约束和广义坐标解析

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1-1_约束和广义坐标解析

几何约束位置约束完整约束完整系
l
y
（2）非完整（运动）约束－对体系的位置和速度都进行限制的约束
约束方程：f x, y, z; x , y , z , y , z 0或f x, y, z; x , t 0
Example:圆盘在竖直平面内沿水平直线的纯滚动
c R x
3、双侧约束和单侧约束
(1)双侧(不可解)约束：体系始终不可脱离的约束（等式）
x2 y 2 l 2 0 Example:单摆 z 0
(2)单侧(可解)约束：体系可在某个方向脱离的约束(不等式)
Example:单摆中用柔绳代替刚性杆:
x2 y 2 l 2 0 z 0
分析力学优势一：约束越多自由度越少
独立坐标越少
广义坐标越少
（引入广义坐标）
满足的动力学方程越少拉格朗日方程方程越好解
问题越好解决
分析力学优势二：加速度、力等矢量动能、势能等能量力学特色牛顿主义分析力学
电动力学
量子力学
统计物理
相对论
牛顿力学以牛顿定律为基础，借助矢量和几何图形研究力学问题
f x, y, z, t 0 , y , z ; t 0 f x, y, z; x
x2 y 2 l 2 0 Example:单摆为定常约束 z 0 2 x vt y2 l 2 0 若悬点以匀速v沿x轴运动为不定常约束 z 0
xi xi q1 , q2 , , qs , t , yi yi q1 , q2 , , qs , t , zi zi q1 , q2 , , qs , t ,
或:

广义坐标和约束体系

广义坐标和约束体系在物理学和工程学中，广义坐标和约束体系是描述多体系统运动的重要工具。

广义坐标是一组描述系统状态的独立变量，而约束体系则是一组将系统中各个部分联系在一起的条件。

本文将介绍广义坐标的概念和应用，并探讨约束体系在多体系统动力学中的作用。

一、广义坐标的概念和应用在传统的牛顿力学中，我们常常使用笛卡尔坐标系来描述物体的位置和运动。

然而，在复杂的多体系统中，使用笛卡尔坐标系来描述每个质点的运动往往变得非常复杂。

为了简化问题，引入广义坐标的概念就显得尤为重要。

广义坐标是一组相互独立的变量，它们可以用来描述系统的状态。

与笛卡尔坐标不同的是，广义坐标可以是质点的位置坐标、质点的广义速度、质点的质心位置、刚体的欧拉角等等。

通过引入广义坐标，我们可以用更简洁的方式描述系统的状态，简化求解的过程。

广义坐标的应用十分广泛。

在理论物理中，广义坐标常常用于构建拉格朗日力学和哈密顿力学的数学框架。

在工程学中，广义坐标常常用于描述机械系统中各个零件的运动和变形。

例如，通过引入关节的旋转角度作为广义坐标，可以简化机械臂的运动学分析。

二、约束体系在多体系统动力学中的作用在多体系统中，各个质点之间通常存在一定的约束关系。

这些约束条件可以是几何约束（如刚度约束、长度约束等）或非几何约束（如速度约束、加速度约束等）。

约束体系是将约束条件用方程形式表示的系统。

约束体系在多体系统动力学中发挥着重要作用。

它可以用来限制系统的自由度，从而简化问题的求解。

通过引入拉格朗日乘子的方法，我们可以将约束条件与系统的动力学方程相结合，得到描述系统运动的广义拉格朗日方程。

在这个过程中，广义坐标发挥了重要的作用，它将系统状态映射到一个更简洁的空间中。

约束体系还可以用来分析系统的稳定性和振动特性。

通过线性化约束方程，我们可以得到系统的模态分析，从而了解系统的固有振动频率和模式形态。

这对于设计和优化振动系统非常重要。

三、结论广义坐标和约束体系在多体系统的描述和分析中起到了至关重要的作用。

2广义坐标、虚位移原理及动力学普遍方程

一、广义坐标与虚位移原理在推出普遍动力学定理时，我们用的是直角坐标来表示质点系的运动。

一般地说用直角坐标来表示质点系的运动并不总是方便的，特别是研究多自由度的非自由质点系动力学问题中，如果采用广义坐标来研究则方便得多。

下面我们先讨论一下约束方程与约束的分类（理想约束） 1）、约束方程与约束的分类在静力学中，我们已经提过约束的概念。

即限制各质点几何位置或运动的物体称之为为约束，这种约束我们称之为几何约束。

约束——加在质点或质点系上的限制运动条件，也可以用数学方程来表示。

这种方程称之为约束方程。

例如：单摆结构，摆长为l(如图)。

摆锤A 被限制在xy 平面内，绕O 轴，作圆周运动。

(如图)其约束方程可表示为： 222l yx =+可以看出，不论单摆运动到什么位置，A 一定满足上述方程。

又例如，曲柄连杆机构(如图)可以看出A 点(曲柄销)作圆周运动，并且A 点及B 点的位置一旦确定，整个机构的位置就确定了。

对于A 点显然有方程： 22121r y x =+。

由于A ，B 两点的距离永远是l 故我们由∆ABC 中得：221212)(l y x x =+-又 B 点只能在x 轴上运动，故02=y上述三个方程就是曲柄连杆机构的约束方程。

可以看出，上述方程有一个特点，那就是：约束方程不显含时间参数t 。

也就是说，约束是不随时间而改变的。

象这类约束我们称之为谓定常几何约束如果(否则)约束方程显含时间参数t ，则称之为谓非定常几何约束。

例如摆长l 随时间变化的单摆(如图)单摆原长为0l ，拉动绳子的速度为0v (常数)则其约束方程为： 20022)(t v l yx -=+这方程中显含时间t ，所以这种约束是非定常约束。

除了限制质点系位置的几何约束外，还有限制质点系中各质点速度的约束———运动约束。

也就是说，约束方程不但含有坐标参数，而且含有坐标的速度。

例如，一个半径为r 的的车轮，在一平面内只滚不滑(如图)可以看出，C 点y 坐标是不变的，故其几何约束方程为：r y c =又：由于车轮只滚不滑则其接触点的速度为零。

约束的概念与分类

1. 约束的概念与分类 1)约束与约束方程质点系中限制质点运动（位置、速度）的条件称为约束，表为：f x y z xy z t (,,; , , ;)=02)稳定与不稳定约束稳定约束与时间无关：f x y z (,,)=0 不稳定约束与时间相关：f x y z t (,,,)=03)几何与运动约束几何约束亦称位置约束：f x y z t (,,,)=0运动约束又称微分约束：f x y z xy z t (,,; , , ;)=04)可解与不可解约束可解约束：f x y z t (,,,)≤0 不可解约束：f x y z t (,,,)=05)完整系与不完整系完整系：几何、不可解约束系2.广义坐标对n 个质点组成的质点系，约束为：f x y z t i k i (,,,)(,,...,)==012则独立坐标减少为s=3n-k 个，设独立变量为q q q s 12,,...,称为Lagrange 广义坐标。

独立坐标的个数s=3n-k 为系统的自由度。

不独立变量与广义坐标的关系可表为：x x q q q t y y q q q t z z q q q t i n i i s i i s ii s ===⎧⎨⎪⎩⎪=(,,...,,)(,,...,,)(,,...,,)(,,...,)12121212，此s 个广义坐标确定系统位置。

3.虚位移受约束系在运动过程中各质点的位置既要满足运动微分方程，也要满足约束方程。

同时满足两个方程的运动为真实运动，此时在dt 时间间隔内发生的位移称为实位移，记为d r。

只满足约束方程而与时间无关（δt =0）的位移称为虚位移，记为δr ，它并未实际发生，只是想象中可能发生的位移。

显然，实位移d r 是许多虚位移δr 中的一个。

4.理想约束虚功：作用在质点上的力在任意虚位移δr 上所做的功。

理想约束：约束反力在任意虚位移δr 上所做的虚功之和为零，即，R r i i ⋅=∑δ0。

两端约束闭口梁扭转广义坐标法__概述说明

两端约束闭口梁扭转广义坐标法概述说明1. 引言1.1 概述在工程领域中，闭口梁扭转问题一直是一个重要的研究方向。

闭口梁是指两端固定且不受外界力作用的梁结构，而扭转是指梁在受到扭矩作用下发生的变形。

了解闭口梁在受到扭转力矩时的响应和行为对于工程设计和结构安全至关重要。

因此，研究如何准确地预测闭口梁扭转问题一直是学术界和工程实践者们共同的目标。

本文将介绍一种被称为“两端约束闭口梁扭转广义坐标法”的数值求解方法，并详细阐述其原理、实现步骤以及数值求解算法。

通过该方法，我们可以通过建立闭口梁模型并运用广义坐标法进行求解，得出闭口梁在受到扭转力矩时的变形和应力分布情况。

同时，我们还将进行实验验证，并对结果进行分析和讨论，以验证该方法的有效性和准确性。

1.2 文章结构本文共包括五个部分：引言、两端约束闭口梁扭转广义坐标法详解、数值求解方法和算法实现、实验验证与结果分析以及结论与展望。

在引言部分，将介绍本文的研究背景和概述，明确研究目的和意义。

在接下来的部分中，我们将详细阐述两端约束闭口梁扭转广义坐标法的原理，并介绍闭口梁模型的建立过程。

然后，我们将介绍数值求解方法和算法实现的具体步骤，以及进行数值离散化和计算方程组求解的过程。

在实验验证与结果分析部分，我们将设计实验方案，设置相关参数，并对实验结果进行数据分析。

最后，在结论与展望部分，我们将总结研究结果并提出改进展望。

1.3 目的本文旨在通过引入两端约束闭口梁扭转广义坐标法这一数值求解方法，探讨闭口梁在受到扭转力矩时的变形特性和应力情况。

通过详细阐述该方法的原理及其算法实现步骤，并进行实验验证和结果分析，本文旨在提供一种可行且准确预测闭口梁扭转问题的数值模拟方法。

通过本文研究，我们希望能够为工程设计领域提供有关闭口梁扭转问题的重要理论和数值求解方法，为相关工程实践提供参考和指导。

同时，本文也将发掘该数值求解方法的优势和不足之处，并提出改进展望，以促进该领域的进一步研究和发展。

广义坐标

广义坐标所谓约束体系是指其状态在运动过程中受到了某种限制而不能自由变化的体系。

数学上，这意味着描述体系的状态参量——位置和速度——是满足某种关系的，这种关系就称为是约束方程，一般来说它具有如下的形式()()1212,,,,,,,,,,0n nf r r r r r r t f r r t ==K K K K K K K K "" (1) 这里以及以后，在不引起混淆的情况下，我都将把函数中的一组带有下标的自变量缩记为一个不带下标的量。

譬如刚体就是一个特殊的约束体系，因为其中任何两点的距离在运动过程中都是不变的，即const.ab a b r r r =−=K K 。

上一章最后的那个例子也是一个约束问题，在那里，不仅要求下面那个楔形物体只能在水平方向运动[约束方程]，而且还要求两个物体在运动过程中是始终保持接触的[2const.y =()121tan y x x θ=−]。

再比如一个限制在某个曲面上运动的粒子，约束方程就是该曲面的方程，而如果曲面本身又是在空间按给定方式运动——譬如一个粒子在半径以某个给定速度不断增大的球面上的运动——那么约束方程就将显含时间：()()222212312300,,,0f x x x t x x x a v t =++−+= (2) 物体之所以不能自由运动，究其原因是由于对体系施加约束的物体（约束物）提供了一个力，这个力与其他的力的一起作用恰好使得物体只能在约束上运动。

这种由约束物提供的、使得运动物体只能按照给定方式运动的力就称为约束力，而其他的力则都被称为是主动力。

约束力本质上是物体形变后产生的恢复力。

当运动物体挤压、拉伸约束物时，二者都会发生形变，并相互以恢复力作用于对方，这就产生了约束力，如果约束力不够大，则物体的运动将有不遵循约束的趋势，于是就会进一步压迫约束物，约束力也就相应地增大，一直到物体的运动恰好遵循约束为止。

总之，约束力的特点是应运而生的——因运动需要而产生的。

四川大学物理学院理论力学第五章课件 4

x
x
l
lM
M
y
y
y
xA A xA = sint
x
l
M
x2 + y2 = l2
张纪平制作
x2 + y2 ≤ l2
(x − sint)2 + y2 = l2
1
2、约束的分类
x 刚性杆
x
l
l
M
M
y
y
x2 + y2 = l2
x2 + y2 ≤ l2
xA A xA = sint
x
y
M
(x −sint)2 + y2 = l2
O
解：解析法 2个自由度
α
取α、β 为广义坐标
系统所受约束符合虚功原理的适用条件
系统的主动力有 P1, P2 和 F
根据虚功原理,
P1iδ rC + P2 iδ rD + F iδ rB = 0
建立坐标系
P1δ xC + P2δ xD + Fδ yB = 0
张纪平制作
A
β
F
O
B
α
y
C
l1 β
P1 A l2
F
x
D P2 B
18
P1δ xC + P2δ xD + Fδ yB = 0
yB = l1 cosα + l2 cos β
xC
=
1 2
l1 sin α
O
α
y
C
l1 β
xD
=
l1 sin α
+
1 2
l2
sin
β

1-1&2约束及约束方程、自由度和广义坐标

前面所举的例子均为定常约束。
§1-2 自由度和广义坐标
确定具有完整约束质点系的位置的独立参数的个数称为质点系的自由度数。质点系的自由度数。例如，图1 例如，图1-5两刚性杆连接两小球组成的双摆，确定两小球位置的直角坐标为它们必须满足下面两个约束方程
可见有两个独立坐标，即质点系有两个自由度。确定一个质点系位置的独立参数选取一般不是唯一的，如上述双摆，可以选中的任意两个作为独立参数，也可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下，质点系的广义坐标在完整约束的情况下，的数目等于自由度数。的数目等于自由度数。如果以表示一非自由质点系的广义坐标，则各质点的直角坐标都可以写成这些广义坐标的函数。对于完整、双面和定常约束，可以写成如下的函数形式
第一章虚位移定理
§1-1 约束及约束方程
在几何静力学中，我们将限制某物体位移的周围物体称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用，现在从运动学角度来看约束的作用，一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种限制条件称为该质点系的约束。限制条件称为该质点系的约束。例如，圆球被限制在水平面上做纯滚动，这是约束表现为限制圆球中心到水平面的距离保持不变；圆球与水平面接触点的速度在每瞬时都为零。在一般情况下，约束对质点系运动的限制可以通过质点系各质点的坐标或速度的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程。约束方程。

广义坐标自由度自由度

非定常几何约束若约束方程中明显包含时间t，这种约束就称为非定常几何约束。
v
x2 y 2 z 2 l0 vt
2
1, y 1, z n , y n , z 1,x n , t ) 0 f j ( x1, y1, z1 xn , yn , zn , x
( j 1, 2, s )
（2）定常约束与非定常约束定常约束当约束方程中都不包含时间t时，这种约束称为定常约束。定常几何约束 z
O
l
y A
约束方程的一般形式：
x
1, y 1, z n , y n , z 1, x n ) 0 f j ( x1, y1, z1 xn , yn , zn , x
它们被用于描述刚体的位形。
4.受约束刚体的自由度
设刚体数为n，则 k = 6n -S
4、约束刚体的自由度与广义坐标
约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广义坐标数。
刚体约束情况刚体上一轴被固定（定轴转动）刚体上一点被固定（定点运动）刚体被限制作平面平行运动（平面运动）刚体被限制作平行移动（平移）自由度 1
三、广义坐标、自由度
1、基本概念自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数
自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数. 空间质点: k 3n s,
平面质点:
k 2n s ,
广义坐标：用以确定质点系位置的独立参变量
与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标.
自由度为k，取广义坐标： q1 , q2 qk 一般地： n个质点，

运动学-约束自由度广义坐标-分析运动学

非定常的非完整约束
7
广义坐标与自由度
•自由度数（degree of freedom)：自由度数（：自由度数确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。独立坐标的个数确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。问题：问题： M 一个自由质点的自由度是多少？一个自由质点的自由度是多少？ 3 一个自由平面运动刚体的自由度是多少？一个自由平面运动刚体的自由度是多少？3 一个自由空间运动刚体的自由度是多少？6 一个自由空间运动刚体的自由度是多少？的自由度数。例：求图示受约束质点M的自由度数。求图示受约束质点的自由度数自由度：自由度： k
ψ
(θ , ϕ ) ; (θ ,ψ ) ; (ϕ ,ψ )
对于完整、双面约束的质系，自由度为，对于完整、双面约束的质系，自由度为k，则: 完整的质系 •若选k个广义坐标 q1 , q2 , L, qk ，则各质点的位置矢径：则各质点的位置矢径：若选
ri = ri (q1 , q2 , L, qk , t )
z
L
y
x x 2 + y 2 + z 2 = L2
= 3 −1 = 2
• 若有个质点构成的质点系，存在个约束方程，则自由度数为：若有n个质点构成的质点系存在r个约束方程则自由度数为：个质点构成的质点系，个约束方程，问题：若是存在r个约束的个刚体呢？个约束的n个刚体呢 k = 3 n − r 问题：若是存在个约束的个刚体呢？
8
•自由度数（degree of freedom)：自由度数（自由度数：确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。独立坐标的个数确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。问题：若是存在个约束的个刚体呢？个约束的n个刚体呢问题：若是存在r个约束的个刚体呢？问题：静定结构的自由度是多少？问题：静定结构的自由度是多少？

约束的概念与分类

独立坐标的个数s=3n-k 为系统的自由度。

3.虚位移受约束系在运动过程中各质点的位置既要满足运动微分方程，也要满足约束方程。

同时满足两个方程的运动为真实运动，此时在dt 时间间隔内发生的位移称为实位移，记为d r。

只满足约束方程而与时间无关（δt =0）的位移称为虚位移，记为δr ，它并未实际发生，只是想象中可能发生的位移。

显然，实位移d r 是许多虚位移δr 中的一个。

4.理想约束虚功：作用在质点上的力在任意虚位移δr 上所做的功。

理想约束：约束反力在任意虚位移δr 上所做的虚功之和为零，即，R r i i ⋅=∑δ0。

2.Lagrange力学(中科大) 拉格朗日力学

③伺服系统等控制问题中，非线性非完整约束很普遍；但是这里对速度的约束和对变分的约束，需要根据具体问题而定，一般没有确定的关系，没有必要满足 Chetaev 条件、Vacco 条件或者其它什么事先假定的条件。
关于非线性非完整系统力学，后面不再讨论。感兴趣的同学可以参考专著，例如
《非完整动力学研究》，梅凤翔著，北京工业学院出版社，1987。
虚位移为（Jourdain 变分）
⃗ ⃗ ( ) ⃗ ( ) ( ⃗ ( ) ⃗ ( ))
⃗
注意这里的 ⃗ 不需要是无穷小量， ⃗ 的物理意义也不是速度 ⃗̇ 。
(2) 约束条件完整约束和线性非完整约束对 Jourdain 变分的限制分别为
(⃗ ) ⃗ ⃗̇ 注意到 ⃗ 也是可能位移，可得
⃗⃗ ⃗⃗
《非完整系统的运动方程和力学的变分原理——新一类控制问题》，C. A. 杰格日达, Ш. X. 索尔塔哈诺夫, M. П. 尤士科夫著，北京理工大学出版社，2007。
(6) 例题例单摆垂直平面中运动，用 d’Alembert 原理推导运动方程。
解建立坐标系：以向下为轴，水平为轴。
设绳长为，约束条件是
̇
每一个完整约束减少一个位形自由度，非完整约束减少一个独立变分（即运动自由度）。
非线性非完整约束：力学中没有找到实例。在伺服控制问题中，需分析具体模型。位形的约束条件与变分的约束条件之间，没有固定
的关系。
关于非完整系统的说明*
①线性非完整约束在力学范围内没有歧义，这种约束一般来自滚动问题（以及冰刀）。这时从物
��
�� 可以取摆线与垂直方向的夹角为独立广义坐标，
̇
̇
̇
̇
̈
̈
̇
̈
̈
̇

第五章分析力学

代人(3)式得
2P cos
Q cos
Q cos
sin sin
0
是独立的
P Q ctgtg 1
2
四、广义力
1、广义力
主动力的虚功
W
Fi
ri
而其中ri
i
一般不是独立的。
下面将用广义坐标来描述主动力的虚功，来表示
虚功原理。
则：
ri
ri (q1,
q2
qs ,t)
(i 1,2,n)
第五章分析力学
理论力学牛分顿析力矢学量力学
一、分析力学的产生和发展
1. 产生背景十八、九世纪工业革命，手工业生产发展为机器生产，
在工程技术上，从大机器(连杆机构、轮系联动机构等)中提出了许多迫切要求解决的实际问题，很多是属于质点系
(或刚体系)的约束运动问题。机构越复杂设质点数为 n ，约束越多设受k个约束，方程数目越多方程数为3n k，用牛顿
Q 0
α=1、2、……s
上式即为受理想完整约束的力学体系在广义坐标中的平衡方程
3、广义力的物理意义
Q
n i 1
Fi
ri q
n i 1
Fix
xi q
Fiy
yi q
Fiz
zi q
是力学体系诸主动力在广义坐标轴qα上的投影之和。
举例：质点作直线运动
y
取x、y为一般坐标，r为广义坐标。
Fc Qj rC yC j
Q
由，W
n
Fi
ri
0，得
y
i1
Pi (xBi yB j ) Qj yC j
x
A
W Fi ri Px B QyC 0

约束、自由度与广义坐标

n≥4 s 3n 6 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为： n≥4
3.自由刚体的广义坐标刚体的定点运动的描述方法1—欧拉坐标 z3 z2 z1 z0
q
O
绕z0轴转过y角— —进动角 y3
y j
x0
y
j q
y0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2
y1
绕x1轴转过q角— —章动角
绕z2轴转过j角— —自转角
x1 x2
x3
xA , y A ,j xB , y B ,q
A B j
xA OAcos b
y A OAsin b
C
q r
D
y
xB OAcosb AB cosj
yB OAsin b ABsin j
xC rq
yC=yD-r
式中： yD OAsin b AB sin j r (1 cosq ) c2
2.自由刚体的自由度最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体 (形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
k 3 4(质点数) （刚杆数） 6 6
设节点数为n,约束数为s。则写成
k 3n s 6
n=4 此后每增加一个质点就增加3根刚杆。则一般地：
k 3n s
x y z l0 vt
2 2 2
2
v（匀速）
A
f r ( x1, y1, z1 xn , yn , zn ; t ) 0
（3）完整约束与非完整约束约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各质点速度的投影）的约束，称为完整约束。〈1〉位移约束----全部几何约束〈2〉运动约束可积分----如纯滚动的圆轮;

周衍柏著理论力学——第五章分析力学 pdf讲义

xi = xi ( q1 , q2 , L , q s , t ) ⎫ ⎪ yi = yi ( q1 , q2 , L , q s , t ) ⎬ zi = zi ( q1 , q2 , L , q s , t ) ⎪ ⎭ (i = 1, 2, L , n, s < 3n ) (i = 1, 2, L , n, s < 3n) (5.1.8) (5 . 1 . 9 )
3
不可解约束：质点始终不能脱离的约束。如质点始终被曲面约束，即存在约束方程
f ( x, y , z ) = 0 或 f ( x, y , z , t ) = 0 (5.1.3)
约束又可分为几何约束和运动约束。几何约束又叫做完整约束，它只限制质点在空间的位置，因而表现为质点坐标的函数，如
f ( x, y , z ) = 0 或 f ( x, y , z , t ) = 0 (5.1.3)
dr P
δr
7
8
9
三、虚功原理以下讨论只限于不可解约束的情况，设体系在 k 个几何约束下处于平衡状态。由于体系处于平衡状态，所以体系中每一个质点都处于平衡状态。因此任一质点 Pi ，受到主动力的合力 Fi 与约束反力的合力 Ri 满足： (i = 1,2, L , n ) (5.2.3) Fi + Ri = 0 让每一质点在平衡位置发生一虚位移 δr ，则有 Fi ⋅ δr + Ri ⋅ δr = 0 (i = 1,2, L , n ) 上式对各质点求和得：
1
第一节约束与广义坐标
一、约束的概念和分类 1、力学体系：质点的集合，且质点间存在相互作用，每一个质点的运动都和其它质点的位置及运动有关，简称体系。若有 n 个质点，则描述所有质点位置的坐标有 3n 个。 2、约束：限制质点自由运动的条件叫做的约束。约束一般可表示成质点位置、速度和时间的方程。如：

2022年质点系的自由度约束与广义坐标

4. 约束与约束方程 • 某些预先规定的限制条件 • 限制条件的数学形式
5. 几何约束与运动约束 6. 定常约束与非定常约束
f(x,y,z)=0 f(x,y,z,t)=0
7. 双面约束与单面约束
曲柄连杆机构中的滑块
双面定常约束
构成曲柄连杆机构Βιβλιοθήκη z M1(x1,y1,z1)
y
M1(x1,y1)
o M2(x2,y2,z2) y
r=3n-l 不方便。工程的改进方法
适当选择独立变量描述质点系的位置
广义坐标：独立变量
三、广义坐标应用
1、曲柄连杆机构
y M1(x1,y1)
o
M2(x2,y2) x
x1=Rcos y1=Rsin
z1=0
x2Rco s l2R2si2n
y2=0 z2=0
2、双摆锤
oa
x
M1(x1,y1)
b
• 自由度与约束 • 广义坐标 • 应用
一、质点系的自由度与约束
1. 研究非自由质点系的平衡问题 • 用分析的方法 • 构成平衡问题的理论基础——虚位移原理
2. 虚位移原理 • 可简洁处理非自由质点系的静力学问题 • 可与达朗伯原理结合，建立普遍形式的动力学普遍方程
3. 与虚位移原理相关的基本概念 • 自由质点系 • 空间一点的坐标，三个自由度 • n个质点有多少自由度
M2(x2,y2)
y
x1 asi n y1acos
z1 0
x2asinbsi n
y2aco sbco s
z2 0
x o
y M1(x1,y1)
M2(x2,y2) x
M2(x2,y2)
o
x
y M1(x1,y1)

5.1 约束与广义坐标

其它系统自由度位形自由度运动自由度独立速度分量的数目受k个完整约束r个不完整约束含n个质点的质点组位形自由度运动自由度不受任何约束512广义坐标广义坐标的概念含n个质点的质点组受k个完整约束则有k个约束方程
5.1 约束与广义坐标
5.1.1 约束的概念和分类
前面已经介绍过约束的概念：
约束是对物体运动的限制，表现为约束物，约束力，约束方程。以含n个质点的质点组为例，约束方程一般形式为：
10
5.1.2 广义坐标
广义坐标的概念
广义坐标可以是直角坐标(x,y,z)，可以是角度( )，长度(r), 甚至可以是面积、体积、压强、能量等。
凡是能用来描述系统位形的参量都可以选择作为广义坐标。
内部气压 P
11
5.1 约束与广义坐标
12
ri ri (q1, q2 ,...,qs ; t )
yi yi (q1 , q2 ,...,qs ; t ) z z (q , q ,...,q ; t ) i 1 2 s i
iiΒιβλιοθήκη 12si 1,2,...,n
9
这s个独立的坐标 q1 , q2 ,..., qs 称为广义坐标。
竖直圆盘在水平面上做纯滚动
是微分约束
5
5.1.1 约束的概念和分类约束的分类微分约束和几何约束
v

a x
微分约束积分几何约束 a x a C vx 这里的积分无需借助任何物理规律。
沿直线纯滚动的轮子
6
5.1.1 约束的概念和分类
约束的分类
(4) 完整约束与不完整约束利用约束方程，既可消减系统独立坐标变量的数目，也可消减系统独立速度分量的数目，这样的约束是完整约束。所有几何约束，以及可化为几何约束微分约束，都是完整约束。利用约束方程，只能消减系统独立速度分量的数目，这样的约束是不完整约束。不能化为几何约束的微分约束是不完整约束。