第5章恒定电磁场分析

可以用上式计算各种形状的载流回路在外磁场中受到的力和力 矩。对以速度v运动的点电荷q，其在外磁场B中受的力是
F qv B
如果空间还存在外电场E，电荷q受到的力还要加上电场力。这样，
就得到带电q以速度v运动的点电荷在外电磁场(E，B)中受到的电
磁力为
F q(E v B)
上式称为洛仑兹力公式。
例 求载流I的有限长直导线外任一点的磁场。
I SJ dS SJ cosdS
JS
lim
S 0
I l
n
dI dl
n
J v
面电流密度
5.1.2 电荷守恒定律
S
J
dS
dq dt
d dt
V
dV
SJ
dS
V
t
dV
V
J
t
dV
0
要使积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即
J 0
t
0
t
J 0
SJ dS 0
5.1.3
与其相应的积分形式为
SJ dS 0 l E dl 0
电流密度J与电场强度E之间满足欧姆定律J=σE。 以上的电场是指库仑场， 因为在电源外的导体中， 非库仑 场为零。 因恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位φ, E= -▽φ。 在 均匀导体内部(电导率σ为常数)，有
E ( ) 2 0
5.1.1 电流密度
电流密度
返回
设通过ΔS的电流为ΔI，则该点处的电流密度 J为 J lim I n dI n S0 S dS
电流密度的单位是安培/米3(A/m3)。导体内每一点都有一个电流密度， 因而构成一个矢量场。称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做 电流线。
可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情况下，电流 密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积S的电流就等于电 流密度J在S上的通量，即
C 4a
所以导体球的接地电导为 G 4a
接地电阻为
R 1 1
G 4a
5.2 磁 感 应 强 度
安培定律
安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路C1上任一线元dl1对 另一载有电流I2的回路C2上任一线元dl2的作用力表示为
dF12
0 4
I2dl2 (I1dl1 R) R3
F12
0 4
U
b
Edr
a
I
4
1 a
1 b
漏电电导为 G 1 4ab
U ba
也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏
电电阻R：
P
J EdV
V
b a
I2
(4r
2
)
4r
2dr
I2
4
1 1 a b
R
P I2
1
4
1 a
1 b
5.1.7 恒定电流场与静电场的比拟
恒定电场与静电场的比较
J E
表 5-1 常用材料的电导率
材料 铁(99.98 % )
黄铜 铝 金 铅 铜 银 硅
电导率σ/(S/m) 107
1.56× 107 3.55× 107 3.10× 107 5.55× 107 5.80× 107 6.20× 10 1.56× 10-3
电动势
A
BE'dl l E dl 0
C2 C1
I2dl2 (I1dl1 R) R3
F12
C2
I 2dl2
u0
4
C1
I
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2dl1 R
3
R
令
B 0
4
I1dl1 R
R C1
3
若电流不是线电流，而是具有体分布的电流J，则有
B(r) 0
4
V
J
(r') R3
RdV '
B(r) 0
4
S
JS
(r' ) R3
RdS'
dF Idl B
第五章 恒定电流的电场和磁场
5.1
（25.26学时）
5.2
5.3 恒定磁场的基本方程
5.5 矢量磁位 （27.28学时）
5.5 磁偶极子
5.6 磁介质中的场方程
5.7 恒定磁场的边界条件 29.30学时）
5.8
5.9 互感和自感 （31.32学时）
5.10 磁场能量
5.11 磁场力
返回
第25.26学时 5.1 恒定电流的电场
径为a, 外导体的内半径 为b，内、 外导体间填充 电导率为σ的导电媒质， 如图 5-5 所示，求同轴线 单位长度的漏电电导。
同轴线横截面
解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体， 设
流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内
任一点的电流密度和电场为
J
1
4r2
er
E
1
4 r 2
er
内、外导体间的电压为
解： 取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标
中计算。
B(r) 0
4
Idl'R C R3
从对称关系能够看出磁场与坐标φ无关。不失一般性，将场点
A
BE'dl l (E E' ) dl
5.1.5 焦耳定律
当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间 内电场力对电荷所作的功，即功率是
P UI
在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS的体积 元，该体积元内消耗的功率为
P UI ElI EJlS EJV
当ΔV→0，取ΔP/ΔV的极限，就得出导体内任一点的热功 率密度，表示为
当
2 2
1时， 1
分界面上面电荷密度为零。
应用边界条件，可得
tan1 1 tan2 2
可以看出，当σ1>>σ2，即第一种媒质为良导体时， 第二种媒质为不良导体时，只要θ1≠π/2, θ2≈0，即在 不良导体中，电力线近似地与界面垂直。这样，可 以将良导体的表面看作等位面。
例 设同轴线的内导体半
两极板间的电场
C q U
E dS
S 2
E dl
1
G 1 U
D dS
S 2
E dl
1
C 1n d a a
G 1n d a a
例 计算深埋地下半径为a的导体球的接地电阻。设土壤的
电导率为σ0。
解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将 导体球看作等位体。用静电比拟法，位于电介质中的半径 为a的导体球的电容为
5.1.6 恒定电流场的边界条件
边界条件
恒定电流场的边界条件为
n (E2 E1) 0
或
n (J2 J1) 0
J1n J 2n
E1t E2t
在恒定电场中，用电位φ表示的边界条件为
1 2
1
1
n
2
2
n
S
D2n
D1n
2 2
J2n
1 1
J1n
J
n
2 2
1 1
式中，Jn=J1n=J2n,
p lim P EJ E2
V 0 V
或
p JE
此式就是焦耳定律的微分形式。
应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电 流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不 是转变为电荷与晶格碰撞的热能。
5.1.5 恒定电流场的基本方程
电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下： J 0 E 0