史上最全直线与直线方程题型归纳
直线的方程知识点及题型归纳总结
直线的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 斜率与倾斜角我们把直线y kx b =+中k 的系数k （k R ∈）叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，其斜率不存在。
x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。
倾斜角[)0,απ∈，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是2π的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=。
当0k =时，直线平行于轴或与轴重合；当0k >时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0k <时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k 随的增大而减小； 二、基本公式1. 111222(,),(,)P x y P x y 两点间的距离公式12||PP =2. 111222(,),(,)P x y P x y 的直线斜率公式121212tan (,)2y y k x x x x παα-==≠≠-3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率k 存在且过00(,)x y ，00()y y k x x -=- 注：①当0k =时，0y y =；②当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：直线的斜率k 存在且过(0,)b ，y kx b =+（3）两点式：112121y y x x y y x x --=--，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注：211121()()()()x x y y x x y y --=--可表示经过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的所有直线 （4）截距式：1x ya b+=不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)n A B =是这条直线的一个法向量）题型归纳及思路提示题型1 倾斜角与斜率的计算 思路提示正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式1212y y k x x -=-，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当1212,x x y y =≠时，直线的斜率不存在，倾斜角为90求斜率可用tan (90)k αα=≠，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。
直线与方程知识点及典型例题.docx
第三章直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°2. 直线的斜率① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即 k=tan 。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,α=0°,k = tan0 =0;°当直线 l 与 x 轴垂直时 ,α= 90k°不,存在 .当0,90时， k0 ；当90 ,180时， k0；当90 时，k不存在。
例 .如右图，直线l 1的倾斜角 =30°，直线 l1⊥ l 2，求直线 l1和 l2的斜率 .y解： k1=tan30° =3∵ l1⊥ l2∴ k1· k2 =— 1l13∴ k2 =—32x1例：直线 x 3 y50 的倾斜角是()ol2°°°°②过两点 P1 (x1， y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： k y2y1 ( x1x2 )x2x1注意下面四点：(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与 P1、 P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例 .设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，当 (1) l / / l2(2) l⊥l时分别求出 m 的值111※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
3. 直线方程① 点斜式：y y1k( x x1 )直线斜率k，且过点x1, y1注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是y=y1。
直线与方程经典题型总结(超值)
直线与方程一、 知识要点： 1、直线的斜率：倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即 αtan =k 2、直线的斜率公式：在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)， 由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？P2分别向x 轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q ⊥P2M ，垂足分别是M1、M2、Q ．那么：α=∠QP1P2(图甲)或α=π-∠P2P1Q(图乙)在图甲中：121212tan x x y y Q P QP --==α 在图乙中：xx y y QP QP Q P P --==<-=2121212tan tan α如果P 1P 2向下时，用前面的结论课得：xx y y x x y y --=--=2122121tan α 综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：3、直线的点斜式方程：①其中(00,x y )为直线上一点坐标，k 为直线的斜率。
式方程，简称点斜式。
4、直线斜截式方程：………… ②我们把直线l 与y 轴交点（0，b ）的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距(即纵截距)。
方程②是由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定的，所以叫做直线斜截式方程，简称为斜截式。
5、直线方程的两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 其中2211,,,y x y x 是直线两点),(),,(2211y x y x 的坐标. 6、直线方程的截距式：1=+byax ,其中a ,b 分别为直线在x 轴和y 轴上截距.7、直线方程的一般形式：Ax+By+C=0 （A 、B 不全为0） 8、两条直线的交点坐标： 设两直线的方程是l 1： A 1x+B 1y+C 1=0， l 2： A 2x+B 2y+C 2=0．(2)当A 1B 2-A 2B 1=0时：方程无解，即两直线平行.9、两点间的距离公式：思考题1、如图（1），求两点A （—2，0），B （3，0）间的距离。
史上最全直线与直线方程题型归纳
曲线与曲线圆程之阳早格格创做一、知识梳理1.曲线的倾斜角与斜率：正在仄里曲角坐标系中，对付于一条与x 轴相接的曲线，如果把x 轴绕着接面按顺时针目标转动到战曲线沉适时所转的最小正角记为α，那么α便喊干曲线的倾斜角.当曲线战x 轴仄止或者沉适时，咱们确定曲线的倾斜角为0°.倾斜角的与值范畴是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的曲线，它的倾斜角的正切喊干那条曲线的斜率，时常使用k 表示.倾斜角是90°的曲线不斜率.2.斜率公式：通过二面),(),,(222111y x P y x P 的曲线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=()0不全为、B A7．斜率存留时二曲线的仄止：21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠. 8．斜率存留时二曲线的笔曲：⇔⊥21l l 121-=k k ．9．特殊情况下的二曲线仄止与笔曲:当二条曲线中有一条曲线不斜率时：(1)当另一条曲线的斜率也不存留时，二曲线的倾斜角皆为90°，互相仄止；(2)当另一条曲线的斜率为0时，一条曲线的倾斜角为90°，另一条曲线的倾斜角为0°，二曲线互相笔曲．二、典例粗析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列道法粗确的个数是（ ） ①所有一条曲线皆有唯一的倾斜角； ②倾斜角为030的曲线有且仅有一条； ③若曲线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ； ④如果二曲线仄止，则它们的斜率相等A. 0个B.1个C.2个D.3个 【训练】如果0<AC 且0<BC ，那么曲线0=++C By Ax 短亨过（ ）【例2】如图，曲线l 通过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( )A ．ksinα>0B ．kcosα>0C ．ksinα≤0D ．kcosα≤0【训练】图中的曲线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()．A ．k1＜k2＜k3B ．k3＜k1＜k2C ．k3＜k2＜k1D ．k1＜k3＜k2【例3】通过面()2,1P 做曲线l ，若曲线l 与对接()10—，A ，()1,4B 的线段总有大众面，供曲线l 的倾斜角α与斜率k 的与值范畴. 【训练】已知二面()4,3-A ，()2,3B ，过面()1-2，P 的曲线l 与线段AB 有大众面，供曲线l 的斜率k 的与值范畴.【例4】若曲线l 的圆程为2tan +=αx y ，则（ ）A.α一定是曲线l 的倾斜角 B.α一定不是曲线l 的倾斜角C.α—π一定是曲线l 的倾斜角D.α纷歧定是曲线l 的倾斜角【训练】设曲线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则b a 、谦脚（ ）A.1=+b aB.1=b a —C.0=+b aD.0=b a —题型二：斜率的应用 【例5】若面()()()4,0,0,2,2C a B A ，共线则a的值为_________________.【训练】若三面()()()b C a B A ,0,0,2,2，()0≠ab 共线，则ba11+的值为_____________.【例6】已知真数y x 、谦脚82=+y x ，当32≤≤x 时，供xy 的最大值为_______，最小值为_________________ 【训练】1、若45ln ,23ln ,12ln ===c b a ，则（ ）A.c b a <<B.a b c <<C.b a c <<D.c a b <<2、供函数1212+=x x y —的值域.题型三：二曲线位子闭系的推断已知，二曲线21,l l 斜率存留且分别为21,k k ，若二曲线仄止或者沉合则有21__________k k ，若二曲线笔曲则有21__________k k . 【例7】已知曲线1l 的倾斜角为 60，曲线2l 通过面()3,1，A ，()322—，—B ，推断曲线1l 与2l 的位子闭系.【训练】1、已知面()3,2P ，()5,4Q ,()a A ，—1，()2,2a B 当a 为何值时，曲线PQ 与曲线AB 相互笔曲？2、已知曲线1m 通过面()()3,23—，，a B a A ，曲线2m 通过面()()5,6,3N a M ，，若21m m ⊥，供a 的值.【例8】正在仄里曲角坐标系中，对付Ra ∈，曲线012:012:21=+=+—和—y ax l ay x l （ ）.A 互相仄止 .B 互相笔曲.C 闭于本面对付称 .D 闭于曲线x y —=对付称【训练】曲线()()()()07425084123=++=+++——与—y a x a y a x a 笔曲，供a 的值.题型四：供曲线圆程（一）面斜式【例9】根据条件写出下列曲线的圆程：（1）通过面A(1,2),斜率为2；（2）通过面B （—1,4），倾斜角为 135； （3）通过面C （4,2），倾斜角为 90；（4）通过面D （—3，—2），且与x 轴仄止.已知曲线过一面，可设面斜式【训练】已知ABCAD⊥于D,∆中，()()()0,2，CA，BCB—，46,2，1—供AD的曲线圆程.（二）斜截式【例10】根据条件写出下列曲线的圆程：（1）斜率为2，正在y轴上的截距是5；150，正在y轴的截距为—2；（2）倾斜角为（3）倾斜角为 45，正在y轴上的截距为0.已知斜率时，可设斜截式：3，且与坐标轴围成的三角形周少是12的【训练】供斜率为4曲线l的圆程.（三）截距式【例12】根据条件写出下列曲线的圆程：（1)正在x轴上的截距为—3，正在y轴上的截距为2；（2)正在x轴上的截距为1，正在y轴上的截距为—4；与截距相闭的问题，可设截距式【训练】曲线l过面()3,4P，且正在轴x上的截距之比为1:2，轴、y供曲线l的圆程.（四）二面式【例11】供通过下列二面的曲线圆程：（1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7) 适时应用“二面决定一条曲线”【训练】过面()1,0M 做曲线l ，使他被二条已知曲线04:103:21=+++y x l y x l 和—所截得的线段AB被面M l 的圆程.【例12】1、已知面A （3,3）战曲线l ：2543—x y =.供：（1）通过面A 且与曲线l 仄止的曲线圆程； （2）通过面A 且与曲线l 笔曲的曲线圆程.2、已知三角形三个顶面的坐标分别为A （—1,0），B （2,0），C （2,3），试供AB 边上的下的曲线圆程.(思索：如果供AB 边上的中线、角仄分线呢？）【例13】已知曲线l 的斜率为2，且l 战二坐标轴围成里积为4的三角形，则曲线l 的圆程为________________．【训练】已知，曲线l 通过面（—5，—4），且与二坐标轴所围成的三角形里积为5，则曲线l 的圆程为________________ 【例14】曲线l 不通过第三象限，其斜率为k ，正在y 轴上的截距为b （0≠b ），则（ ）A.00>≤b k 且 B.0<≥b k 且 C.00><b k 且D.00>>b k 且【训练】二条曲线y=ax+b 与y=bx+a 正在共背来角坐标系中的图象位子大概是（ ） A ． B ． C ． D ．三、课后训练<一>采用题：1、若曲线l ：y=kx-3与曲线2x+3y-6=0的接面位于第一象限，则曲线l 的倾斜角的与值范畴（ ）A ．[6π，3π) B ．(6π，2π) C ．(3π，2π) D ．[6π，2π]2、已知曲线l1：（k-3）x+（5-k ）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0笔曲，则K 的值是（ ）A ．1或者3B ．1或者5C ．1或者4D ．1或者23、曲线y=3x 绕本面顺时针转动90°，再背左仄移1个单位，所得到的曲线为（ ）A ．3131+=x y — B ．131+=x y — C ．33—x y = D ．13+=x y<二>挖空题：1、正在仄里曲角坐标系中，如果x 与y 皆是整数，便称面（x ，y ）为整面，下列命题中粗确的是 _________________（写出所有粗确命题的编号）．①存留那样的曲线，既不与坐标轴仄止又不通过所有整面 ②如果k 与b 皆是无理数，则曲线y=kx+b 不通过所有整面 ③曲线l 通过无贫多个整面，当且仅当l 通过二个分歧的整面④曲线y=kx+b 通过无贫多个整面的充分需要条件是：k 与b 皆是有理数⑤存留恰通过一个整面的曲线．2、若面()21—，P 正在曲线l 上的射影为()1,1—Q ，则曲线l 的圆程为__________________.3、正在仄里曲角坐标系xOy 中，过坐标本面的一条曲线与函数f(x)=x2的图象接于P 、Q 二面，则线段PQ 少的最小值是________________. <三>解问题：1、设曲线1l ：11+=x k y ，2l ：12—x k y =，其中真数21,k k 谦脚0221=+•k k ，道明1l 与2l 相接.2、已知曲线圆程为b kx y +=，当[][]13,8,4,3—时—∈∈y x ，供此曲线的圆程.3、当20<<a 时，曲线1l ：422:422222+=+=a y a x l a y ax 与——战二坐标轴围成一个四边形，问a 与何值时，那个四边形的里积最小?并供出最小里积.。
直线与方程常考题型PPT课件
法二：结合图象知点P到两直线的距离相等，
所以列方程求得m即可.
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第三节 点、线综合
2、轴对称
(1)点关于直线对称
若两点P1(x1, y1)与P2 (x2, y2 )关于直线l : Ax By C 0
第二节 两条直线的位置关系
题型三、距离问题
例6、直线l1过A(0,1),l2过B(5,0)，如果l1 // l2, 且l1与l2的 距离为5，求直线l1与l2的方程.
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第三节 点、线综合
题型一、对称问题
1、中心对称
（1）点关于点对称
若点M (x1, y1)及N(x2, y2)关于点P(a,b)对称，则由中点
则点P即为所求.简记为：同侧对称异侧连！
2、在直线l上求一点P，使 PA PB 取得最大值，其方法
与1恰好相反，即：异侧对称同侧连！
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第三节 点、线综合
题型二、几何方法求最值问题
例2、已知直线l：3x y 1 0 (1)在直线l上求一点P，使得点P到A(4,1)和B(0,4) 的距离之和最小； (2)在直线l上求一点Q，使得点Q到A(4,1)和B(0,4) 的距离之差最大；
例3、求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(3,4)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形；
(3)经过点A(3,4)且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.
变式：5、将(3)中“经过点 A(3,4)”改为“斜率为 1”
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第一节 直线的倾斜角、斜率与方 程
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结知识点归纳概括：1.直线的倾斜角为0°≤α<180°，斜率为k=tanα（α≠90°）。
2.已知两点求斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)（x2≠x1）。
3.两直线平行时，它们的斜率相等；垂直时，它们的斜率之积为-1.4.直线的五种方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
5.两直线的交点坐标可通过联立两直线方程求得，两点间距离可用距离公式计算。
题型归纳分析：1.直线的倾斜角与斜率的计算。
2.平行和垂直直线的判断及斜率之间的关系。
3.直线的方程及其应用。
4.两直线交点坐标和两点间距离的计算。
例1：过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1，则a的值为（）。
A。
1B。
4C。
1或3D。
1或4解析：由题意可得，直线MN的斜率为1，即(k=(4-a)/(a+2)=1)，解得a=2，故选B。
变式1：已知点A(1,3)、B(-1,3)，则直线AB的倾斜角是（）。
A。
60°B。
30°C。
120°D。
150°解析：由斜率公式可得，k=(3-3)/(-1-1)=0，因为斜率为0，所以直线与x轴平行，倾斜角为0°，故选A。
变式2：已知两点A(3,2)、B(-4,1)，求过点C(-1.)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。
解析：首先求出AB的斜率k1=(1-2)/(-4-3)=-1/7，然后求出点C到直线AB的距离d，d=|(-1-3)×(-1)+(?-2)×(-4+3)|/√((-4+3)²+(1-2)²)=|4-2×(?-1)|/√5，因为直线l与AB有公共点，所以点C到直线l的距离也为d，根据距离公式可得，|k1×(-1)+1×(?-1)-d|/√(k1²+1²)=d，化简得，|k1×(-1)+1×(?-1)|=2d√(k1²+1²)，即|k1+?(?-1)|=2d√(k1²+1²)，因为直线l过点C，所以直线l的斜率为k2=(?-1)/(-1-3)，代入得，|k1+k2|=2d√(k1²+1²)，整理得，|?-1+7k2|=2d√(50)，因为|?-1+7k2|≥0，所以d≥0，又因为√(50)>7，所以|?-1+7k2|≤2d×7，即|?-1+7k2|≤14d，代入得|?-1+7(?-1)/(-1-3)|≤14d，即|-2?-6/(-4)|≤14d，解得-1/2≤d≤1/2，因为d≥0，所以1/2≥d≥0，代入得-1/2≤?-1+7k2≤1/2，解得-3/14≤k2≤1/14，故k2的取值范围为[-3/14,1/14]。
直线与方程题型总结答案
题型一：重点考查直线的倾斜角)2cos10,2sin10，)2cos130,2sin130，则直线．160【详解】方法一：由斜率和倾斜角关系，利用两点连线斜率公式可得tan 方法二：根据三角函数定义可知,P Q 在圆160QOM +，由此可得倾斜角.的倾斜角为)0180θ≤<，()()33cos10sin10sin 12010sin102sin1302sin10222cos1302cos10cos 12010cos1033cos10sin1022−+−−==−+−−−()()3sin10cos103sin 1030sin 20sin 202tan 20sin 70cos 2033sin 1060sin10cos102−−==−=−=−++tan160.PQ 的倾斜角为160；方法二：由三角函数的定义可知：点,P Q 在圆24x y +=上，如图所示，为直线PQ 与轴的交点，则10，130QOM ∠，120=，又OQ =，30OQM ∴∠，160QOM +∠，∴直线PQ 的倾斜角为160. 160.2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）直线y ++ 34π⎤⎡⋃⎥⎢⎦⎣精练核心考点3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,4ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：直线l 的斜率为3≤，α∈3,4⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭ππ. ．（2023·全国·高二专题练习）直线,135︒︒⎤⎦【详解】解：直线x y −，则3x =，直线的斜率不存在，倾斜角为90；1≤，可得为不等于90的倾斜角），90135θ︒<≤综合，倾斜角的取值范围是45︒≤．题型二：重点考查直线的斜率19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭）因为点M 在函数)在线段AB ()19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭，记点16,2P ⎛− ⎝16,2P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以21y +精练核心考点30，则实数D ．323303=两点的直线的方向向量为题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（)30,60)30,90 )60,9060,90⎤⎦B【详解】因为直线:l ，直线23x y +()0,2B ;30； 90；)30,90.·全国·高二专题练习）经过点P10PA k −=且直线l 与连接点如下图所示，则tan PA k ≤α∴∈π[0,4故选：B例题3．（精练核心考点2．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点ABC 的边A ．0,⎡⎢⎣C ．3⎡⎢⎣【答案】D【详解】如图所示，1为ABC 的边BD 斜率k ．（2023·全国·高二专题练习）若实数的取值范围为5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型四：重点考查斜率公式的应用精练核心考点题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围3,7⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：设过点P 且垂直于当直线l 由位置PA 绕点P 此时，11354725PA k k +≥==+当直线l 由位置PC 绕点P 此时，1254PB k k +≤==精练核心考点1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系；方法二：直线1l 的方向向量()6,3AB =−的方向向量(3,6CD =因为0AB CD ⋅=，所以AB CD ⊥，所以5．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线60my +=2)30m x y −+=，当m 为何值时，相交； 平行； 垂直．【答案】(1)m ≠−3；题型七：重点考查直线的方程．（2023·全国·高二专题练习）在ABC中，已知点轴上截距是y轴上截距的3⎫，即(−⎪⎭；题型八：重点考查两直线的交点坐标【详解】三条直线不能构成三角形三条直线相交于同一点S的最小值AOBS最小值为AOB题型九：重点考查两点间的距离公式故选：B.xA B'=所以函数的最小值为故答案为：42精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知故选：B2．（2023·全国·高二课堂例题）【答案】32【详解】()2221x x x ++=+()(224824x x x −+=−+=如图，设点(),0A x ，()1,1B −，值．由于AB AC BC +≥，当A ，B 故答案为： 32.3．（2023·全国·高二专题练习）函数为 ．【答案】41【详解】()()219f x x =−+1故答案为：41题型十：重点考查点到直线的距离公式例题2．（2023秋·高二课时练习）求垂直于直线3105的直线l 的方程． 【答案】390x y −+=或3x −【详解】设与直线35x y +−则由点到直线的距离公式知()()2310310⨯−−+−===mm d350y+=.春·上海·高二期中）已知ABC的三个顶点y+=，且60)2,3，所以因此有+24=723+6=0m n m n −−⎧⎨⎩或+24=723+6=0m n m n −−−⎧⎨⎩，解得：=3=4m n ⎧⎨⎩或=3=0m n −⎧⎨⎩， 所以点A 的坐标为：()3,4或()3,0−．题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式精练核心考点。
直线与方程知识点归纳及对应习题
直线与方程一、直线倾斜角和斜率000180α≤<. k=tan α(α不为090)。
经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠） 练习：1、直线x +y -5=0的倾斜角为（ ）A. -30°B. 60°C. 120°D. 150°2、在下列四个命题中，正确的共有（）①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；②直线的倾斜角的取值范围是[0，π]；③若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、直线的方程1、直线方程的几种形式点斜式:)(11x x k y y -=- (斜率存在) ； 两点式:121121x x x x y y y y --=--),(2121y y x x ≠≠其中 斜截式:b kx y += (斜率存在) ； 截距式:1=+by a x (0a ≠≠且b 0) 一般式:0=++C By Ax ）不同时为其中0,(B A 练习：3、过点（-1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______．4、 已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x-y-5=0，∠B 平分线BN 所在直线方程为x-2y-5=0．求：（1）顶点B 的坐标；（2）直线BC 的方程．5、已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x-y-5=0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x-2y-5=0．（1）求直线BC 的方程；（2）求直线BC 关于CM 的对称直线方程．2、 两条直线位置关系的判定：已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ，则：（1）0212121=+⇔⊥B B A A l l（2）1212211221//(1)-00(0);l l A B A B BC B C B ⇔=-≠≠且斜率存在，即1221(2)0(0).AC A C B -≠=斜率存在，即（3）1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A练习：6、若直线l1:(m-2)x-y-1=0与直线l2:3x-my=0互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或或3B. 0或3C. 0或D. 或37、已知直线ax+3y-1=0与直线3x-y+2=0互相垂直，则a=（ ）A. -3B. -1C. 1D. 38、已知两条直线l1（3+m ）x+4y=5-3m ，l2 2x+（5+m ）y=8．当m 分别为何值时，l1与l2：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？3、几种直线系方程（1）过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中. （2）平行于直线0n 0(n )Ax By C Ax By C ++=++=≠的直线可表示为（3）垂直于直线0m 0Ax By C Bx Ay ++=-+=的直线可表示为练习：9、过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点，且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是（）A. 4x+2y-3=0B. 4x-2y+3=0C. x+2y-3=0D. x-2y+3=010、已知直线l1：x-2y+3=0与直线l2：2x+3y-8=0的交点为M ，（1）求过点M 且到点P （0，4）的距离为2的直线l 的方程；（2）求过点M 且与直线l3：x+3y+1=0平行的直线l 的方程．三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点2.几种距离平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式21221221)()(y y x x P P-+-= 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200B A CBy Ax d +++=(直线方程要化为一般式)两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2212B A C C d +-=(直线化为系数相同的一般式)练习：11、原点到直线y=-x+的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D.12、直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是______ ．13、若直线l1：x-2y+1=0与l2：2x+ay-2=0平行，则l1与l2的距离为（ ） A. B. C. D.3、 直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”：(1) 在直线l 上求一点P ，使PB PA +取得最小值：“同侧对称异侧连”（2）在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值：“异侧对称同侧连” (3) 22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
第三章 直线与方程知识点归纳及练习题
1.直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角α是角度(0°≤α<180°)，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.(2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时，斜率k＝tan α，且经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k AB＝y2－y1 x2－x1.(3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0).2.解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论.3.由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程.4.学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合.5.直线系方程直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有：(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数，λ≠C )；(3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ是参数，当λ＝0时，方程变为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，恰好表示直线l 1；当λ≠0时，方程表示过直线l 1和l 2的交点，但不含直线l 2).6.“对称”问题的解题策略对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称.(1)中心对称①两点关于点对称，设P 1(x 1，y 1)，P (a ，b )，则P 1(x 1，y 1)关于P (a ，b )对称的点为P 2(2a －x 1,2b －y 1)，即P 为线段P 1P 2的中点.特别地，P (x ，y )关于原点对称的点为P ′(－x ，－y ).②两直线关于点对称，设直线l 1，l 2关于点P 对称，这时其中一条直线上任一点关于点P 对称的点在另一条直线上，并且l 1∥l 2，P 到l 1，l 2的距离相等.(2)轴对称①两点关于直线对称，设P 1，P 2关于直线l 对称，则直线P 1P 2与l 垂直，且线段P 1P 2的中点在l 上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.②两直线关于直线对称，设l 1，l 2关于直线l 对称.当三条直线l 1，l 2，l 共点时，l 上任意一点到l 1，l 2的距离相等，并且l 1，l 2中一条直线上任意一点关于l 对称的点在另外一条直线上；当l 1∥l 2∥l 时，l 1与l 间的距离等于l 2与l 间的距离.题型一 直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率分别从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.倾斜角α与斜率k 的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视.(1)对应关系①α≠90°时，k ＝tan α.②α＝90°时，斜率不存在.(2)单调性当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k 由0(含0)逐渐增大到＋∞，然后由－∞逐渐增大到0(不含0).经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，应注意其适用的条件x 1≠x 2，当x 1＝x 2时，直线斜率不存在.例1 已知坐标平面内的三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1).(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的取值范围.跟踪训练1 求经过A (m,3)、B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围.题型二 直线方程的五种形式直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线.因此，要注意运用分类讨论的思想.在高考中，题型以选择题和填空题为主，与其他知识点综合时，一般以解答题的形式出现.例2 求与直线y ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l 的方程.跟踪训练2 过点P (－1,0)，Q (0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.题型三直线的位置关系两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.例3已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值.(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等.跟踪训练3(1)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程；(2)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为 5.求直线l1的方程.题型四最值问题方法梳理1.构造函数求解最值：利用函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性等性质特征及复合函数的结构特征求解函数的最值.2.结合直线方程的相关特征，保证在符合条件的范围内求解最值.3.结合图象，利用几何性质帮助解答.数学思想函数思想：通常情况下求解最值问题可以转化为对函数的研究，函数思想给我们一种最严谨的眼光来看待问题，是一种探求普遍真理的思想，本章中求最大距离、最大面积等问题时常常会用到函数思想.例4已知△ABC，A(1,1)，B(m，m)(1＜m＜4)，C(4,2).当m为何值时，△ABC的面积S最大？跟踪训练4 如图，一列载着危重病人的火车从O 地出发，沿北偏东α度(射线OA )方向行驶，其中sin α＝1010.在距离O 地5a (a 为正常数)千米，北偏东β度的N 处住有一位医学专家，其中sin β＝35，现120指挥中心紧急征调离O 地正东p 千米B 处的救护车，先到N 处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C 处相遇.经计算，当两车行驶的路线与OB 所围成的三角形OBC 的面积S 最小时，抢救最及时.(1)在以O 为原点，正北方向为y 轴的直角坐标系中，求射线OA 所在的直线方程；(2)求S 关于p 的函数关系式S ＝f (p )；(3)当p 为何值时，抢救最及时？题型五 分类讨论思想分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决.在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决.在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题.例5 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.题型六 数形结合思想根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合. 例6 已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解.2.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解.3.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.。
高考直线方程题型归纳(最新整理)
高考直线方程题型归纳知识点梳理1．点斜式方程设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，由于此方程是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l 的倾斜角α=90°时，斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l 恰与y 轴平行或重合，这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y－y 0=0.（3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距. 注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。
要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.3．直线的两点式方程若直线l 经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，则直线l 的方程为，这112121y y x x y y x x --=--种形式的方程叫做直线的两点式方程.注意（1）当直线没有斜率(x 1=x 2)或斜率为零(y 1=y 2)时，不能用两点式表示112121y y x x y y x x --=--它的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程； 如过两点A (1，2)，B (1，3)的直线方程可以求得x =1，过两点A (1，3)，B (－2，3)的直线方程可以求得y =3.（3）需要特别注意整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)与两点式方程的112121y y x x y y x x --=--区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。
直线的两点式方程、直线的一般式方程题型全归纳
直线的两点式方程、直线的一般式方程题型全归纳【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程2．(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．3．直线的一般式方程的定义我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.【例2】 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程．(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．【例3】(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？【类题通法】1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)若l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1=0(或A1C2－A2C1=0)．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．【练习反馈】1．直线x 3－y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－72．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．4．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．5．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．参考答案【例1】由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0. 同理，直线BC 所在直线方程为：y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0.直线AC 所在直线方程为：y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【对点训练】1．答案：(1)x ＝2 (2)－2【例2】[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧ a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.【对点训练】2．解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ，则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋y b＝1. ∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2a a ＋2. ∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解； 当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y 1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 【例3】[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0.l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3.法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.【对点训练】3．解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11.∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.(2)法一：设直线l 的斜率为k .∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直，∴k ·(－2)＝－1，∴k ＝12. 又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0. 法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0.∵直线l 经过点A (2,1)，∴2－2×1＋m ＝0，∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1.2．解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式． 3．解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0. 答案：x －y ＋3＝04．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝05．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0. 整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0.又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y －5＝1， 整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。
史上最全直线与直线方程题型归纳
精心整理直线与直线方程一、知识梳理1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.2.斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=3.直线方程的五种形式直线形式 直线方程局限性选择条件 点斜式不能表示与x 轴垂直的直线①已知斜率 ②已知一点 斜截式不能表示与x 轴垂直的直线①已知斜率②已知在y 轴上的截距两点式不能表示与x 轴、y 轴垂直的直线①已知两个定点 ②已知两个截距 截距式（b a 、分别为直线在x 轴和y 轴上的截距）不能表示与x 轴垂直、与y 轴垂直、过原点的直线 已知两个截距（截距可以为负）一般式表示所有的直线求直线方程的结果均可化为一般式方程 7．斜率存在时两直线的平行：21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠. 8．斜率存在时两直线的垂直：⇔⊥21l l 121-=k k ．9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直． 二、典例精析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角为030的直线有且仅有一条； ③若直线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ； ④如果两直线平行，则它们的斜率相等 A.0个B.1个C.2个D.3个【练习】如果0<AC 且0<BC ，那么直线0=++C By Ax 不通过（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例2】如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( ) A ．k sin α>0 B ．k cos α>0C ．k sin α≤0 D ．k cos α≤0【练习】图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()．A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2【例3】经过点()2,1P 作直线l ，若直线l 与连接()10—，A ，()1,4B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围。
直线方程知识点和经典题型
1．直线方程的五种形式 斜截式纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线 点斜式过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式纵、横截距 x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 所有直线直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
题型一：两直线的位置关系1.判断直线相交:1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，若两直线相交，则有12210A B A B -≠2.设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0， 设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0．两点间的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离1.两点间距离公式：设平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；2.点到直线距离公式：点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200B A C By Ax d +++=3.两平行直线距离公式：两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B -=+， 1.若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于A ．1 B ．13- C ．23- D ．2- 2.若直线1:(3)4350l m x y m +++-=与2:2(5)80l x m y ++-=平行，则m 的值为A ．7- B ．1-或7- 题型二：定点问题1. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点.A ．(0,0) B ．（3，1）C ．(1,3) D ．(1,3)--2.若不论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点的坐标为A ．(2,1)-B ． (2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)3.不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0 恒过定点 A.(1, －21) B.(－2, 0) C.(2, 3) D.(－2, 3) 题型三：对称问题1.已知点(5,8),(4,1)A B ，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标 .2.求点（1,2）关于直线20x y --=的对称点。
(精品)直线与方程知识点+经典习题
直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义:倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ; 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点:(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；（2）k 与P 1、P 2的顺序无关；（3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；（4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1. ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y ab+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ，即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ,B 不全为0)注意：错误!各式的适用范围 错误!特殊的方程如: 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线:a x =（a 为常数）； (5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数) （二）过定点的直线系(ⅰ)斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ;（ⅱ)过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）,其中直线2l 不在直线系中.(6）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时,212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否. （7）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的一组解。
史上最全直线与直线方程题型归纳
史上最全直线与直线方程题型归纳．直线与直线方程一、知识梳理1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，xx轴绕着交对于一条与如果把轴相交的直线，点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直??x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角线和为0°.倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾?斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做k表示.倾斜角是90这条直线的斜率，常用°的直线没有斜率.2.斜率公式：经过两点的直线的斜率),y),P(x(Px,y111222y?y公式：12)k?xx(?21xx?12直线方程的五种形式3.- 2 -.且7．斜率存在时两直线的平行：=?kkb?bll//212211．．斜率存在时两直线的垂直：81kk???l?l2112当两条直线:．9特殊情况下的两直线平行与垂直- 3 -中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．二、典例精析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（）①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角为的直线有且仅有一条；030；③若直线的斜率为，则倾斜角为??tan④如果两直线平行，则它们的斜率相等C.2 B.1个 A. 0个D.3个个，那么直线【练习】如果且0BCAC?0?）不通过（0?C?ByAx? C.第三象限 A.第一象限 B.第二象限第四象限D.的l】如图，直线l经过二、三、四象限，例2【)(倾斜角为α，斜率为k，则0αkC >0 cos．>0sin．AkαBkα．sin≤- 4 -D．kcosα≤0【练习】图中的直线l，l，l的斜率分别为k，1213k，k，则()．32A．k＜k＜kB．k＜k＜k 2113 32C．k＜k＜k D．k＜k＜k2 23131【例3】经过点作直线，若直线与连接??ll21,P 的倾斜的线段总有公共点，求直线，????l14,BA0，—1角与斜率的取值范围。
直线与方程问题(含答案)
直线与方程问题(含答案)
直线与方程问题（含答案）
本文将介绍直线与方程问题的基本概念和解题方法，并提供一些示例问题及其答案。
以下是内容的简要概述：
直线与方程的基本概念
- 直线：直线是由一组无限延伸的点组成的，可以用线段来表示。
直线有无限多个点，无限延伸的长度和方向。
- 方程：方程是数学表达式中的等式，其中包含一个或多个未知数。
方程描述了两个对象之间的关系。
直线与方程问题的解题方法
- 求两点间的斜率：通过计算两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来得到直线的斜率。
- 根据斜率和一点求直线的方程：使用斜率和已知点的坐标来确定直线的方程。
- 点斜式方程：通过已知直线上的一点和该直线的斜率来写出直线的方程。
- 一般式方程：将直线的方程转化为一般的标准形式，即Ax + By + C = 0。
示例问题及答案
1. 求经过点A(2, 3)和点B(5, 7)的直线的斜率。
解答：斜率 = (7 - 3) / (5 - 2) = 4/3
2. 已知直线上的一点为P(4, 2)，斜率为2/5，求该直线的方程。
解答：使用点斜式方程，直线的方程为 y - 2 = (2/5)(x - 4)
3. 将直线的方程2x + 3y - 6 = 0转化为一般式方程。
解答：将方程重新排列为3y = -2x + 6，然后将其化简为Ax + By + C = 0的形式，即2x + 3y - 6 = 0。
以上是关于直线与方程问题的基本概念、解题方法和示例问题
的介绍。
希望对您有所帮助！。
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直线与直线方程一、知识梳理1. 直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角•当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0。
•倾斜角的取值范围是0°< v 180° .倾斜角不是90 °的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示•倾斜角是90°的直线没有斜率.2. 斜率公式：经过两点R（x i, yj, P2（X2, y2）的直线的斜率公式：k 池一匕（x i X2）X2 X i7•斜率存在时两直线的平行：h〃|21= 2且12.&斜率存在时两直线的垂直：l1l2 k1k2 1 •9.特殊情况下的两直线平行与垂直：当两条直线中有一条直线没有斜率时：（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90 °，互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90 °,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直.二、典例精析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（）①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角为300的直线有且仅有一条；③若直线的斜率为tan ，则倾斜角为④如果两直线平行，则它们的斜率相等A. 0 个个个个练习】如果AC 0且BC 0 ，那么直线Ax By C 0不通过（）A. 第一象限B.第二象限C. 第三象限D. 第四象限【例2】如图,直线l经过二、三、四象限，1的倾斜角为a，斜率为k，则（）A. k sin a >0 B . k cos a >0 C . k sin a <0 D. k cos a <0【练习】图中的直线li, I2, I s的斜率分别为k i, k2, k s,则（）.A. k1< k2< k s B．k3< k1 < k2C. k s< k2< k i D．k1<k3<k2【例3】经过点P 1,2 作直线l ，若直线l 与连接A 0，—1 ，B 4,1 的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围。
A-3,4，B 3,2，过点P 2,-1的直线I与线段AB有公共点，求直线I的斜率k的取值范围。
练习】已知两点例4】若直线I 的方程为y xtan 2 ,则（A. 一定是直线I 的倾斜角B.C. n ——定是直线I的倾斜角D.一定不是直线I 的倾斜角不一定是直线I 的倾斜练习】设直线ax by c 0的倾斜角为,且sin cos 0，则a、b满足（A. a b 1 B. a—b 1 C. a b 0 D. a—b 0题型二：斜率的应用【例5】若点A 2,2 , B a,0 ,C 0,4共线则a 的值为 ______________________【练习】 若三点 A 2,2， B a,0 , C 0,bab 0共线，则1 a 1的值为. b 【例6】 已知实数x 、y 满足2x y 8，当 i 2 x3时, 求 y x的最大值为 ，最小值为In2 , In3ln 5【练〔、右a ,b,c则()1 24，A. a b CB. c b aC. c a bD.b a c题型三：两直线位置关系的判断已知，两直线1(2斜率存在且分别为 &, k2，若两直线平行或重合则有 K _______________ k 2， 若两直线垂直则有 k 1 __________ k 2.【例7】已知直线h 的倾斜角为60，直线12经过点A1, ,3，B — 2，— 2、. 3，判断直线 h 与12的位置关系【练习】1、已知点P 2,3，Q 4,5 , A — 1，a ，B 2a,2当a 为何值时，直线 PQ 与直 线AB 相互垂直？2、已知直线m 经过点A3，a ，B a — 2,3，直线m 2经过点M 3，a , N 6,5，若m 1 m 2，求a 的值.2、求函数y2x —12x 1【例8】在平面直角坐标系中，对 a R ，直线11 : x — 2ay 1 0和12 ： 2ax y — 1 0【练习】直线3a 2 x 1 — 4a y 8 0与5a — 2 x a 4 y — 7 0垂直，求a 的值.题型四：求直线方程 （一）点斜式【例9】根据条件写出下列直线的方程： （1） 经过点A （1,2）,斜率为2；（2） 经过点B （— 1,4），倾斜角为135 ； （3） 经过点C （ 4,2），倾斜角为90 ； （4） 经过点D （— 3，— 2），且与x 轴平行. 已知直线过一点，可设点斜式【练习】已知 ABC 中，A1, — 4，B 2,6，C — 2,0，AD BC 于D ,求AD 的直线 方程.（二）斜截式【例10】根据条件写出下列直线的方程： （1） 斜率为2,在y 轴上的截距是5； （2） 倾斜角为150，在y 轴的截距为一2； （3） 倾斜角为45，在y 轴上的截距为0. 已知斜率时，可设斜截式：3【练习】求斜率为 3，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l 的方程.（ ）A.互相平行 C.关于原点对称B.互相垂直D.关于直线y — x 对称4(三)截距式【例12】根据条件写出下列直线的方程：(1)在x轴上的截距为一3，在y轴上的截距为2；(2)在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为一4; 与截距相关的问题，可设截距式【练习】直线I过点P 4,3，且在x轴、y轴上的截距之比为1:2，求直线I的方程.(四)两点式【例11】求经过下列两点的直线方程：(1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7)适时应用“两点确定一条直线”【练习】过点M 0,1作直线I，使他被两条已知直线h：x —3y 10和|2：x y 4 0所截得的线段AB被点M平分.求直线I的方程•3 5【例12】1、已知点A (3,3 )和直线I : y x —. 求:4 2(1) 经过点A且与直线I平行的直线方程；(2) 经过点A且与直线I垂直的直线方程.2、已知三角形三个顶点的坐标分别为 A (—1,0 ), B( 2,0 ), C( 2,3 )，试求AB边上的高的直线方程.(思考：如果求AB边上的中线、角平分线呢？)【例13】已知直线I的斜率为2,且I和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线I的方程为【练习】已知，直线|经过点(一5,—4),且与两坐标轴所围成的三角形面积为5,则直线I 的方程为 __________________【例14】直线I 不经过第三象限，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b （ b 0），则（）A. k 0且 b 0B. k 0且 b 0C. k 0且 b 0D. k 0且 b 0【练习】两条直线 y=ax+b 与y=bx+a 在同一直角坐标系中的图象位置可能是（）A. B . C . D .三、课后练习＜一 ＞选择题：1、若直线I : y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线 I 的倾斜角的取值范围（ ）n A.[—, n)Bn .(—, n -)Cn .(- n )D n [n] 6 3 6 2 3 2 6 22、已知直线 I1 : ( k-3 ) x+ (5-k ) y+1=0 与 I2 : 2( k-3 ) x-2y+3=0 垂直，贝U K 的值是( ) A. 1或3 B .1或5 C .1或4 D .1或23、 直线y=3x 绕原点逆时针旋转 90°, 再向右平移 1个单位， 所得到的直线为（ )A.1 1y ——xB . y1 -- x 1 C . y 3x — 3 D . y 3x 13 33＜二 ＞填空题：1、 在平面直角坐标系中，如果 x 与y 都是整数，就称点（x , y ）为整点，下列命题中正确 的是 ___________________ （写出所有正确命题的编号）. ① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ② 如果k 与b 都是无理数，则直线 y=kx+b 不经过任何整点 ③ 直线I 经过无穷多个整点，当且仅当 I 经过两个不同的整点④ 直线y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤ 存在恰经过一个整点的直线.2、 __________________________________________________________________________________ 若点P 1,— 2在直线I 上的射影为Q — 1,1 ,则直线I 的方程为 _____________________________23、在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f （x ）= 的图象交于P 、Q 两点,x则线段PQ 长的最小值是 y k 2x — 1，其中实数 k 1,k 2满足 k 1?k 2 2 0,证明＜三＞ 解答题： 1、设直线I 1 : y 与〔2相交•k |X 1 , I 2 :2、已知直线方程为y kx b , 当 x — 3,4 时,y — 8,13，求此直线的方程•3、当0 a 2时，直线l1: ax —2y 2a —4与l2 : 2x a2y 2a2 4和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形的面积最小？并求出最小面积.。