【解析版】广东省广州市2013届高三毕业班综合测试数学理试题(一)2013广州一模

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【解析版】广东省广州市2013届高三毕业班综合测试数学文试题(一)

试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2013．3本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

2．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则 A ．U A B = B ．U =()U A ðB C ．U A = ()U B ð D ．U =()U A ð()U B ð【答案】D【解析】由{}2,4,6U C A =，{}1,3,5U C B =，则()()U U U C A C B = 。

广东省广州市2013年高三调研测试试题(理科)数学

试卷类型：A广东省广州市2013届高三年级调研测试数学（理科） 2013.1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i )对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{ 3．已知函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 A ．9 B ．19 C ．9- D ．19- 4.设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是 A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-x C ．()fx =)62cos(π+x D ．()f x =)32cos(π+x俯视图侧视图正视图图16．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是 A ．3 B ．C ．6 D ．87．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b+=表示焦点在x 的椭圆的概率为A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 8．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是 A ．17,⎡⎤-⎣⎦ B ．(3,⎤-∞⎦ C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为.10.若291()ax x-的展开式的常数项为84，则a 的值为 .11.若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 . 12.圆2224150x y x y +++-=上到直线20x y -=的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图，则输出S 的值是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图3，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是图4M NBCDAP15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值；(2) 求2C cos 的值. 17.（本小题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列.18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PA ^面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 求证：MN //面PAD ；（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.19.（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线P OA OB ^，OA OB OC uu r uu u r uu u r+=，OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程；(2) 求四边形AOBC 的面积的最小值.20.（本小题满分14分）在数1和2之间插入n 个实数,使得这2n +个数构成递增的等比数列,将这2n +个数的乘积记为n A ,令2n n a A log =,n ∈N *. (1)求数列{}n A 的前n 项和n S ；(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅ .21.（本小题满分14分）若函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”.(1) 判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”，并说明理由； (2) 若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设sin n n y x =,求证： 1114n y y +-<.广州市2013届高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．28 10. 1 11. -e 12. 4 13. 301814. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解:∵123a b B ,,π===,依据正弦定理得:a bA Bsin sin =, …………… 1分即1Asin =解得A sin =. …………… 3分 (2)解:∵a b <， ∴02A B π<<<. …………… 4分∴4A cos ==. …………… 5分∴228A A A sin sin cos ==, …………… 6分 252128A A cos sin =-=. …………… 7分 ∵ABC π++=, ∴23C A π=-. …………… 8分 ∴4223C A cos cos π⎛⎫=-⎪⎝⎭…………… 9分 442233A A coscos sin sin ππ=+ …………… 10分152828=-⨯-⨯=-. …………… 12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为5011002=. ∴应从,,,A B C D 四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分（2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C 250=1225种，… 5分这两名学生来自同一所中学的取法共有C 215+C 220+C 210+C 25=350. …………… 6分 ∴()3501225P M ==27. 答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为27. …………… 7分(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10.E MNDCBAPMNDCBAP依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， …………… 8分()0P ξ==210225C C 960=， ()1P ξ==111510225C C C =12，()2P ξ==215225C C 720=. …………… 11分 ∴ξ的分布列为：…………… 12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）（1）证法1：取PA 的中点E ，连接DE EN ,， ∵点N 是PB 的中点, ∴12EN AB EN AB //,=. …………… 1分 ∵点M 是CD 的中点，底面ABCD 是正方形，∴12DM AB DM AB //,=. …………… 2分 ∴EN DM EN DM //,=. ∴四边形EDMN 是平行四边形.∴MN DE //. …………… 3分 ∵DE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN //面PAD . …………… 4分证法2：连接BM 并延长交AD 的延长线于点E ，连接PE ， ∵点M 是CD 的中点，∴12DM AB DM AB //,=, …………… 1分 ∴点M 是BE 的中点. …………… 2分∵点N 是PB 的中点,FEMNDCBAP ∴MN PE //. …………… 3分 ∵PE ⊂面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN //面PAD . …………… 4分证法3：取AB 的中点E ，连接NE ME ,， ∵点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,∴ME AD //，NE PA //. ∵AD ⊂面PAD ，ME ⊄平面PAD ，∴ME //面PAD . …………… 1分 ∵PA ⊂面PAD ，NE ⊄平面PAD ，∴NE //面PAD . …………… 2分∵ME NE E = ，NE ⊂平面MEN ，ME ⊂平面MEN ，∴平面MEN //面PAD . …………… 3分∵MN ⊂平面MEN ，∴MN //面PAD . …………… 4分（2）解法1：∵NE PA //，PA ^面ABCD ，∴NE ^面ABCD . …………… 5分 ∵AM ⊂面ABCD ，∴NE AM ⊥. …………… 6分过E 作EF AM ⊥，垂足为F ，连接NF ，∵NE EF E = ，NE ⊂面NEF ，EF ⊂面NEF ，∴AM ⊥面NEF . …………… 7分 ∵NF ⊂面NEF ，∴AM NF ⊥. …………… 8分∴NFE ∠是二面角N AM B --的平面角. …………… 9分在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 10分在Rt △MEA 中，32AE =，得AM ==，5AE ME EF AM ==g . …………… 11分在Rt △NEF中，5NF ==， …………… 12分cos EF NFENF ?=…………… 13分 ∴二面角N AM B --. …………… 14分解法2：∵NE PA //，PA ^面ABCD ， ∴NE ^面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 5分以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴()004EN ,,= ，3302AM ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………… 8分设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅= ，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1x =，得2y =-，34z =. ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又()004EN ,,=是平面AMB 的一个法向量， …………… 12分cos , n EN ==n ENnEN. …………… 13分 ∴二面角N AM B --的余弦值为89. …………… 14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,，∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 2分 ∴()222121212222y y y y y y x +-+==，① …………… 3分122y y y +=. ② …………… 4分 ∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=.∴2212120y y y y +=. …………… 5分依题意知120y y ≠，∴121y y =-. ③ …………… 6分把②、③代入①得：2422y x +=，即()2112y x =-. …………… 7分∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形，∴四边形AOBC 的面积为S OA OB = =⋅…………… 9分===…………… 11分∵22121222y y y y +≥=，当且仅当12y y =时，等号成立， …………… 12分∴2S ≥=. …………… 13分∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-. …………… 1分故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=. 解得0x =或21x k=. …………… 2分 ∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭. …………… 3分同理得点B 的坐标为()2k k ,-. …………… 4分∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 5分设点M 的坐标为()x y ,,则221212k kx k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩ …………… 6分消去k ,得()2112yx =-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅ (9)分=…………… 10分≥…………… 11分 2=. …………… 12分当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立. …………… 13分 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1)解法1:设1232n b b b b ,,,,+ 构成等比数列,其中1212n b b ,+==,依题意,1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅ , ① …………… 1分 2121n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅ , ② …………… 2分由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅==⋅= , …………… 3分①⨯②得()()()()212211221n n n n n A b b b b b b b b ++++=⋅⋅⋅⋅ 22n +=.…………… 4分∵0n A >, ∴222n n A +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分解法2: 设1232n b b b b ,,,,+ 构成等比数列,其中1212n b b ,+==,公比为q ,则121n n b b q ++=,即12n q +=. …………… 1分依题意,得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅ ()()()211111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅⋅ …………… 2分()()212311n n b q++++++=⋅ …………… 3分()()122n n q ++= …………… 4分222n +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 (2)解: 由(1)得2n n a A log =222222n n log ++==, …………… 9分 ∵()()()11111n nn n n ntan tan tan tan tan tan +-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅, ……………10分∴()()1111n nn n tan tan tan tan tan +-⋅+=-,n ∈N *. ……………11分∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅ 2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅++ ()()12n n tan +⋅+()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫--=-+-++- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()221n n tan tan tan +--. …………… 14分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） (1) 解：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”；设()sin x x x ϕ=-，则()1c o s 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数，不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-. ① …………… 1分又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ② …………… 2分由①、②得 212121()sin sin x x x x x x --<-<-.因此,2121sin sin x x x x -<-，对12x x <都成立. …………… 3分当12x x >时，同理有2121sin sin x x x x -<-成立又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=，故对任意的实数1x ，2x ∈R ,均有2121sin sin x x x x -≤-.因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”. …………… 5分由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- …………… 6分取13x =，22x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， …………… 7分因此， 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. …………… 8分（2）证明:由（1）得：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-，所以 11n n n n y y x x ++-≤-. …………… 9分而121(21)n n x x n +-≤+，∴ 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++. …………… 10分 ∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++- ,……… 11分 ∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++- . …………… 12分 ∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n +-≤-+-++-+- 11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ …………… 13分14<. …………… 14分。

2013 广东各地一模理数打包 (一)广州深圳佛山揭阳梅州肇庆东莞

2013广东各地高考一模理数打包：广州佛山深圳揭阳肇庆梅州东莞广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y ax x y y x x b ni i ni ii-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121，其中y x ,表示样本均值。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}4,2{=B ，则 A.B A U ⋃= B.B A C U U ⋃=)( C.)(B C A U U ⋃= D.)()(B C A C U U U ⋃=2.已知bi ia+=-11，其中a,b 是实数，i 是虚数单位，则a+bi= A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i3.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.34.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是A.6π B.3π C.2π D.32π5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A.2B.1C.32D.316.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增 B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增 D.偶函数且在],2[ππ上单调递增7.已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x 的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f << D.)()1()(a f f b f <<8.如图2，一条河的两岸平行，河的宽度d=600m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知km AB 1=，水流速度为2km/h ，若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为A.8km/hB.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题） 9.不等式x x ≤-1的解集是_________.10.⎰=1._______cos xdx11.某工厂的某种型号机器的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有下表的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=，据此模型估计，该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元（结果保留两位小数）.12.已知1,0≠>a a ，函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ，若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25，则a 的值为________. 13.已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分，则.________)(______,)3(n f f =（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点)23,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 与⊙O交于点D ，若BC=3，516=AD ，则AB 的长为______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函)4sin()(πω+=x A x f （其中0,0,>>∈ωA R x ）的最大值为2，最小正周期为8．(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P ，Q 的横坐标依次为2，4，O 坐标原点，求POQ ∆的面积.17.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为,21乙，丙做对的概率分别为m,n(m>n)，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：ξ0 1 2 3P41 a b241 (1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望.18.（本小题满分14分）如图4，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，⊥1AA 平面ABC ，D ，E 分别是CC 1，AB 的中点.(1)求证：CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点，当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时，求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.19.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且nna a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数，且p,q,r 成等差数列，试判断1,1,1---r q p a a a是否成等比数列？并说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -，点A （2，3）在椭圆C 1上，过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B ，C 两点，抛物线C 2在点B ，C处的切线分别为21,l l ，且1l 与2l 交于点P.(1)求椭圆C 1的方程； (2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ，关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ，其中m 为非零常数.设1)()(-=x x f x g . (1)求a 的值；(2))(R k k ∈如何取值时，函数)1ln()()(--=x k x g x φ存在极值点，并求出极值点；(3)若m=1，且x>0，求证：*)(22)1()]1([N n x g x g n n n ∈-≥+-+参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBCDACAB二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 10．1sin 11．12.38 12．12或27 13．8，22n n -+14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， ……………4分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， …………5分∴(2,2),(4,2)P Q -. ∴6,23,32OP PQ OQ ===. ……………8分∴()()()222222632233cos 232632OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===⨯.…10分 ∴21POQ POQ sin cos ∠=-∠=63. ……………11分 ∴△POQ 的面积为116632223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯32=. ………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， ……………4分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ……………5分∴(2,2),(4,2)P Q -.∴(2,2),(4,2)OP OQ ==-. ……………8分∴63cos cos ,3632OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===⨯. ……………10分 ∴21POQ POQ sin cos ∠=-∠=63. ……………11分 ∴△POQ 的面积为116632223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯32=. ………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， ………4分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ……………5分∴(2,2),(4,2)P Q -.∴直线OP 的方程为22y x =，即20x y -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为42233d +==. ……………9分∵6OP =， ……………11分∴△POQ 的面积为1162322SOP d =⋅=⨯⨯32=.……………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12PA PB m PC n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=.…………3分（2）由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分整理得 112mn=，712m n +=. 由mn >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1aP P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， …9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分H FABCA 1C 1B 1DE18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF .∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF⊂平面1ABD ，CE ⊄平面1ABD ， ∴CE ∥平面1ABD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，332CE AB ==.∵AB⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ，∴CE⊥平面1A AB . ……………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分 ∵3CE =，在R t △CEH 中，tan 3CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EHAB ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan 3CE EHC EH EH∠===152.∴255EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ，CE⊥平面1A AB ，z yxH ABCA 1C 1B 1DE F∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分∵AB ⊂平面1A AB ，1AB ⊂平面1A AB ， ∴BF⊥AB ，BF ⊥1AB . ……………11分∴1ABA ∠为平面1ABD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分在R t △EHB 中，22BH EB EH =-=55，cos 1ABA ∠55BH EB ==.…13分 ∴平面1ABD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值为55. ……………14分解法二：（1）证明：取1AB 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点， ∴EF ∥1AA ，且112EFAA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF⊂平面1ABD ，CE ⊄平面1ABD ， ∴CE ∥平面1ABD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，332CE AB ==.∵AB⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ，∴CE⊥平面1A AB . ……………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵3CE =，在R t △CEH 中，tan 3CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EHAB ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan 3CE EHC EH EH∠===152.∴255EH =. ……………9分在R t △EHB 中，2255BHEB EH =-=. ∵R t △EHB ～R t △1A AB ，∴1EH BHAA AB=，即1255552AA =. ∴14AA =. ……………10分以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A,,，1A ()004,,，B ()310,,，D ()02,,2.∴1AA = ()004,,，1AB =()314,,-，1AD =()02,,-2. 设平面ABD 1的法向量为n =()x y z ,,，由n B A 1⋅，n 01=⋅D A ，得340220x y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y=，则13z x ==,.∴平面ABD 1的一个法向量为n =()311,,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA 55. ……………13分 ∴平面1ABD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值为55. ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2nn a a a na n S n ++++=-+ ，∴ 当1n=时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2nn a a a na n S n ++++=-+ , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++ , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分当2n≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S nS S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分由12224a a S +=+，得24a =， ∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2n n a =. …………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. …………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， …………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222p r q +=⨯. （*） ……………11分∵p r ≠，∴2222222p r p r q +>⨯=⨯，这与(*)式矛盾，故假设不成立.…13分 ∴111pq r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244xx x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214yx ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222412x x x y -=. ③ ………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214yx ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理，20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=2， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214yx ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x yx x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=. 化简得271230kk --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+. ∴2a=-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为212412k k mx ,+-+=<222412k k m x ,+++=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分 ②当0m<时，由0Δ>,得2k m <--或2k m >-，若2k m <--，则212412k k m x ,+-+=<222412k k mx ,+++=<故x∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若2k m >-时，212412k k m x ,+-+=>222412k k mx ,+++=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m<时，2k m >-，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中21242k k m x +-+=, 22242k k mx +++=)解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=, 得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为21242k k m x +-+=, 22242k k mx +++=.设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m>,此时,k 取任意实数, (**)成立.则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得2k m >-或2k m <--,故2k m >-. ……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m<时，2k m >-，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中21242k k m x +-+=, 22242k k mx +++=)(2)证法1：∵1m=， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++ . ……………10分令T 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ ，则T122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ .∵x0>，∴2T()()()122244122n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------=++++++ …11分≥122244122222n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ …12分()1212n n n n C C C -=+++()12102n n n nn n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分∴22n T≥-，即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n=时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()11112222k k k x x x x--≥⋅⋅-+⋅ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N*，()()1122nn n gx g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回．参考公式：①柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．②锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．2013-1-25 ③标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为样本12,,,n x x x 的平均数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55--2．命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是A ．2,11x x ∀∈+<R B ．2,11x x ∃∈+≤R C ．2,11x x ∃∈+<R D ．2,11x x ∃∈+≥R3．已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k = A ．2 B ．8 C ．2- D ．8-4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．9 B ．10C ．11D ．232221 31 正视图侧视图俯视图第4题图5．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛6．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．3-B ．12C ．5D ．67．已知集合{}|4||1|5Mx x x =-+-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b = ,则a b +=A ．6B ．7C ．8D ．9 8．对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是 A ．(0,1) B ． (0,2) C ．15(,)22D ．(1,3)二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题) 9．已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()f x =2log x ，则1(())4f f 的值等于．10．已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是_____．11．函数sin sin 3y x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最小正周期为，最大值是．12．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得ξ0 1 2 3 P6125ab24125第5题图A 等级的概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望ξE 的值为______________. 13．观察下列不等式： ①112<；②11226+<；③11132612++<；… 则第5个不等式为．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为． 15．（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ．若3AD AE =，则:AF FC = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，45C ∠=，D 为BC 中点，2BC =. 记锐角ADB α∠=．且满足7cos225α=-．（1）求cos α；（2）求BC 边上高的值．第15题图F ABCD E Ml第16题图CBD A17．（本题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-，数列{}n b 是首项为1a ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且1311,,b b b 成等比数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设nnnb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本题满分14分）如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O 上一点，且3BC AC =．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =．PABDO（1）求证：PA CD ⊥；（2）求二面角C PB A --的余弦值．19．（本题满分14分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35, (06)814, (6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =．（1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 20．（本题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率32e =．过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =．（1）求椭圆的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同于,A B ）与直线2x =交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论． 21．（本题满分14分）设()xg x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<．（1）求函数()f x 的极值；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式11x e a x--<成立；（3）设12,λλ∈+R ，且121λλ+=，证明：对任意正数21,a a 都有：12121122a a a a λλ≤λ+λ．2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4567 8 答案A CBCD C BA二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．1- 10．4± 11．2π（2分），3 （3分） 12．5913．11111526122030++++< 14．2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos 3sin 1ρθρθ+=） 15．1:4 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）解析：（1）∵27cos22cos 125αα=-=-，∴29cos 25α=， ∵(0,)2πα∈，∴3c o s 5α=． -----------------5分（2）方法一、由（1）得24sin 1cos 5αα=-=，∵45CAD ADB C α∠=∠-∠=-，∴2sin sin()sin cos cos sin 44410CAD πππααα∠=-=-=，-----------------9分在ACD ∆中，由正弦定理得：sin sin CD ADCAD C=∠∠，∴21sin 25sin 210CD C AD CAD ⨯⋅∠===∠，-----------------11分则高4sin 545h AD ADB =⋅∠=⨯=． -----------------12分方法二、如图，作BC 边上的高为AH在直角△ADH 中，由（1）可得3cos 5DB AD α==，则不妨设5,AD m = 则3,4DH m AH m ==-----------------8分注意到=45C ∠，则AHC ∆为等腰直角三角形，所以CD DH AH += ，则134m m +=-----------------10分所以1m =，即4AH =-----------------12分 17．（本题满分12分）解析：（1）当2n ≥，时11222n nn n n n a S S +-=-=-=， -----------------2分又111112222a S +==-==，也满足上式，所以数列{na }的通项公式为2n n a =． -----------------3分112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+，第16题图 C BD AH-----------------4分解得d =（舍去）或3d =，----------------5分所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-． -----------------6分（2）由（1）可得312123n n nb b b b T a a a a =++++ 123258312222nn -=++++ ， -----------------7分121583122222n n n T --=++++ ，-----------------8分两式式相减得1213333122222n n n n T --=++++- ，-----------------11分131(1)3135222512212n n n n n n T ---+=+-=--，-----------------12分 18．（本题满分14分）解析：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点，又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，由3AC BC =知，60CAB ∠= ，∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分（注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．）法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆中设1AD =，由3A D D B=，3AC BC =得，3DB =，4AB =，23BC =，PA BDCO∴32BD BC BC AB ==，则BDC BCA ∆∆∽， ∴BCA BDC∠=∠，即C ⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD⊥，-----------------5分由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆中由3AC BC =得，30ABC ∠= ，设1AD =，由3AD DB =得，3DB =，23BC =，由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅= ， ∴222CD DB BC +=，即C ⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD⊥，-----------------5分由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB，∴PA CD ⊥． -----------------6分（Ⅱ）法1：（综合法）过点D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连接CE ． -----------------7分由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ， ∴CD PB ⊥，又DE CD D = ， ∴PB ⊥平面CDE ，又CE ⊂平面CDE ， ∴CE PB ⊥，-----------------9分∴DEC ∠为二面角C PB A --的平面角． -----------------10分由（Ⅰ）可知3CD =，3PD DB ==，PABDCOE（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．） ∴32PB =，则932232PD DB DE PB ⋅===， ∴在Rt CDE ∆中，36tan 3322CD DEC DE ∠===， ∴15cos 5DEC ∠=，即二面角C P B --的余弦值为155． -----------------14分法2：（坐标法）以D 为原点，DC 、DB 和DP的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． -----------------8分（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD AB ⊥，酌情给分．）设1AD =，由3AD DB =，3AC BC =得，3PD DB ==，3CD =，∴(0,0,0)D ，(3,0,0)C ，(0,3,0)B ，(0,0,3)P ，∴(3,0,3)PC =- ，(0,3,3)PB =- ，(3,0,0)CD =-，由CD ⊥平面PAB ，知平面PAB 的一个法向量为(3,0,0)CD =-． -----------------10分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则00PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，即330330x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则3x =，1z =， ∴(3,1,1)=n ，-----------------12分设二面角C PB A --的平面角的大小为θ，则315cos 5||53CD CD θ⋅-===-⋅⨯ n |n|，-----------------13分 ∴二面角C PB A --的余弦值为155．-----------------14分19．（本题满分14分）解析：（Ⅰ）由题意可得：22,06811,6k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩，PABDCOyz x-----------------2分因为2x =时，3L =，所以322228k =⨯++-.-----------------4分解得18k =.-----------------5分（Ⅱ）当06x <<时，18228L x x =++-，所以 1818182818=[2(8)]182********L x x x x x x=-++--++--⋅+=---≤（）（）．-----------------8分当且仅当182(8)8x x-=-，即5x =时取得等号． -----------------10分当6x ≥时，1L x =-≤． -----------------12分所以当5x =时，L 取得最大值6．所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． -----------------14分 20．（本题满分14分）解析：（1）由题意可得2a =，32c e a ==，∴3c =， -----------------2分 ∴2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2214x y +=． -----------------4分（2）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩，即0012x xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩， -----------------6分又220014x y +=，代入得221()142x y +=，即224x y +=．即动点C的轨迹E的方程为224x y +=． -----------------8分（3）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ，∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR，而(2,)AC m n =+ ，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+，∴42nt m =+， ∴点R 的坐标为4(2,)2nm +，点D 的坐标为2(2,)2nm +，-----------------10分∴直线CD 的斜率为222(2)22244nn m n n mn m k m m m -+-+===---，而224m n +=，∴224m n -=-，∴2mn mk n n==--，-----------------12分∴直线CD 的方程为()my n x m n-=--，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线CD 的距离224424dr m n====+，所以直线CD 与圆O相切． -----------------14分 21．（本题满分14分）解析：（1）∵()[(1f x g x a g x λλλλ'''=+--，-----------------1分由()0f x '>得，[(1)]()g x a g x λλ''+->，∴(1)x a x λλ+->，即(1)()0x a λ--<，解得x a <，-----------------3分故当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<；∴当x a =时，()f x 取极大值，但()f x 没有极小值．-----------------4分（2）∵111x x e e x x x----=，又当0x >时，令()1x h x e x =--，则()10x h x e '=->，故()(0)0h x h >=，因此原不等式化为1x e x a x--<，即(1)1x e a x -+-<， -----------------6分令()(1)1x g x e a x =-+-，则()(1)x g x e a '=-+，由()0g x '=得：1xe a =+，解得ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，()0g x '<；当ln(1)x a >+时，()0g x '>．故当l n (1x a =+时，()g x 取最小值[ln(1)](1)ln(1)g a a a a +=-++，-----------------8分令()ln(1),01a s a a a a =-+>+，则2211()0(1)1(1)as a a a a '=-=-<+++．故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0g a a a a +=-++<．因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立． -----------------10分（3）对任意正数12,a a ，存在实数12,x x 使11xa e =，22x a e =，则121122112212x x x x a a e e e λλλλλλ+=⋅=，12112212x x a a e e λλλλ+=+，原不等式12121122a a a a λλλλ≤+11221212x x x x e e e λλλλ+⇔≤+，11221122()()()g x x g x g x λλλλ⇔+≤+-----------------14分由（1）()(1)()f x g a λ≤-恒成立，故[(1)]()(1)()g x a g x g a λλλλ+-≤+-，取1212,,,1x x a x λλλλ===-=，即得11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+，即11221212x x x x e e e λλλλ+≤+，故所证不等式成立． -----------------14分。

广州市2013届高三年级调研测试-数学(理科)答案详解

222N广州市2013届高三年级调研测试数学（理科）试题解析 2013-1-9一、选择题1. A分析：2i(23i)=2i3i2i332i，其对应的点为(3,2)，位于第一象限2. D分析：{0,1,2,3,4}A=，{|2,}{0,2,4,6,8}B x x n n A∴==∈=，{0,2,4}A B∴=3. B分析：22211log log2244f-⎛⎫===-⎪⎝⎭，()2112349f f f-⎛⎫⎛⎫=-==⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. A分析：当//a b时，有24(1)(1)0x x，解得3x=±；所以3//x a b=⇒，但//3a b x=，故“3x=”是“//a b”的充分不必要条件5. B分析：逆推法，将sin2y x=的图象向左平移6π个单位即得()y f x=的图象，即()sin2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366f x x x x x xππππππ=+=+=-+=-+=-6. C分析：三棱锥如图所示，3PM=，142PDCS∆=⨯=，12332PBC PAD S S ∆∆==⨯⨯=，14362PAB S ∆=⨯⨯= 7. B分析：方程22221x y a b表示焦点在x 轴且离心率小于3的椭圆时，有222232a b c a b e a a ⎧>⎪⎨-==<⎪⎩，即22224a b a b⎧>⎨<⎩，化简得2a b a b >⎧⎨<⎩，又[1,5]a ∈，[2,4]b ∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故152432S P ==⨯阴影8. C分析：由题意得()()(1)x a x x a x ，故不等式()2x a x a 化为()(1)2x a x a ，化简得2(1)220x a x a -+++，故原题等价于2(1)220x a x a -+++在(2,)+∞上恒成立，由二次函数2()(1)22f x x a x a =-+++图象，其对称轴为12a x +=，讨论得 122(2)0a f +⎧⎪⎨⎪⎩ 或 1221()02a a f +⎧>⎪⎪⎨+⎪⎪⎩，解得3a 或 37a <，综上可得7a二、填空题 9.28分析：方法一、（基本量法）由34512a a a 得11123412a d a d a d ，即13912a d += ，化简得134a d，故7117677(3)73282S a d a d方法二、等差数列中由173542a a a a a 可将34512a a a 化为173()122a a ，即178a a ，故1777()282a a S10.1分析：299183991C ()(1)C rr rr r rrax a x x，令6r =，得其常数项为6369(1)C 84a ，即38484a =，解得1a =11.e -分析：设切点为000(,ln )x x x ，由1(ln )ln ln 1y x x x xx x''==+=+得0ln 1k x =+，故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，整理得00(ln 1)y x x x =+-，与2y x m =+比较得00ln 12x x m +=⎧⎨-=⎩，解得0e x =，故em =-503(1592009)503(59132013)=-+++++++++50315032013=-++ 12. 4分析：圆方程2224150x y x y +++-=化为标准式为22(1)(2)20x y +++=，其圆心坐标(1,2)--，半径r =，由点到直线的距离公式得圆心到直线20x y -=的距离d ==，由右图所示，圆上到直线20x y -=413.3018 分析：由题意11cos112a π=⨯+=，222cos112a π=⨯+=-，333cos 112a π=⨯+=，444cos152a π=⨯+=，555cos 112a π=⨯+=，666cos 152a π=⨯+=-，777cos112a π=⨯+=，888cos 192a π=⨯+=，…20091a =， 20102009a =-， 20111a =，20122013a =；以上共503行，输出的122012S a a a =+++3018=14.分析：如图，因为PC OP ⊥ ，所以P 是弦CD 中点，由相交弦定理知2PA PB PC =，即28PC =，故PC =分析：圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=，直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，如右图所示，圆心到直线的距离2d ==故圆C 截直线l 所得的弦长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解:∵123a b B ,,π===,依据正弦定理得:a bA Bsin sin =, …………… 1分即1A sin =,解得A sin =4. …………… 3分 (2)解:∵a b <， ∴02A B π<<<. …………… 4分∴A cos ==…………… 5分∴228A A A sin sin cos ==, …………… 6分 252128A A cos sin =-=. …………… 7分 ∵ABC π++=, ∴23C A π=-. …………… 8分 ∴4223C A cos cos π⎛⎫=-⎪⎝⎭…………… 9分442233A A cos cos sin sin ππ=+ …………… 10分1528=-⨯-⨯=-…………… 12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为5011002=. ∴应从,,,A B C D 四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分（2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C 250=1225种，… 5分这两名学生来自同一所中学的取法共有C 215+C 220+C 210+C 25=350. (6)分∴()3501225P M ==27. 答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为27. …………… 7分(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， (8)分()0 Pξ==210225CC960=，()1Pξ==111510225C CC=12，()2Pξ==215225CC720=. (11)分∴ξ的分布列为：EMNDCBAPNAP…………… 12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）（1）证法1：取PA 的中点E ，连接DE EN ,， ∵点N 是PB 的中点,∴12EN AB EN AB //,=. …………… 1分 ∵点M 是CD 的中点，底面ABCD 是正方形，∴12DM AB DM AB //,=. …………… 2分 ∴EN DM EN DM //,=. ∴四边形EDMN 是平行四边形.∴MN DE //. …………… 3分 ∵DE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN //面PAD . …………… 4分证法2：连接BM 并延长交AD 的延长线于点E ，连接PE ，P∵点M 是CD 的中点，∴12DM AB DM AB //,=, …………… 1分 ∴点M 是BE 的中点. …………… 2分∵点N 是PB 的中点,∴MN PE //. …………… 3分∵PE ⊂面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN //面PAD . …………… 4分证法3：取AB 的中点E ，连接NE ME ,，∵点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,∴ME AD //，NE PA //. ∵AD ⊂面PAD ，ME ⊄平面PAD ，∴ME //面PAD . …………… 1分∵PA ⊂面PAD ，NE ⊄平面PAD ，∴NE //面PAD . …………… 2分 ∵MENE E =，NE ⊂平面MEN ，ME ⊂平面MEN ，∴平面MEN//面PAD. …………… 3分∵MN 平面MEN，∴MN//面PAD. …………… 4分（2）解法1：∵NE PA //，PA 面ABCD ，∴NE面ABCD . …………… 5分∵AM ⊂面ABCD ，∴NE AM ⊥. …………… 6分过E 作EF AM ⊥，垂足为F ，连接NF ， ∵NEEF E =，NE ⊂面NEF ，EF ⊂面NEF ，∴AM ⊥面NEF . …………… 7分∵NF ⊂面NEF ，∴AM NF ⊥. …………… 8分∴NFE ∠是二面角N AM B 的平面角. (9)分在Rt △NEM 中，5MN,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 10分在Rt △MEA 中，32AE，得AM ==355AE ME EF AM . …………… 11分在Rt △NEF 中，5NF ==， …………… 12分 389cos 89EF NFE NF . …………… 13分∴二面角NAM B的余弦值为89. …………… 14分解法2：∵NE PA //，PA 面ABCD ，∴NE面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN ,3ME AD ==，得4NE ==， (5)分以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∴()004EN ,,=，3302AM ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………… 8分设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅=，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令1x =，得2y =-，34z =. ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又()004EN ,,=是平面AMB 的一个法向量， …………… 12分cos ,n EN ==n ENn EN. …………… 13分∴二面角N AM B . …………… 14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,， ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 2分∴()222121212222y y y y y y x +-+==，① …………… 3分122y y y +=. ② …………… 4分 ∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=.∴2212120y y y y +=. …………… 5分依题意知120y y ≠，∴121y y =-. ③ …………… 6分把②、③代入①得：2422y x +=，即()2112y x =-. …………… 7分∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为==⋅ (9)S OA OB分=== (11)分∵22121222y y y y +≥=，当且仅当12y y =时，等号成立， (12)分∴2S ≥=. …………… 13分∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-. …………… 1分故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=.解得0x =或21x k =. …………… 2分∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭. …………… 3分同理得点B 的坐标为()2k k ,-. …………… 4分∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 5分设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩ …………… 6分消去k ,得()2112yx =-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC的面积为S OA OB ==⋅…………… 9分=…………… 10分≥…………… 11分2=. …………… 12分当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立. …………… 13分 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1)解法1:设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,依题意,1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ① …………… 1分2121n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ② …………… 2分由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅==⋅=, …………… 3分①⨯②得()()()()212211221n n n n n A b b b b b b b b ++++=⋅⋅⋅⋅22n +=.…………… 4分∵0n A >,∴222n n A +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴n S =(41⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分解法2: 设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,公比为q ,则121n n b b q ++=,即12n q +=. …………… 1分依题意,得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅()()()211111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅⋅ (2)分()()212311n n b q++++++=⋅ (3)分()()122n n q ++= (4)分222n +=. (5)分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴n S =(41⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 (2)解: 由(1)得2n n a A log =222222n n log ++==, …………… 9分∵()()()11111n nn n n ntan tan tan tan tan tan +-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅, ……………10分∴()()1111n nn n tan tan tan tan tan +-⋅+=-,n ∈N *. ……………11分∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅++()()12n n tan +⋅+()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫--=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()221n n tan tan tan +--. (14)分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”；设()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数，不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-. ① …………… 1分又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ② …………… 2分由①、②得 212121()sin sin x x x x x x --<-<-.因此,2121sin sin x x x x -<-，对12x x <都成立. …………… 3分当12x x >时，同理有2121sin sin x x x x -<-成立又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=，故对任意的实数1x ，2x ∈R ,均有2121sin sin x x x x -≤-.因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”. …………… 5分由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- …………… 6分取13x =，22x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， …………… 7分因此， 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. …………… 8分（2）证明:由（1）得：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-，所以 11n n n n y y x x ++-≤-. …………… 9分而121(21)n n x x n +-≤+， ∴ 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++. …………… 10分 ∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++-,……… 11分∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++-. …………… 12分∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n+-≤-+-++-+-11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ (13)分14<. …………… 14分友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。

2013年广东高考(理科)数学及答案详解(word版)

绝密★启用前试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：球的体积34=3V R π，其中R 为球的半径.锥体的体积公式为1=3V Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

参考公式：台体的体积公式h S S S S V )(312121++=，其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x |x 2+2x =0,x ∈R}，N={x |x 2-2x =0,x ∈R}，则N M ⋃=（） A ．{0} B ．{0，2} C ．{-2,0} D ．{-2,0,2}2．定义域为R 的四个函数y =x 3，y =2x ，y =x 2+1，y =2sin x 中，奇函数的个数是（） A ． 4 B ．3 C ．2 D ．13．若复数z 满足i z =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（） A ．（2,4） B ．（2,-4） C ． (4,-2) D ．(4,2)4．已知离散型随机变量X 的分布列如右表，则X 的数学期望E （X ）=（） A ．23错误！未找到引用源。

2013广州一模数学试卷(文、理)含答案

图1俯视图侧视图正视图221122013广州一模数学（文科）参考公式：线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式121ni i i ni i x x y y b a y b x x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 1．已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚部为A ．2B ．1C ．1-D ．2- 2．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðBC ．U A = ()U B ðD ．U =()U A ð()U B ð 3．直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心 4．若函数()y fx =是函数2xy=的反函数，则()2f的值是A ．4B ．2C ．1D ．0 5．已知平面向量a ()2m =-,，b()13=,，且()-⊥a b b ，则实数m 的值为A ．23-B ．23C ．43D ．636．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3 7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B. 1C.23D.138. 已知函数()22fx x sin =，为了得到函数()22gx x x sin cos =+的图象，只要将()y fx =的图象C BA ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度9．“2m <”是“一元二次不等式210x mx ++>的解集为R ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．设函数()fx 的定义域为D ，如果xD y D ,∀∈∃∈，使()()2fx f y C C (+=为常数)成立，则称函数()fx 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3yx =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y x ln =；④21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11．函数()()21fx x x ln =-+-的定义域是12．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约万元（结果保留两位小数）．13．已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()fn = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos 3sin 0ρθρθ+=上运动，当线段A B 最x2 3 4 5 6y2.23.85.56.57.0a0.06b频率组距短时，点B 的极坐标为． 15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是O 的直径，B C 是O 的切线，A C 与O 交于点D ，若3B C =，165A D =，则AB 的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos ∠POQ的值.17．（本小题满分12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg ），获得的所有数据按照区间(4045,,⎤⎦(((455050555560,,,,,⎤⎤⎤⎦⎦⎦进行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树株数是产量在区间(5060,⎤⎦上的果树株数的43倍.（1）求a ,b 的值；（2）从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，求产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中的概率.图4MDCBAP18．（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是平行四边形，60BCD ︒∠=，2AB AD =，P D ⊥平面A B C D ，点M 为P C 的中点.（1）求证:PA //平面BM D ；（2）求证：AD ⊥P B ；（3）若2AB PD ==，求点A 到平面BM D 的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，()11452n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n T ；（3）求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的最大正整数n 的值.20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,, 且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知n ∈N *，设函数2321()1,2321n n xxxf x x x n -=-+-+-∈- R .（1）求函数y =2()f x kx k (-∈R )的单调区间；（2）是否存在整数t ，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDACBCADBC二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 11．(]1,2 12．1238. 13．8，22nn -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭ 15．4说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分 ∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………3分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………4分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭， ……………5分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ……………6分∴(2,2),(4,2)P Q -. ……………7分 ∴6,23,32OP PQ OQ ===. ……………10分∴()()()222222632233cos 232632O PO QPQPO Q O P O Q+-+-∠===⨯.……12分yxQ 1QP 1PO解法2：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭， ……………5分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ……………6分∴(2,2),(4,2)P Q -. ……………8分∴(2,2),(4,2)O P O Q ==-. ……………10分∴63cos cos ,3632O P O QP O Q O P O Q O P O Q⋅∠=<>===⨯. ……………12分解法3: ∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭，……………5分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，……………6分∴(2,2),(4,2)P Q -. ……………7分作1PP x ⊥轴, 1Q Q x ⊥轴,垂足分别为11P Q ,, ∴116,2,2,32OP OP PP OQ ====,1142O Q Q Q ,==. (8)分设11PO P Q O Q ,αβ∠=∠=,则361223333sin ,cos ,sin ,cos ααββ====. ……………10分∴cos cos POQ ∠=()33cos cos sin sin αβαβαβ+=-=.………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解:样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树有520100a a ⨯⨯=（株），…………1分样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树有()()002520100002b b ..+⨯⨯=+（株）， ……………2分依题意，有()41001000023a b .=⨯+，即()40023a b.=+.①…………3分根据频率分布直方图可知()00200651b a ..+++⨯=， ② …………4分解①②得:008004a b .,.==. ……………6分（2）解：样本中产量在区间(5055,⎤⎦上的果树有0045204.⨯⨯=株，分别记为 123A A A ,,,4A ，……………… 7分产量在区间(5560,⎤⎦上的果树有0025202.⨯⨯=株，分别记为12B B ,. … 8分从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：()()1213A A A A ,,,，()14A A ,()()()()()()111223242122A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()34A A ,,()31A B ,,()32A B ,，()()4142A B AB ,,,,()12B B ,. ……………10分其中产量在(5560,⎤⎦上的果树至少有一株共有9种情况：()()1112A B A B ,,,,()()()()21223132A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4142A B A B ,,,，()12B B ,. (11)分记“从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则()93155P M ==. ……………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明:连接A C ，A C 与B D 相交于点O , 连接M O ， ∵A B C D 是平行四边形，∴O 是A C 的中点. ……………1分 ∵M 为P C 的中点，∴MO AP //. ……………2分 ∵P A ⊄平面BM D ,M O ⊂平面BM D ,∴PA //平面BM D . ……………3分ON MDCBAP(2)证明:∵P D ⊥平面A B C D ，AD ⊂平面A B C D ，∴P D ⊥A D . ……………4分 ∵60BAD BCD ︒∠=∠=，2AB AD =， ∴222260BDABADAB AD cos ︒=+-⋅⋅2222AB AD AD =+- 22ABAD =-. ……………5分∴22AB AD =2BD +.∴AD BD ⊥. ……………6分∵PD BD D = ，PD ⊂平面P B D ，BD ⊂平面P B D ，∴AD ⊥平面P B D . ……………7分 ∵P B ⊂平面P B D ，∴AD PB ⊥. ……………8分（3）解：取C D 的中点N ，连接M N ，则MN PD //且12MN PD =.∵P D ⊥平面A B C D ，2PD =，∴M N ⊥平面A B C D ，1M N =. ……………9分在Rt △P C D 中，2C D AB PD ===，2211222DM PC PDCD==+=，∵BC AD //,AD PB ⊥, ∴B C P B ⊥.在Rt △P B C 中，122BM PC ==.在△BM D 中，BM D M =，O 为B D 的中点, ∴M O B D ⊥.在Rt △A B D 中，360232BD AB sin ︒=⋅=⨯=.在Rt △M O B 中，22M O BMOB=-=52.∴1322ΔABD S AD BD =⨯=，11524ΔM BD S BD M O =⨯=.…………11分设点A 到平面BM D 的距离为h ，∵M ABD A M BD V V --=，∴13M N 13ΔABD S h = ΔM BD S . ……………12分即13⨯312⨯13h =⨯⨯154，解得255h =. ……………13分∴点A 到平面BM D 的距离为255. ……………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. ……………1分 ∴14n n a a +=. ……………2分 ∵12a =，28a =，∴214a a =. ……………3分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列. ∴121242n n n a --=⋅=. ……………4分（2）解：由（1）得：2122221n n a n log log -==-， ……………5分∴21222n n T a a a log log log =+++ ()1321n =+++- ……………6分()1212n n +-=……………7分2n = . ……………8分（3）解： 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………9分 222222222131411234nn----=⋅⋅⋅⋅()()2222132********n n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ ……………10分12n n +=. ……………11分令12n n+10102013>，解得：42877n <. ……………13分故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） (1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. (2)分∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. ……………3分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=，)413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. (4)分∴()()()222211211113244x x x xx x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . (6)分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② (7)分同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ (8)分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分12121……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . (4)分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分∵21141x y =， ∴112y x x y -=.∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① (6)分同理， 20202y x x y -=. ② (7)分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程 y x x y -=002. ……8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 两点的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x x y -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分12121∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . (6)分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. (7)分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. (8)分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612xyC :+=上. ……………11分∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵232()1,23xxy f x kx x kx =-=-+-- ……………1分∴221(1)y x x k x x k '=-+--=--++. ……………2分方程210xx k -++=的判别式()()214134Δk k =--+=--.当34k ≥-时，0Δ≤，2(1)0y x x k '=--++≤，故函数y =2()f x kx -在R 上单调递减； ……………3分当34k <-时，方程210xx k -++=的两个实根为11342k x ---=，21342k x +--=. (4)分则()1x x ,∈-∞时，0y '<；()12xx x ,∈时，0y '>；()2xx,∈+∞时，0y '<；故函数y =2()f x kx -的单调递减区间为()1x ,-∞和()2x ,+∞，单调递增区间为()12x x ,. ……………5分（2）解：存在1t =，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，理由如下：当1n =时，1()1f x x =-，令1()10f x x =-=，解得1x =，∴关于x 的方程1()0f x =有唯一实数解1x =. ……………6分当2n ≥时，由2321()12321n n xxxf x x n -=-+-+-- ，得22322()1n n n f x x x x x --'=-+-++- . ……………7分若1x =-，则()(1)(21)0n n f x f n ''=-=--<，若0x =，则()10n f x '=-<, ……………8分若1x ≠-且0x ≠时，则211()1n n xf x x -+'=-+, ……………9分当1x <-时，2110,10,()0n n x x f x -'+<+<<, 当1x >-时，2110,10,()0n n x x f x -'+>+><,∴()0n f x '<，故()n f x 在(,)-∞+∞上单调递减. ……………10分 ∵111111(1)(11)()()()23452221n f n n =-+-+-++--- 0>， ………11分23452221222222(2)(12)()()()23452221n n n f n n --=-+-+-++---24221212121()2()2()223452221n n n -=-+-+-++---2422132312222345(22)(21)n n n n --=-----⋅⋅-- 0<. …………12分∴方程()0n f x =在[]1,2上有唯一实数解. ……………13分当()1x ,∈-∞时，()()10n n f x f >>；当()2x ,∈+∞时，()()20n n f x f <<.综上所述，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间12,⎡⎤⎣⎦上有唯一实数解. ∴1t =. ……………14分2013年广州市一模数学理科试卷本试卷共4页，21小题，满分150分。

2013年广东高考(理科)数学试题及答案详解

2013广东高考数学（理科）试题及详解参考公式:台体的体积公式V积,h表示台体的高.?1S?31?S2h,其中S1,S2分别是台体的上、下底面?一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.221．设集合M??x|x?2x?0,x?R?,N??x|x?2x?0,x?R?,则M?N?( )A . ?0? B．?0,2?C．??2,0? D．??2,0,2?【解析】D；易得M???2,0?,N??0,2?,所以M?N???2,0,2?,故选D．2．定义域为R的四个函数y?x3,y?2x,y?x2?1,y?2sinx中,奇函数的个数是( )A . 4 B．3C．2D．13【解析】C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为y?x与y?2sinx,故选C．3．若复数z满足iz?2?4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是( )A . ?2,4? B．?2,?4? 【解析】C；z?2?4iiC．?4,?2? D．?4,2??4?2i对应的点的坐标是?4,?2?,故选C．4．已知离散型随机变量X的分布列为X P1 2353103110则X的数学期望EX? ( )A .32B．235?2?310C．?3?110?52?32D．3 ,故选A．【解析】A；EX?1?15105．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B．C．163143正视图侧视图D．6俯视图第5题图【解析】B；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故V?13?1?2?22??2?143,,故选B．6．设m,n是两条不同的直线,?,?是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若???,m??,n??,则m?n C．若m?n,m??,n??,则??? 【解析】D；ABC是典型错误命题,选D．B．若?//?,m??,n??,则m//n D．若m??,m//n,n//?,则???。

2013年广东省高考理科数学试题及详细答案(清晰版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.参考公式：台体的体积公式()1213V S S h =，其中1S 、2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}220,M x x x x R =+=∈，{}220,N x x x x R =-=∈，则MN =（）{}.0A {}.0,2B {}.2,0C - {}.2,0,2D - 2.定义域为R 的四个函数3y x =，2xy =，21y x =+，2sin y x =，奇函数的个数是（） .4A .3B .2C .1D 3.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内z 对应的点的坐标是（）().2,4A ().2,4B - ().4,2C - ().4,2D 4.已知离散型随机变量则X 的数学期望(E X =（） 3.2A .2B 5.2C .3D 5.某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（）.4A 14.3B 16.3C .6D 6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题正确的是（）.A 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ .B 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n .C 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ .D 若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥7.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点()3,0F ，离心率等于32，则C 的方程是（）22.14x A = 22.145x y B -= 22.125x y C -= 22.12x D =8.设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =，令集合(){},,,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项中正确的是（）().,,A y z w S ∈，(),,x y w S ∉ ().,,B y z w S ∈，(),,x y w S ∈ ().,,C y z w S ∉，(),,x y w S ∈ ().,,D y z w S ∉，(),,x y w S ∉图3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~13题）9.不等式220x x +-<的解集为 .10.若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k = .11.执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 .12.在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a += .13.给定区域44:40x y D x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，令点集(){}0000,,T x y D x y Z =∈∈，()00,x y 是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点，则T 中的点共确定条不同的直线.（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E ，若6AB =，2ED =，则BC = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）若3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.图43 02 0 1 51 7 9某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数. （1）根据茎叶图求样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.18.（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=，6BC =，D 、E 分别为AC 、AB上的点，CD BE ==O 为BC 的中点，将ADE ∆沿DE 折起，得到如图6所示的四棱锥A BCDE '-，其中A O '=.图5图6OEDCBA'（1）证明：A O '⊥平面BCDE ；（2）求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，n N *∈. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点为()()0,0F c c >在直线:20l x y --=.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点. （1）求抛物线C 的方程；（2）当()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值.21.（本小题满分14分）设函数()()()21x f x x e kx k R =--∈. （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求函数()f x 在(]0,k 上的最大值M .2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案数学（理科）一、选择题1-5．DCCAB 6-8．DBB 二、填空题9．(-2,1) 10．-1 11．7 12．20 13．6 14．2)4(sin =+πθρ 15．32三、解答题16．（1）由题意1222)4cos(2)126cos(2)6(=⨯=-=--=-ππππf（2）∵)2,23(,53cos ππθθ∈=，∴54-sin =θ．∴252453)54(2cos sin 22sin ,2571)53(21-cos 22cos 22-=⨯-⨯==-=-⨯==θθθθθ∴)4sin 2sin 4cos 2(cos 2)42cos(2)1232cos(2)32(πθπθπθππθπθ-=+=-+=+f2517)2524(2572sin 2cos )2sin 222cos 22(2=---=-=-=θθθθ．17．（1）样本均值为226302521201917=+++++=x ．（2）根据题意，抽取的6名员工中优秀员工有2人，优秀员工所占比例为3162=，故12名员工中优秀员工人数为41231=⨯（人）．（3）记事件A 为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”，由于优秀员工4人，非优秀员工为8人，故事件A 发生的概率为33166684)(2121814=⨯==C C C A P ，即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为3316．18．（1）折叠前连接OA 交DE 于F ，∵折叠前△ABC 为等腰直角三角形，且斜边BC =6，所以OA ⊥BC ，OA=3，AC =BC =23 又2==BE CD∴BC ∥DE ，22==AE AD ∴OA ⊥DE ，22==AE AD ∴AF =2，OF =1折叠后DE ⊥OF ，DE ⊥A ′F ，OF ∩A ′F =F ∴DE ⊥面A ′OF ，又OF A O A '⊂'面 ∴DE ⊥A ′O又A ′F =2，OF =1，A ′O =3∴△A ′OF 为直角三角形，且∠A ′OF =90°∴A ′O ⊥OF ，又BCDE DE 面⊂，BCDE OF 面⊂，且DE ∩OF =F ， ∴A ′O ⊥面BCDE ．（2）过O 做OH ⊥交CD 的延长线于H ，连接H A '，∴OH =22AO =223，230)3()223(2222=+=+'='OH O A H A ∵∠A ′HO 即为二面角B CD A --'的平面角，故cos ∠A ′HO=5153023=='H A OH ． 19．（1）令*21,32312N n n n a n S n n ∈---=+中n =1得,32131221---=a a ∴42212=+=a a （2）由*21,32312N n n n a n S n n ∈---=+；得)2)(1(612326121231++-=---=++n n n na n n n na S n n n∴)3)(2)(1(612)1(21+++-+=++n n n a n S n n两式相减得)2)(1(2122)1(121++--+=-+++n n na a n S S n n n n∴)2)(1(2122)1(121++--+=+++n n na a n a n n n∴)2)(1(212)2(2)1(12++++=+++n n a n a n n n∴11212++=+++n a n a n n ，∴11212=+-+++n a n a n n又由（1）知112,22,111221=-==aa a a∴为公差的等差数列，为首相，是以11⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n ∴n n a n =． ∴)(*2N n n a n ∈=．（3）∵)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<n n n n n n∴)1111(21)4121(21)311(2111312111111222321+--++-+-+<++++=++++n n na a a a n 47)111(2147)111211(211<++-=+--++=n n n n 20．（1）依题意得0,22322>=--c c ，∴1=c ． ∴抛物线焦点坐标为（0,1），抛物线解析式为x 2=4y（2）设A （x 1，421x ），B （x 2，422x ），∴可设A 、B 中点坐标为M )82(222121x x x x ++，所以直线PA ：424)(22112111x x x x x x x y -=+-=，直线PB ：424)(22222222x x x x x x x y -=+-= 两式相减得)2(244202121212221x x x x x x x x x x +--=-+-= ∵21x x ≠，∴0221≠-x x ，0221=+-x x x ∴2210x x x +=， ∴0212x x x =+将P （0x ，0x -2）带入PA ：42211x x x y -=得4422221212110x x x x x x x =-+=- ∴84021-=x x x∴2428168482)(8020020212212221+-=+-=-+=+x x x x x x x x x x ∴A 、B 中点坐标为M （0x ，242020+-x x ）∴直线AB 的斜率24)(4021122122x x x x x x x k AB =+=--= 故直线AB 的方程为22242)(20002000+-=+-+-=x x x x x x x x y ．（3）由于A 点到焦点F 的距离等于A 点到准线y =-1的距离，∴|AF |=1421+x ，|BF |=1422+x 29)23(2962142)2(14)4()14)(14(200200202022212212221+-=+-=++-+-=+++=++=⋅x x x x x x x x x x x x BF AF∴当230=x 时，BF AF ⋅取最小值29．21．（1）k =1时2)1()(x e x x f x --=∴)2(2)1()(-=--+='xx x e x x e x e x f当x <0时02<-x e ，故0)2()(>-='xe x xf ,)(x f 单调递增；0< x <ln2时02>-x e ，故0)2()(<-='xe x xf ，)(x f 单调递减； x>ln2时02>-x e ，故0)2()(>-='xe x xf ，)(x f 单调递增；综上，)(x f 的单调增区间为)0,(-∞和),2(ln +∞，单调减区间为)2ln ,0(．（2）)2(2)1()(k e x kx e x e x f x xx-=--+='∵121≤<k ，∴221≤<k 由（1）可知)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，+∞）上单调递增设)121(，2ln )(≤<-=x x x x g则xx x g 11221)(-=-='∵121≤<x ，∴211<≤x ，∴0111≤-<-x ∴x x x g 2ln )(-=在⎥⎦⎤⎝⎛121，上单调递减． ∵121≤<k ， ∴02ln 1)1()(>-=>g k g ∴02ln >-k k 即k k 2ln > ∴)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，k ）上单调递增． ∴)(x f 的在[0，k ]上的最大值应在端点处取得．而1)0(-=f ，1)1(2)1()(3-=<--=f k e k k f k ∴当x =0时)(x f 取最大值1-．。

2013年高考真题理科数学(广东卷)试卷及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式11221()3V S S S S h =++，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合2{|20,}M x x x x =+=∈R ，2{|20,}N x x x x =-=∈R ，则M N =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-2. 定义域为R 的四个函数3y x =，2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是A ．4B ．3C ．2D ．13. 若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是A ．(2,4)B ．(2,4)-C ．(4,2)-D ．(4,2)4. 已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P35310 110则X 的数学期望()E X = 35图1 正视图俯视图侧视图2 2 1 11i n ≤是图2输出s 结束否输入n开始 1,1i s ==1i i =+(1)s s i =+-DACO E5. 某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是 A ．4 B ．143C ．错误！未找到引用源。

2013年广东高考数学理及答案(解析版)

⎛ ⎝
3 4 ⎛ 3π ⎞ ,θ ∈ ⎜ , 2π ⎟ ,所以 sin θ = − , 5 5 ⎝ 2 ⎠
24 7 2 2 , cos 2θ = cos θ − sin θ = − 25 25 π⎞ 7 ⎛ 24 ⎞ 17 ⎛ 所以 f ⎜ 2θ + ⎟ = cos 2θ − sin 2θ = − . −⎜− ⎟ = 3⎠ 25 ⎝ 25 ⎠ 25 ⎝
二、填空题：本题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 (9 ～13 题) (一)必做题必做题(9 (9～
9．不等式 x + x − 2 < 0 的解集为___________．【解析】 ( −2,1) ；易得不等式 x 2 + x − 2 < 0 的解集为 ( −2,1) . 10．若曲线 y = kx + ln x 在点 (1, k ) 处的切线平行于 x 轴,则 k = ______. 输入n
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解
:台体的体积公式 V = 参考公式参考公式:
积, h 表示台体的高.
1 下底面 S1 + S1S2 + S2 h ,其中 S1 , S2 分别是台体的上、 3
(
)
:本大题共 8 小题 ,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中 , 一、选择题选择题: 本大题共小题, 每小题在每小题给出的四个选项中, . 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.
z < x < y …③三个式子中恰有一个成立； z < w < x …④， w < x < z …⑤， x < z < w …⑥

广东省广州市2013届普通高中毕业班综合测试理科数学试题

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科） 2013.4本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．= a b a bB ．+=+a b a bC ．()()= a b c a b cD ．2= a a a 2．直线1y kx =+与圆2220x y y +-=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值文3（理1）．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q +=A ．3-B ．1-C ．1D ．3 4．已知函数()y f x =的图象如图1所示，则其导函数()y f x '=的图象可能是5．若函数cos 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫⎪⎝⎭，，则ω的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．86．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分，则截面的面积为 A ．14π B ．πC ．94π D ．4π7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年图1A ．B ．C ．D ．图28．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …,，则{}{}2m ax m in 116x x x x +-+-+=，，A ．34B ．1C ．3D ．72二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n = ． 10．已知 α为锐角，且3cos 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．12．已知函数()22f x x x =-，点集()()(){}M x y f x fy =+，≤2，()()(){}Nx y fx f y =-，≥0，则M N 所构成平面区域的面积为． 13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段B D 上，且满足13BE BD =，延长A E 交BC 于点F ，则BF FC的值为． 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内．（1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离．已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点．（1）在正方形ABCD 内部随机取一点P，求满足||P H <（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．18．（本小题满分14分）等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边A B 、AC 上的点，且满足AD DB=12CE EA=（如图3）．将△A D E 沿D E 折起到△1A D E 的位置，使二面角1A D E B --成直二面角，连结1A B 、1A C （如图4）．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--在区间()0,+∞上有最小值．若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围．经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ．（1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠；（3）若点D 到直线A B 的距离等于D ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．21．（本小题满分14分）设n a 是函数()321f x x n x =+-()*n ∈N 的零点．（1）证明：01n a <<；（2）证明：1n n <+1232n a a a +++<．2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分． 9．54 101011．216 12．2π 13．36；3981 14．1415三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△A B C 中，因为80A B =m ，70B C =m ，50C A =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分 2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为B A C ∠为△AB C 的内角，所以3B AC π∠=．……………………………………………………4分（2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△A B C 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为R ，在△A B C 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分因为70B C =，由（1）知3A π=，所以sin 2A =．所以70232R ==，即3R =．…………………8分过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OB D 中，3O B R ==，703522BC BD ===，所以O D ==………………………………………………………11分 3=．所以点O 到直线BC 3m方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△A B C 外接圆的圆心．……………………5分连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分由（1）知3B AC π∠=，C所以3BO C 2π∠=．所以3BO D π∠=．………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===，所以35tan tan 603BD O D BO D===∠11分所以点O 到直线BC的距离为3m ．……………………………………………………………12分17．（本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题满分12分）解：（1）这是一个几何概型．所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=． ………………………………………………1分满足||P H <P 构成的平面区域是以H为半径的圆的内部与正方形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H圆心角为2π的扇形HEG 的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH ）内部构成． ……………………………………………………………2分其面积是2112111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+．………………3分所以满足||P H <112484π+π=+．………………………………………………………4分（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段．………………………………………………………5分其中长度为1的线段有84条，长度为2的线段有6有8条，长度为的线段有2条．所以ξ所有可能的取值为12，7分且()821287P ξ===，(41287P ξ===， ()6322814P ξ===，(82287P ξ===，(212814P ξ===． ………………………………………9分所以随机变量ξ的分布列为：……10分21321127714714E ξ=⨯++⨯++57+=．…………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且AD DB=12CE EA=，所以1AD =，2A E =．在△A D E 中，60DAE ∠= ，由余弦定理得DE ==．因为222AD DE AE +=，所以A D D E ⊥．折叠后有1A D D E ⊥因为二面角1A D E B --是直二面角，所以平面1A D E ⊥平面BCED ． …………………………3分又平面1A D E 平面BCED D E =，1A D ⊂平面1A D E，1A D D E ⊥，所以1A D ⊥平面BCED ． ………………………………………………………………………………4分（2）解法1：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60 ．如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P ．………………5分由（1）有1A D ⊥平面BCED ，而P H ⊂平面BCED ，所以1A D ⊥P H ．…………………………………………………6分又1A D BD D = ，所以PH ⊥平面1A B D ．…………………………………………………………………………………7分所以1P A H ∠是直线1PA 与平面1A B D 所成的角． ……………………………………………………8分设P B x =()03x ≤≤，则2x BH =，2PH x =．…………………………………………………9分在Rt △1P A H 中，160P A H ∠=，所以112A H x =．………………………………………………10分在Rt △1A D H 中，11A D =，122D H x =-．………………………………………………………11分由22211A D D HA H +=，得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…………………………………………………………………………12分解得52x =，满足03x ≤≤，符合题意．……………………………………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60，此时52PB =．………14分解法2：由（1）的证明，可知E D D B ⊥，1A D ⊥平面BCED ．以D 为坐标原点，以射线D B 、D E 、1D A 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图． …………………………………………………………5分设2P B a =()023a ≤≤，则BH a =，PH =，2D H a =-． ……………………6分所以()10,0,1A，()2,,0P a -，()0E ．…………7分所以()12,,1PA a =-．……………………………………………………………………………8分因为E D ⊥平面1A B D ，所以平面1A B D的一个法向量为()0,0D E =．……………………………………………………9分因为直线1PA 与平面1A B D 所成的角为60 ，所以11sin 60PA D E PA D E=………………………………………………………………………………10分2==，……………………………………………………………11分解得54a =． ……………………………………………………………………………………………12分即522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意． ……………………………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60 ，此时52PB =．………14分19．（本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题满分14分）解：要使函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点，必须()()0101,0.f f a ⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩≥0，≥0,……………………………………………………………………………………………2分即()()2,1224012412a a a a a -⎧⎪-⎪⎨<<⎪⎪--->⎩≥0,≥0,0.………………………………………………………………………………4分解得112a -<≤．112a <≤时，函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点．…5分下面求()g x x a ax =--在()0,+∞上有最小值时a 的取值范围：方法1：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分①当1a >时，()g x 在()0,a 和[),a +∞上单调递减，()g x 在()0,+∞上无最小值；……………7分②当1a =时，()1,,21,1.x g x x x -⎧=⎨-+<⎩≥1()g x 在()0,+∞上有最小值1-；………………………8分③当01a <<时，()g x 在()0,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-．…………………………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值．……………………………………………10分方法2：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分因为0a >，所以()10a -+<．所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的．………………………………………………7分要使()g x 在()0,+∞上有最小值，必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数．……8分即10a -≥，即1a ≤．……………………………………………………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值． ……………………………………………10分若()p q ⌝∧是真命题，则p ⌝是真命题且q 是真命题，即p 是假命题且q 是真命题．……………11分所以101,,20 1.a a a ⎧<>⎪⎨⎪<⎩≤或 …………………………………………………………………………12分解得01a <或112a <≤． ………………………………………………………………………13分故实数a的取值范围为(10,1,12⎛⎤⎤⎥⎦⎝⎦．…………………………………………………………14分 20．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y1y =+．…………………………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………………………2分方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………………………………2分（2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=．设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………………………3分由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2212120121114442BC x x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=． (4)分因为2210101011444A Cx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．……………………………5分由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．………………………6分AB CDO xylE所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………………………………7分（3）方法1：由点D 到A BD ，可知B A D ∠45=．………………………………8分不妨设点C 在A D 上方（如图），即21x x <，直线A B 的方程为：()20014y x x x -=-+．由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分所以)()00042AB x x =---=-．由（2）知C A D B A D ∠=∠45=，同理可得02AC =+．………………………………11分所以△ABC的面积200012244202S x =⨯-⨯+=-=，解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32B C k =，直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-，直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分方法2：由点D 到A BD ，可知B A D ∠45=．…………………………………8分由（2）知C A D B A D ∠=∠45=，所以C A B ∠90= ，即A C A B ⊥．由（2）知104A C x x k -=，204A B x x k -=．所以1020144A C AB x x x x k k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在A D 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分因为02AB ==-，同理02AC =+． ………………………………………………………………………………11分以下同方法1．21．（本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为()010f =-<，()210f n =>，且()f x 在R 上的图像是一条连续曲线，所以函数()f x 在()01，内有零点．………………………………………………………………………1分因为()2230f x x n '=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增．………………………………………………………………………2分所以函数()f x 在R 上只有一个零点，且零点在区间()01，内．而n a 是函数()f x 的零点，所以01n a <<．……………………………………………………………………………………………3分（2）先证明左边的不等式：因为3210n n a n a +-=，由（1）知01n a <<，所以3n n a a <．……………………………………………………………………………………………4分即231n n n n a a a -=<．所以211n a n >+．…………………………………………………………………………………………5分所以1222211111211n a a a n +++>++++++ ．…………………………………………………6分以下证明222111112111nn n +++≥++++ ． ① 方法1（放缩法）：因为()21111111n a n n n n n >≥=-+++，…………………………………………7分所以1211111111223341n a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111nn n =-=++．………………………………………………………………9分方法2（数学归纳法）：1）当1n =时，2111111=++，不等式①成立．2）假设当n k =（*k ∈N ）时不等式①成立，即222111112111k k k +++≥++++ ．那么 ()222211111121111k k +++++++++ ()21111k k k ≥++++．以下证明()()()21111111k k k k k ++≥+++++． ②即证()()()21111111k k k k k +≥-+++++．即证22112232k k k k ≥++++．由于上式显然成立，所以不等式②成立．即当1n k =+时不等式①也成立．根据1）和2），可知不等式①对任何*n ∈N 都成立．所以121n n a a a n +++>+ ．…………………………………………………………………………9分再证明右边的不等式：当1n =时，()31f x x x =+-．由于31113102228f ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333111044464f ⎛⎫⎛⎫=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11324a <<．…………………………………………………………………………………………10分由（1）知01n a <<，且3210n n a n a +-=，所以32211n n a a nn-=<． ……………………………11分因为当2n ≥时，()2111111nn nn n<=---，…………………………………………………………12分所以当2n ≥时，12342311111114223341n a a a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 113122n =+-<．所以当*n ∈N 时，都有1232n a a a +++< ．综上所述，1n n <+1232n a a a +++< ．……………………………………………………………14分。

【数学】2013年高考真题广东卷(理)解析版(1)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =++,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N ={}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) A . 4B ．3C ．2D ．1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4．已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 23 P35 310 110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52D ．3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ． 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4B ．143C ．163D ．6【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =++⨯=,,故选B6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥正视图俯视图侧视图第5题图D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A .214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．212x = 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-. 10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【解析】1-；求导得1y k x '=+,依题意10k +=,所以1k =-. 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____..AED CBO第15题图【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=. 或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定条不同的直线.【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为(0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________. 【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.【解析】ABCCDE ∆∆,所以AB BCCD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；1 7 92 0 1 53 0第17题图(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=..CO BDEA C DOBE'A图1图2C D OBE'AH(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故OH =,从而AH '== 所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角A CD B '--. 向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,3n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n =<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PAPB ,其中,A B为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x =当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=--< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>, 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=+>⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.。

2013届广州市高三年级调研测试数学(理科)试题及参考答案详解

俯视图侧视图正视图图1广州市2013届高三年级调研测试数学（理科） 2013.1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i )对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{ 3．已知函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 A ．9 B ．19 C ．9- D ．19- 4.设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是 A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-xC ．()f x =)62cos(π+xD ．()f x =)32cos(π+x6．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是A ．3 B．C ．6 D ．8 7．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x ya b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为图3A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 8．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是A ．17,⎡⎤-⎣⎦B ．(3,⎤-∞⎦C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为 .10.若291()ax x-的展开式的常数项为84，则a 的值为 . 11.若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 .12.圆2224150x y x y +++-=上到直线20x y -=的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图3，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .图2图4M NBCDAP三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值；(2) 求2C cos 的值.17.（本小题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列.18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PA ^面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 求证：MN //面PAD ；（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.19.（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线交于A B ,两点，OA OB ^，OA OB OC uu r uu u r uuu r+=，OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程；(2) 求四边形AOBC 的面积的最小值.20.（本小题满分14分）在数1和2之间插入n 个实数,使得这2n +的乘积记为n A ,令2n n a A log =,n ∈N *.(1)求数列{}n A 的前n 项和n S ；(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅.21.（本小题满分14分）若函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”. （苏元高考吧：）(1) 判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”，并说明理由； (2) 若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设sin n n y x =, 求证： 1114n y y +-<.222N 2013届广州市高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1. A分析：2i(23i)=2i3i2i 332i--=+=+，其对应的点为(3,2)，位于第一象限2. D分析：{0,1,2,3,4}A=，{|2,}{0,2,4,6,8}B x x n n A∴==∈=，{0,2,4}A B∴=3. B分析：22211log log2244f-⎛⎫===-⎪⎝⎭，()2112349f f f-⎛⎫⎛⎫=-==⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. A分析：当//a b时，有24(1)(1)0x x?-+=，解得3x=±；所以3//x a b=⇒，但//3a b x=¿，故“3x=”是“//a b”的充分不必要条件5. B分析：逆推法，将sin2y x=的图象向左平移6π个单位即得()y f x=的图象，即()sin2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366f x x x x x xππππππ=+=+=-+=-+=-6. C分析：三棱锥如图所示，3PM=，142PDCS∆=⨯=，12332PBC PADS S∆∆==⨯⨯=，14362PABS∆=⨯⨯=7. B分析：方程22221x yab+=表示焦点在x轴且离心率小于222a bcea a⎧>⎪⎨==<⎪⎩，即22224a ba b⎧>⎨<⎩，化简得2a ba b>⎧⎨<⎩，又[1,5]a∈，[2,4]b∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故152432S P ==⨯阴影8. C分析：由题意得()()(1)x a xx a x -?--，故不等式()2x a x a -?…化为()(1)2x a x a --+…，化简得2(1)220x a x a -+++…，故原题等价于2(1)220x a x a -+++…在(2,)+∞上恒成立，由二次函数2()(1)22f x x a x a =-+++图象，其对称轴为12a x +=，讨论得 122(2)0a f +⎧⎪⎨⎪⎩…… 或 1221()02a a f +⎧>⎪⎪⎨+⎪⎪⎩…，解得3a … 或 37a <…，综上可得7a … 二、填空题 9.28分析：方法一、（基本量法）由34512a a a ++=得11123412a d a d a d +++++=，即13912a d += ，化简得134a d +=，故7117677(3)73282S a d a d ´=+=+=? 方法二、等差数列中由173542a a a a a +=+=可将34512a a a ++=化为173()122a a +=，即178a a +=，故1777()282a a S +== 10.1分析：299183991C ()(1)C rr rr r rr ax a x x---骣琪-=-琪桫，令6r =，得其常数项为6369(1)C 84a -=，即38484a =，解得1a =11.e -分析：设切点为000(,ln )x x x ，由1(ln )ln ln 1y x x x xx x''==+=+得0ln 1k x =+，503(1592009)503(59132013)=-+++++++++50315032013=-++故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，整理得00(ln 1)y x x x =+-，与2y x m =+比较得00ln 12x x m +=⎧⎨-=⎩，解得0e x =，故e m =-12. 4分析：圆方程2224150x yx y +++-=化为标准式22(1)(2)20x y +++=，其圆心坐标(1,2)--，半径r =，由点到直线的距离公式得圆心到直线2x y -的距离5d ==，由右图所示，圆上到直线20x y -=4个． 13.3018 分析：由题意11cos112a π=⨯+=，222cos112a π=⨯+=-，333cos 112a π=⨯+=，444cos 152a π=⨯+=，555cos 112a π=⨯+=，666cos152a π=⨯+=-，777cos 112a π=⨯+=，888cos 192a π=⨯+=， …20091a =， 20102009a =-， 20111a =，20122013a =；以上共503行，输出的122012S a a a =+++3018=分析：如图，因为PC OP ⊥ ，所以P 是弦CD 中点，由相交弦定理知2PA PB PC =，即28PC =，故PC =15.分析：圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=，直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，如右图所示，圆心到直线的距离2d == 故圆C 截直线l 所得的弦长为=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解:∵123a b B ,,π===,依据正弦定理得:a bA Bsin sin =, …………… 1分即1A sin =,解得A sin =. …………… 3分 (2)解:∵a b<，∴02A B π<<<. …………… 4分∴4A cos ==. …………… 5分 ∴228A A A sin sin cos ==, …………… 6分 252128A A cos sin =-=. …………… 7分 ∵ABC π++=,∴23C Aπ=-. …………… 8分∴4223C Acos cosπ⎛⎫=-⎪⎝⎭…………… 9分442233A Acos cos sin sinππ=+…………… 10分152828=-⨯-⨯=-. …………… 12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为501 1002=.∴应从,,,A B C D四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分（2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C250=1225种，… 5分这两名学生来自同一所中学的取法共有C215+C220+C210+C25=350. …………… 6分∴()350 1225P M==27.答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为27. …………… 7分(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得，ξ的可能取值为0,1,2，…………… 8分E MNDCBAPMNDCBAP()0P ξ==210225C C 960=， ()1P ξ==111510225C C C =12，()2P ξ==215225C C 720=. …………… 11分 ∴ξ的分布列为：…… 12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）（1）证法1：取PA 的中点E ，连接DE EN ,， ∵点N 是PB 的中点, ∴12EN AB EN AB //,=. …………… 1分 ∵点M 是CD 的中点，底面ABCD 是正方形，∴12DM AB DM AB //,=. …………… 2分 ∴EN DM EN DM //,=. ∴四边形EDMN 是平行四边形.∴MN DE //. …………… 3分 ∵DE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN //面PAD . …………… 4分证法2：连接BM 并延长交AD 的延长线于点E ，连接PE ， ∵点M 是CD 的中点，∴12DM AB DM AB //,=, …………… 1分FEMNDCBAP∴点M 是BE 的中点. …………… 2分∵点N 是PB 的中点,∴MN PE //. …………… 3分 ∵PE ⊂面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN //面PAD . …………… 4分证法3：取AB 的中点E ，连接NE ME ,， ∵点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,∴ME AD //，NE PA //. ∵AD ⊂面PAD ，ME ⊄平面PAD ，∴ME //面PAD . …………… 1分 ∵PA ⊂面PAD ，NE ⊄平面PAD ，∴NE //面PAD . …………… 2分 ∵MENE E =，NE ⊂平面MEN ，ME ⊂平面MEN ， ∴平面MEN //面PAD . …………… 3分∵MN ⊂平面MEN ，∴MN //面PAD . …………… 4分（2）解法1：∵NE PA //，PA ^面ABCD ，∴NE ^面ABCD . …………… 5分 ∵AM ⊂面ABCD ，∴NE AM ⊥. …………… 6分过E 作EF AM ⊥，垂足为F ，连接NF ， ∵NEEF E =，NE ⊂面NEF ，EF ⊂面NEF ，∴AM ⊥面NEF . …………… 7分∵NF ⊂面NEF ，∴AM NF ⊥. …………… 8分 ∴NFE ∠是二面角N AM B --的平面角. …………… 9分在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 10分在Rt △MEA 中，32AE =，得2AM ==，AE ME EF AM ==g . …………… 11分在Rt △NEF 中，5NF ==， …………… 12分cos 89EF NFENF ?=. …………… 13分∴二面角N AM B --的余弦值为89. …………… 14分解法2：∵NE PA //，PA ^面ABCD ， ∴NE ^面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 5分以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴()004EN ,,=，3302AM ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………… 8分设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅=，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1x =，得2y =-，34z =. ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又()004EN ,,=是平面AMB 的一个法向量， …………… 12分cos ,n EN ==n EN nEN89. …………… 13分 ∴二面角N AM B --的余弦值为89. …………… 14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,， ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 2分 ∴()222121212222y y y y y y x +-+==，① …………… 3分122y y y +=. ② …………… 4分 ∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=.∴2212120y y y y +=. …………… 5分依题意知120y y ≠，∴121y y =-. ③ …………… 6分把②、③代入①得：2422y x +=，即()2112y x =-. …………… 7分∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形，∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅…………… 9分===…………… 11分∵22121222y y y y +≥=，当且仅当12y y =时，等号成立， …………… 12分∴2S ≥=. …………… 13分∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-. …………… 1分故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=. 解得0x =或21x k=. …………… 2分 ∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭. …………… 3分同理得点B 的坐标为()2k k ,-. …………… 4分 ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 5分设点M 的坐标为()x y ,,则221212k kx k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩ …………… 6分消去k ,得()2112yx =-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅ ……………9分=…………… 10分≥…………… 11分 2=. …………… 12分当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立. …………… 13分 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1)解法1:设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,依题意,1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ① …………… 1分2121n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ② …………… 2分由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅==⋅=, …………… 3分①⨯②得()()()()212211221n n n n n A b b b b b b b b ++++=⋅⋅⋅⋅22n +=.…………… 4分∵0n A >, ∴222n n A +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分解法2: 设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,公比为q ,则121n n b b q++=,即12n q+=. …………… 1分依题意,得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅()()()211111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅⋅ …………… 2分()()212311n n b q++++++=⋅ …………… 3分()()122n n q ++= …………… 4分222n +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 (2)解: 由(1)得2n n a A log =222222n n log ++==, …………… 9分 ∵()()()11111n nn n n n tan tan tan tan tan tan +-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅, ……………10分∴()()1111n nn n tan tan tan tan tan +-⋅+=-,n ∈N *. ……………11分 ∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅++()()12n n tan +⋅+()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫--=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()221n n tan tan tan +--. …………… 14分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”；设()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数，不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-. ① …………… 1分又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ② …………… 2分由①、②得 212121()sin sin x x x x x x --<-<-.因此,2121sin sin x x x x -<-，对12x x <都成立. …………… 3分当12x x >时，同理有2121sin sin x x x x -<-成立又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=，故对任意的实数1x ，2x ∈R ,均有2121sin sin x x x x -≤-.因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”. …………… 5分由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- …………… 6分取13x =，22x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， …………… 7分因此， 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. …………… 8分（2）证明:由（1）得：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-，所以 11n n n n y y x x ++-≤-. …………… 9分而121(21)n n x x n +-≤+， ∴ 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++. …………… 10分∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++-,……… 11分∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++-. …………… 12分∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n+-≤-+-++-+-11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭…………… 13分14<. …………… 14分。

高考理科数学真题广东卷2013年_真题(含答案与解析)-交互

高考理科数学真题（广东卷）2013年(总分150, 做题时间120分钟)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔讲试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

[*]一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.SSS_SINGLE_SELABCD分值: 5答案:D2.SSS_SINGLE_SELA 4B 3C 2D 1分值: 5答案:C3.SSS_SINGLE_SELABCD分值: 5答案:C4.SSS_SINGLE_SELABCD分值: 5答案:A5.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )SSS_SINGLE_SELABCD分值: 5答案:B6.SSS_SINGLE_SEL ABCD分值: 5答案:D7.SSS_SINGLE_SEL ABCD分值: 5答案:B8.SSS_SINGLE_SEL ABCD分值: 5答案:B二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题(9～13题)9.SSS_FILL分值: 5答案:(-2,1)10.SSS_FILL分值: 5答案:-111.SSS_FILL分值: 5答案:712.SSS_FILL分值: 5答案:2013.SSS_FILL分值: 5答案:6（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）SSS_FILL14.分值: 2.5答案:SSS_FILL15.分值: 2.5答案:三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.SSS_TEXT_QUSTI分值: 6答案:SSS_TEXT_QUSTI分值: 6答案:SSS_TEXT_QUSTI(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；分值: 4答案:SSS_TEXT_QUSTI(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；分值: 4答案:SSS_TEXT_QUSTI(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率.分值: 4答案:SSS_TEXT_QUSTI分值: 7答案:SSS_TEXT_QUSTI分值: 7答案:SSS_TEXT_QUSTI分值: 4.XX667答案:SSS_TEXT_QUSTI分值: 4.XX667答案:SSS_TEXT_QUSTI分值: 4.XX667答案:SSS_TEXT_QUSTI分值: 4.XX667答案:SSS_TEXT_QUSTI分值: 4.XX667答案:SSS_TEXT_QUSTI分值: 4.XX667答案:SSS_TEXT_QUSTI分值: 7答案:SSS_TEXT_QUSTI分值: 7答案:1。

【解析版】广东省广州市2013届高三毕业班综合测试数学理试题(一)2013广州一模

试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2013.3本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A B ,相互独立,那么()()()P A BP A P B ⋅=⋅.线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121ni i i ni i x x y y b a y bx x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðBC ．U A =()U B ðD ．U=()U A ð()UB ð【答案】D【解析】由{}2,4,6U C A =，{}1,3,5U C B =，则()()U U U C A C B =。

2. 已知11abi i=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i =图1俯视图侧视图正视图A ．12+iB ．2+iC ．2-iD ．12-i 【答案】B 【解析】由11a bi i =+-，即122a ai bi +=+，得2a =，1b =。

2013年广东高考理科数学试题及答案

试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）题目及答案本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：主体的体积公式V=Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。

锥体的体积公式为，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 . 设i为虚数单位，则复数56ii=A 6+5iB 6-5iC -6+5iD -6-5i2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM=A .UB {1,3,5}C {3,5,6}D {2,4,6}3 若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=A （-2,-4）B (3,4)C (6,10D (-6,-10)4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A.y=ln （x+2）B.y=-1xC.y=（12）x D.y=x+1x5.已知变量x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为A.12B.11C.3D.-1 6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是 A.49 B. 13 C. 29D. 198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。

【首发】广东省广州市2013届高三调研测试数学理试题Word版含答案(含解析)

试卷类型：A广州市2013届高三年级调研测试数学（理科） 2013.1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i )对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{3．已知函数()2030xx x f x x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．9B ．19 C ．9- D ．19- 4.设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是 A ．()fx =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-x图3俯视图侧视图正视图图1C ．()fx =)62cos(π+x D ．()f x =6．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是A ．3B ．C ．6D ．87．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 8．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是 A ．17,⎡⎤-⎣⎦ B ．(3,⎤-∞⎦ C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5（一）必做题（9～13题）9. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为 .10.若291()ax x-的展开式的常数项为84，则a 的值为 . 11.若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 .12.圆2224150x y x y +++-=上到直线20x y -=的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图，则输出S 的值是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图3，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是图2图4M NBCDAPks5u15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）ks5u已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值； ks5u (2) 求2C cos 的值. 17.（本小题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列.18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PA ^面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 求证：MN //面PAD ；（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.19.（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线P OA OB ^，OA OB OC uu r uu u r uuu r+=，OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程；(2) 求四边形AOBC 的面积的最小值.ks5u20.（本小题满分14分）在数1和2之间插入n 个实数,使得这2n +个数构成递增的等比数列,将这2n +个数的乘积记为n A ,令2n n a A log =,n ∈N *.(1)求数列{}n A 的前n 项和n S ；(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅.21.（本小题满分14分）若函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”. ks5u(1) 判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”，并说明理由； (2) 若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设sin n n y x =,求证： 1114n y y +-<.广州市2013届高三年级调研测试数学（理科）试题解析 2013-1-9一、选择题1. A分析：，其对应的点为，位于第一象限2. D分析：，，3. B分析：，4. A分析：当时，有，解得；所以，但，故“”是“”的充分不必要条件5. B分析：逆推法，将的图象向左平移个单位即得的图象，即6. C分析：三棱锥如图所示，，，，7. B分析：方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时，有，即，化简得，又，，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故8. C分析：由题意得，故不等式化为，化简得，故原题等价于在上恒成立，由二次函数图象，其对称轴为，讨论得或，解得或，综上可得二、填空题9.分析：方法一、（基本量法）由得，即，化简得，故方法二、等差数列中由可将化为，即，故10.分析：，令，得其常数项为，即，解得11.分析：设切点为，由得，故切线方程为，整理得，与比较得，解得，故12.分析：圆方程化为标准式为，其圆心坐标，半径，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，由右图所示，圆上到直线的距离为的点有4个．13.分析：由题意，，，，，，，，…，，，；以上共503行，输出的14.分析：如图，因为，所以是弦中点，由相交弦定理知，即，故15.分析：圆的参数方程化为平面直角坐标方程为，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为，如右图所示，圆心到直线的距离，故圆截直线所得的弦长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解:∵,依据正弦定理得:, ……………1分即,解得. ……………3分(2)解:∵，∴. ……………4分∴. ……………5分∴, ……………6分. ……………7分∵,∴. ……………8分∴……………9分……………10分. ……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为.∴应从四所中学抽取的学生人数分别为. …………… 4分（2）解：设“从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件，从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生的取法共有C种，… 5分这两名学生来自同一所中学的取法共有CCCC. …………… 6分∴.答：从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为. …………… 7分(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的名学生中，来自两所中学的学生人数分别为.依题意得，的可能取值为， …………… 8分，，.…………… 11分 ∴的分布列为：……………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）（1）证法1：取的中点，连接，∵点是的中点,∴. ……………1分∵点是的中点，底面是正方形，∴. ……………2分∴.∴四边形是平行四边形.∴. ……………3分∵平面，平面，∴面. ……………4分证法2：连接并延长交的延长线于点，连接，∵点是的中点，∴, ……………1分∴点是的中点. ……………2分∵点是的中点,∴. ……………3分∵面，平面，∴面. ……………4分证法3：取的中点，连接，∵点是的中点，点是的中点,∴，.∵面，平面，∴面. ……………1分∵面，平面，∴面. ……………2分∵，平面，平面，∴平面面. ……………3分∵平面，∴面. ……………4分（2）解法1：∵，面，∴面. ……………5分∵面，∴. ……………6分过作，垂足为，连接，∵，面，面，∴面. ……………7分∵面，∴. ……………8分∴是二面角的平面角. ……………9分在Rt△中，,，得，……………10分在Rt△中，，得，. ……………11分在Rt△中，，……………12分. ……………13分∴二面角的余弦值为. ……………14分解法2：∵，面，∴面.在Rt△中，,，得，……………5分以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，……………6分则.∴，，. ……………8分设平面的法向量为，由，，得令，得，.∴是平面的一个法向量. ……………11分又是平面的一个法向量，……………12分. ……………13分∴二面角的余弦值为. ……………14分19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设，∵，∴是线段的中点. …………… 2分∴，①…………… 3分. ②…………… 4分∵，∴.∴. …………… 5分依题意知，∴. ③…………… 6分把②、③代入①得：，即. …………… 7分∴点的轨迹方程为. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形是矩形，∴四边形的面积为…………… 9分. …………… 11分∵，当且仅当时，等号成立，…………… 12分∴. …………… 13分∴四边形的面积的最小值为. ……………14分解法二:(1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为,由于,则直线的斜率为. …………… 1分故直线的方程为,直线的方程为.由消去,得.解得或. …………… 2分∴点的坐标为. …………… 3分同理得点的坐标为. …………… 4分∵，∴是线段的中点. …………… 5分设点的坐标为,则…………… 6分消去,得. …………… 7分∴点的轨迹方程为. …………… 8分(2)解：依题意得四边形是矩形，∴四边形的面积为…………… 9分 (10)分…………… 11分. …………… 12分当且仅当,即时,等号成立. …………… 13分∴四边形的面积的最小值为. ……………14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力）(1)解法1:设构成等比数列,其中,依题意,, ①……………1分, ②……………2分由于, ……………3分①②得.……………4分∵,∴. ……………5分∵, ……………6分∴数列是首项为,公比为的等比数列.……………7分∴. ……………8分解法2: 设构成等比数列,其中,公比为, 则,即. ……………1分依题意,得……………2分……………3分……………4分. ……………5分∵, ……………6分∴数列是首项为,公比为的等比数列.……………7分∴. ……………8分(2)解:由(1)得, ……………9分∵, ……………10分∴,N. ……………11分∴. ……………14分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解：是R上的“平缓函数”，但不是区间R的“平缓函数”；设，则,则是实数集R上的增函数，不妨设，则，即，则. ①……………1分又也是R上的增函数，则，即，②……………2分由①、②得.因此,，对都成立.……………3分当时，同理有成立又当时，不等式，故对任意的实数，R,均有.因此是R上的“平缓函数”.……………5分由于……………6分取，，则，……………7分因此，不是区间R的“平缓函数”.……………8分（2）证明:由（1）得：是R上的“平缓函数”，则，所以. ……………9分而，∴. ……………10分∵,………11分∴. ……………12分∴……………13分. ……………14分。

广东省广州市2013届高三数学毕业班综合测试试题(一)(2013广州一模) 文新人教A版

试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：线性回归方程y bx a=+ 中系数计算公式121n i i i ni i x x y y b a y b x x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚部为A ．2B ．1C ．1-D ．2- 2．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðBC ．U A = ()U B ðD ．U =()U A ð()U B ð 3．直线3490x y +-=与圆()2211x y-+=的位置关系是A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心 4．若函数()y fx =是函数2xy=的反函数，则()2f的值是A ．4B ．2C ．1D ．0图1俯视图5．已知平面向量a ()2m =-,，b(1=，且()-⊥a b b ，则实数m 的值为A．-．．．6．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3 7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B. 1C.23D.138. 已知函数()2fx x sin =，为了得到函数()22gx x x sin cos =+的图象，只要将()y fx =的图象A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度9．“2m <”是“一元二次不等式210x mx ++>的解集为R ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．设函数()fx 的定义域为D ，如果xD y D ,∀∈∃∈，使()()2fx f y C C (+=为常数)成立，则称函数()fx 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3yx =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y x ln =；④21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11．函数()()1f x x ln =+-的定义域是12．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：图2C根据上表可得回归方程ˆˆ1.23y x a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约万元（结果保留两位小数）．13．已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()fn = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ+=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为． 15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是O 的直径，B C 是O 的切线，A C 与O 交于点D ，若3B C =，165A D =，则AB 的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos ∠POQ的值.17．（本小题满分12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收图3a0.06b 图4MDCBAP获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg ），获得的所有数据按照区间(4045,,⎤⎦(((455050555560,,,,,⎤⎤⎤⎦⎦⎦进行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树株数是产量在区间(5060,⎤⎦上的果树株数的43倍.（1）求a ,b 的值；（2）从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，求产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中的概率.18．（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是平行四边形，60BCD ︒∠=，2AB AD =，P D ⊥平面A B C D ，点M 为P C 的中点.（1）求证:PA //平面BM D ；（2）求证：AD ⊥P B ；（3）若2AB PD ==，求点A 到平面BM D 的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，()11452n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n T ；（3）求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的最大正整数n 的值.20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,, 且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知n ∈N *，设函数2321()1,2321n n xxxf x x x n -=-+-+-∈- R.（1）求函数y =2()f x kx k (-∈R )的单调区间；（2）是否存在整数t ，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．(]1,2 12．1238. 13．8，22nn -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分 ∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………3分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………4分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ ……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………6分∴(4,P Q . ……………7分∴OP PQ OQ ===……………10分∴222222cos 23O PO QPQPO Q O P OQ+-+-∠===.……12分解法2：∵(2)2sin2cos2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………6分∴(4,P Q . ……………8分 ∴(4,O P O Q ==. ……………10分∴cos cos ,3O P O QPO Q O P O Q O P O Q⋅∠=<>===. ……………12分解法3: ∵(2)2sin 2cos244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭5(4)2sin 2sin44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭6∴(4,P Q . ……………7分作1PP x ⊥轴, 1Q Q x⊥轴,垂足分别为11PQ ,,∴112,OP OP PP ====114O Q Q Q ,==………8分设11PO P Q OQ ,αβ∠=∠=,则13333sin ,cos ,sin,cos ααββ====. ……………10分∴cos cos POQ ∠=()3cos cos sin sin αβαβαβ+=-=.………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解:样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树有520100a a ⨯⨯=（株），…………1分样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树有()()002520100002b b ..+⨯⨯=+（株），……………2分依题意，有()41001000023a b .=⨯+，即()40023a b.=+.①…………3分根据频率分布直方图可知()00200651b a ..+++⨯=， ② …………4分解①②得:008004a b .,.==. ……………6分（2）解：样本中产量在区间(5055,⎤⎦上的果树有0045204.⨯⨯=株，分别记为 123A A A ,,,4A ，……………… 7分产量在区间(5560,⎤⎦上的果树有0025202.⨯⨯=株，分别记为12B B ,. … 8分从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：()()1213A A A A ,,,，()14A A ,()()()()()()111223242122A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()34A A ,,()31A B ,,()32A B ,，()()4142A B A B ,,,,()12B B ,. ……………10分其中产量在(5560,⎤⎦上的果树至少有一株共有9种情况：()()1112A B A B ,,,,()()()()21223132A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4142A B A B ,,,，()12B B ,. (11)分记“从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则()93155P M ==. ……………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明:连接A C ，A C 与B D 相交于点O , 连接M O ， ∵A B C D 是平行四边形，∴O 是A C 的中点. ……………1分 ∵M 为P C 的中点，∴MO AP //. ……………2分 ∵P A ⊄平面BM D ,M O ⊂平面BM D ,ON MDCBAP∴PA //平面BM D . ……………3分 (2)证明:∵P D ⊥平面A B C D ，AD ⊂平面A B C D ，∴P D ⊥A D . ……………4分 ∵60BAD BCD ︒∠=∠=，2AB AD =， ∴222260BDABADAB AD cos ︒=+-⋅⋅2222AB AD AD =+- 22ABAD =-. ……………5分∴22AB AD =2BD +.∴AD BD ⊥. ……………6分∵PD BD D = ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，∴AD ⊥平面PBD . ……………7分 ∵P B ⊂平面PBD ，∴AD PB ⊥. ……………8分（3）解：取C D 的中点N ，连接M N ，则MN PD //且12MN PD =.∵P D ⊥平面A B C D ，2PD =，∴M N ⊥平面A B C D ，1M N =. ……………9分在Rt △PC D 中，2C D AB PD ===，1122DM PC ===，∵BC AD //,AD PB ⊥, ∴B C P B ⊥.在Rt △P B C中，12BM PC ==.在△BM D 中，BM D M =，O 为B D 的中点,∴M O B D ⊥.在Rt △ABD 中，6022BD AB sin ︒=⋅=⨯=在Rt △M O B 中，M O ==2.∴122ΔABD S AD BD =⨯=，124ΔM BD S BD M O =⨯=.…………11分设点A 到平面BM D 的距离为h ，∵M ABD A M BD V V --=，∴13M N 13ΔABD S h = ΔM BD S . ……………12分即13⨯12⨯13h =⨯⨯4，解得5h =. ……………13分∴点A 到平面BM D 的距离为5. ……………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. ……………1分 ∴14n n a a +=. ……………2分 ∵12a =，28a =，∴214a a =. ……………3分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列. ∴121242n n n a --=⋅=. ……………4分（2）解：由（1）得：2122221n n a n log log -==-， ……………5分∴21222n n T a a a log log log =+++()1321n =+++- ……………6分()1212n n +-=……………7分2n = . ……………8分（3）解： 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………9分222222222131411234nn----=⋅⋅⋅⋅()()2222132********n n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ ……………10分12n n +=. ……………11分令12n n+10102013>，解得：42877n <. ……………13分故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） (1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. ……………3分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=，)413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. (4)分∴()()()222211211113244x x x xx x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . (6)分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② (7)分同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ (8)分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . (4)分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -=.∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① (6)分同理， 20202y x x y -=. ② (7)分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程 y x x y -=002. ……8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 两点的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x x y -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . (11)分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . (6)分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. (7)分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. (8)分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612xyC :+=上. ……………11分∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵232()1,23xxy f x kx x kx =-=-+-- ……………1分∴221(1)y x x k x x k '=-+--=--++. ……………2分方程210xx k -++=的判别式()()214134Δk k =--+=--.当34k ≥-时，0Δ≤，2(1)0y x x k '=--++≤，故函数y =2()f x kx -在R 上单调递减； ……………3分当34k <-时，方程210xx k -++=的两个实根为112x -=，212x +=. (4)分则()1x x ,∈-∞时，0y '<；()12xx x ,∈时，0y '>；()2xx,∈+∞时，0y '<；故函数y =2()f x kx -的单调递减区间为()1x ,-∞和()2x ,+∞，单调递增区间为()12x x ,. ……………5分（2）解：存在1t =，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，理由如下：当1n =时，1()1f x x =-，令1()10f x x =-=，解得1x =，∴关于x 的方程1()0f x =有唯一实数解1x =. ……………6分当2n ≥时，由2321()12321n n xxxf x x n -=-+-+-- ，得22322()1n n n f x x x x x --'=-+-++- . ……………7分若1x =-，则()(1)(21)0n n f x f n ''=-=--<，若0x =，则()10n f x '=-<, ……………8分若1x ≠-且0x ≠时，则211()1n n xf x x -+'=-+, ……………9分当1x <-时，2110,10,()0n n x x f x -'+<+<<, 当1x >-时，2110,10,()0n n x x f x -'+>+><,∴()0n f x '<，故()n f x 在(,)-∞+∞上单调递减. ……………10分 ∵111111(1)(11)()()()23452221n f n n =-+-+-++--- 0>， ………11分23452221222222(2)(12)()()()23452221n n n f n n --=-+-+-++---24221212121()2()2()223452221n n n -=-+-+-++---2422132312222345(22)(21)n n n n --=-----⋅⋅-- 0<. …………12分∴方程()0n f x =在[]1,2上有唯一实数解. ……………13分当()1x ,∈-∞时，()()10n n f x f >>；当()2x ,∈+∞时，()()20nn f x f <<.综上所述，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间12,⎡⎤⎣⎦上有唯一实数解. ∴1t =. ……………14分。

2013年广东省广州市普通高中毕业班综合测试理科数学试题广州一测及参考答案

广州市2013届普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:如果事件A,B 相互独立,那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y axy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121, 其中y x ,表示样本均值。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ,集合}5,3,1{=A ,}4,2{=B ,则A.B A U ⋃=B.B A C U U ⋃=)(C.)(B C A U U ⋃=D.)()(B C A C U U U ⋃= 2.已知bi ia+=-11,其中a,b 是实数,i 是虚数单位,则a+bi= A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i3.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ,则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.3 4.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是 A.6π B.3π C.2πD.32π5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是A.2B.1C.32D.31 6.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增D.偶函数且在],2[ππ上单调递增7.已知e 是自然对数的底数,函数2)(-+=x e x f x 的零点为a,函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b,则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f <<D.)()1()(a f f b f <<8.如图2,一条河的两岸平行,河的宽度d=600m,一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知km AB 1=,水流速度为2km/h,若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟,则客船在静水中的速度大小为A.8km/hB.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9-13题)9.不等式x x ≤-1的解集是_________.10.⎰=1._______cos xdx11.根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=,据此模型估计,该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元(结果保留两位小数).12.已知1,0≠>a a ,函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ,若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25,则a 的值为________. 13.已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面,任意三个平面不经过同一条直线,若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分,则.________)(______,)3(n f f = (二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,定点)23,2(πA ,点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动,当线段AB 最短时,点B 的极坐标为______.15.(几何证明选讲选做题)如图3,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,AC 与⊙O交于点D,若BC=3,516=AD ,则AB 的长为______.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函)4sin()(πω+=x A x f (其中0,0,>>∈ωA R x )的最大值为2,最小正周期为8.(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P,Q 的横坐标依次为2,4,O 坐标原点,求POQ ∆的面积.17.(本小题满分12分)甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为,21乙,丙做对的概率分别为m,n(m>n),且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:(1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望.18.(本小题满分14分)如图4,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,ABC ∆是边长为2的等边三角形,⊥1AA 平面ABC,D,E 分别是CC 1,AB 的中点.(1)求证:CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点,当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时,求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角(锐角)的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列}{n a 的前n 项和为S n ,且n na a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数,且p,q,r 成等差数列,试判断1,1,1---r q p a a a 是否成等比数列？并说明理由.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 1的中心在坐标原点,两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -,点A(2,3)在椭圆C 1上,过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B,C 两点,抛物线C 2在点B,C 处的切线分别为21,l l ,且1l 与2l 交于点P.(1)求椭圆C 1的方程；(2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标)；若不存在,说明理由.21.(本小题满分14分)已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ,关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ,其中m 为非零常数.设1)()(-=x x f x g . (1)求a 的值；(2))(R k k ∈如何取值时,函数)1ln()()(--=x k x g x φ存在极值点,并求出极值点； (3)若m=1,且x>0,求证:*)(22)1()]1([N n x g x g nnn∈-≥+-+参考答案说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.9.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10.1sin 11.12.38 12.12或27 13.8,22n n -+ 14.1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15.4 说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是:11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:∵()f x 的最大值为2,且0A >, ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8, ∴28T πω==,得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分(2)解法1:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ …………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===…10分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法2:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴(2,2),(4,OP OQ ==.……………8分 ∴cos cos ,6OP OQ POQOP OQ OP OQ⋅∠=<>===.……………10分 ∴POQ sin ∠== (11)分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法3:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为y x =,即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为d ==……………9分∵OP =……………11分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17.(本小题满分12分)(本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想)解:设“甲做对”为事件A ,“乙做对”为事件B ,“丙做对”为事件C ,由题意知, ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分 (1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的,所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144Pξ-==-=.…………3分 (2)由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=, ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====, ……………5分整理得 112mn =,712m n +=.由mn >,解得13m =,14n =. ……………7分 (3)由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=, …9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14, ……………10分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分H FABCA 1C 1B 1DE18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一:(1)证明:延长1A D 交AC 的延长线于点F ,连接BF . ∵CD ∥1AA ,且CD 12=1AA ,∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点,∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ,CE ⊄平面1A BD , ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 (2)解:∵1AA ⊥平面ABC ,CE ⊂平面ABC ,∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形,E 是AB 的中点, ∴CE AB ⊥,CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ,1AA ⊂平面1A AB ,1AB AA A =,∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中,tan CE EHC EH ∠==, ∴当EH 最短时,tan EHC ∠的值最大,则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时,EHC ∠最大. 此时,tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ,CE ⊥平面1A AB ,z yxH ABCA 1C 1B 1DE F∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ,1A B ⊂平面1A AB , ∴BF ⊥AB ,BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角). ……………12分在R t △EHB 中,BH ==cos 1ABA∠BH EB ==…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为5. ……………14分解法二:(1)证明:取1A B 的中点F ,连接DF 、EF . ∵E 为AB 的中点, ∴EF ∥1AA ,且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ,且CD 12=1AA ,∴EF ∥CD ,EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ,CE ⊄平面1A BD , ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 (2)解:∵1AA ⊥平面ABC ,CE ⊂平面ABC ,∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形,E 是AB 的中点, ∴CE AB ⊥,CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ,1AA ⊂平面1A AB ,1AB AA A =,∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中,tan CE EHC EH ∠==, ∴当EH 最短时,tan EHC ∠的值最大,则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时,EHC ∠最大. 此时,tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ……………9分在R t △EHB 中,BH ==∵R t △EHB ～R t △1A AB , ∴1EH BHAA AB =,即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分以A 为原点,与AC 垂直的直线为x 轴,AC 所在的直线为y 轴,1AA 所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A ,,,1A ()004,,,B )10,,D ()02,,2.∴1AA =()004,,,1A B=)14,-,1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,,由n A 1⋅,n 01=⋅A ,得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =,则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC , ∴1AA =()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA 5. ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角) ……………14分 19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+,∴ 当1n =时,有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+, ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++, ② ……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分以下提供两种方法:法1:由③式得:11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+,即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+, ……………5分∵112240S a +=+=≠,∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分当2n ≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=, ……………7分又12a =也满足上式,∴2n n a =. ……………8分法2:由③式得:()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++,得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分⑤-④得:12n n a a +=. ……………6分由12224a a S +=+,得24a =,∴212a a =. ……………7分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项,2为公比的等比数列. ∴2n n a =. …………8分 (2)解:∵p q r ,,成等差数列,∴2p r q +=. …………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列, 则()()()2111p r q a a a --=-, …………10分即()()()2212121prq--=-,化简得:2222p r q +=⨯. (*) ……………11分 ∵p r ≠,∴2222p r q +>=⨯,这与(*)式矛盾,故假设不成立.…13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =, ……………1分 ∵2c =, ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=, )413,2(211x x BA --=,∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分 ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ………8分设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =, ……………10分则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P , 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =, ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理, 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上,…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21.(本小题满分14分)(本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+,即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+,∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=(*)的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时,0Δ>,方程(*)的两个实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分 ②当0m <时,由0Δ>,得k <-k >若k <-则11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时,()0x ϕ'>, ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >,1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时,k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x .…9分(其中122k x +-=, 222k x ++=解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()xg x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点,且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程(*)的两个实根为1x =2x =设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k > ……………7分则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时,k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x .…9分 (其中122k x +-=, 222k x ++=(2)证法1:∵1m =, ∴()g x=()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n nn n n n nn n n x C x C x C x C x x xx x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++. ……………10分令T 122412n n n n n n n C xC x C x ----=+++,则T 122412n nn n n n n n C x C x C x -----=+++ 122412nnn n n n n C x C x C x ----=+++.∵x 0>,∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++…11分≥121n nn n C C C -⋅+⋅++⋅…12分()1212n n n n C C C -=+++ ()012102n n nn n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分 ∴22n T ≥-,即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2:下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时,左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,右边1220=-=,不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时,不等式成立,即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-,则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说,当1n k =+时,不等式也成立. 由①②可得,对∀n ∈N *,()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。

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1 试卷类型：A
2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
2013.3
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、
座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：
如果事件A B ,相互独立,那么()()()P A B
P A P B ⋅=⋅.
线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式
1
2
1
n
i i i n
i i x x y y b
a
y bx x x ()()
,()==--∑==--∑ ，其中y x ,表示样本均值.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=
，则
A ．U A
B = B ．U =()
U A ðB C ．U A = ()U B ð D ．U =()U A ð(
)
U B ð 【答案】D
【解析】由{}2,4,6U C A =，{}1,3,5U C B =，则()()U U U C A C B = 。

2. 已知
11a
bi i
=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i =
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2 图1
俯视图
侧视图
正视图
A ．12+i
B ．2+i
C ．2-i
D ．12-i
【答案】B 【解析】由
11a bi i =+-，即122
a a
i bi +=+，得2a =，1b =。

3．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,
,.⎧+≥⎪
-≤⎨⎪-≤⎩
则2z x y =-的最大值为
A ．3-
B ．0
C ．1
D ．3 【答案】C
【解析】如图：要使z 取得最大值，只有直线11
22
y x z =-经过点(1,0)，因此z 的最大值是1。

4. 直线0x -
=截圆()2
224x y -+=所得劣弧所对的圆心角是
A ．
6π B ．3π
C ．
2π D ．23
π 【答案】D
【解析】圆心到直线的距离是：1d =
=。

可见， 2
r
d =
，所以劣弧所对的圆心角的一半是
3
π，圆心角是23π。

5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是
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网址：
3
A ．2
B ．1
C .
23 D . 13
【答案】A
【解析】由三视图可知，这个几何体是水平放置的直三棱柱，且底面是直角三角形。

则
1
12222
V S h =⨯=⨯⨯⨯=。

6. 函数()()y x x
x x sin cos sin cos =+-是
A ．奇函数且在02,π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦上单调递增 C ．偶函数且在02,π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增【答案】C
【解析】2
2
sin cos cos 2y x x x =-=-，可见它是偶函数，并且在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是单调递增的。

7．已知e 是自然对数的底数，函数()f x =e 2x
x +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-
的零点为b ，则下列不等式中成立的是
A ．()()()1f a f f b << B. ()()()1f a f b f << C. ()()()1f f a f b << D. ()()()1f b f f a << 【答案】A
【解析】由(0)(1)0f f *<，所以函数()f x 的零点a 在区间(0,1)上；而(1)(2)0g g *<，可知函数()g x 的零点b 在区间(1,2)上；则1a b <<，又因为函数()f x 在R 上是单增的，得()(1)()f a f f b <<。

8
．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度600d =m 一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B . 已知AB =1km ，水流速度为2km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中
的速度大小为
A ．8 km/h
B ．
C ．km/h
D ．10km/h 【答案】B
【解析】设客船在静水中的速度大小是x /km h ，由题意得。

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