正弦、余弦函数的周期性与奇偶性

正弦、余弦函数的周期性与奇偶性

一、选择题

1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x

2 B ．y ＝cos x

2 C ．y ＝cos x

D ．y ＝cos 2x

D [A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求．] 2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是

( )

B [由f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称． 由f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的周期为2.故选B.]

3．函数f (x )＝sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于( ) 【有知识题：84352090】

A ．5

B ．10

C ．15

D ．20

B [由已知得2π|ω|＝π

5，又ω＞0， 所以2πω＝π

5，ω＝10.]

4．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期为( ) A ．π2 B ．π C ．2π

D ．4π B [因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝

|cos x |的图象(略)知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π.]

5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3π4的值为

( )

A ．1

B ．－1

C ．0

D ．2

B [由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4＝－1.]

二、填空题

6．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数． 其中错误的是________(填序号).

【有知识题：84352091】

①④ [φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π

2时，f (x )＝cos x 是偶函数．] 7．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,4)，则正整数ω

的最大值为________．

6 [T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π

2＜ω＜2π， ∴ω的最大值是6.]

8．若f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝cos x －sin x ，当x ＜0时，f (x )的解析式为________．

f (x )＝－cos x －sin x [x ＜0时，－x ＞0， f (－x )＝cos(－x )－sin(－x )＝cos x ＋sin x ， 因为f (x )为奇函数，

所以f (x )＝－f (－x )＝－cos x －sin x ， 即x ＜0时，f (x )＝－cos x －sin x ．]

三、解答题

9．已知函数y ＝12sin x ＋1

2|sin x |. (1)画出函数的简图；

(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． [解] (1)y ＝12sin x ＋1

2|sin x |

＝⎩⎨

⎧

sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )，

图象如下：

(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π. 10．判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性.

【有知识题：84352092】

[解] ∵f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2(－x )]

＝lg(1＋sin 2

x －sin x )＝lg (1＋sin 2x )－sin 2

x 1＋sin 2x ＋sin x

＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )－1＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x ) ＝－f (x )．

又当x ∈R 时，均有sin x ＋1＋sin 2x ＞0， ∴f (x )是奇函数．

[冲A 挑战练]

1．函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x

1＋sin x 是( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数 C [由1＋sin x ≠0得sin x ≠－1， 所以函数

f (x )的定义域为⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ∈R ⎪⎪⎪

x ≠2k π－π2，k ∈Z

，不关于原点对称，所

以f (x )是非奇非偶函数．]

2．设函数f (x )＝sin π

3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )

【有知识题：84352093】

A ．32

B ．－3

2 C ．0

D ． 3

D [∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2π

π3

＝6，

∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017)＋f (2 018)＝

336⎝ ⎛⎭

⎪⎫

sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＋

f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝336×0＋f (1)＋f (2)＝sin π3＋sin 2

3π＝ 3.] 3．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图1-4-4所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是

______________________．

图1-4-4

⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2，3 [∵f (x )是(－3,3)上的奇函数，∴g (x )＝f (x )·cos x 是(－3,3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪

(0,1)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2，3.]

4．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13.若f (1)＝2，则f (99)＝________.

【有知识题：84352094】

13

2 [因为f (x )·

f (x ＋2)＝13，