
实际工程技术中迫 切需要解决的问题
必须知道作用在物体上的所有的力——合力
联立 求解
对于非自由质点，即约束运动，运动方程为：
f x, y, z,t 0 f x, y, z; x, y, z;t 0
Example:单摆
x2
y2
l2
0
为定常约束
z 0
若悬点以匀速v沿x轴运动
x vt 2 y2 l2 0
为不定常约束
z 0
15
3、双侧约束和单侧约束
(1)双侧(不可解)约束：体系始终不可脱离的约束（等式）
6
分析力学 优势一：
约束越多
自由度越少
独立坐标越少 （引入广义坐标） 广义坐标越少
满足的动力学方程越少
方程越好解
拉格朗日方程
问题越好解决
7
分析力学 优势二： 加速度、力等矢量 力学特色 牛顿主义 动能、势能等能量 分析力学
电动力学 量子力学 统计物理 相对论
8
牛顿力学以牛顿定律为基础，借助矢量和几何图形研究力学问题
那么, 分析力学到底是什么样子地? 从一个个新的概念入手,慢慢接近了解它!
11
二、约束及分类
对于质点组,或称为力学体系:
n个自由质点
独立坐标数目=3n
若受到约束
独立坐标数目<3n
约束：对力学体系中质点的位置和速度所施加的限制条件 约束方程：对限制条件的数学表达式
根据限制条件的性质将约束进行分类:
12
1、完整约束和非完整约束
与速度无关
（1）完整（几何）约束－仅限制体系在空间的几何位置的约束
约束方程： f x, y, z 0或f x, y, z,t 0
常见的完整约束：质点被约束在某一曲线或曲面上运动，则约束方程就是 该曲线或曲面的方程。
x
Example:单摆
x2 y2 l2 0
第一章 拉格朗日(Lagrange)方程
§1-1 约束和广义坐标
一、牛顿力学的局限性和分析力学的建立：回顾几个概念
(1)物体受力
主动力: 促使物体运动或有运动趋势的力,如: 重力、风力等
约束力: 限制物体运动或有运动趋势的力,如:
1
示 例 (1)
W
FRA
FRB
2
示 例 (2)
3
(2)牛顿运动方程
3. 相应的，广义速度 q i 既可以是线速度，也可以是角速度，或者
其他物理量对时间的变化；
4. 为描述同一系统，广义坐标的选择并不是唯一的，一般地，有许 多组广义坐标都可以完全确定一个给定系统的状态.如何选择最合适 的一组广义坐标——多做练习积累经验。
19
5. n个质点形成的力学体系的3n个非独立坐标(一般是笛卡儿坐标)可 以用s个独立的广义坐标表示出来:
d 2r m dt2
F主动力 R约束力
约束方程
其显式的得到一般很困难！ 用约束方程表示约束情况!
约束越多,列出的方程越多!方程越不好解！
5
牛顿力学 局限二： 力学现象 内在联系 非力学现象（如电磁学等）
牛顿方程 表述方法不同 麦克斯韦方程组 不易找到内在联系
综上，很自然地促使人们探究力学的其他表述形式 —— 分析力学
Example:单摆
x2 y2 l2 0
z 0
(2)单侧(可解)约束：体系可在某个方向脱离的约束(不等式)
Example:单摆中用柔绳代替刚性杆:
x2 y2 l2 0 z 0
今后仅讨论完整、不可解约束力学体系的运动问题.
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三、广义坐标
体系 受到（完整）约束数目
特点:注重力 F 和加速度 a 的运动规律
运动微分方程
求解质点（质点组）
优点：直观性强。缺点：处理质点组问题，特别是受约束问题特别复杂
分析力学用严格的数学分析方法研究力学问题
特点：注重具有广泛意义的“能量”，扩大坐标概念，引入“广义坐标” 便于研究受约束质点组的力学问题
优点：：（1）巧妙的消去“理想约束”，减少了方程组中未知量的个数； （2）观点高，理论完整，涉及范围广，内容丰富 形成许多专门分支 （3）“能量”，“广义坐标” 用于场的研究 量子力学，相对论， 统计物理
Fra Baidu bibliotek速度约束
微分约束
运动约束
经积分可以消去坐标导数 不能经积分消去坐标导数
几何约束（完整约束） 非完整约束
14
2、定常约束和不定常约束 （1）定常（稳定）约束：约束方程中不显含时间
f x, y, z 0 f x, y, z; x, y, z 0
（2）不定常（不稳定）约束：约束方程中显含时间
z 0
l
y
几何约束 位置约束
完整约束 完整系
13
（2）非完整（运动）约束－对体系的位置和速度都进行限制的约束
约束方程：f x, y, z; x, y, z 0或f x, y, z; x, y, z,t 0
Example:圆盘在竖直平面内沿水平直线的纯滚动
xc R
运动约束
q1, q2, , qs 称为该体系的广义坐标.常记作 qi i 1, 2, , s .
广义速度 q i ，广义加速度 qi.
18
说明
1. 广义坐标中的”坐标”的含义已超出几何学的范畴,它的真正含义 就是”独立参量”； 2. 广义坐标可以是线坐标,也可以是角坐标或其他物理量,如面积、 体积、电极化强度、磁化强度等；
一个自由质点
0
n个自由质点
0
n个非自由质点
k
自由度 3 3n 3n-k
独立坐标数目
3
3n 3n-k
=s
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因此，我们完全可以用s个独立坐标确切的描述力学体系的位 置,这些独立量不一定是质点的笛卡儿坐标，有时选择某一种 其他坐标会更加方便,于是,人们提出了广义坐标的概念.
广义坐标:足以描述(具有s个自由度的)系统位置的任意量
9
牛顿力学
分析力学
代表人物 运动方程
计算方法 描述系统运动状
态的量 研究约束运动时
牛顿 牛顿方程
矢量计算 坐标、动量
给出约束力及约束方程
拉格朗日、哈密顿 拉格朗日方程 哈密顿方程 数学分析
广义坐标、广义动量
无需给出约束力及约束 方程
基本物理量
加速度、力
能量或功
与非力学系统的 联系
不易看出
易于推广
10
d 2r m dt2
F合力
F主动力 R约束力
难点约束力不能事先就给出确切的表达式，而是取决于约束
本身的性质、主动力和物体的运动状态。
4
牛顿力学 局限一：
m d2r dt 2
F合力
实际工程技术中迫 切需要解决的问题
必须知道作用在物体上的所有的力——合力
联立 求解
对于非自由质点，即约束运动，运动方程为：
f x, y, z,t 0 f x, y, z; x, y, z;t 0
Example:单摆
x2
y2
l2
0
为定常约束
z 0
若悬点以匀速v沿x轴运动
x vt 2 y2 l2 0
为不定常约束
z 0
15
3、双侧约束和单侧约束
(1)双侧(不可解)约束：体系始终不可脱离的约束（等式）
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分析力学 优势一：
约束越多
自由度越少
独立坐标越少 （引入广义坐标） 广义坐标越少
满足的动力学方程越少
方程越好解
拉格朗日方程
问题越好解决
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分析力学 优势二： 加速度、力等矢量 力学特色 牛顿主义 动能、势能等能量 分析力学
电动力学 量子力学 统计物理 相对论
8
牛顿力学以牛顿定律为基础，借助矢量和几何图形研究力学问题
那么, 分析力学到底是什么样子地? 从一个个新的概念入手,慢慢接近了解它!
11
二、约束及分类
对于质点组,或称为力学体系:
n个自由质点
独立坐标数目=3n
若受到约束
独立坐标数目<3n
约束：对力学体系中质点的位置和速度所施加的限制条件 约束方程：对限制条件的数学表达式
根据限制条件的性质将约束进行分类:
12
1、完整约束和非完整约束
与速度无关
（1）完整（几何）约束－仅限制体系在空间的几何位置的约束
约束方程： f x, y, z 0或f x, y, z,t 0
常见的完整约束：质点被约束在某一曲线或曲面上运动，则约束方程就是 该曲线或曲面的方程。
x
Example:单摆
x2 y2 l2 0
第一章 拉格朗日(Lagrange)方程
§1-1 约束和广义坐标
一、牛顿力学的局限性和分析力学的建立：回顾几个概念
(1)物体受力
主动力: 促使物体运动或有运动趋势的力,如: 重力、风力等
约束力: 限制物体运动或有运动趋势的力,如:
1
示 例 (1)
W
FRA
FRB
2
示 例 (2)
3
(2)牛顿运动方程
3. 相应的，广义速度 q i 既可以是线速度，也可以是角速度，或者
其他物理量对时间的变化；
4. 为描述同一系统，广义坐标的选择并不是唯一的，一般地，有许 多组广义坐标都可以完全确定一个给定系统的状态.如何选择最合适 的一组广义坐标——多做练习积累经验。
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5. n个质点形成的力学体系的3n个非独立坐标(一般是笛卡儿坐标)可 以用s个独立的广义坐标表示出来:
d 2r m dt2
F主动力 R约束力
约束方程
其显式的得到一般很困难！ 用约束方程表示约束情况!
约束越多,列出的方程越多!方程越不好解！
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牛顿力学 局限二： 力学现象 内在联系 非力学现象（如电磁学等）
牛顿方程 表述方法不同 麦克斯韦方程组 不易找到内在联系
综上，很自然地促使人们探究力学的其他表述形式 —— 分析力学
Example:单摆
x2 y2 l2 0
z 0
(2)单侧(可解)约束：体系可在某个方向脱离的约束(不等式)
Example:单摆中用柔绳代替刚性杆:
x2 y2 l2 0 z 0
今后仅讨论完整、不可解约束力学体系的运动问题.
16
三、广义坐标
体系 受到（完整）约束数目