推荐--4.1 正弦和余弦
九年级数学上册 4.1 正弦和余弦 第2课时 45°,60°角的正弦值及用计算器求锐角的正弦值或对应
第2课时 45°，60°角的正弦值及用计算器求锐角的正弦值或对应的锐角01 基础题知识点1 45°，60°角的正弦值1．sin45°的值是(C)A.12B.32 C.22 D.332．sin60°的相反数是(C)A ．－12B ．－33C ．－32 D ．－223．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝22，则∠B 的度数是(B)A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则sinB 的值为(A) A.32 B.33C. 3D.125．计算下列各题：(1)2sin30°－2sin45°； 解：原式＝2×12－2×22＝1－1＝0.(2)sin 245°＋sin30°sin60°；解：原式＝(22)2＋12×32＝12＋34.(3)sin 230°＋sin 260°；解：原式＝(12)2＋(32)2＝1.(4)(sin30°－1)0－46sin45°sin60°.解：原式＝1－46×22×32＝1－6＝－5.知识点2 用计算器求锐角的正弦值及已知正弦值求锐角6．用计算器计算sin35°(精确到0.000 1)的结果是(D)A．0.233 5 B．0.233 6C．0.573 5 D．0.573 67．已知sinα＝0.893 8，则锐角α的值为(C)A．56°22′30″ B．60°18′27″C．63°21′17″ D．72°33′15″8．用计算器计算下列各锐角的正弦值(精确到0.000 1)．(1)20°；解：sin20°≈0.342 0.(2)75°；解：sin75°≈0.965 9.(3)23°13′；解：sin23°13′≈0.394 2.(4)15°32′.解：sin15°32′≈0.267 8.9．已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°)．(1)sinα＝0.822 1；解：α≈55.3°.(2)sinA ＝0.627 5；解：∠A≈38.9°.(3)sin α＝0.737 2；解：α≈47.5°.(4)sin α＝0.128 8.解：α≈7.4°.02 中档题10．点M(－sin60°，sin30°)关于x 轴对称的点的坐标是(B)A ．(32，12)B ．(－32，－12) C ．(－32，12) D ．(－12，－32) 11．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，a∶b＝3∶4，运用计算器计算，∠A 的度数(精确到1°)为(B)A ．30°B ．37°C ．38°D ．39°12．如果∠A 为锐角，且sinA ＝0.7，那么(B)A ．0°＜A≤30°B ．30°＜A ＜45°C ．45°＜A ＜60°D ．60°＜A≤90°13．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝32，则α等于(C) A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°14．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin∠AOB 的值等于(C) A.12 B.22 C.32D. 315．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则s in∠OMN 的值为(B)A.12B.22C.32D ．116．已知∠A，∠B 是△ABC 中的两个锐角，且(sinA －12)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinB －22＝0，求∠C 的度数． 解：由非负数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧sinA －12＝0，sinB －22＝0，∴sinA＝12，sinB ＝22. ∴∠A＝30°，∠B＝45°.∴∠C＝105°.17．(淮安中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点D 在AC 上，已知∠BDC＝45°，BD ＝102，AB ＝20.求∠A 的度数．解：在Rt△BDC 中，BC ＝BD·sin∠BDC＝102×sin45°＝10.在Rt△ABC 中，sinA ＝BC AB ＝12， ∴∠A＝30°.03 综合题18．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为哪个三角形的面积大？解：分别过点A、D作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，在Rt△ABG中，AG＝ABsinB＝5sin50°.在Rt△DHE中，∠DEH＝180°－130°＝50°，DH＝DEsin∠DEH＝5sin50°.∴AG＝DH.∵BC＝4，EF＝4，∴S△ABC＝S△DEF.。
【推荐精选】2017秋九年级数学上册 4.1 正弦和余弦 第2课时 45°,60°角的正弦值及用计算器求锐角的正弦值
第2课时 45°，60°角的正弦值及用计算器求锐角的正弦值或对应的锐角1．会求特殊角45°，60°的正弦值．2．会用计算器计算任意锐角的正弦值，会由任意锐角的正弦值求对应的锐角．阅读教材P111～113，完成下面的内容：(一)知识探究1．sin45°＝________，sin60°＝________.2．已知sin α＝0.368 8，求锐角α的按键顺序是________．3．用计算器求sin70°的值(精确到0.000 1)．(二)自学反馈1．计算3sin60°的结果等于( ) A. 6 B ．1 C.62 D.322．计算：|sin45°－2|＝________.活动1 小组讨论例 计算：sin 230°＋2sin45°－13sin 260°. 解：原式＝(12)2＋2×22－13×(32)2 ＝14＋2－14 ＝ 2.我们把(sin30°)2简记为sin 230°.活动2 跟踪训练1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝22，则∠A 的度数是( ) A ．60° B ．45°C ．30°D ．无法确定2．用计算器计算sin63°(精确到0.000 1)的结果是( )A ．0.891 0B ．0.126 3C ．0.153 1D ．0.893 33．用计算器计算：sin18°36′＝________(精确到0.000 1)．4．已知sin α＝0.972 0，用计算器求锐角α＝________(精确到1″)．5．计算：(1)1－6sin45°sin60°；(2)sin 245°－4sin 260°sin30°；(3)sin45°＋sin30°sin45°－sin30°； (4)2sin30°sin45°－3sin30°sin60°.活动3 课堂小结1．45°，60°角的正弦值．2．如何用计算器求任意锐角的正弦值及知道锐角的正弦值求锐角．【预习导学】知识探究 1.22 32 2.“2ndF ”(或“SHIFT ”)，“sin ”，“0.368 8” 3．0.939 7.自学反馈1．D 2.22【合作探究】活动2 跟踪训练1．B 2.A 3.0.319 0 4.76°25′12″ 5.(1)－12.(2)－1.(3)3＋2 2.(4)－14.。
湘教版九年级数学上册 解直角三角形 三角函数的教案
三角函数教案4.1 正弦和余弦（1）教学设计教学内容教学分析教学重点1、理解和掌握锐角正弦的定义。
2、根据定义求锐角的正弦值。
教学难点探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程教学准备教具学具补充材料课件、计算器、量角器、刻度尺教学流程第1 课时教学环节教师活动预设学生活动预设设计意图执教者个性化调整一、创设情景引入新课[活动1]1、上图是学校举行升国旗仪式的情景，你能想办法求出旗杆的高度吗？（课件演示）2、学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”（第一课时）学生可能会采用相似三角形的知识来解决，也可能无法解决，从而带着问题学习。
对章前图的说明和本章内容的简单介绍，明确本章研究的内容，让学生有个基本的了解。
通过实例创设情境，引入新课,体现了数学知识的实用性,也容易激发学生学习的兴趣和探索的热情。
二、师生互动探究新知[活动2]如图2一艘轮船从西向东航行到B学生观察，思考，建立几何模型，将实际问题转化为直角三角形中边角关让学生带着问题学习,激发探索欲望。
65°BAC⌒北东由于各人画的直角三角形大小不一样，所以量得的长度也不一样，但比值为什么相等呢？学生议论纷纷，激起疑问。
发现:在有一个锐角为65°的直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.9。
的观点,激起疑问。
算结果大体一致，便于对后面知识的探究，故对教科书上要求的精确度进行了修改。
(3)为什么演扳的两位同学画的直角三角形大小不一样，但65°角的对边与斜边的比值：与相等呢？你能证明这个结论吗？∵∠D ＝∠D ′ ∠E ＝∠E ′ ∴△DEF ∽△D ′E ′F ′∴即： 因此：在有一个锐角等于65°的所有直角三角形中，65°角的对边与同桌之间将各自所画图形放在一起，合作探究。
湘教版九年级上册教学设计4.1 正弦和余弦
湘教版九年级上册教学设计4.1正弦和余弦一. 教材分析湘教版九年级上册《数学》第4.1节“正弦和余弦”是本册教材中的重要内容，主要介绍了正弦和余弦的概念、性质和应用。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行教学的，为后续学习圆锥曲线、三角函数的图像和性质等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数概念和数学思维能力，但对于正弦和余弦的理解还需要进一步引导。
在学习过程中，学生需要通过观察、分析、归纳等方法，掌握正弦和余弦的定义和性质。
同时，学生应能够运用正弦和余弦解决实际问题，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.了解正弦和余弦的概念，掌握正弦和余弦的定义和性质。
2.能够运用正弦和余弦解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的观察、分析、归纳能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：正弦和余弦的概念、性质。
2.难点：正弦和余弦在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生观察、分析、归纳正弦和余弦的性质。
2.运用案例教学法，让学生通过实际问题，掌握正弦和余弦的应用。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关正弦和余弦的案例和问题，用于课堂练习和拓展。
2.准备多媒体教学设备，用于展示正弦和余弦的图像和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾锐角三角函数的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示正弦和余弦的图像，引导学生观察和分析正弦和余弦的性质。
3.操练（10分钟）教师提出相关问题，让学生运用正弦和余弦的知识进行解答。
教师及时给予指导和反馈，帮助学生巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）学生进行小组合作学习，共同解决正弦和余弦的实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
5.拓展（10分钟）教师提出拓展问题，引导学生运用正弦和余弦的知识进行探究。
学生独立思考或小组讨论，分享解题过程和结果。
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》教学设计2
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》教学设计2一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》是本册教材中的重要内容，主要介绍了正弦和余弦的概念、性质和应用。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是进一步学习三角函数的基础。
教材通过实例引入正弦和余弦的概念，引导学生通过观察、分析、归纳得出正弦和余弦的性质，从而培养学生的抽象思维能力和数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数有一定的了解。
但正弦和余弦的概念和性质较为抽象，学生理解和接受起来可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生通过观察、分析、归纳得出结论，激发学生的学习兴趣，帮助学生理解和掌握正弦和余弦的概念和性质。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握正弦和余弦的概念、性质和应用，能够运用正弦和余弦解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生抽象思维能力和数学素养。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：正弦和余弦的概念、性质和应用。
2.难点：正弦和余弦的概念和性质的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入正弦和余弦的概念，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生通过观察、分析、归纳得出正弦和余弦的性质，培养学生的抽象思维能力。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生的合作意识和探究精神。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生学情，设计教学过程和教学活动。
2.学生准备：预习教材，了解正弦和余弦的概念和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入正弦和余弦的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师引导学生观察正弦和余弦的图像，分析其性质，并通过归纳得出正弦和余弦的定义和性质。
3.操练（10分钟）教师给出一些例题，学生分组讨论，运用正弦和余弦的性质解决问题，培养学生的合作意识和探究精神。
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件4.1正弦和余弦(第3课时余弦)
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第3课时
余弦
学习目标
1 会利用相似直角三角形，探索并认识余弦.(重点）
2
会求特殊角的余弦值并熟记这些值.(难点）
3 会用计算器求锐角的余弦值及已知余弦值求对应的锐角.(难点）
新课导入
1.什么是锐角α的正弦？
在直角三角形中， 我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα
2.下列特殊角的正弦值分别是什么？
α
sinα
30°
1
2
45°
60°
2
3
2
2
知识讲解
如图， △ABC 和△DEF 都是直角三角形，
其中∠A ＝ ∠D ＝α ， ∠C =∠F = 90°， 则
成立吗？ 为什么？
∵ ∠A =∠D =α， ∠C =∠F = 90°，
∴ ∠B =∠E .
从而sinB = sinE.
知识讲解
2
cos
30
3
cos
60
2
cos
45
例2 计算：
解:
原式
3
1
2 2
3 2 ( )
2
2
2
2
.
2
知识讲解
例3 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA =
则AC和BC的长是多少？并求sinA的值.
解: 在△ABC 中， cosA= =
所以AC=6,BC= − =2
求.
例如求50°角的余弦值， 可以在计算器上依次按键cos 50 ,显示结果为
4.1(第四课时)正弦与余弦(练习课)湘教版
.
3 1 2 2
2 2 2 2
3 4
1 2
.
.
拓展练习
1、 已 知 三 角 形 A B C 中 ， C ＝ 9 0 , sin A a 2, 求 co s A , b , c的 值 . 1 3 ,
拓展练习
2、 已 知 三 角 形 A B C 中 ， C ＝ 9 0 , a : b 2 : 3, 求 A的 正 弦 与 余 弦 值 .
sin A 7 8 ,
sin B 15 8 .
C
A
3 ．求下列各式的值． （１） sin 3 0 c o s 3 0 , （２） sin 6 0 co s 6 0 , （３） sin 4 5 co s 4 5 . 解 （１）s in 3 0 c o s 3 0 （２） s in 6 0 c o s 6 0 （３） s in 4 5 c o s 4 5
3,
A
求 B C的 值 .
C
D
B
1
对于任意角α是不是总有 2 2 sin co s 1 .
探究
sin co s 1(0 ＜ ＜ 9 0 )
2 2
设 是 任 意 一 锐 角 ， 求 证 sin cos 1.
2 2
分析：构造一直角三角形
证 明 ： s in s in s in s in
b
c
AC AB
b c
co s B
BC AB
a c
C a B
cos 的 取 值 范 围 0＜ c o s ＜（ 0 ＜ ＜ 9 0 ） 1
最新初中数学4.1 正弦和余弦2 第1课时 正弦
4.1 正弦和余弦第1课时 正弦【学习目标】1.学会什么是正弦？2.会根据正弦的定义去计算。
重点：理解认识正弦（sinA ）概念难点：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
【预习导学】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。
现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？【探究展示】(一)合作探究（1）如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比，能得到什么结论？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于(2)如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中∠A=∠D= α . ∠C=∠F=90°，则DEEF AB BC =成立吗？为什么？αα结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是_____________。
自学课本110页探究(二)展示提升1.如图所示，在直角三角形ABC 中，∠C=90°， BC=3，AB=5.（1）求sinA 的值；（2）求sinB 的值.2.如何求sin 45°的值？如图所示，构造一个Rt △ABC ，使∠C=90°，∠A=45°求sinA 的值3.如何求sin 60°的值？如图所示，构造一个Rt △ABC ，使∠B=60°，（1）求sinA 的值；（2）求sinB 的值.4.计算：o o o 60sin 45sin 230sin 22+-【知识梳理】1.正弦的定义是什么？2.一个锐角的正弦只和什么有关？跟什么无关？【当堂检测】1. 如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°， BC=5，AB=13.（1）求sinA 的值； （2）求sinB 的值．2.如图，在平面直角坐标系内有一点P （3，4），连接OP ，求OP 与x 轴正方向所夹锐角 α的正弦值.3.计算（1）o o 45sin 60sin 22+ （2）1-2o o 60sin 30sin【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？。
正弦和余弦
正弦和余弦【学习目标】1．了解正弦、余弦的概念的意义(用直角三角形中直角边与斜边的比表示)，知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．2．熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦值，并会根据这些数值说出对应的特殊角的度数．3．了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系． 4．会查“正弦和余弦表”，即由已知锐角求对应的正弦、余弦值，已知正弦、余弦值求对应的锐角(或运用计算器)．5．会用上述知识解决一些求三角形中未知元素的简单问题． 【主体知识归纳】1．如图6—1，在Rt △ABC 中，如果∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，那么∠A 的正弦sin ＝ca ，∠A 的余弦cos ＝cb ．2．特殊角的正弦、余弦值．3．任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即sinA ＝cos （90°－A ），cosA ＝sin （90°－A ）．4．三角函数表三角函数值的变化规律是使用三角函数表的依据．当角度在0°~90°变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．【基础知识讲解】1．正弦、余弦的概念是本章的起点，同时又是重点、关键．这是本章知识的基础．在直角三角形ABC 中，当一个锐角(∠A ）取固定值时，它的直角边与斜边的比值也是一个固定值．ABBC A A =∠=斜边的对边sin ，cos ＝ABAC A =∠斜边的邻边．实际上它们是一个函数关系，它的自变量的取值范围是大于0°且小于90°的所有角度． 在直角三角形中，由于斜边最长，所以函数值的范围是大于0且小于1的所有实数． 2．在查“正弦和余弦表”时，需要明确以下四点：(1)这份表的作用是：求锐角的正弦、余弦值，或由锐角的正弦、余弦值，求这个锐角；(2)这份表中，角精确到1′，正弦、余弦值具有四个有效数字； (3)凡查表所得的值，在教科书中习惯用等号“＝”，而不用约等号“≈”；根据查表所得的值进行近似计算，结果经四舍五入后，一般用约等号“≈”来表示；(4)通过查表要知道：sin0°＝0，sin90°＝1，cos0°＝1，cos90°＝0．在使用余弦表中的修正值时，如果角度增加(1′～3′），相应的余弦值要减小一些；如果角度减小(1′～3′），相应的余弦值要增加．【例题精讲】例1：如图6—2，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，且AC ＝4，CD ＝3，求∠B 的正弦值和余弦值．剖析：任意一个锐角的三角函数值，一般是利用一个直角三角形中相应的边的比值表示，因此要求∠B 的正弦、余弦值，首先要观察∠B 是否在一个直角三角形中，边的比值可否求出．解：∵AC ⊥BC ，C Ｄ⊥AB ，∴△ACD ∽△ABC ．∴∠ACD ＝∠B ．又∵AC ＝4，C Ｄ＝3，由勾股定理，得AD ＝7． ∴sinB ＝sin ∠ACD ＝47，cosB ＝cos ∠ACD ＝43．例2：如图6—3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，写出等于∠A 的正弦的线段比．剖析：根据三角函数定义知，在直角三角形中，角的正弦值等于对边比斜边，余弦值等于邻边比斜边．这里的前提条件一定要注意，是在直角三角形中．错解：sin ＝AB BC AB CD =．正解：sin ＝BCBD ABBC ACCD ==．说明：错解之一是所答线段比ABCD ，因为它们不在同一个直角三角形中，错解之二是所答线段比不全，不全的原因是在三种情况下形成的：一是∠A 是Rt △ABC 和Rt △ACD 的公共角，应有两个比，二是∠A ＝∠BCD ，则sin ＝sin ，三是∠A ＋∠ACD ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°，cosACD ＝sinA ＝ACCD ，cosB ＝sin ∠BCD ＝BCBD ．只不过第三种情况的比包含在前两种情况之中了．例3:如图6—4，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求cos ∠A ．剖析：我们所求的任意一个锐角的三角函数值，都是根据三角函数定义，利用一个直角三角形中相应边的比值来表示．求锐角A 的三角函数值时，要观察∠A 是否存在于一个直角三角形中，如果题中没有给出这样的条件，我们要通过添加辅助线，构造出∠A 所在的直角三角形．解：作△ABC 的高AD 、BE ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BD ＝21BC ＝21³6＝3．在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 AD ＝222235-=-BDAB ＝4．∵S △ABC ＝21BC ²AD ＝21AC ²BE ，∴BC ²AD ＝AC ²BE ， 即6³4＝5³BE ． ∴BE ＝524．在Rt △ABE 中，由勾股定理，得 AE ＝57)524(52222=-=-BEAB ．∴cos ＝257=ABAE ．说明：任意锐角的正弦、余弦值都是存在的，因此在求某一个锐角的正弦值、余弦值时，可把该锐角放到某一直角三角形中（如本例通过添加辅助线，构造出直角三角形），也可以利用某直角三角形中的一个和它相等的角替代（如例1中，求∠B 的三角函数值可转化为求∠ACD 的三角函数值）．例4:计算：cos 245°–︒+︒60sin 2360cos 3＋cos 230°＋sin 245°–sin 230°．剖析：本题主要考查特殊角的三角函数值及数的运算，所以做题时，一是要牢记特殊角的三角函数值，二是运算要准确．解：原式＝(22)2–211＋2323⨯＋(23)2＋(22)2–(21)2＝21–2＋1＋43＋21–41＝21．说明：牢记特殊角的三角函数值是做题的前提，运算正确是关键． 例5：在△ABC 中，若｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数是( ) A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°剖析：本题主要考查非负数的性质及正、余弦函数的有关知识，在△ABC 中，要求∠C 的度数，首先要确定∠B 、∠C 的度数．解：∵｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0，∴｜sin –22｜＝0，(23–cos)2＝0，∴sin –22＝0， 23–cos ＝0．即sin ＝22，cos ＝23．∴∠A ＝45°，∠B ＝30°． ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠C ＝105°． 故应选C ．例6：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则BBA s in c o s c o s ∙的值是( ) A ．ca B ．ac C ．baD ．ab剖析一：四个选择支均为边的比值，因此想到将sinB 、cosB 、cosA 转化边的比，根据锐角三角函数的定义，cosA ＝cb ，sinB ＝cb ，cosB ＝ca ，化简得ca ，所以选A ．剖析二：利用互余两角三角函数间的关系，得cosA ＝sinB ，即Bsin Bcos A cos ⋅＝cosB ＝ca ．因此选A ．说明：(1)在解题中，常常利用锐角三角函数的定义，将锐角三角函数转化为边的比，或将边的比转化成锐角三角函数；(2)求三角函数式的值、化简三角函数式、或证明三角函数恒等式，常常利用互为余角的三角函数间的关系．将不同角的三角函数变为同角的三角函数．例7：若α是锐角，且sin α＝322，求cos α的值．解：如图6—5，设∠A ＝α，∠C ＝90°，不妨设BC ＝22，AB ＝3，∴AC ＝2222)22(3-=-BC AB ＝1．∴cos α＝31=ABAC ．说明：(1)因α是锐角，可构造一个直角三角形，使α是其中的一个锐角，从而转化为利用锐角三角函数定义来解决问题．(2)已知sin α＝322，运用特例的思想，可设BC ＝22，AB ＝3，从而转化为在直角三角形内的问题．这种解法在做选择题、填空题时应用更为广泛．(3)此题还可应用同角之间的三角函数关系求解，这将在以后的学习中学到． 【知识拓展】培养学习数学好习惯学习习惯是长时期逐渐养成的、一时不容易改变的学习行为方式和行为倾向，一个人养成什么样的学习习惯，会对其学习成绩直接产生有利或有害的影响．同学们养成怎样的学习习惯才对学习有利呢？ （1）独立思考的习惯 爱因斯坦说过：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的．” 课堂上对于老师的讲解，不要只是听或认真听，而要经过思考：老师为什么要这样讲？此题为什么要这样解？辅助线为什么要这样添？还有没有其他解法？长期坚持下去，既培养了自己独立思考的习惯，又真正掌握了知识，提高了能力，只有这样才有助于学习成绩的提高．(2)善于求异和质疑的习惯具体内容是：①独立思考问题，自己从书中、演算中或从分析自己的错例中寻找问题的答案，不畏困难，积极思考．②敢于提出自己的疑问并寻根问底，敢于提出自己不同意见．③在解题、讨论或研究问题时能突破条条框框的约束，不墨守成规，能从不同角度多方面的思考问题，寻求出创造性的解题方法．纠正懒于思考，事事依赖老师、家长、同学或单纯靠记忆模仿、照搬等不良的思维习惯．养成求异和质疑的好习惯对发展创造性思维，及将来的进一步学习都有重要的作用．要养成这种好习惯，首先要认真阅读课本，对书上的结论、注解要多问几个为什么；其次在听懂老师讲解后，要独立思考，看看所讲例题有没有别的解法；再次，就是在研究一题多解的基础上，勤积累，多思考．【同步达纲练习】1．选择题(1)下列各式中，正确的是( ) A ．sin60°＝21 B ．cos （90°－30°）＝sin60° C ．cos60°＝21D ．sin 2x ＝sinx 2(2) 21cos30°＋22cos45°＋sin60°²cos60°等于( ) A ． 22B ．23 C ．221+D ．231+(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ：b ＝3：4，则cosB 等于( ) A ．54 B ．53 C ．43 D ．34(4)已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB ＝13，那么sinA 的值是( ) A ．1312 B ．1213C ．131 D ．135(5)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝2，sinA ＝41，则b 的值是( ) A ．21 B ．1C ．215 D ．以上都不对(6)在Rt △ABC 中，各边的长都扩大两倍，那么锐角A 的正弦值( )A ．扩大两倍B ．缩小到一半C ．没有变化D ．不能确定(7)在Rt △ABC 中，sinB ＝23，则cos 2B 等于( )A ．21 B ．23C ．±23 D ．以上答案都不对(8)若0°＜α＜45°，那么cos α–sin α的值( )A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不能确定(9)α是锐角，且cos α＝43，则α( ) A ．0°＜α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．60°＜α＜90°(10)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB ：AC ＝3：2，则∠BC Ｄ的正弦值为( )A ．35 B ．32 C ．23 D ．53(11)在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列叙述中正确的是( ) A ．∠A 的邻边与斜边之比是∠A 的正弦B ．∠A 的对边与邻边之比是∠A 的正弦C ．∠A 的对边与斜边之比是∠B 的余弦D ．∠A 的邻边与斜边之比是∠B 的余弦(12)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则sinA ＋cosA 等于( ) A ．1B ．231+ C ．221+ D ．41(13)下列等式中正确的是( ) A ．sin20°＋sin40°＝sin60° B ．cos20°＋cos40°＝cos60° C ．sin （90°－40°）＝cos40° D ．cos （90°－30°）＝sin60° (14)下列不等式中正确的是( ) A ．cos42°＞cos40°B ．cos20°＜cos70°C ．sin70°＞sin20°D ．sin42°＜sin40°(15)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列等式一定成立的是( ) A ．sinA ＝sinB B ．sinA ＝cosA C ．sin （A ＋B ）＝cos D ．sinA＝cosB（16）化简22)80sin 20(sin 20sin 80sin )80cos 1(︒-︒︒-︒-︒-的结果是( )A ．1–cos80°B ．–cos80°C ．cos80°D ．cos80°–1(17)若α是锐角，sin40°＝cos α，则α等于( ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．不能确定(18)已知α、β是两个锐角，sin α＝0．412，sin β＝0．413，则有( ) A ．α＞βB ．α＜βC ．α＝βD ．不能确定α、β的大小(19)已知α、β是两个锐角，cos α＝0.43，cos β＝0.44，则有( ) A ．α＞β B ．α＜β C ．α＝β D ．不能确定α、β的大小(20)如果α是锐角，且cos α＝54，则sin （90°－α）的值等于( )A ．259 B ．54C ．53 D ．2516(21)在△ABC 中，如果sinA ＝cosB ＝21，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．以上答案都不对2．填空题(1)计算：4sin60°＋23cos30°－6cos 245°＝__________；(2)一个直角三角形的两直角边分别为5和12，则较小锐角的正弦值是__________；(3)化简：︒+︒∙︒-︒90sin 60cos 70sin 470sin 22＋cos20°的结果为__________；(4)若锐角α满足2sin α－1＝0，则α＝__________；(5)不查表，比较大小：sin25°_____sin24°30′，cos82°25′_______cos82°26′； (6)△ABC 的面积为24cm 2，∠B ＝90°，一直角边AB 为6 cm ，则sinA ＝__________； (7)若三角形的三边长之比为1：3：2，则此三角形的最小内角的正弦值为__________； (8)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，b ＝15，则sinA ＋sinB ＝__________；(9)若锐角α满足等式2sin(α＋15°)–1＝0，则∠α＝__________，cos2α＝__________． (10)如果2＋3是方程x 2–8xcos α＋1＝0的一个根，且α是锐角，则α＝__________． (11)若ααααcos sin cos sin -+没有意义，则锐角α__________．3．用符号表示： (1)∠A 的正弦； (2)∠B 的余弦； (3)40°角的正弦； (4)47°5′角的余弦． 4．求下列各式的值：（1）sin30°＋2cos60°；（2）sin 230°＋cos 230°；（3）2sin45°²cos45°； （4）︒︒45cos sin45－1；（5）sin30°²cos45°＋cos30°²sin45°．5．把下列各角的正弦(余弦)改写成它的余角的余弦(正弦)： (1)sin17°； （2）cos39°； （3）sin41°12′； （4）cos62°27′．6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ；先根据下列条件求出∠A 的正弦值和余弦值，然后直接写出∠B 的正弦值和余弦值．(1)a ＝5，c ＝29； （2）b ＝9，c ＝85； （3）a ＝7，b ＝4．7．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作ＤＥ⊥AB ，垂足为E ，连结CE ，求cosAEC 的值．8．已知2＋3是方程 x 2－5x ²sin θ＋1＝0的一个根，θ是锐角，试求sin θ、cos θ的值．参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）D （3）B （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）B （10）A （11）C （12）A （13）C （14）C （15）D （16）B （17）B （18）B （19）A （20）B （21）A 2．（1）23 （2）135 （3）1 （4）45° （5）＞ ＞ （6）54 （7）21 （8）1723 （9）15°23 （10）60° （11）＝45°3．（1）sinA (2)cosB (3)sin40° (4)cos47°5′ 4．(1)23(2)1 (3)1 (4)0 (5)4625．(1)cos73° (2)sin51° (3)cos48°48′ (4)sin27°33′ 6．(1)sinA ＝cosB ＝29295,cosA ＝sinB ＝29292;(2)sinA ＝cosB ＝85852,cosA ＝sinB ＝85859; (3)sinA=cosB ＝65657,cosA ＝sinB ＝656547．cosAEC ＝558．sin θ＝54,cos θ＝53。
4.1 正弦和余弦 (课件)2024-2025湘教版 数学九年级上册
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 3
那么 sin B 的值是____2_____ ．
解题秘方：利用勾股定理求出 AC 的长，紧扣正 弦的定义，明确∠ B 的对边和斜边， 直接求得 sin B 的值 .
课堂新授
(1)a＝6，b＝8； 解：如图4.1-1，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，a＝6，b＝8， ∴ c＝ a2＋b2＝ 62＋82＝10. ∴ sin A＝ac＝160＝35，cos A＝bc＝180＝45.
课堂新授
(2)b＝2，c＝ 10. 解：如图4.1-2，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，b＝2，c＝ 10， ∴ a＝ 6.
∴ sin A＝ac＝
6＝ 10
515，cos A＝bc＝
2＝ 10
510.
4-1. [ 月考·晋江 ] 在△ ABC 中， ∠ C=90° ，a， b，
c 分别是 ∠ A，∠ B， ∠ C 所对的边，且 2b=a+c.
(1)求∠ B 的余弦值； 解：由题意得 b＝12(a＋c)．∵a2＋b2＝c2， ∴a2＋14(a＋c)2＝c2， (a＋c)(a－c)＋14(a＋c)2＝0， (a＋c)(54a－34c)＝0. ∵a＋c≠0，∴a＝35c，∴cosB＝ac＝35.
4.1 正弦和余弦
课堂新授
知识点 1 正弦
1. 正弦的定义：
文字语言
数学语言
图示
在直角三角形中，锐
角α的对边与斜边的 比叫作角α的正弦， 在Rt△ABC中， 记作sin α，即sin α＝ sin α＝ac 角α的对边
《正弦和余弦》教案
《正弦和余弦》教案第一章：正弦和余弦的定义1.1 引入正弦和余弦的概念通过实际情境（如音乐、建筑、航海等）引入正弦和余弦的概念讲解正弦和余弦的定义和符号表示1.2 理解正弦和余弦的性质讲解正弦和余弦的周期性讲解正弦和余弦的奇偶性1.3 练习正弦和余弦的计算提供一些简单的正弦和余弦值计算练习题让学生通过计算来加深对正弦和余弦概念的理解第二章：正弦和余弦的图像2.1 绘制正弦和余弦的图像讲解正弦和余弦函数的图像特点让学生通过绘制正弦和余弦的图像来加深对其性质的理解2.2 分析正弦和余弦图像的性质讲解正弦和余弦图像的峰值、谷值、零点等概念让学生通过分析图像来加深对正弦和余弦性质的理解2.3 练习正弦和余弦图像的识别提供一些正弦和余弦图像的识别练习题让学生通过识别图像来提高对正弦和余弦性质的应用能力第三章：正弦和余弦的和差3.1 讲解正弦和余弦的和差公式讲解正弦和余弦的和差公式的推导过程讲解正弦和余弦的和差公式的应用范围3.2 练习正弦和余弦的和差计算提供一些正弦和余弦的和差计算练习题让学生通过计算来加深对正弦和余弦和差公式的理解和应用能力3.3 应用正弦和余弦的和差公式解决实际问题提供一些实际问题，让学生运用正弦和余弦的和差公式来解决让学生通过解决实际问题来提高对正弦和余弦和差公式的应用能力第四章：正弦和余弦的应用4.1 讲解正弦和余弦在几何中的应用讲解正弦和余弦在直角三角形中的应用讲解正弦和余弦在圆周运动中的应用4.2 练习正弦和余弦在几何中的应用提供一些几何问题，让学生运用正弦和余弦来解决让学生通过解决几何问题来加深对正弦和余弦的理解和应用能力4.3 探索正弦和余弦在其他领域的应用引导学生思考正弦和余弦在其他领域的应用，如物理学、工程学等让学生通过探索来拓宽对正弦和余弦应用的认识第五章：正弦和余弦的综合应用5.1 给出一个综合应用问题给出一个涉及正弦和余弦的综合应用问题让学生通过解决综合应用问题来综合运用所学的正弦和余弦知识5.2 分组讨论和展示解题过程将学生分成小组，让每个小组讨论和展示解题过程鼓励学生互相交流和学习的合作精神强调正弦和余弦的重要性和应用范围第六章：正弦和余弦函数的周期性6.1 回顾周期性的概念复习函数周期性的定义和性质强调周期函数在数学和物理中的应用6.2 探索正弦和余弦函数的周期性讲解正弦和余弦函数的周期性通过图形和实例展示正弦和余弦函数的周期性6.3 练习计算周期提供一些计算正弦和余弦函数周期的练习题让学生通过计算加深对周期性的理解第七章：正弦和余弦函数的相位变换7.1 引入相位变换的概念讲解相位变换对正弦和余弦函数的影响强调相位变换在实际问题中的应用7.2 探索相位变换的规律通过图形和实例展示相位变换的规律讲解相位变换的数学表达式7.3 练习相位变换的计算提供一些计算正弦和余弦函数相位变换的练习题让学生通过计算加深对相位变换的理解第八章：正弦和余弦函数的振幅变换8.1 引入振幅变换的概念讲解振幅变换对正弦和余弦函数的影响强调振幅变换在实际问题中的应用8.2 探索振幅变换的规律通过图形和实例展示振幅变换的规律讲解振幅变换的数学表达式8.3 练习振幅变换的计算提供一些计算正弦和余弦函数振幅变换的练习题让学生通过计算加深对振幅变换的理解第九章：正弦和余弦函数的应用举例9.1 讲解正弦和余弦函数在物理学中的应用举例说明正弦和余弦函数在振动、波动等物理学问题中的应用强调正弦和余弦函数在描述周期性现象中的重要性9.2 讲解正弦和余弦函数在工程学中的应用举例说明正弦和余弦函数在信号处理、电路设计等工程学问题中的应用强调正弦和余弦函数在工程领域的实际应用价值9.3 讨论正弦和余弦函数在其他领域的应用引导学生思考正弦和余弦函数在其他学科和现实生活中的应用鼓励学生探索正弦和余弦函数的广泛影响回顾正弦和余弦函数的定义、周期性、相位变换和振幅变换等关键知识点强调正弦和余弦函数在数学和物理中的核心地位10.2 复习正弦和余弦函数的应用通过实例回顾正弦和余弦函数在各个领域的应用强调正弦和余弦函数在解决实际问题中的重要作用10.3 布置练习和思考题提供一些正弦和余弦函数的练习题和思考题鼓励学生在课后深入学习和思考正弦和余弦函数的知识点重点和难点解析一、正弦和余弦的定义难点解析：正弦和余弦的定义和性质较为抽象，需要通过实际情境和图形来帮助学生理解。
湘教版数学九年级上册4.1.1《正弦和余弦》教学设计
湘教版数学九年级上册4.1.1《正弦和余弦》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.1.1《正弦和余弦》是本册教材中的重要内容，主要介绍了正弦和余弦的概念、性质及其应用。
本节课的内容对于学生来说，既是对以前知识的巩固，又是为后续学习更复杂三角函数奠定基础。
教材从实际问题出发，引入正弦和余弦的概念，并通过大量的例题和练习，使学生掌握正弦和余弦的性质和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于正弦和余弦这两个三角函数的理解，还需要通过具体的例子和实际问题来进行引导和深化。
此外，学生对于实际问题的解决，还需要老师在教学中进行引导和培养。
三. 教学目标1.理解正弦和余弦的概念，掌握它们的性质和应用。
2.能够通过实际问题，引入正弦和余弦的概念，并解决问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.正弦和余弦的概念及其性质的理解和应用。
2.利用正弦和余弦解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实际问题引入正弦和余弦的概念，引导学生通过自主学习和合作学习，掌握正弦和余弦的性质和应用。
同时，运用多媒体教学手段，直观地展示正弦和余弦的变化规律，帮助学生理解和记忆。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.正弦和余弦的图示和实例。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程导入（5分钟）老师通过一个实际问题，如测量一个斜边为10的正弦三角形的两个直角边的长度，引导学生思考正弦和余弦的概念。
呈现（10分钟）老师通过多媒体展示正弦和余弦的图示和实例，让学生直观地感受正弦和余弦的变化规律。
同时，老师引导学生总结正弦和余弦的性质。
操练（10分钟）老师给出一些练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
通过这个过程，让学生加深对正弦和余弦的理解和应用。
巩固（10分钟）老师给出一些实际问题，让学生分组讨论和解决。
通过这个过程，培养学生的合作能力和解决实际问题的能力。
最新九年级数学上册4.1正弦和余弦第2课时45°60°角的正弦值及用计算器求任意锐角的正弦值课件新版
45°，60°角的正弦值及用计算器求任意锐角的正弦值要点感知1 sin45°=___，sin60°=___.预习练习1-1 计算2sin45°的值等于( ) A.2 B.22 C.1 D.21 要点感知2 用计算器求一个锐角的正弦值的方法是：先按功能键sin ，再输出度、分、秒.如：sin →度→DMS →分→DMS →秒→DMS →=.预习练习2-1 用计算器求sin62°20′的值正确的是( )A.0.885 7B.0.885 2C.0.885 5D.0.885 1要点感知3 已知一个锐角的正弦值，用计算器求这个锐角的方法是：2ndF →sin →函数值→=.预习练习3-1 已知sin α=0.368 8，则锐角α=___(精确到1′).知识点1 45°，60°角的正弦值1.sin60°的相反数是( )A.-21B.-33C.-23D.-22 2.在△ABC 中，若sinA=21，sinB=22，以下判断中，你认为最确切的是( ) A.△ABC 是直角三角形B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是普通锐角三角形D.△ABC 是钝角三角形3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，则sinB 的值为( )A.23B.33C.3D.21 4.(栖霞模拟)如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin ∠AOB 的值等于( )A.21B.22C.23D.35.计算以下各题：(1)2sin30°-2sin45°；(2)sin245°+sin30°sin60°.知识点2 用计算器求一个锐角的正弦值及已知正弦值求锐角6.用计算器计算sin35°(精确到0.000 1)的结果是( )A.0.233 5B.0.233 6C.0.573 5D.0.573 67.已知sin α=0.893 8，则锐角α的值为( )A.56°22′30″B.60°18′27″C.63°21′17″D.72°33′15″ 8.用计算器计算以下各锐角的正弦值(精确到0.000 1).(1)20°；(2)23°13′.9.已知以下正弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°).(1)sin α=0.822 1； (2)sinA=0.627 5.10.若∠α的余角是45°，则sin α的值是( ) A.21 B.23 C.22 D.33 11.点M(-sin60°，sin30°)关于x 轴对称的点的坐标是( )A.(23，21)B.(-23，-21)C.(-23，21)D.(-21，-23) 12.Rt △ABC 中，∠C=90°，a ∶b=3∶4，运用计算器计算，∠A 的度数(精确到1°)( )A.30°B.37°C.38°D.39°13.已知α为锐角，且sin(α-10°)=23，则α等于( ) A.50° B.60° C.70° D.80°14.身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁15.用计算器计算以下各锐角的正弦值(精确到0.000 1).(1)35°； (2)15°32′.16.已知以下正弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°).(1)sin α≈0.737 2； (2)sin α≈0.128 8.17.计算以下各题：(1)sin230°+sin260°； (2)(sin30°-1)0-46sin45°sin60°.18.已知：如图，在△ABC 中，AC=9，∠A=48°.求AB 边上的高(精确到0.01).应战自我19.由于sin30°=21，sin210°=-21，所以sin210°=sin(180°+30°)=-sin30°；由于sin45°=22，sin225°=-22，所以sin225°=sin(180°+45°)=-sin45°，由此猜想，推理知：普通地，当α为锐角时有sin(180°+α)=-sin α，由此可知：sin240°=( )A.-21 B.-22 C.-23 D.-3参考答案要点感知1 22,23 预习练习1-1 C预习练习2-1 A预习练习3-1 21°38′1.C2.D3.A4.C5.(1)原式=0. (2)原式=21+43.6.D7.C8.(1)sin20°≈0.342 0.(2)sin23°13′=0.394 2.9.(1)α≈55.3°.(2)∠A ≈38.9°.10.C 11.B 12.B13.C 14.D 15.(1)sin35°≈0.573 6.(2)sin15°32′=0.267 8.16.(1)α≈47.5°；(2)α≈7.4°. 17.(1)原式=1. (2)原式=-5.18.作AB 边上的高CH ，垂足为H ，∵在Rt △ACH 中，sinA=ACCH ，∴CH=A C ·sinA=9sin48°≈6.69.成都七中实验学校 2015-2016学年（上期）第一学月考试八年级语文考生留意：1．开考之前请考生将本人的考室号、座号等信息精确的填写在指定的地位，一切答案都写在答题卷上，对错误填写的考生成绩以0分计算。
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》教学设计1
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》教学设计1一. 教材分析《正弦和余弦》是湘教版数学九年级上册第四章第一节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初高中数学的衔接部分。
本节课主要介绍了正弦和余弦的概念以及它们的定义方法。
通过本节课的学习，学生可以更好地理解三角函数的概念，为后续的三角函数学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数的概念已经有了一定的了解。
但是，对于正弦和余弦的定义以及它们的联系和应用可能还不是很清楚。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过自主学习、合作交流等方式来深入理解正弦和余弦的概念，并能够应用到实际问题中。
三. 教学目标1.理解正弦和余弦的概念，掌握它们的定义方法。
2.能够运用正弦和余弦解决一些简单的实际问题。
3.培养学生的合作交流能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：正弦和余弦的概念及其定义方法。
2.难点：正弦和余弦在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.自主学习：引导学生通过自主学习，深入理解正弦和余弦的概念。
2.合作交流：学生进行小组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。
3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用正弦和余弦解决实际问题。
4.媒体辅助：利用多媒体课件，生动形象地展示正弦和余弦的定义过程。
六. 教学准备1.多媒体课件：制作正弦和余弦的定义课件，以便于生动形象地展示教学内容。
2.实际问题：准备一些与正弦和余弦相关的实际问题，用于课堂练习和巩固。
3.学习资料：为学生准备相关的学习资料，以便于学生自主学习和合作交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些与正弦和余弦相关的实际问题，引导学生思考正弦和余弦的概念。
2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，生动形象地展示正弦和余弦的定义过程，同时引导学生进行自主学习，深入理解正弦和余弦的概念。
3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。
新湘教版九年级数学上册课件：余弦
用计算器求锐角的余弦值,要用到 cos 键:
例如：求cos16°,cos42°的值.
cos16° cos cos42° cos
按键的顺序
1
6
=
4
2
=
显示结果 0.961 261 695 0.743 144 825
由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.
1．用计算器求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）：
的余弦， 记作 cos，
cos
角的邻边
斜边
.
根据上述证明过程看出：对于任意锐角α，有
cos＝sin 90- ，
sin＝cos90 ．
例
题
求 cos30 ，cos 60 ，cos 45 的值．
cos30 sin 90 30 sin 60 3 ,
2
cos 60 sin 90 60 sin 30 1 ,
2
cos 45 sin 90 45 sin 45 2 .
2
1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， AC=5，
练习
AB=7．求 cos A ，cos B 的值． B
答案： cos A 5 , cos B 2 6 .
操作（１） cos 50 0.6428 （２） cos 70 0.3420
（３） cos15 0.9659
如何用计算器求 sin1036, cos 7523 呢？
由于1si°n=6100′，因3660此 10，36就 得1到0 它3660的值 ，．从而用计算器去求
2
45
cos2
45
1 2
2 2
2
5..4.1正弦函数、余弦函数的图象 课件
高中数学必修第一册
知识小结
3.函数 = , ∈ 的图象：
余弦函数的图象叫做余弦曲线，它是与正弦函数具有相同形状的“波
浪起伏”的连续光滑曲线.
高中数学必修第一册
问题探究
探究：8.类似于“五点法”作正弦函数的图象，如何作出余弦
函数的图象？
高中数学必修第一册
问题探究
探究：8.类似于“五点法”作正弦函数的图象，如何作出余弦
（1） = 1 + , ∈ [0,2]；
x
0
2
3
2
2
sin x
0
1
0
-1
0
1 sin x
1
2
1
0
1
高中数学必修第一册
典例精析
例1 画出下列函数的简图：
（2） = −, ∈ [0,2].
x
0
2
3
2
2
cos x
1
0
-1
0
1
cos x
-1
0
1
0
-1
往往起重要的作用.你能画出函数 = , ∈ [0,2]图象的
简图吗？在确定图象形状时，应抓住哪些关键点？
五点(画图)法：
高中数学必修第一册
问题探究
探究：7.由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对
密切关联的函数.你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些
关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余
R
R
[-1,1]
[-1,1]
奇偶性
奇函数
偶函数
对称中心
对称轴
高中数学必修第一册
【教案】4.1正弦和余弦
4.1 正弦和余弦（第一课时）教学目标1、知识与技能：能根据正弦概念正确进行计算，通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、过程与方法：经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实3、态度、情感、价值观：发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
教学重点：理解认识正弦（sinA ）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．教学难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
教具：课件、多媒体展台、小黑板教学方法：讲练结合、点拨与讨论结合学具：教学过程及教学内容设计：（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。
（演示学校操场上的国旗图片） 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度； 实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度。
这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。
下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。
现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB根据“再直角三角形中，30o 角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角 341米 10米 ?的对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC 中，∠C=90o ，由于∠A=45o ，所以Rt△ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得，故结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠A=∠A`=α，那么与有什么关系分析：由于∠C=∠C` =90o ，∠A=∠A`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，，即结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值。
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第四章锐角三角函数
4.1 正弦和余弦（1）
课标要求：通过实例认识正弦函数。
目标达成：
（1）使学生理解锐角正弦的定义。
（2）会求直三角形中锐角的正弦值。
（3）使学生经历探索正弦定义的过程。
逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力。
（4）通过探索、发现、培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯。
教学重点难点：
重点：
理解和掌握锐角正弦的定义。
根据定义求锐角的正弦值。
难点：
探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程
教学过程:
一创设情景引入新课
如图4—1 一艘轮船从西向东航行到B处时，灯塔A
在船的正北方向轮船从B处继续向正北方向航行2000m
到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65°的方向；试问：
C处和灯塔A的距离AC约等于多少米（精确到10m）？
（课件演示）
启发：你能建立一个方位图，根据题意把这个实际问题转化为数学问题吗？
由题意△ABC是直角三角形，其中∠B＝90°,∠A＝65°，∠A所对的边(简称对边)BC＝2000m，如何求斜边AC的长度呢？
实用文档 1
实用文档 2 能否使用已学的直角三角形的有关知识来解决？
学习本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”（第一课时）
二 自主学习：
1. 如图;在直角三角形ABC 中∠C=900，你能分别
指出∠A 和∠B 的对边和邻边吗？
由于各人画的直角三角形大小不一样，所以量得的长度也不一样，但比值为什么相等呢？学生议论纷纷，激起疑问。
我的疑问：
三 合作探究
1. 探究新知
发现:在有一个锐角为65°直角三角形中，
65°角的对边与斜边的比值是常数，它约等于0.9。
三角形相似对应边成比例。
可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数
现在你能解决轮船航行到C 处时与灯塔A 的距离约等于多少米的问题吗？
定义：在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫角α 的正弦，记作Sin α 即
如图: C A B
）？
精确到么学的比较，你会发现什将自己的计算结果和同的对边与斜边的比值求并通过测量、计算，
，使作1.0(,.6590,.200A A C ABC Rt ∠=∠=∠∆斜边的对边角a Sina ＝。