“单个观测值线性函数的协方差传播律”教学课件

11
1.92()
2
x 1.4
2020/10/5
xx科技大学
内容总结
（1）利用单个观测值线性函数的协方差传播律求方差阵的
三个步骤为：
➢根据已知的条件，构建观测值向量 的方差阵
X
n1
DXX 。
➢列立
X 的线性函数
n1
Z
K
1,n
X
n,1
k0，得到系数阵
K
。
➢求出
DZZ
2 Z
KDXX K T
。
(2)下节内1,容1 引入：当有多个观测值的线性函数时，我们如
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2 单个观测值线性函数的协方差传播律的公式推导
DZZ
2 Z
E
Z
EZ Z
EZ T
1,1
EK(X EX )(X EX )T KT
KE (X EX )(X EX )T KT
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2 Z
KDXX K T
DXX
单个观测值线性函数的协方差传播律
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2 单个观测值线性函数的协方差传播律的公式推导
lim []
n n
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方差阵的定义
设有 n 个观测量 X1, X 2 ,, X n，组成n 维的观测向量
X1
X
n ,1
X2
的方差阵的定义为：
X n
2 1
12
1n
DXX
n,n
E X E[X ]X E[X ]T
21
2 2
2n
n1
n2
讲课内容：单个观测值线性函数的协方差传播律 所属学科：工学——测绘科学与技术 课 程：误差理论与测量平差基础 适用对象：测绘工程相关专业本科生
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知识回顾
1 方差、中误差的定义
2 方差阵的定义
一个观测量的精度可以用方差、中误差来衡量， 而一个观测值向量的精度可以用方差阵来衡量。
2
n
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单个观测值线性函 数的协方差传播律
1 要解决的问题
2 公式推导 3 应用举例
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1 单个观测值线性函数的协方差传播律要解决的问题
设有观测值向量 X ，协方差阵为 n1
DXX
，
即：
X1
X X1
X2
X n T
X2
X n
2 1
12 1n
DXX
E X EX X EX T
21
2 2
2n
n1
n2
2
n
假设有 X 的单个线性函数 n1
求 D （ ZZ Z2）。
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。
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2 单个观测值线性函数的协方差传播律的公式推导
写成矩阵的形式有：
X1
Z
(k1, k2,, kn )
X2
k0
K
X n
则有：
Z
K
1,n
X
n,1
k0
X
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协方差是 12 1()2 ，求 x 1 2 的中误差 x ， 其中 无误差。
例题2解：
由于
x 1 2 (1
1)
1 2
K
令向量
1 2
， 则 K 1
1
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D 2121
12
2 2
1.916
1.916
则有：
2 x
KD K T
1
11.916
1.916
何来求函数向量的精度（或方差阵）呢？如何来求非线性函
数的精度（或方差、方差阵）呢？
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方差、中误差的定义
对一个观测量 X 进行 n 次观测，得到n 个观测值L1 ，L2 ，…，Ln 。 对应的观测误差分别为1，2 ， …， n 。这个观测量X 的方差为：
中误差为：
2 D E 2 lim [] n n
例题1解： 因为 L1 、L2 和 L3 是独立观测值，所以有
2 x
1 7
2
12
2 7
2
百度文库
2 2
4 7
2
2 3
0.84(mm)2
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x 0.9mm
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3 单个观测值线性函数的协方差传播律的应用举例
【例题2】设观测角 1 和 2 的中误差是 1 2 1.4 ，
那么，一个观测量（观测向量）的线性函数的精度呢？
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问题引入
在 ABC中，观测了三个内角L1、L2、
L3，其闭合差 为：
C
L3
L1
L2
A
B
若已知了观测值向量
的方差阵 DLL ，
如何求 的 精度， 即求方差 2（或中误差 ） ？
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本节内容
特例：
当向量中的各分量
两两独立时，
它们之间的协方差
。
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3 单个观测值线性函数的协方差传播律的应用举例
【例题1】设
x
， 是独立观测值
L1
、 L2 和
L3 的函数，即：
x
1 7
L1
2 7
L2
4 7
L3
已知 L1 、 L2 和 L3 的中误差是 1 3mm 、
2 2mm 和 3 1mm ，求函数 x 的精度。