工程力学 理论力学 约束、自由度与广义坐标

2.自由刚体的自由度 最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体 (形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
k 3 4(质点数) （刚杆数） 6 6
设节点数为n,约束数为s。则写成
k 3n s 6
n=4 此后每增加一个质点就增加3根刚杆。
k 3n s 则一般地：
x
约束方程:
xO 0
yO 0
三、广义坐标、自由度 1.基本概念
自由度：唯一确定质点系空间位置的独立坐标个数
自由度定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数。 空间质点: k 3n s,
平面质点:
k 2n s ,
广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量 与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标。 自由度为k， 取广义坐标： q1 , q2 qk 一般地： n个质点，
对于由n个自由质点组成的自由质点系，则需要3n个 独立坐标，这3n个的坐标集合称为自由质点系的位形。 (3)约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t之 间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为 约束方程。
3.
约束的分类 几何约束
单摆: O z
l
（1）几何约束与运动约束 y
局部法: 约束方程：
xO 0 yO 0
xO , yO , b xA , y A ,j xD , y D ,q
x
b
A
O
x A OA cos b
y A OA sin b
B j
xB OA cos b AB cosj
q
D
y
yB OA sin b AB sin j
OA cos b AB cosj BD sin q c1
A 如果限制运动的条件仅是 几何性质的，则称为几何约束。
x
x y z l
2 2 2
2
z
M
曲面上的质点：
f ( x, y, z) 0
约束方程的一般形式： x
y
f r ( x1 , y1 , z1 xn , yn , zn ) 0
(r=1,2, ‥ ‥,s)
q r
D B j
xC rq
C
y
yC OA sin b AB sin j r cosq c2
x
整体法: 位形描述
b
A
O
b , j ,q
B j
约束方程:
OA cos b AB cosj BD sin q c1
q
D
y
点D的位置
OA sin b AB sin j BD cosq c2
OA sin b AB sin j BD cosq c2
点D的位置
总计8个约束方程
本例为质点与刚体
y
xA , yA x A , y A ,q
具有同一点
l0
k
x
A
x
广义坐标
q
yA c
q1 x A
q2 q
B
自由度
k 2
问题
本运动机构的自由度
E
B
O 2r
D
w
A
j
2r
l
本运动机构的自由度 O
4.约束方程
n个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：
f r ( x1 , y1 , z1 ,, xn , y n , z n ; x1 , y1 , z1 ,, xn , y n , z n ; t ) 0
(r=1,…,s) 约束方程的个数为：s
静力学问题中涉及的约束都是定常几何约束。
设刚体数为n， 则受约束的空间刚体系的自由度数k = 6n -s
受约束的平面刚体系的自由度数：k=？
5.约束刚体的自由度与广义坐标
约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不 同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广 义坐标数。 刚体约束情况 刚体上一轴被固定 （定轴转动） 刚体上仅一点被固定 （定点运动） 刚体仅被限制作平面平行 运动（平面运动） 自由度 1 3 3 广义坐标
r 1,2,, s
（4）单面约束与双面约束 双面约束：在约束方程中用严格的
O
y
等号表示的约束。
OA为刚性杆： x 2 y 2 z 2 l 2
l
z x A
约束方程的一般形式：
f r x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn , x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn , t 0
本教材研究：定常、双面、完整约束。
例: 平面刚体位形的描述方法和约束方程
1. 刚体基于两点的描述和约束方程 y A 位形描述:
O
xO , yO xA , yA
xO 0
约束方程:
yO 0
x y OA
2 A 2 A 2
x
2. 刚体基于点线的描述和约束方程 y A
O
b
位形描述: xO , yO , b
受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点系。
刚体静力学研究 约束, 是探究约束的 原因-------约束力 运动学研究约束,是 探究约束的结果------运动的限制 y A
x A c1
y A c2
F
O
x
2. 独立坐标、位形空间、约束方程的概念
(1) 坐标
确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这 些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。 (2)位形
局部法 总计8个约束方程
4.广义坐标
广义坐标数为 :3n-s=1, 即: 刚体数:n=3
约束方程数：s=8 选广义坐标为:
C B j
b
A
O
q r
D
q j 或
5.自由度计算
qb
或
q q
自由度
k 3*3 s 1
自由度恒等于广义坐标数
整体法: 位形描述 约束方程:
x
b
A
O
b , j ,q
运动约束
如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为 运动约束。
纯滚动的圆轮：
yC r
y
j
——几何约束
C
x
x jr 0 ——运动约束
x
约束方程的一般形式
f r ( x1 , y1 , z1 xn , yn , zn , x1 , y1 , z1 xn , yn , zn ) 0
约束方程的一般形式为：
f r ( x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn ) 0
r 1,2,, s
约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的 形式的约束称为非完整约束。 运动约束不可积分----碰撞系统,摩擦系统等。
f r ( x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn ; x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn ) 0
wO
A l
j
M
D B
vDE
E
五、 总 结
(1)检查刚体(质点)数目 n。 (2)检查各刚体的运动形式。
(3)列写出约束方程。
(4)计算自由度,确定广义坐标。 (a)空间刚体系 k=6n-s，空间质点系 k=3n-s (b)平面刚体系 k=3n-s, 平面质点系 k=2n-s 实用方法：加锁
大胆的假设 小心的求证
x A OA cos b
xA , y A ,j xB , y B ,q
A B j
y A OA sin b
C
q r
D
y
xB OA cos b AB cosj
yB OA sin b AB sin j
xC rq
yC=yD-r
式中： yD OA sin b AB sin j r (1 cosq ) c2
n≥4 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：
s 3n 6
n≥4
3.自由刚体的广义坐标 刚体的定点运动的描述方法1—欧拉坐标 z3 z2 z1 z0
q
O
绕z0轴转过y角— —进动角 y3
y j
x0
y
j q
y0
y2
y1
绕x1轴转过q角— —章动角
绕z2轴转过j角— —自转角
x1 x2
x3
刚体的定点运动的描述方法2—卡尔丹坐标
x y z l0 vt
2 2 2
2
v（匀速）
A
f r ( x1 , y1 , z1 xn , yn , zn ; t ) 0
（3）完整约束与非完整约束 约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各 质点速度的投影）的约束，称为完整约束。 〈1〉位移约束----全部几何约束 〈2〉运动约束可积分----如纯滚动的圆轮;
O
y
l
z x A
分析本机构的自由度
E
B
O 2r
D A
j
w
2r
l
分析本机构的自由度
O
wO
A
l
j
M D B
vDE
E
单面约束：在约束方程含有不等号表示的约束。 OA为柔绳： x 2 y 2 z 2 l 2 约束方程的一般形式：
f r x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn , x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn , t 0 或 <0
问题