牛顿法和弦割法

| g(x)|L
则 1 o .方 程 x g ( x ) 在 [ a ,b ] 内 有 唯 一 解 x *
2 o . 对 于 任 意 初 值 x 0 [ a , b ] , 迭 代 法 x k 1 g ( x k ) 均 收 敛 于 x *
3o. x*xk 1 1Lxk1xk
(局部收敛性)
4o.
显然, p越大,收敛速度也就越快
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那么,如何确p定 ,从而确定收敛阶不呢可？能直接确定
如 果 迭 代 函 数 g ( x ) 在 精 确 解 x * 处 充 分 光 滑 , 即 处 处 可 导
将 g (x )在 x * 作 T a y lo r 展 开 ,有
g (x ) g ( x * ) g (x * ) (x x * ) g (x * )(x x * ) 2 L 2 !
xk1
x*
g(
p)(x*) p!
(xk
x*)p
g(p1)(x*) (p1)! (xk
x*)p1L
xk1 x * xk x * p
g(p)p(!x*)g((p p1 )(1x)* !)(xkx*)L
g( p) (x*) p!
,(k
)
即 迭 代 法 x k 1 g ( x k ) 的 收 敛 阶 是 p
g(p 1 )(x* )(xx* )p 1g(p)(x* )(xx* )p L
(p 1 )!
p!
如 果 g(x* )g(x* ) Lg(p1)(x*)0 而g(p)(x*)0
g(p)(x*) g(x)g(x*)
(xx*)p
L
p!
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xk1 g(xk) g(x*)g(p)p(!x*)(xkx*)pL
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定理3
对 于 f( x ) 0 ， 若 存 在 区 间 ( a ,b ) ， 使
1 、 在 (a ,b )内 存 在 方 程 的 单 根 x * ;
2 、 f(x)在 (a ,b )内 连 续 。
则 牛 顿 迭 代 法 在 x * 附 近 具 有 局 部 收 敛 性 。
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牛顿迭代过程产生的迭代序列xk收敛
于方程f(x)0在[a,b]上的唯一实根x*
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例 用Newton迭代法求方程的根:
x33x10
y f(x)
解: 设 f(x)x33x1
f(x)3x2 3
x* xk 1 xk
由Newton迭代法
xk1
xk
f (xk ) f (xk )
xk
xk3 3xk 1 3xk2 3
xk 1 xk 1
x*
xk
A
cot f(xk)
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例6. 用简化Newton法和弦截法解例(5)中方程的根， 并和Newton 迭代法比较 x33x10
x*xk
Lk 1L
x1x0
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定理2 若 存 在 区 间 (c,d)使
（ 1） xg(x)在 (c,d)内 有 实 根 x*. (2)g(x)在 (c,d)内 连 续 且 g(x*)1;
则 迭 代 法 x k 1 g ( x k ) 在 x * 附 近 具 有 局 部 收 敛 性 。
这种格式称为弦截法 收敛阶约为1.618
如 ,A 图 的 B 斜 K A B 率 f(x x kk ) 为 x fk ( x 1 k 1 )
tanf(xk)f(xk1)
xk xk1
xk 1xkf(xk)f (x fk( )xk 1)(xkxk 1)
xkcot f(xk)
几何意义
B y f(x)
三、Newton迭代法的变形
Newton迭代法
xk1
xk
f (xk ) f (xk )
需要求每个迭代点处的导数 f (xk )
--------(12) 复杂！
如 果 用 数 值 导 数 代 替 f(x k ) f(xk)f(xxkk) xfk(x1k1)
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则Newton迭代法变为 xk 1xkf(xk)f (x fk( )xk 1)(xkxk 1) --------(14)
定理5. 如 果 迭 代 法 迭 代 函 数 g ( x ) 在 根 x * 附 近 满 足 ：
(1 )g (x )存 在 p 阶 导 数 切 连 续 ；
(2 )g (x * )g (x * ) Lg(p1)(x*)0, 而g(p)(x*)0
则 迭 代 法 x k 1 g ( x k ) 的 收 敛 阶 是 p
若 采 用 x e x 的 形 式 需 1 7 次 ；
可 见 用 牛 顿 法 收 敛 速 度 很 快 。
牛顿法应用举例
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评价：牛顿法的优点是收敛速度快。 缺点是每一步都要计算f(x) 的导数， 计算量大且有时计算较困难； 二是初始值要取到根附近才能保证收敛。
如何克服以上缺点？
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定理4
对 于 f( x ) 0 ， 若 存 在 区 间 [ a ,b ] ， 使
1 、 f(x)在 [a ,b ]内 连 续 ;
2、 f(a)f(b)0;
3 、 对 任 意 x [ a ,b ] 都 有 f( x ) 0 ; 4 、 f(x)在 [a ,b ]上 保 号 。
则当初值x0[a,b]且f(x0)f(x0)0时，
x * 的 一 个 邻 域 S ， x 0 S ， x k 收 敛 于 x *
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定义1. 若存在 p1 实 和 c 数 0满足
lim
k
x * xk1 x * xk p
c
则称迭 p阶 代 收 ,法 当 p 敛 1时称为线 ,p性 1时收 称为超线 ,p性 2时收 称敛 为平方收敛
数值计算方法
牛顿法与弦割法
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定理1. 设 迭 代 函 数 g ( x ) 在 [Fra Baidu biblioteka ,b ] 上 连 续 ,且 满 足
( 1 )当 x [ a ,b ] 时 ,a g ( x ) b ; (2 )存在 L ,满 一 0 足 L 正 1 ,且 数 x [a ,b ]有 ,
取初 x0 值 0.5,得
Newtonddf.m
x0 =0.5; x1 =0.3333333333 x2 =0.3472222222 x3 =0.3472963532 x4 =0.3472963553
迭代四次 精度达10-8
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用 牛 顿 法 解 方 程 x e x 1 0
取 x 0 0 .5 ， 迭 代 3 次 得 到 解