广东省广州市四校联考2018-2019学年高一下学期期中数学试卷PDF版含解析
广东省广州市增城区四校联考2024届数学高一第二学期期末质量检测模拟试题含解析
广东省广州市增城区四校联考2024届数学高一第二学期期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若一个人下半身长（肚脐至足底）与全身长的比近似为（，称为黄金分割比），堪称“身材完美”，且比值越接近黄金分割比，身材看起来越好，若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72，肚脐至足底长度为103，根据以上数据，作为形象设计师的你，对TA 的着装建议是（ ） A ．身材完美，无需改善 B ．可以戴一顶合适高度的帽子 C ．可以穿一双合适高度的增高鞋D ．同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子2．某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（ ）A ．5B ．22C ．23D ．43．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．154．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若362,6,S S ==则9S =（ ）A ．18B ．14C ．10D ．225．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．已知x y ，满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．16D ．47．已知数列}{n a 满足111,1n n a a a +=-=，则10a =（ ） A ．10B ．20C ．100D ．2008．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．459．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形90ACB ∠=︒，2AC =，11BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1A P PC +的最小值是（ ）A ．2B 5C 3D 562+-10．已知1cos 32πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于 ( ) A ．3B ．3C ．12D ．12-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
广东省四校(华附、省实、广雅、深中)2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)
华附､省实､广雅､深中2022级高二下学期四校联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名､姓名､考号､座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B 铅笔填涂相关信息.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后.再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟..1.若()i 11z +=（i为虚数单位），则z z −=（ ）A.2−B.2i− C.2D.2i【答案】D 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z ，即可求出其共轭复数，再由复数的减法计算可得.【详解】因为()i 11z +=，所以11i iz +==−，所以1i z =−−，则1i z =−+，所以()()1i 1i 2i z z −=−+−−−=.故选：D2.已知等比数列{}n a 中，1241,9a a a ==，则7a =（ ） A.3 B.3或-3C.27D.27或-27【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，计算得到等比数列的等比，结合通项公式计算得出答案；【详解】设等比数列{}n a 的公比为1212134,1,9,93q a a a qa a q q ==∴=⇒= ， 则6371327a a q ===， 故选：C.3. 已知圆22:2O x y +=与抛物线2:2(0)C x py p =>的准线相切，则p 的值为（ ）A. B.C. 4D. 2【答案】A 【解析】【分析】写出抛物线C 的准线方程，根据该准线与圆O 相切求出实数p 的值.【详解】由题意可知，圆O 的圆， 抛物线C 的准线方程为2py =−，由于抛物线C 的准线方程与圆O 相切，则2p=，解得p =. 故选：A.4. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得2π2π2R r =，求得4R =，进而由h =可求得圆锥的高.【详解】由图可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为1r =， 设扇形半径为R ，则有π2π2R r =，解得4R =，所以圆锥的母线长为4R =，故圆锥的高h =故选：C.5. 某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格.阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（=平均分/150）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X N µσ ，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈. A. 127人 B. 181人 C. 254人 D. 362人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩()273.5,22X N ，再根据所给条件求出()5790P X ≤≤，即可求出()90P X ≥，即可估计人数.【详解】依题意可知平均分为1500.4973.5×=，又标准差为22， 所以学生的数学成绩()273.5,22X N ，即73.5µ=，22σ=，又9073.50.7522−=， 所以()()()00.57900.75.750.54775P X P X p µσµσ≤≤=−≤≤+=≈，所以()10.547900.22652P X −≥=≈=，又8000.2265181.2×=，所以该次数学考试及格的人数约为181人. 故选：B6. 已知双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为12,F F ，直线y x =与双曲线的右支交于点P ，则12PF PF ⋅=（ ）A. 1−B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】首先求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点P 的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得.【详解】双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为()12,0F −，()22,0F ，由2213y x y x −= =，解得x y= =x y = =P ，则12PF =−，22PF =− ，所以212221PF PF ⋅=−×+=− . 故选：A7. 现有一组数据0,1,2,3,4,5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为（ ） A.23B.1115C.45D.1315【答案】B 【解析】【分析】设删去的两数之和为x ，依题意可得15362x−<−，求出x 的范围，再列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意得这组数据各数之和为01234515+++++=， 设删去的两数之和为x ，若剩下数据的平均数小于3，则15362x−<−，解得3x >， 则删去的两个数可以为()0,4，()0,5，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5共11种情况，从0,1,2,3,4,5中任意取两个数有：()0,1，()0,2，()0,3，()0,4，()0,5，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，共15种情况，故所求概率1115P=. 故选：B8. 若函数()()21e 12xg x x b x =−+−存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. ()0,∞+C. (],0−∞D. (),0∞−【答案】D【解析】【分析】根据题意转化为导函数e 10x x b −+−<有解，参变分离e 1x b x <−++有解,设()e 1x f x x =−++，则实数max ()b f x <，求导计算可得解；【详解】函数()()21e 12xg x x b x =−+−的定义域为R , 求导得()e 1xg x x b ′=−+−，函数存在单调递减区间， 所以e 10x x b −+−<有解，即e 1x b x <−++有解， 设()e 1x f x x =−++，则实数max ()b f x <， 则()e 1x f x ′−+=，令()0f x ′=，得0x =， 当0x <时，()0,()′>f x f x 在(),0∞−上递增； 当0x >时，()0,()′<f x f x 在(),0∞−上递减； 所以函数()f x 有最大值(0)0f =， 因此0b <. 故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9. 若“2x k <−或x k >”是“23x −<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是（ ） A. 3B. 3−C. 5D. 5−【答案】BCD 【解析】【分析】令{|2A x x k =<−或}x k >，{}|23B x x =−<<，依题意可得B 真包含于A ，即可求出参数的取值范围.【详解】令{|2A x x k =<−或}x k >，{}|23B x x =−<<，因为“2x k <−或x k >”是“23x −<<”的必要不充分条件， 所以B 真包含于A ，所以2k ≤−或23k −≥，解得2k ≤−或5k ≥，结合选项可知符合题意的有B 、C 、D. 故选：BCD10. 下列关于成对数据统计的表述中，正确的是（ ） A. 成对样本数据的经验回归直线一定经过点(),x yB. 依据小概率事件0.1α=的2χ独立性检验对零假设0H 进行检验，根据22×列联表中的数据计算发现20.10.837 2.706x χ≈<=，由()2 2.7060.1P χ≥=可推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1C. 在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设D. 决定系数2R 越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 【答案】AC 【解析】【分析】根据经验回归方程的性质判断A ，根据独立性检验的基本思想判断B ，根据回归分析的相关知识判断C 、D.【详解】对于A ：成对样本数据的经验回归直线一定经过点(),x y ，故A 正确；对于B ：因为20.10.837 2.706x χ≈<=，由()22.7060.1P χ≥=可推断0H 成立，即认为X 和Y 独立，故B 错误；对于C说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设，故C 正确； 对于D ：决定系数2R 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D 错误. 故选：AC11. 如图，心形曲线22:()1L x y x +−=与y 轴交于,A B 两点，点P 是L 上的一个动点，则（ ）A. 点和()1,1−均在L 上B. 点PC. OP 的最大值与最小值之和为3D. PA PB +≤ 【答案】ABD 【解析】【分析】点代入曲线判断A ，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B ，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C ，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令0x =，得出1y =±，则()()1,0,1,0,A B −对于A ：x =时，2112y += 得0y =或y =，=1x −时，()2111y +−=得1y =，所以和()1,1−均在L 上，A 选项正确；对于B ：因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，()221x y x+−=，所以y x =+()()222221112y y x x x x ==+−+≤++−=，所以x =y B 选项正确；对于C ：OP =，因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，设cos ,sin x y x θθ=−=， 所以()2222222cos cos sin 2cos sin 2sin cos OP x y θθθθθθθ=+=++=++()1cos23131sin2cos2sin222222θθθθθϕ+=++=++=++，因为θ可取任意角，所以OP 取最小值=，OP 取最大值=，C 选项错误；对于D ：PA PB +≤等价为点P 在椭圆22132y x +=内，即满足()222cos sin 3cos 6θθθ++≤，即()()31+cos221sin 262θθ++≤，整理得4sin23cos25θθ+≤，即()sin 21θβ≤+恒成立，故D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(21)x y +−的展开式中，所有项的系数和为__________. 【答案】64 【解析】【分析】令1xy ==计算可得. 【详解】令1xy ==，可得所有项的系数和为()642611+−=. 故答案为：6413. 如图，正八面体ABCDEF 的12条棱长相等，则二面角E AB F −−的余弦值为__________.【答案】13−.【解析】【分析】AB 的中点为G ，EGF ∠为二面角E AB F −−的平面角，结合正八面体的几何特征，利用余弦定理求值即可.【详解】连接,AC BD 交于点O ，连接EF ，取AB 的中点G ，连接,EG FG ，根据正八面体的几何特征，有EF 过点O ，EG AB ⊥，FG AB ⊥， 又EG ⊂平面ABE ，FG ⊂平面ABF ， 平面ABE ∩平面ABF AB =，所以EGF ∠为二面角E AB F −−的平面角.正八面体中， EF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 则EF AC ⊥，所以AOE △是直角三角形，设正八面体棱长为2，则AO =，2AE =，所以OE =，得EF =在AEB △中，EGAB =，同理GF =在EGF △中， 由余弦定理，可得2221cos 23EG FG EF EGF EG FG +−∠==−⋅⋅ 故答案为：13−.14. 数列{}n a 前n 项和为n S ，且111,22n n a a a n +=−=，则满足2024n S >的最小正整数n 为__________. 【答案】9 【解析】【分析】先构造等比数列，再应用等比等差数列前n 项和公式计算，最后判断最小值n 即可.【详解】因为122n n a a n +−=，所以()124244n n a n a n +++++， 所以()()124222n n a n a n +++=++,所以{}22n a n ++是公比为2首项为1225a ++=的等比数列，所以112252,5222n n n n a n a n −−++=×=×−−.则()()()()()0112512422522246225213122n n n n n n S n n n −−++=+++−++++=−=−−−− ,因为152220,n n a n −=×−−>则n S 单调递增，又因为()8285218385255642411872024S =−−−×=×−−=<,()9295219395511812724472024S =−−−×=×−−=>.则2024n S >的最小正整数n 为9. 故答案为：9.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin A B Cb c a b+=+−. 的（1）求A ；（2）如图，若点D 是BC 边上一点，且,2AB AD BD CD ⊥=，求ADB ∠. 【答案】（1）2π3A =（2）π3ADB ∠= 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后利用余弦定理可求出角A ； （2）由AB AD ⊥结合2π3A =可得π6DAC ∠=，然后在ABD △和ACD 分别利用正弦定理结合已知条件可得b c =，进而可求出ADB ∠. 【小问1详解】 因sin sin sin A B Cb c a b+=+−，所以由正弦定理得a b b c bca +=+−，所以222ab bc c −=+， 所以222b c a bc +−=−所以由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−−===−，因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 【小问2详解】因为AB AD ⊥，所以π2BAD ∠=，所以2πππ326DAC BAC BAD ∠=∠−∠=−=， 在ABD △中，由正弦定理得πsin sin sin 2AB BD BD BDADB BAD ===∠∠， 在ACD 中，由正弦定理得2πsin sin sin 6AC CD CD CDADC DAC===∠∠， 因为πADB ADC ∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠为因为2BD CD =，所以AB AC =，即b c =，所以π6BC ==, 所以πππππ263ADB BAD B ∠=−∠−=−−=. 16. 如图，四棱锥P ABCD −的侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，已知44CD AB ==，13PM MD =.（1）证明：AM //平面PBC ；（2）若,AC AD PA ==，求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取PC 上的点N ，使14PN PC = ，可得MN AB =，则由线线平行可证线面平行；（2）取CD 中点O ，连,AO PO ，根据题意可证AO CD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点，,,OA OC OP分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，利用线面角的空间向量法求解. 【小问1详解】取PC 上的点N ，使14PN PC =，则()1144MN PN PM PC PD DC AB =−=−== ，所以四边形ABNM 为平行四边形，所以//AM BN ，又BN ⊂平面PBC ，AM ⊄平面PBC ，所以AM //平面PBC ； 【小问2详解】取CD 中点O ，连,AO PO ，因AC AD =，所以AO CD ⊥， 因为PCD为正三角形，所以,PO CD PO ⊥，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，因为AO ⊂平面ABCD ，所以PO AO ⊥，AO ==以O 为坐标原点，,,OA OC OP分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，则A ，(0,2,0)C ，(0,2,0)D −，)B，(0,0,P ，则(0,1,0)AB =，PA =−，1142AM AP PD =+=−， 设(,,)n x y z =为平面PAB 的法向量，则0000y n AB n PA = ⋅=⇒ −=⋅=，可取)n = ，cos ,n AM n AM n AM⋅===⋅， 故直线AM 与平面PAB. 17. 一个袋子中有30个大小相同球，其中有10个红球､20个白球，从中随机有放回地逐次摸球作为样为的本，摸到红球或者第5次摸球之后停止.用X 表示停止时摸球的次数. （1）求X 的分布列和期望；（2）用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率. 【答案】（1）分布列见解析，()21181E X = （2）2081【解析】【分析】（1）对于有放回的摸球，()()112,33P A P A ==，且i A ()1,2,3,4,5i =相互独立的，X 的可能取值为1,2,3,4,5，依次求出概率，可得分布列，再由期望公式求解； （2）设样本中红球的比例为f ，B =“样本中有红球”，且7133030C f =≤≤ ，分B 不发生，和B 发生求概率，从而得解. 【小问1详解】设=i A “第i 次摸出红球”，1,2,3,4,5i =，对于有放回的摸球，()()1101202,303303P A P A ====，且i A ()1,2,3,4,5i =相互独立的， X 的可能取值为1,2,3,4,5，则由题意可知，()(()()11212121,23339P X P A P X P A A ======⋅=， ()()212321433327P X P A A A ===⋅= ，()()3123421843381P X P A A A A ===⋅=，()()412342165381P X P A A A A ====，期望()124816211123453927818181E X =×+×+×+×+×=. 【小问2详解】总体中的红球比例13，设样本中红球的比例为f ，设B =“样本中有红球”，且17130.133030C f f =−≤=≤≤ ， 若B 不发生，则0f =，此时C =∅，所以()0P BC =， 若B 发生，则1f X =，此时711330303030137BC X X =≤≤=≤≤， 所以()()()482034278181P BC P X P X =+===+=， 所以，()()()2081P C P BC P BC =+=. 18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴长为()()1,2,0,2,02M N −.（1）求椭圆E 的方程；（2）过()4,0P 作一条斜率存在且不为0的直线l 交E 于,A B 两点. （i ）证明：直线AM 和直线BM 的斜率均存在且互为相反数； （ii ）若直线AM 与直线BN 交于点Q ，求Q 的轨迹方程. 【答案】（1）22186x y +（2）（i ）证明见解析；（ii）()212,02x x y −=≠≠【解析】【分析】（1）根据已知条件直接计算出椭圆相关基本量即可；（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()()40y k x k =−≠，联立方程组，利用韦达定理证明；（ii ）设直线，直线()()22:22BM x y y x +=+，联立方程组得204x x =，0202y y x =，采用代入法可得Q 的轨迹方程. 【小问1详解】根据题意，2a =，因为椭圆离心率为12，所以12c ea ==，所以c =6b =，所以椭圆的方程为22186x y +； 【小问2详解】（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()()40y k x k =−≠，联立方程()224186y k x x y =− += ，消去y 得：()2222343264240k x k x k +−+−=， 则()2Δ96340k=−>，即k <由韦达定理得，212232=34k x x k++，2122642434k x x k −⋅=+，当k =Δ0=，122x x ==，不合题意，故122,2x x ≠≠， 所以直线AM 和直线BM 的斜率均存在，1212,22B A M M y y k k x x =−−=， 所以()()()()()()122112121242422222AM BM k x x k x x y yk k x x x x −−+−−+=+=−−−− ()()222121212122616024k x x x x x x x x ⋅−++ =⋅−++， 即直线AM 和直线BM 的斜率均存在且互为相反数； （ii ）由（i ）知22x ≠，且222BM AM y k k x ==−−， 可设直线()()22:22AM x y y x −=−，直线()()22:22BM x y y x +=+，设()00,Q x y ，则()()()()202020202222x y y x x y y x −=−− +=+ ，整理得20202022x y y y y x = = ①，由题意知20y ≠，由①知000,0y x ≠≠， 所以由①知，204x x =，0202y y x =②， 将②代入2222186x y +=得2022002213y x x +=，化简得0022123x y −=，又因为22x ≠，所以02x ≠，所以Q 的轨迹方程为()2212,023x y x y −=≠≠..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +的形式； （5）代入韦达定理求解.19. 拟合（Fittiong ）和插值（Imorterpolation ）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到1cos 2的近似值，我们对函数()πcos 2f x x=进行多项式插值.设一次函数()1L x ax b =+满足()()()()11001110L f L f == == ，可得()f x 在[]0,1上的一次插值多项式()11L x x =−+，由此可计算出1cos 2的“近似值”11111cos10.6822πππf L=≈=−≈，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite ）插值多项式.已知函数()πcos 2f x x = 在[]0,1上的二次埃尔米特插值多项式()2H x ax bx c ++满足()()()()()()001100H f H f H f =′=′ =（1）求()H x ，并证明当[]0,1x ∈时，()()f x H x ；（2）若当[]0,1x ∈时，()()2f x H x x λ− ，求实数λ的取值范围；（3）利用()H x 计算1cos 2的近似值，并证明其误差不超过140. （参考数据：2110.318,0.101ππ≈≈；结果精确到0.001） 【答案】（1）()21H x x =−+，证明见解析； （2）2π1,8−+∞（3）1cos 0.8992≈，证明见解析 【解析】【分析】（1）由题意列方程组求出,,a b c ，得()H x ；通过构造函数，利用导数求最值证明()()f x H x ≤；（2）令()()()()22π1cos 12G x H x f x x x x λλ=−−=−+−+，问题转化为()0G x ≤在[]0,1x ∈时恒成立，利用导数求函数单调性和最值，得条件满足时实数λ的取值范围；（3）由111cos 2ππf H =≈，代入求值即可，由误差2211π11ππ8πe f H =−≤− ，可证得结论.【小问1详解】()πcos 2f x x = ，()10f =，()01f =，()ππsin 22f x x′=−，()0 0f ′=，()2H x ax bx c ++，()2H x ax b ′=+，由()()()()()()001100H f H f H f =′=′=得100c a b c b = ++== ，解得101a b c =− = = ，因此()21H x x =−+. 设()()()2πcos 12F x f x H x x x =−=+−，[]0,1x ∈，()ππsin 222F x x x ′=−+ ，令()()1F x F x ′=，则()21ππcos 242F x x′=−+ ，因为()1F x ′在[0,1]上单调递增，且()21π0204F ′=−+<，()1120F ′=>，故存在()10,1x ∈使()110F x ′=，且()F x ′在()10,x 上单调递减，在()1,1x 上单调递增，又()00F ′=，()()100F x F ′′<=，()π120 2F ′=−+>， 所以()F x ′在()0,1上存在唯一的零点()21,1x x ∈，使得()20F x ′=， 且()F x 在()20,x 上单调递减，在()2,1x 上单调递增，又()()010F F ==，所以()0F x ≤，即()()f x H x ≤.【小问2详解】由（1）知()()2f x H x x λ−≤等价于()()2H x f x x λ−≤，且0λ≥，设()()()()22π1cos 12G x H x f x x x x λλ=−−=−+−+，[]0,1x ∈，则()0G x ≤， ()()ππ21sin 22G x x x λ′=−++， 令()()1G x G x ′=，则())21ππ21cos 42G x x λ′=−++， 令()()21G x G x ′=，则()32ππsin 082G x x′=−≤，所以1()G x ′在[]0,1上单调递减， 若2π18λ≥−，则()()()211π02104G x G λ′′≤=−++≤，所以()G x ′在[]0,1上单调递减，所以()()00G x G ′′≤=， 所以()G x 在[]0,1上单调递减，所以()(0)0G x G ≤=； 若2π018λ≤<−，则()21π(0)2104G λ′=−++>，而1(1)2(1)0G λ′=−+<，故存在()00,1x ∈，使10()0G x ′=，从而()00,x 上，1()0G x ′>，()G x ′单调递增，()()00G x G ′′>=， 在于是()G x 单调递增，()()00G x G >=不符合题意. 综上所述，λ的取值范围为2π1,8 −+∞. 【小问3详解】21111cos10.8992πππf H=≈=−+≈. 由（2）知，()()22π18f x H x x −≤−， 所以，误差22211π1111111ππ8π8π81040e f H =−≤−=−<−=. 【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决. 不等式证明或不等式恒成立问题常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.。
2023-2024学年广东省四校联考高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A ＝{x |lgx ≤0}，B ＝{x ||x ﹣1|≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．AB ．BC ．∁R AD ．∁R B2．已知向量a →=（﹣3，m ），b →=（1，﹣2），若b →∥（a →−b →），则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣4C ．0D ．63．若函数f （x ）={a x−3，x ≥4−ax +4，x ＜4（a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的单调函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(0，1)∪(1，54]B ．(1，54]C ．(0，45]D ．[45，1)4．若复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则z 的虚部为（ ） A ．−√2iB ．−√22C ．√22i D ．√225．数列{a n }满足a 1＝2019，且对∀n ∈N *，恒有a n+3=a n +2n ，则a 7＝（ ） A ．2021B ．2023C ．2035D ．20376．如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB ∥α，设α与SM 交于点N ，则SM SN的值为（ ）A ．43B ．32C ．23D ．347．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，且f （x ）为偶函数，f(π6)=−2，3f （x ）cos x +f '（x ）sin x ＞0，则不等式f(x +π2)cos 3x +12＞0的解集为（ ）A ．(−π3，+∞)B ．(−2π3，+∞) C ．(−2π3，π3) D ．(π3，+∞)8．已知函数f(x)=√3sin 2ωx 2+12sinωx −√32(ω＞0)，若f （x ）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，29]∪[89，+∞)B ．(0，29]∪[23，89]C ．(0，29]∪[89，1]D ．(29，89]∪[1，+∞)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省清远市四校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题
广东省清远市四校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题一、单选题1．已知复数34i z =-，则（ ）A ．z 的虚部为4i -B ．||34i z =+C ．34i z =+D ．z 在复平面内对应的点在第三象限2．下列命题正确的是（ ）A ．若,,a b c r r r 均为非零向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rB ．若,a b r r 为相反向量，则0a b +=r rC ．,a b r r 为相等向量//a b ⇔r rD ．若,a b r r 均为单位向量，则a b a b +≤+r r r r3．边长为1的正方形O A B C ''''，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的面积是（ ）A ．2BC ．D 4．若向量,a b r r 满足||3,||5,1a a b a b =-=⋅=r r r r r ，则||b =r （ ）A B ．C ．D ．5．在ABC V 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（ ）A ．1BCD ．36．如图正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．BC ．D 7．如图，在ABC V 中，120,2,1BAC AB AC ∠=︒==，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．83-B ．83C ．38-D ．388．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠=︒点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100m BC =，则山高MN =（ ）A ．100mB ．150mC ．75mD ．二、多选题9．已知向量(2,1),(1,)a b t =-=-r r ，则下列说法正确的是（ ）A ．若a b ⊥r r ，则t 的值为2-B ．若//a b r r ，则t 的值为12C ．若0=t ，则b r 在a r 上的投影向量为2-D ．若()()a b a b +⊥-r r r r ，则||||a b a b +=-r r r r10．已知函数π()sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π()cos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，以下四种变换方式能得到函数()g x 的图象的是（ ）A ．将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得图象向左平移7π12个单位长度B ．将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得图象向左平移π4个单位长度C ．将函数()f x 的图象向左平移π2个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12D ．将函数()f x 的图象向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的1211．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，π0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．2A ω==B ．函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称 C ．函数()y f x =在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将函数2cos 2y x x =-的图象向左平移π2个单位得到函数()y f x =的图象三、填空题12．已知(1,2),(2,3),(1,1)A B C --，则⋅=u u u r u u u r AB AC .13．下图为2018年某市某天6时至14时的温度变化曲线，其近似满足函数sin()0,0,2y A x b A πωϕωϕπ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭的半个周期的图象，则该天8时的温度大约为.14．球面上三点A 、B 、C 所确定的截面到球心O 的距离等于球半径的1213，且6AB =，8BC =，10AC =，则该球的表面积为.四、解答题15．（1）在复数范围内解关于x 的方程：2340x x ++=；（2）设i 是虚数单位，求复数1i 2ia +-为纯虚数的充要条件； （3）在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 分别对应复数2i,43i,35i +++，求点D 对应的复数.16．如图，正方形ABCD 的边长为6，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于点M ．(1)求AF u u u r 与DE u u u r 所成角的余弦值；(2)设AM AF λ=u u u u r u u u r ，求λ的值．17．在ABC V 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=.(1)求B 的大小；(2)若点D 满足2BC BD =u u u r u u u r ，且AD =4a =时，求b 的值.18．已知函数()sin (0)f x x ωω=>.(1)当23ω=时，求函数()f x 的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离；(2)设2ω=，在ABC V 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2()s i n ,23f A Aa ==，求ABC V 面积的最大值.19．已知函数2π2π6()12cos 226x f x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围； (2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，记方程2()3g x =在40,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为1231,,,,,n n x x x x x -L ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++L 的值.。
广东省广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知向量，，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52（ ）A. B. C. D. 3. 如图，四边形中，，则必有（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ）A. 与互相平行；B. 与是异面直线；C. 与相交，其交点在直线上；D. 与相交，且交点在直线上．5.已知，，且与互相垂直，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. .(2,1)a =(2,4)b =- ||a b -= ()i 13i 1i-=+2i +2i -2i-+2i--ABCD AB DC =AD CB=DO OB=AC DB=OA OC=ABCD E H AB AD F G BC CD EH FG ∥EH FG ≠EF GH EF GH EF GH EF GH BD EF GH AC a = 1b = a b - 2a b + a b30︒45︒60︒90︒6. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.7. 函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 8. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式O O O 12π16π48π96π()()πsin 1002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，，()π16g x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ,π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ππ2π,2π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π,24P ⎛⎫⎪⎝⎭122sin 2πx y x ω⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭0x ≥[]x x 05ω<<M y 4π3M x 1412s t h cm，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ）A B.C. 与时的相对于平衡位置的高度D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为10. 下列说法正确的是（ ）A. 向量在向量上的投影向量可表示为B. 若，则与的夹角θ的范围是C. 若是等边三角形，则D 已知，，则11. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点，，，则下列说法正确的是（ ）A. 直三棱柱的体积为..()sin h A t ωϕ=+[)0,t ∞∈+0A >0ω>(]0,πϕ∈2s π4ϕ=πω=3.75s t =10s t =h 3.75s t =10s t =h 12ab a b b b b⋅⋅0a b ⋅< a bπ,π2⎛⎤⎥⎝⎦ABC V π,3AB BC <>=(1,2)A -(1,1)B ()2AB =-,1111ABC A B C -,E F 11,B B C C 11111224AA A B A C ===111π3A CB ∠=111ABC A B C -B. 直三棱柱外接球的表面积为；C. 若分别是棱的中点，则直线；D. 当取得最小值时，有三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分12. 在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是______．13. 已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数____________.14. 将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （1）将向量运算式化简最简形式．（2）已知，且复数，求实数的值．16. 如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H 是的中点，O 为底面中心，，求：（1）正六棱锥的高；（2）正六棱锥斜高；（3）正六棱锥的侧棱长.17. （1）在三角形中，内角所对的边分别是，其中，，求．（2）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行．热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的．其工作的基本原理是热胀冷缩，当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起，热气球可用于测量．如图，在离地为的111ABC A B C -64π3,E F 11,B B C C 1A F AE ∥1AE EF FA ++1A F EF=AB1i -AD 1i +,B D ,,a b c0,a b c a λ++=bπ3λ=()sin cos (,R f x a x b x a b =+∈0)b ≠π3ab =AB CB DC DE FA --++x ∈R ()222522i 0x x x x -++--=x BC 60SHO ∠=︒ABC ,,A B C ,,a b c 2c a =1sin sin sin 2b B a A a C -=cos B面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度．18. 如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．（1）求旋转体的表面积；（2）求旋转体的体积；（3）求图中所示圆锥的内切球体积．19. 如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点．（1）记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点）（2）若的面积为，求的面积的最小值．（3）试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由．800m M C 15︒A 45︒60BAC ∠=︒BC ABCD 90ABC ∠=︒AD BC ∥AD a =2BC a =60DCB ∠=︒ABCD C l CB ⊥l ABCD CO ABC V ,,D E F 0=t A B C ,,B C A 1t =,,B C A ,AB a AC b == G ABC ,a bBG ABC V S DEF V DEF V广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】-1【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）；（2）2.【16题答案】【答案】（1）6；（2）3）【17题答案】【答案】（1）；（2）【18题答案】【答案】（1）（2（3【19题答案】【答案】（1）（2）（3）的重心保持不变，理由略.FE341200m 2(9πa +3a 3πa 1233BG b a =-14S DEF V。
2023-2024学年广东省惠州中学高一(下)期中数学试卷(含答案)
2023-2024学年广东省惠州中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|lnx >0}，则A ∩B =( )A. {1}B. {2}C. {−2,2}D. {−1,0,1}2.已知α，β是平行四边形的两个内角，则“α=β”是“sinα=sinβ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m//α，n ⊥β，则( )A. m//lB. m//nC. n ⊥lD. m ⊥n 4.如图，在△ABC 中，AN =12NC ，P 是BN 上的一点，若AP =(m +13)AB +19AC ，则实数m 的值为( )A. 19B. 29C. 23D. 135.若函数f(x)={x 2−2ax +1,x >1ax,x ≤1在其定义域内是一个单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1]B. (0,23]C. [0,1]D. [0,23]6.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为( )A. 6πB. 6 3πC. 9 3πD. 12π7.心理学家有时用函数L(t)=A(1−e −kt )测定在时间t(单位：min)内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min 内能够记忆20个单词，则k 的值约为( )(ln0.9≈−0.105,ln0.1≈−2.303)A. 0.021B. 0.221C. 0.461D. 0.6618.如图，O 是锐角三角形ABC 的外心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A =π3，若cosB sinCAB +cosCsinB AC =2m AO ，则m =( )A. 12 B. 22C. 32D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
广东省广州大学附属中学等三校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题答案
2023-2024学年下学期期中三校联考高一数学参考答案一、单选题1、B2、C3、C4、D5、A6、D7、A8、B二、多选题9、AD 10、BCD 11、ABD三、填空题12、()0,1− 13、325 14、22−四、解答题（注：利用公式A 12AOB A B B S x y x y =− 计算也可以）.11DA 1、EC 1为截面与各木块表面的交线. ………………2分理由如下：由于11////C A AC DE ，故11C D 、、、A E 四点共面，且平面11BCC B 平面11AC ED 1C E =，平面11ABB A 平面11AC ED 1A D =，平面ABC 平面11AC ED DE =，则DE 、DA 1、EC 1为截面与各木块表面的交线.………………4分（2）由于点O 为重心，DE //AC ，所以23DE AC =，又因为2AC =3A 1C 1，故11DE A C = 故几何体111A B C DEB −为棱柱，设棱台的高为h ，111C B A ∆的面积为S ，故111A B C DEB V S h −=⋅，………………7分由L K 、为1111B A C B 、的中点得11//KL C A ，又由于在正三棱台111C B A ABC −中DE //AC ，所以DE //KL ，L K E D 、、、四点共面.又因为2AC =3A 1C 1，点O 为重心，K C 2123313111111==⋅==C B C B BC CE ， 故四边形1CEMC 为平行四边形，故1//K CC E ，所以11//K A ACC E 平面，又11//A ACC DE 平面，所以11//A ACC DEKL 平面平面，所以当点KL M ∈时KL DE OM 平面⊆，于是11A C //AC OM 平面.………………14分（2）2()2cos 21sin 14sin sin F x x x x x λλ=−−=−−由于()0F x =时，sin 0x ≠，故由()0F x =可得14sin sin x xλ=−， 设sin x t =，1()4h t t t=−，()h t 在[)1,0−和(]0,1上递减，()()13,13h h −==− 因为[]sin 1,1t x =∈−， ………………8分 ①若3λ=，由14sin 3sin x x −=得sin 1x =−或1sin 4x =，则()F x 在(0,2)π内有且仅有3个零点，且在(0,)π内恰有2个零点，则要满足()x f 在()()*0,πN n n ∈内恰有2024个零点，则13491232022=+×=n ………………10分②若3λ=−，由14sin 3sin x x −=−得sin 1x =或1sin 4x =−，则()F x 在(0,2)π内有且仅有3个零点，且在(0,)π内恰有1个零点，，此时()F x 在(0,)n π内的零点个数为k 3或()N k k ∈+13个，不符题意； ……………12分③若33λ−<<，则()F x 在(0,2)π内有且仅有4个零点，则要满足()x f 在()()*0,πN n n ∈内 恰有2024个零点，则1012242024=×=n ， ……………14分 ④3λ>或3λ<−，则()F x 在(0,2)π内有且仅有2个零点，则要满足()x f 在()()*0,πN n n ∈内恰有2024个零点，则2024222024=×=n ． ……………16分 综上：当()3,3λ∈−时，1012n =；当3λ=时，1349n =；当()(),33,λ∈−∞−+∞ 时，2024n =. ……………17分。
2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.)1．若集合A ＝{0，1，2}，则下列结论正确的是（ ） A ．{0}∈AB ．0∉AC ．{0，﹣1，1，2}⊆AD ．∅⊆A2．命题“∀x ∈[0，+∞），x 3+x ≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈（﹣∞，0），x 3+x ＜0 B ．∃x 0∈[0，+∞），x 03+x 0＜0 C ．∀x ∈（﹣∞，0），x 3+x ≥0D ．∃x 0∈[0，+∞），x 03+x 0≥03．已知x ∈R ，则“x ＜1”是“x 2＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．函数y =lg(2−x)1x+1的定义域为（ ） A ．（﹣1，2] B ．[﹣1，2） C ．（﹣1，2） D ．[﹣1，2）5．设函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，则f （9）的值为（ ）A ．﹣7B ．﹣1C ．0D ．126．设a ＝30.7，b =(13)−0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b7．下列可能是函数y =x 2−1e|x|的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，12]B ．（13，12]C ．[12，1）D ．（13，1）二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.） 9．以下结论正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立 B ．存在a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b ∈（0，+∞），则ba +a b ≥2D ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y ≥1010．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则下列不等式中错误的是（ ） A ．−1a＜−1bB ．c 2＜cdC ．a +c ＜b +dD ．a d＜bc11．函数f （x ）＝x +1，g （x ）＝（x +1）2，用M （x ）表示f （x ），g （x ）中的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则下列说法正确的是（ ） A ．M （2）＝3 B ．∀x ≥1，M （x ）≥4 C ．M （x ）有最大值D ．M （x ）最小值为012．已知函数f （x ）是偶函数，f （x +1）是奇函数，当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，则下列选项正确的是（ ）A ．f （x ）在（﹣3，﹣2）上为减函数B ．f （x ）的最大值是1C ．f （x ）的图象关于直线x ＝﹣2对称D ．f （x ）在（﹣4，﹣3）上f （x ）＜0三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．不等式﹣x 2+2x +8＞0的解集是 ．14．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜﹣2或x ＞2}，N ＝{x |1＜x ＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是 ．15．已知奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则不等式f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0的解集为 ． 16．定义：函数f （x ）在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的差为f （x ）在区间[a ，b ]上的极差，记作d （a ，b）．①若f（x）＝x2﹣2x+2，则d（1，2）＝；②若f(x)=x+mx，且d（1，2）≠|f（2）﹣f（1）|，则实数m的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）17．（10分）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）若m＝2，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m+1为偶函数．（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)+1x，根据定义证明g（x）在区间（1，+∞）上单调递增．19．（12分）已知f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=log12(x+4)+m．（1）求m的值并求出f（x）在R上的解析式；（2）若f（a）＞1，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a2+6a+9）x+a+1．（1）若a＞0，且关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜n}，求1m +1n的最小值；（2）设关于x的不等式f（x）＜0在[0，1]上恒成立，求a的取值范围．21．（12分）某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？22．（12分）已知函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）＝﹣2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值；（3）若f（x）＜m2﹣2am+2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.)1．若集合A＝{0，1，2}，则下列结论正确的是（）A．{0}∈A B．0∉AC．{0，﹣1，1，2}⊆A D．∅⊆A解：{0}⊂A而不是{0}∈A，故A不正确；由0∈A，可知B不正确；集合{0，﹣1，1，2}中含有元素﹣1，它不在A中，故{0，﹣1，1，2}⊈A，C不正确；空集是任何集合的子集，故∅⊆A，D正确．故选：D．2．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0B．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0C．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0解：命题为全称命题，则命题的否定是：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0，故选：B．3．已知x∈R，则“x＜1”是“x2＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解：x2＜1，解得﹣1＜x＜1．∴“x＜1”是“x2＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．函数y=lg(2−x)1√x+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）解：由{2−x＞0x+1＞0，解得﹣1＜x＜2．∴函数y=lg(2−x)+1x+1的定义域为（﹣1，2）．故选：C．5．设函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，则f （9）的值为（ ）A ．﹣7B ．﹣1C ．0D ．12解：∵函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，∴f （9）＝f （0）＝02﹣20＝﹣1．故选：B ．6．设a ＝30.7，b =(13)−0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解：∵b =(13)−0.8=30.8＞30.7＞30＝1， ∴b ＞a ＞1，∵log 0.70.8＜log 0.70.7＝1，∴c ＜1， ∴c ＜a ＜b ． 故选：D ． 7．下列可能是函数y =x 2−1e |x|的图象的是（ ） A ． B ．C ．D ．解：函数定义域为R ，排除选项AB ，当x ＞1时，y ＞0，排除选项D ， 故选：C ． 8．已知函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（0，12]B ．（13，12]C ．[12，1）D ．（13，1）解：因为函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则函数f （x ）在R 上是单调递减函数，则一定有{1−3a ＜00＜a ＜1(1−3a)×2+a +1≥2a 2，解得{a ＞130＜a ＜1−3≤a ≤12，即13＜a ≤12，所以实数a 的范围为（13，12]， 故选：B ．二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.） 9．以下结论正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立 B ．存在a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b ∈（0，+∞），则ba +a b ≥2D ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y ≥10解：不等式a +b ≥2√ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0，故A 不正确； 当a 为负数时，不等式a +1a ≤2成立，故B 正确； 若a ，b ∈（0，+∞），则ba+a b ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立，C 正确；由于2x+1y=(2x+1y)(x +2y)=4+4y x+x y≥4+2√4y x⋅x y=8，当且仅当4y x=xy，即x =12，y =14时取等号，故D 不正确． 故选：BC ．10．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则下列不等式中错误的是（ ）A ．−1a ＜−1bB ．c 2＜cdC ．a +c ＜b +dD ．a d＜bc解：在a ＞b 两边同除以负数﹣ab 得−1b＜−1a，即−1a＞−1b，与A 项矛盾． 由c ＜d ＜0，c 2﹣cd ＝c （c ﹣d ）＞0，得c 2＞cd ，与B 项矛盾． 由a +c ﹣（b +d ）＝（a ﹣b ）+（c ﹣d ），a ﹣b ＞0，c ﹣d ＜0， 故（a ﹣b ）+（c ﹣d ）不一定小于0，故C 不正确．由c ＜d ＜0得﹣c ＞﹣d ＞0，又a ＞b ＞0，两式相乘得﹣ac ＞﹣bd ， 两边同除以负数﹣cd ，可得ad＜bc ，故D 正确．故选：ABC ．11．函数f （x ）＝x +1，g （x ）＝（x +1）2，用M （x ）表示f （x ），g （x ）中的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则下列说法正确的是（ ） A ．M （2）＝3 B ．∀x ≥1，M （x ）≥4 C ．M （x ）有最大值D ．M （x ）最小值为0解：令g （x ）＞f （x ），即（x +1）2＞（x +1），解得x ＜﹣1或x ＞0， 所以可知M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}={(x +1)2，x ＜−1或x ＞0x +1，−1≤x ≤0，作出M （x ）的图象，如图所示：所以M （2）＝（2+1）2＝9，故A 错误；当∀x ≥1时，M （x ）＝（x +1）2≥（1+1）2＝4，故B 正确；由M （x ）＝（x +1）2（x ＜﹣1或x ＞0）可知，函数无最大值，故C 错误； 当x ＜﹣1或x ＞0时，M （x ）＞0，当﹣1≤x ≤0时，1≥M （x ）≥0， 所以M （x ）最小值为0，故D 正确． 故选：BD ．12．已知函数f （x ）是偶函数，f （x +1）是奇函数，当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，则下列选项正确的是（ ）A ．f （x ）在（﹣3，﹣2）上为减函数B ．f （x ）的最大值是1C ．f （x ）的图象关于直线x ＝﹣2对称D ．f （x ）在（﹣4，﹣3）上f （x ）＜0解：当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，且f （x ）在[2，3]递减，由偶函数的图象关于y 轴对称，可得f （x ）在（﹣3，﹣2）单调递增，选项A 错误； 函数f （x ）是偶函数，可得f （﹣x ）＝f （x ），f（x+1）是奇函数，可得f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），所以f（﹣x）＝﹣f（x+2），即f（x）＝﹣f（x+2），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，由f（﹣4+x）＝f（x），可得f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，选项C正确；当x∈[2，3]时，f（x）＝1﹣|x﹣2|＝3﹣x，由f（x）为偶函数．可得x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝x+3，x∈[1，2]时，x﹣4∈（﹣3，﹣2），则f（x﹣4）＝x﹣1，所以x∈[1，2]时，f（x）＝x﹣1；由于f（x）的图象关于（1，0），可得f（1）＝0，f（0）＝﹣f（2）＝﹣1，所以x∈[0，1）时，f（x）＝x﹣1；由f（x）的图象关于y轴对称，可得x∈[﹣1，0）时，f（x）＝﹣x﹣1．则f（x）在一个周期内的最小值为﹣1，最大值为1，选项B正确；所以当x∈（﹣4，﹣3）时，f（x）＝f（x+4）＝x+3∈（﹣1，0），选项D正确．故选：BCD．三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．不等式﹣x2+2x+8＞0的解集是{x|﹣2＜x＜4}解：不等式﹣x2+2x+8＞0等价于x2﹣2x﹣8＜0由于方程x2﹣2x﹣8＝0的解为：x＝﹣2或x＝4所以﹣2＜x＜4故答案为：{x|﹣2＜x＜4}14．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是{x|1＜x≤2}．解：由韦恩图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩（∁U M），因为M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|1＜x＜3}，所以∁U M＝{x|﹣2≤x≤2}，则N∩（∁U M）＝{x|1＜x≤2}．故答案为：{x|1＜x≤2}．15．已知奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则不等式f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0的解集为 （0，12） ．解：根据题意，奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0，则f （1﹣x ）＜﹣f （1﹣3x ），变形可得f （1﹣x ）＜f （3x ﹣1）． 又函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，所以{−1＜1−x ＜1−1＜3x −1＜11−x ＞3x −1，解得0＜x ＜12，故所求不等式的解集为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．定义：函数f （x ）在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的差为f （x ）在区间[a ，b ]上的极差，记作d （a ，b ）．①若f （x ）＝x 2﹣2x +2，则d （1，2）＝ 1 ；②若f(x)=x +mx ，且d （1，2）≠|f （2）﹣f （1）|，则实数m 的取值范围是 （1，4） ． 解：①f （x ）＝x 2﹣2x +2的对称轴为x ＝1， 可得f （x ）在[1，2]递增， 可得f （x ）的最大值为f （2）＝2， 最小值为f （1）＝1， 可得d （1，2）＝2﹣1＝1； ②若f(x)=x +mx ，且d （1，2）≠|f （2）﹣f （1）|， 可得f （x ）不为单调函数，若m ＝0时，f （x ）为[1，2]的递增函数， 若m ＜0时，f （x ）为[1，2]的递增函数， 若m ＞0时，由于f （x ）在x =√m 处取得极值， 则1＜√m ＜2，可得1＜m ＜4， 即m 的范围是（1，4）． 故答案为：1，（1，4）．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}．（1）若m ＝2，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）由题意A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，∵m ＝2，∴B ＝{x |1＜x ＜5}，可得A ∪B ＝{x |﹣3＜x ＜5}；（2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴当B ＝∅，即m ﹣1≥2m +1，即m ≤﹣2时满足题意；当B ≠∅，即m ＞﹣2时，{m −1≥−32m +1≤2，即−2＜m ≤12． 综上，实数m 的取值范围为{m|m ≤12}=（﹣∞，12]． 18．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣3m +3）x m +1为偶函数．（1）求幂函数f （x ）的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)+1x，根据定义证明g （x ）在区间（1，+∞）上单调递增． 解：（1）由已知可得m 2﹣3m +3＝1，解得m ＝1或2，又函数为偶函数，则m ＝1，则f （x ）＝x 2；（2）g （x ）=f(x)+1x =x +1x， 证明：设任意1＜x 1＜x 2，则g （x 1）﹣g （x 2）=x 1+1x 1−x 2−1x 2=（x 1﹣x 2）（1−1x 1x 2）， 因为1＜x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1x 2＞1，所以1−1x 1x 2＞0， 则g （x 1）﹣g （x 2）＜0，即g （x 1）＜g （x 2），所以函数g （x ）在（1，+∞）上单调递增．19．（12分）已知f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=log 12(x +4)+m ．（1）求m 的值并求出f （x ）在R 上的解析式；（2）若f （a ）＞1，求a 的取值范围．解：（1）由题可知f （0）＝﹣2+m ＝0，即m ＝2，即有当x ≥0时，f （x ）＝lo g 12（x +4）+2，经检验符合题意，则x ≥0时，f （x ）＝lo g 12（x +4）+2，当x ＜0时，则﹣x ＞0，f （﹣x ）＝lo g 12（﹣x +4）+2，又f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣lo g 12（﹣x +4）﹣2，x ＜0，故f （x ）在R 上的解析式为f （x ）={log 12(x +4)+2，x ≥0−log 12(−x +4)−2，x ＜0． （2）由函数性质可知f （x ）在[0，+∞）上单调递减，则f （x ）在R 上单调递减，又因为f(−4)=−log 128−2=1，所以f （a ）＞1，即f （a ）＞f （﹣4），所以当a ＜﹣4时，f （a ）＞1，即a 的取值范围为（﹣∞，﹣4）．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a 2+6a +9）x +a +1．（1）若a ＞0，且关于x 的不等式f （x ）＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，求1m +1n 的最小值； （2）设关于x 的不等式f （x ）＜0在[0，1]上恒成立，求a 的取值范围．解：（1）因为a ＞0，且关于x 的不等式f （x ）＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，所以x ＝m 和x ＝n 是方程x 2﹣（a 2+6a +9）x +a +1＝0的两根，所以m +n ＝a 2+6a +9，mn ＝a +1．所以1m +1n =m+n mn =a 2+6a+9a+1=(a+1)2+4(a+1)+4a+1=(a +1)+4a+1+4≥4+4=8，当且仅当a ＝1时等号成立，所以1m +1n 的最小值为8． （2）因为关于x 的不等式f （x ）＜0在[0，1]上恒成立，所以{f(0)＜0f(1)＜0，所以{a +1＜01−(a 2+6a +9)+a +1＜0，解得a ＜﹣1， 所以a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）．21．（12分）某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x 元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？解：（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为y x=x 2+3200x +40，x ∈[70，100]， 又x 2+3200x+40≥2√x 2⋅3200x +40=120， 当且仅当x 2=3200x ，即x ＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，因为120＞110，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y 1，则y 1=110x −(12x 2+40x +3200)+2300=−12x 2+70x −900=−12(x −70)2+1550，因为x ∈[70，100]，所以当x ＝70吨时，企业获得最大利润，为1550元；若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y 2，则y 2=110x +30x −(12x 2+40x +3200)=−12x 2+100x −3200=−12(x −100)2+1800，因为x ∈[70，100]，所以当x ＝100吨时，企业获得最大利润，为1800元；综上：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润1550元；选择方案二，当日加工处理量为100吨时，可以获得最大利润1800元；所以为了获得最大利润，应选择方案二进行补贴．22．（12分）已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，恒有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），当x ＞0时，f （x ）＜0，且f （1）＝﹣2．（1）判断f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值；（3）若f （x ）＜m 2﹣2am +2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：由题意函数f （x ）对任意实数x ，y ，恒有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），令y ＝x ＝0，可得f （0）＝0，领y ﹣x ，可得f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ），则f （x ）是奇函数．（2）由f （x ）＝f [（x ﹣y ）+y ]＝f （x ﹣y ）+f （y ），∴f （x ）﹣f （y ）＝f （x ﹣y ），设x ＞y ，那么x ﹣y ＞0，∵当x ＞0时，f （x ）＜0，∴f （x ﹣y ）＜0，即f （x ）﹣f （y ）＜0，∴f （x ）＜f （y ），可得f （x ）是单调递减函数；可得f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值为f （﹣3）；∵f （1）＝﹣2，∴f （﹣1）＝2，那么f （﹣3）＝f （﹣2﹣1）＝f （﹣2）+f （﹣1）＝3f （﹣1）＝6，故得f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值为f （﹣3）＝6；（3）根据（2）可得f （x ）在区间[﹣1，1]上的最大值为f （﹣1）＝2；那么f （x ）＜m 2﹣2am +2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，即m 2﹣2am +2＞2 可得m 2﹣2am ＞0，在a ∈[﹣1，1]恒成立，令g （a ）＝﹣2am +m 2＞0，在a ∈[﹣1，1]恒成立，可得{g(−1)＞0g(1)＞0，解得m ＞2或m ＜﹣2， 故得实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。
广东省麻涌,塘厦,七中,济川四校2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题
广东省麻涌，塘厦，七中，济川四校2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题一、单选题1．若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ） A ．4B ．2C ．-2D ．-42．下列说法正确的是（ ）A ．若a b =r r ，则a b =±r rB ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．数据68,70,80,88,89,90,96,98的第15百分位数为（ ） A ．69B ．70C ．75D ．964．在ABC V 中，若2,45BC AC B ==o ，则角A 等于（ ） A ．60oB ．30oC ．60o 或120oD ．30o 或150o5．如图，在ABC V 中，D 为靠近点A 的三等分点，E 为BC 的中点，设,AB a AC b ==uu u r r uu u r r，以向量,a b r r 为基底，则向量DE =u u u r（ ）A ．1126a b +r rB ．1162a b +rrC ．1233a b +rrD ．1136a b +rr6．如图，矩形ABCD 中，AB 正方形ADEF 的边长为1，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，则异面直线BD 与FC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 7．西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为163，那么这个半球的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．16π3D ．16π8．已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足3BE EC =u u u r u u u r ，12AE BD ⋅=-u u u r u u u r ，则AF BE ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A ．0B ．23C ．43D ．3二、多选题9．设m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，n α⊥，则//m nC ．若//m α，m β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF ，则下列说法正确的是（ ）A ．FB FD AB -=u u u r u u u r u u u rB ．2AD AF AF ⋅=u u u r u u u r u u u rC ．AD u u u r 在AB u u u r 上的投影向量为AB u u u rD ．32AC AE AD +=u u u r u u u r u u u r11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱111,A D AA 的中点，G 为线段1B C 上一个动点，则（ ）A ．存在点G ，使直线1CB ⊥平面EFG B ．存在点G ，使平面EFG ∥平面1BDC C ．三棱锥1A EFG -的体积为定值D ．平面EFG三、填空题12．已知复数z 满足(1i)13i z +=+，则||z =.13．相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB ，一研究小组选取了与该楼底部B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得30,45BCD CDB ︒︒∠=∠=，13m BD =，在C 点处测得该楼顶端A 的仰角为60︒，则该楼的高度AB 为m.14．如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，M 在线段BC 上，且1,3CM BC N =是侧面11CDD C 上一点，且MN P 平面1A BD ，则线段MN 的最大值为.四、解答题15．已知4a =r ，8b =r ，a r 与b r的夹角是120︒. (1)计算2a b -r r；(2)当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥-r r r r ？16．锐角ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πcos sin 6A C B ⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求C ；(2)若c AB =ABC V 的面积S . 17．如图，已知等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，122AB AD BC ===，E 是BC 的中点，AE BD M =I ，将BAE V 沿着AE 翻折成1B AE △，使平面1B AE ⊥平面AECD .(1)求证：CD ⊥平面1B DM ； (2)求1B E 与平面1B MD 所成的角.18．已知12a a r r，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O 作11OA a u u u r u r =，22OA a u u u u r u u r =，以O 为原点，分别以射线12OA OA 、为x y 、轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底12a a u r u u r ，确定的坐标系xOy 称为基底{}12a a u r u u r ，坐标系xOy ．当向量12a a u r u u r ，不垂直时，坐标系xOy 就是平面斜坐标系，简记为{}12;O a a u r u u r，．对平面内任一点P ，连结OP ，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对()x y ，，使得12OP xa ya =+u u u r u r u u r，则称实数对()x y ，为点P 在斜坐标系{}12O a a u r u u r；，中的坐标．今有斜坐标系{}12O e e u r u u r ；，（长度单位为米，如右图），且12121120e e e e ===︒u r u u r u r u u r ，，，设()12OP =u u u r， (1)计算OP u u u r的大小；(2)质点甲在Ox 上距O 点4米的点A 处，质点乙在Oy 上距O 点1米的点B 处，现在甲沿xOu u u r的方向，乙沿Oy u u r的方向同时以3米/小时的速度移动．①若过2小时后质点甲到达C 点，质点乙到达D 点，请用12e e u r u u r ，，表示CD u u u r ； ②若t 时刻，质点甲到达M 点，质点乙到达N 点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．19．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点，M 为AH 的中点，2PA AC ==，1BC =．(1)求证：AH BC ⊥；(2)求点C 到平面ABH 的距离；(3)在线段PB 上是否存在点N ，使MN //平面ABC ？若存在，求出||||PN PB 的值，若不存在，请说明理由．。
湖南省2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题(含解析)
湖南省2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题时量：120分钟满分：150分得分：______一、选择题（本大题共8个小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.已知集合，则A ： B. C. D.2.命题“”的否定为A. B.C. D.3.若幂函数的大致图象如图所示，则A.B.C.2D.14.下列各组函数表示同一函数的是A. B.C. D.5.已知函数，且，则A.2B.7C.25D.446.甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为，乙写错了常数，得到的解集为，那么原不等式的解集为A. B.C. D.7.已知，则的取值范围为{22},{1}A x x B x x =-<=-∣∣……A B ⋂={2}xx -∣…{12}x x -<<∣{12}x x -<∣…{22}xx -<∣ (2),210x x x ∀∈++>R 2,210x x x ∃∈++R (2),210x x x ∀∉++R …2,210x x x ∃∉++>R 2,210x x x ∀∈++R …()2342m y m m x =-+m =1312()2025,()f x x g x ==()()f x g x ==22()(1),()21f s sg t t t =+=++216()4,()4x f x x g x x -=+=-(31)64f x x +=-()8f m =m =x 20x bx c ++<b {16}x x <<∣c {14}x x <<∣{16}xx -<<∣{61}xx -<<∣{32}xx -<<-∣{23}xx <<∣31,24a b a b --+…………42a b -A. B. C. D.8.函数的值域为A. B. C. D.二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下表是某市公共汽车的票价（单位：元）与里程（单位：km ）之间的函数关系，如果某条线路的总里程为20km ，那么下列说法正确的是2345A. B.若，则C.函数的定义域是 D.函数的值域是10.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是A.的单调递增区间为B.C.若，则D.若，则11.若，且，则下列说法正确的是A.的最大值是 B.ab 的最小值是8C.的最小值是 D.的最小值是32三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）12.函数的定义域为______．13.已知不等式对任意的恒成立，则的取值范围为______.14.已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为______.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）[7,3]-[7,7]-[4,6]-[4,9]-9,()100,9x x f x x x x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩…37,[20,)4⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦35,[10,)8⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦37,[10,)4⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦35,[20,)8⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦y x x 05x <<510x < (1015)x < (1520)x ……()y f x =(6)3f =()3f x =6x =()f x (0,20]()f x {2,3,4,5}R ()f x ,()x f x ∀∈-=R ()f x 12,[0,)x x ∀∈+∞12x x ≠()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦(2)0f -=()f x (,0]-∞(1)(3)f f <-(1)(1)f x f ->(,0)(2,)x ∈-∞⋃+∞()0xf x >(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃0,0a b >>121a b+=a b +3+(1)a b -3+224a b +0()(1)f x x =+-2(3)2(3)40k x k x -+--<x ∈R k [,21]a a -a15.（13分）已知1，b 为方程的两根．（1）求a ，b 的值；（2）求不等式的解集（最终结果用集合的形式表示）.16.（15分）已知集合.（1）当m =1时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.17.（15分）2024年10月29日，小米SU7 Ultra 量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为100台．每生产台，年度总利润为（单位；万元），且.（1）当产能不超过40台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大；（2）当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？18.（17分）已知函数.（1）判断是否有奇偶性，并说明理由；（2）判断在上的单调性，并用定义法进行证明；（3）若方程在上有解，求的取值范围.19.（17分）对于一个集合，如果，且，记为去掉x ，y 后的集合，若有或，我们就称是一个梦想集合．回答下列问题：（1）写出一个常数，使得集合在添加其作为元素后形成新的集合为梦想集合；（2）给定正偶数和，且，判断集合是否为梦想集合，若是，给出证明；若不是，说明理由；（3）证明：不存在有限的梦想集合，满足中的元素均为正实数，且中的元素个数为大于5的奇数．2320ax x -+=321axbx +>+(){}2222210,11x A x m x m m B xx -⎧⎫=-+++<=<⎨⎬+⎩⎭()A B ⋂R ðx A ∈x B ∈m x ()S x 22140200,040()36001700,40100x x x S x x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+<⎪⎩ (2)22(),()271x f x g x x mx m x ==-+-+()f x ()f x [0,)+∞1()0g g x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭[1,)+∞m A ,x y A ∀∈x y ≠B A x y B +∈||x y B -∈A {2,3}n k 4n …{1,}A tkt n t =∈Z ∣……A A A2024年秋季高一期中联考数学参考答案题号1234567891011答案CAACBDBAACDADBCD一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.C 【解析】结合数轴易知正确答案是C.2.A 【解析】根据全称量词命题的否定原则，本题答案为A.3.A 【解析】根据幂函数定义可知，，解得或，结合函数图象可知.4.C 【解析】A 选项，定义域为定义域为，两个函数定义域不同，且对应的函数解析式也不同，故A 错误；B 选项，，故定义域为：，由可得定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，故B 错误；C选项，两函数定义域均为，虽然字母不同，但函数对应关系均相同，故为同一函数，故C 正确；D 选项，定义域为定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，故D 错误；故选：C.5.B 【解析】由函数，可得，所以函数的解析式为-6，所以，解得.6.D 【解析】甲的常数正确，由韦达定理可知，故，乙的常数正确，故，故．所以原不等式为，即，解集为．7.B 【解析】设，所以解得所以，又，所以，故，故选B.8.A 【解析】根据题意当时，，可得，所以，因此可得，由二次函数性质可得当时，最大值，此时；当时，23421m m -+=13m =1m =13m =()2025f x x =,()||g x x =R [0,)+∞3030x x +⎧⎨-⎩……()f x [3,)+∞290x -…()g x (,3][3,)-∞-⋃+∞R ()f x ,()g x R (,4)(4,)-∞⋃+∞(31)64f x x +=-(31)2(31)6f x x +=+-()f x ()2f x x =()268f m m =-=7m =c 16c ⨯=6c =b 14b +=-5b =-2560x x -+<(2)(3)0x x --<{23}xx <<∣42()()()()a b m a b n a b m n a m n b -=-++=+--4,2,m n m n +=⎧⎨-=⎩3,1,m n =⎧⎨=⎩42a b -3()()a b a b =-++31,24a b a b --+…………93()3a b --……7427a b --……9x …()f x x =+t =[0,)t ∈+∞29x t =-22137()924f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭12t =()f x x =+374()f x x =+37,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9x >，当且仅当，即时，等号成立；所以的最小值为20，因此的值域为[20，；综上可得，函数的值域为，故选A.二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.ACD 【解析】，选项A 正确；若，则，选项B 错误；函数的定义域为（0，20]，选项C 正确；函数的值域是，选项D 正确．10.AD 【解析】由条件①可知该函数为偶函数，由条件②可知该函数在）上单调递减，由偶函数图象的对称性知，该函数在上单调递增，选项A 正确；，因为函数在上单调递减，所以，即，选项B 错误；由，有，即，选项C 错误；，当时，函数在上单调递减，，即时；当时，函数在上单调递增，，即时，所以，选项D 正确.11.BCD 【解析】选项时取等号，即的最小值是，选项A 错误；选项B，由，可得，当时等号成立，，即的最小值是8，B 选项正确；选项C ，法，由A 知的最小值是，法仅当C 正确；选项D ，法，当时取等号成立，而，也是当时取等号成立，即，当时等号成立，故的最小值是32，法2：，选项D 正确.100()20f x x x =+= (100)x x=x 10=100(),9f x x x x =+>100(),9f x x x x=+>)+∞()f x 37,[20,)4⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦(6)3f =()3f x =510x <…{2,3,4,5}[0,+∞(,0]-∞(3)(3)f f -=()f x [0,)+∞(3)(1)f f <(1)(3)f f >-(1)(1)f x f ->|1|1x -<02x <<(2)(2)0f f =-=0x >[0,)+∞()0f x >02x <<()0xf x >0x <(,0]-∞()0f x <2x <-()0xf x >(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃122A,()33a b a b a b a b b a ⎛⎫+=+⋅+=+++⎪⎝⎭…12a b =+=+a b +3+121a b+=2ab a b =+…2a b =0,0,0,ab a b ->> …8,ab ab …1:(1)2a b ab a a b a a b -=-=+-=+a b +3+12:a2(1)21,,0,0,20,(1)(2)33222b b b a a b b a b b b b b b -+=∴=>>∴->∴-==-+++--- …2b =221:422a b a b +⨯⨯…2a b =8ab …2a b =224432a b ab +……2a b =224a b +222224(2)4()4(2)432a b a b ab ab ab ab +=+-=-=--…三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.【解析】且.13.（【解析】当时，成立；当时，，解得，综上可得.14.【解析】由题意可得，且区间中有4个整数，易知任意区间的区间长度为，当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数；当时，，其中含有4、5、6、7四个整数，符合题意；当时，的区间长度大于3，若的区间长度，即，若是整数，则区间中含有4个整数，根据可知，则，此时，其中含有5、6、7、8四个整数，符合题意；若不是整数，则区间中含有5、6、7、8四个整数，则必须有且，解得；若时，，其中含有5、6、7、8、9五个整数，不符合题意；若时，的区间长度，此时中有6、7、8、9这四个整数，故，即，结合，得；综上所述，或或，故答案为：.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）由题意得1，b 为方程的两根，且，……………………1分由韦达定理可得，……………………………………………………………………3分(,1)(1,2)-∞⋃20x ->10,(,1)(1,2)x x -≠∴∈-∞⋃1,3]-3k =40-<3k <24(3)16(3)0k k ∆=-+-<(1,3)k ∈-(1,3]k ∈-911,55,{4}22⎡⎫⎛⎫⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭1a >[,21]a a -[]a b ，b a -14a <<[,21]a a -2113a a a --=-<[,21]a a -4a =[,21][4,7]a a -=4a >[,21]a a -[,21]a a -1(3,4)a -∈45a <<21a -[,21]a a -21(7,9)a -∈218a -=92a =9[,21],82a a ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦21a -[,21]a a -45a <<8219a <-<952a <<5a =[,21][5,9]a a -=5a >[,21]a a -14a ->[,21]a a -2110a -<112a <5a >1152a <<4a =952a <…1152a <<911,55,{4}22⎡⎫⎛⎫⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭2320ax x -+=0a >321,b b a a+==解得；……………………………………………………………………………………5分（2）由（1）得，则，………………9分等价于，解得，…………………………………………………11分故不等式的解集为.………………………………………………………………13分16.【解析】（1）当时，…………………………2分，………………………………………………………………………………5分或………………………………………………………………………………6分或.……………………………………………………………7分（2），…………………9分，…………………………………………………………………………10分是的充分不必要条件，，………………………………………………12分显然，则由解得．………………………………………15分17.【解析】（1）由题意可得当时，，……………………1分设每台的平均利润为，……………5分当且仅当时取等号……………………………………………………………………………6分故当生产10台时，每台的平均利润最大．…………………………………………………………7分（2）当时，，当时，取最大值，（万元）；……………………………………………………………………………………………………9分当时，，…………………………………………12分当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为……14分故当生产该设备为35（台）时所获利润最大，最大利润为2250（万元）．…………………………15分18.【解析】（1）：由题意可得的定义域为，不关于原点对称，故无奇偶1,2a b ==1,2a b ==33132200212121x x xx x x ++->⇒->⇒>+++(13)(21)0x x -+>1123x -<<1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1m ={}2320{12}A x x x x x =-+<=<<∣∣{13}B x x =-<< ∣{1A x x =R ∣…ð2}x …(){11A B x x ∴⋂=-<R ∣…ð23}x <…{}22(21)0{[(1)]()0}A x x m x m m x x m x m =-+++<=-+-< ∣∣{1}A x m x m ∴=<<+∣x A ∈ x B ∈A B ∴ÞA ≠∅113m A B m-⎧⇒⎨+⎩，，...Þ...12m -......040x < (2)()2140200S x x x =-+-()100()1402140100S x f x x x x ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭...10x =040x < (2)()2140200S x x x =-+-35x =()S x (35)2250S =40100x <…36003600()1700170017001580S x x x x x ⎛⎫=--+=-++-+= ⎪⎝⎭…23600x =60x =()1580S x …22501580>()f x (,1)(1,)-∞-⋃-+∞()f x性，为非奇非偶函数．………………………………………………………………………………………2分（2）在上单调递增，证明如下：任取，且……………………3分则，…………………………………………………5分故……8分所以，，故在上单调递增.………………………………………………9分（3）由方程在上有解，可转化为，在上有解．……………………………………………………………………………………………11分令，则转化为方程在上有解，设，则其图象开口向上，对称轴为，………………………………13分①若，即，所以，所以；…………………………………………………………………………………………15分②若，即，所以，所以；综上所述：的取值范围为．…………………………………………………………………17分19.【解析】（1）1或5（写出一个即给4分），给集合增加一个元素1或5得到集合或，由题意可得或均为梦想集合．…………………………………………………5分（2）不是，……………………………………………………………………………………………………6分证明如下：设，取…………………………………………………7分由于为偶数，则．……………………………………………………………………………8分记为集合去掉元素x ，y 后构成的集合，而，易得，且，…………………………………………………………………………………………10分故不是梦想集合．…………………………………………………………………………………………11分（3）利用反证法：假设存在这样的有限集合，使得中元素个数为大于5的奇数，且为梦想集合，则设，且，……………………………………………………12分因为，设为集合去掉元素后构成的集合，所以只能考虑()f x [0,)+∞12,[0,)x x ∈+∞21,x x >211212120,10,10,0x x x x x x x x ->+>+>++>()()()()()()()()()()222221122112122121212121110.111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-++-=-==>++++++()()21f x f x >()f x [0,)+∞1()0g g x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭[1,)+∞()222112270x m x m x x ⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭[1,)+∞1[2,)t x x=+∈+∞()222280t mt m -+-=[2,)t ∈+∞22()2216h t t mt m =-+-t m =22,(2)442160m h m m =-+- (2)260m m --…11m -+…12m …()222,(2)42160m m m >∆=-- (2)16m …44m -……24m <…m [14]-{2,3}{1,2,3}{2,3,5}{1,2,3}{2,3,5}{,2,3,,}A k k k nk = ,2nx nk y k ==n 2ny k A =∈B A 32x y nk A +=∉32x y nk B +=∉||2nx y k B -=∉A A A A A {}12,,,n a a a = 120n a a a <<<< (1,2,,)n k t a a a t n +>= B A ,n k a a n k a a B -∈这个数均属于，且各不相同，均小于，所以……………………………………………………………………………………13分再考虑与，因为，所以，即，所以只能；………………………………………………………………………………14分又因为这个数均属于，且均小于，所以中与其对应，故……………………………………………………………………………16分即，而去掉后的集合为，且，故矛盾，所以不为梦想集合．……………………………………………………………………………17分【评分细则】第（3）小问若用其他方法证明只要逻辑正确均酌情给分．121,,,n n n n a a a a a a ---- 1n -A n a 112,n n n a a a a a --=-211,,n n n a a a a --=-= 1n a -12n a -5n >215122n aa a -->=11212n n n n a a a a a ---+>+>112n n a a---=12n a A -∈111212,,,n n n n a a a a a a ------- 2n -A 1n a -A {}122,,,n a a a -⋯11n k n k a a a ----=11122n n n a aa ----=A 11,2n n a a --B 112n n a a B ---∉A。
2018-2019学年广东省茂名市电白区高一下学期期中数学试题带答案
2018-2019学年广东省茂名市电白区高一下学期期中数学试题一、单选题1． 数列23，45，67，89，…的第10项是( ) A ．1617B ．1819C ．2021D ．2223【答案】C【解析】根据数列的前几项，归纳处数列的通项公式，即可求解数列的第10项，得到答案． 【详解】由题意，根据数列2468,,,,3579L ，可求得数列的通项公式221n n a n =+， 所以数列的第10项为1021020210121a ⨯==⨯+，故选C ．【点睛】本题主要考查了归纳数列的通项公式，其中根据数列的前几项，找出数列的数字排布规律，得出数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 2．不等式101x x +≤-的解集为（ ） A ．{|11}x x -≤< B ．{|11}x x -<≤ C ．{|11}x x -≤≤ D ．{|11}x x -<<【答案】A【解析】首先根据题意可知()()11010110x x x x x ⎧+-≤+≤⇔⎨--≠⎩，由此即可求出结果. 【详解】由题意可知，()()1101011110x x x x x x ⎧+-≤+≤⇔⇔-≤<⎨--≠⎩，所以不等式101x x +≤-的解集为{|11}x x -≤<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，属于基础题.3．在等差数列{}n a 中，已知590a =，则28a a +=（ ） A ．90 B ．270 C ．180 D ．360【答案】C【解析】根据等差中项的概念，可知2852a a a +=，进而求出结果.【详解】由等差中项，可知2852180a a a +==. 故选：C. 【点睛】本题主要考查等差中项的基本概念，属于基础题.4．等比数列{}n a 的各n 项都是正数，且5716⋅=a a ，则6a 等于（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】A【解析】根据等比中项的概念，可知5726a a a ⋅=，又0n a >，进而求出结果.【详解】由等比中项可知，257616a a a =⋅=，又0n a >，所以64a =.故选：A. 【点睛】本题主要考查等比中项的基本概念，属于基础题. 5．设数列｛n a ｝的前n 项和n s =2n ，则8a 的值为 A ．15 B ．16 C ．49 D ．64【答案】A【解析】利用887a S S =-求解即可. 【详解】 因为数列｛｝的前n 项和n s =2n ，所以878644915a S S =-=-=， 故选：A. 【点睛】本题主要考查本题主要考查数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.6．若a b >，则下列正确的是（ ） A ．22a b >B ．ac bc >C ．22ac bc >D ．a c b c ->-【答案】D【解析】由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除． 【详解】A 选项不正确，因为若0a =，1b =-，则不成立；B 选项不正确，若0c =时就不成立；C 选项不正确，同B ，0c =时就不成立；D 选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D ． 【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质． 7．在ABC V 中，135A ︒=，30C ︒=，20c =，则边a 的长为（ ） A ．102B ．202C ．206D ．63【答案】B【解析】由正弦定理，sin sin a cA C=，得sin sin c A a C =，据此即可求出结果.【详解】由正弦定理，sin sin a c A C =，得220sin 22021sin 2==c Aa C=故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题.8．在△ABC 中,A ＝60°,AB ＝1,AC ＝2,则△ABC 的面积ABC S V ＝（ ） A ．12B 3C 3D ．23【答案】B【解析】由题意利用面积公式求解△ABC 的面积即可. 【详解】132ABC S AB AC sinA =⋅⋅=V . 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查三角形面积公式及其应用，属于基础题. 9．sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ） A ．3 B ．32C ．12-D ．12【答案】D【解析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可. 【详解】sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒ sin 20cos10cos20sin10=︒︒+︒︒ sin30=︒12=. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查诱导公式和两角和的正弦公式，属于基础题. 10．下列各式中，值为12的是（ ） A ．sin15cos15︒︒B ．22cossin 1212ππ-C ．2tan 2251tan 225︒︒⋅-⋅ D ．1cos302︒+ 【答案】C【解析】根据二倍角公式和特殊角的三角函数值，逐个选项检验，即可求出结果. 【详解】对于选项A ，sin15cos15sin15cos151112sin 30=224︒︒︒︒=⨯=︒，故不符合题意； 对于选项B ，223cos sin =cos=121262πππ-，故不符合题意； 对于选项D ，311cos301322224︒++==+，故不符合题意； 对于选项C ，22tan 22512tan 22511tan 451tan 22521tan 22522︒︒︒︒⋅⋅=⨯=︒=-⋅-⋅，满足题意； 故选：C. 【点睛】本题主要考查了二倍角公式和特殊角的三角函数值的计算，属于基础题.11．数列125⨯，158⨯，1811⨯，…，()()13132n n -⨯+，…的前n 项和为（ ） A ．32nn + B ．64nn +C ．364nn +D ．12n n ++ 【答案】B【解析】由()()1111313233132n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项求和即可求解【详解】 ∵()()1111313233132n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭∴()()11125583132n S n n =+++⋅⋅-+L =1111111325583132n n ⎛⎫-+-++-⎪-+⎝⎭L =1113232n ⎛⎫-⎪+⎝⎭=64nn + 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了数列求和的裂项求和方法的应用，解题中要注意()()1111313233132n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭右面的系数13是解题中容易漏掉的． 12．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了四十二里路 【答案】C【解析】依题意，设第一天走了1a 里路，则16112378112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，解得1192a =，故296a =，348a =，424a =，512a =，66a =；因为3787.87548=，故C 错误，故选C.二、填空题13．不等式2560x x -->的解集是________. 【答案】()(),16,-∞-+∞U【解析】由题意，()()2560610x x x x -->⇔-+>，根据一元二次不等式的解法即可求出结果.【详解】由题意，()()25606106x x x x x -->⇔-+>⇔>或1x <-，故不等式的解集为()(),16,-∞-+∞U .故答案为：()(),16,-∞-+∞U . 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 14．若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 【答案】75【解析】1tan tan 17446tan tan 144511tan tan644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭ 故答案为75.15． 设a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则112+a b的最小值是________． 【答案】322【解析】因为112a b +＝112a b （）+ (a ＋b )＝12＋1＋2b a a b +≥32216．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且6a =，4sin 5sin B C =，有以下四个命题：①ABC ∆的面积的最大值为40；②满足条件的ABC ∆不可能是直角三角形； ③当2A C =时，ABC ∆的周长为15；④当2A C =时，若O 为ABC ∆的内心，则AOB ∆7. 其中正确命题有__________（填写出所有正确命题的番号）． 【答案】③④【解析】①由题6a =，4b 5c =，由余弦定理得：222293663333325cos 226121001005bb cC b b bc b b ，++-===+≥⋅=⨯⨯当且仅当33100b b =， 即10,8b c ==取等号，此时4sin 5C ≤，146102425ABC S ∆=⨯⨯⨯=．ABC ∆的面积的最大值为24；不正确②由题54b c =，假设ABC ∆是直角三角形，则222256,4b c c ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭解得6,10,8a b c ===故ABC ∆可能是直角三角形；②不正确 ③当2A C =时，有正弦定理cos 3sin sin sin 2sin a c a c c C A c C c =⇒=⇒= ，结合54b c = 由余弦定理可得，22225562cos 3626cos ,4,544c b ab C c c C c b ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯∴== ⎪⎝⎭ABC ∆的周长为15；正确；④当2A C =时，4,5,6c b a ===若O 为ABC ∆的内心，则设ABC 的内接圆半径为,r 由cos 3c C =可得37cos ,sin 44C C ==故()117sin ,222ab C a b c r r =++∴= 则11747.222AOB S cr ∆==⨯⨯= AOB∆7.正确 故答案为③④.三、解答题 17．已知1tan 3α=-，5cos 5β=，,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦παπ，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ. （1）求tan β的值；（2）求tan()αβ+的值，并求出αβ+的值. 【答案】（1）2；（2）1，54π. 【解析】（1）根据三角函数同角基本关系和角的范围，即可求出结果；（2）根据正切的两角和公式，即可求出tan()αβ+，然后再根据角的范围和tan()αβ+的值，即可求出αβ+. 【详解】 （1）因为5cos 5β=，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，所以225sin 1cos 5ββ=-=，所以sin tan 2cos βββ==； （2）由12tan tan 3tan()121tan tan 13αβαβαβ-+++===-⋅+，所以tan()1αβ+=； 又,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，所以3,22ππαβ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 又 tan()1αβ+=，所以5=4παβ+. 【点睛】本题主要考查了三角函数的同角基本关系和正切的两角和公式的应用，在解题过程中要注意角的范围，这是解题的关键.18．已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=﹣3． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }的前k 项和S k =﹣35，求k 的值． 【答案】（Ⅰ）a n =1+（n ﹣1）×（﹣2）=3﹣2n （Ⅱ）k=7【解析】试题分析：（I ）设出等差数列的公差为d ，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d 的方程，求出方程的解即可得到公差d 的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可； （II ）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k 项和的公式，当其等于﹣35得到关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，根据k 为正整数得到满足题意的k 的值． 解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d 由a 1=1，a 3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2， 从而，a n =1+（n ﹣1）×（﹣2）=3﹣2n ； （II ）由（I ）可知a n =3﹣2n ， 所以S n ==2n ﹣n 2，进而由S k =﹣35，可得2k ﹣k 2=﹣35， 即k 2﹣2k ﹣35=0，解得k=7或k=﹣5， 又k ∈N +，故k=7为所求．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．19．等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）()12n n a -=-或12n n a -= .（2）6m =.【解析】分析：（1）列出方程，解出q 可得；（2）求出前n 项和，解方程可得m ．详解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故()12n n a -=-或12n n a -=．（2）若()12n n a -=-，则()123nnS --=．由63m S =得()2188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21nn S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题． 20．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++. （1）求函数()y f x =周期及其单调递增区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =的最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为3[,]88k k k Z ππππ-++∈；（2）最大值为2+2 1. 【解析】（1）首先根据三角恒等变换可得()2224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据周期公式即可求出周期；然后再令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即可求出函数的单调递增区间；（2）由题意可知52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而2sin 2,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，由此即可求出函数的最值. 【详解】因为22()(sin cos )2cos 2sin 2cos 22224f x x x x x x x π⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭所以()2224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；所以()f x 的最小正周期为2=2ππ；令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，所以3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间为3[,]88k k k Z ππππ-++∈； （2）50,2,2444x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，，所以2sin 2,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 所以()2f x ⎡⎤∈⎣⎦，所以()f x 的最大值为2 1; 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换和正弦函数的相关性质，属于基础题.21．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)7b =33. 【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得3tanB =B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b =7．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()332sin A B -=． 详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =， 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得3tanB = 又因为()0πB ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3， 有22227b a c accosB =+-=，故b 7 由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得37sinA =a <c ，故7cosA =． 因此4322sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=． 所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=4311333727214-⨯=点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．22．已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，n *∈N ． (1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； (2)记12111n nS a a a =+++L ，若S n <100，求最大正整数n ； (3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m －1，a s －1，a n －1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）99；（3）不存在【解析】试题分析：（1）根据1321n n n a a a +=+可得111111133n n n a a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，根据135a =，可知1110a -≠，即1111131n na a +-=-，据此即可求证；（2）根据等比数列的通项公式可得11213n n a ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，进而即可表示出n S ，对其进行整理可得113n n S n =+-，由于100n S <，所以有111003n n +-<，即1993n <，至此，即可得到最大正整数n ；（3）首先假设存在，根据等差数列的性质可得2m n s +=，再根据等比的性质可得()()()2111m n s a a a --=-，结合（2）中得到的通项公式可将其化简为3323m n s +=⋅，接下来再根据均值不等式可知333323m n m n s ++≥=⋅，当且仅当m n =时等号成立，至此，再根据,,m n s 互不相等即可得结果.试题解析：(1)因为＝＋，所以－1＝－.又因为－1≠0，所以－1≠0(n ∈N)． 所以数列为等比数列．(2)由(1)可得－1＝·n －1，所以＝2·n ＋1.S n ＝＋＋…＋＝n ＋2＝n ＋2·＝n ＋1－，若S n <100，则n ＋1－<100，因为函数y= n ＋1－单调增， 所以最大正整数n 的值为99.(3)假设存在，则m ＋n ＝2s ，(a m －1)(a n －1)＝(a s －1)2，因为a n ＝，所以＝2，化简得3m＋3n＝2·3s，因为3m＋3n≥2·＝2·3s，当且仅当m＝n时等号，又m，s，n互不相等，所以不存在．。
广东省广州天省实验学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州天省实验学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题注意：1．考试时间为120分钟．满分为150分．2．试卷分为第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两部分．3．选择题答案必须用2B 铅笔在答题卡对应题号答题框内填涂，非选择题需在问卷指定位置作答．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，只有一项符合题目要求，每小题5分，共40分．1. 已知，则复数的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 2. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）A. B. 1 C. D. 3. 已知向量，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图，在正四面体中，是的中点，P 是线段上的动点，则直线和所成角的大小（）()1i 2i z +=z 1i +1i -+1i -1i --O A B '''O A A B ''''=2O B ''=()()1,1,,2a m b m =-=- 2m =a b ⊥ ABCD M BC AM DP BCA. 一定为B. 一定为C. 一定为D. 与P 的位置有关5.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 6. 在中，，，为（ ）．A. B. C. D.7. 为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，某天，一艘巡逻舰从海岛A 出发，沿南偏东75°的方向航行到达海岛B ，然后再从海岛B 出发，沿北偏东45°的方向航行了海里到达海岛C .若巡逻舰从海岛A以北偏东60°的航向出发沿直线到达海岛C ，则航行路程AC (单位：海里)为（ ）A B.C. D. 8. 如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P 是上一动点，则的最小值为（ ）A B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）A. 的共轭复数是..90︒60︒45︒2b a = a b 120 2ab - b 3b- 32b- 12b -3bABC V 60A ∠=︒1b =ABC V sin a A111ABC A B C -90ACB ∠=︒6AC =1BC CC ==1BC 1CP PA +1i z =+z 1i-B. 的虚部是C.D. 若复数满足，则的最大值是10. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的有（ ）A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则11. 锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，下列结论正确的是（ ）A. A =2BB. B 的取值范围为C. 的取值范围为D. 的取值范围为12. 如图，在边长为2的正方形中，E 、F 分别是、的中点.若沿SE 、SF及EF 把这个正方形折成一个四面体，使、、三点重合，重合后的点记为G ，则（ ）A. B. 点G 到平面SEF的距离为C. 三棱锥的外接球表面积为D. 二面角等于第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若，，则线段AB 的靠近B 的三等分点P 的坐标为______.14. 是关于的方程的根，______．z ii z z=0z 01z z -=0z 1+αβl α∥m α∥l m∥l α∥αβ∥⊂/l βl β∥l α⊥m β⊥αβ⊥l m ⊥αβ⊥m αβ= l m ⊥l β⊥2cos c b b A -=0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭a b 112sin tan tan A B A -+⎫⎪⎪⎭123SG G G 12G G 23G G 1G 2G 3G GS EF⊥34G SEF -6πE GSF --45︒()3,6AB =- ()2,3B -43i -+x 20(,R)x px q p q ++=∈p =15. 已知圆锥侧面展开图是一个半径为的半圆，则圆锥的底面半径为______；若该圆锥的顶点及底面圆周在球O 的表面上，则球O 的体积为______.16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.如下图的印信，可以看成是将一个棱长等于2cm 的正方体截去8个一样的四面体之后得到的，则该印信的所有棱长之和等于______cm ，该印信的表面积等于______.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在中，是的中点，点在上，且与交于点，设.（1）求的值；（2）当时，求的值.18. 已知向量（1）向量夹角的余弦值；（2）若向量与垂直，求实数k 的值；（3）若向量，且与向量平行，求实数k 的值.19. 在中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足.（1）求A ；（2）若，，AD 是的中线，求AD 的长.20. 已知四棱锥A —BCDE ，AB =BC =AC =BE =1，CD =2BE =2，CD 面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 中点．的的2cm ABC V D BC E AB 2,BE EA AD =CE O AO AD λ= λ5,3AB AC ==AO BC ⋅ ()()()3,1,1,2,a b m a kb k =-=-=+∈R ,a b m 2a b - (1,1)c =- m kb c + ABC V cossin 2B C b a B +=a =3BA AC ⋅= ABC V ⊥（1）求证：EF ∥面ABC ；（2）求四棱锥A —BCDE 体积，21. 如图，为矩形，为梯形，平面平面，，，．（1）若为中点，求证：平面；（2）求直线与直线所成角的大小；（3）设平面平面，试判断与平面能否垂直？并求平面与平面所成锐二面角的大小．22. 若函数，的角，，的对边分别为，，，且.（1）当取最大值时，判断的形状；（2）在中，为边的中点，且，求的长.的PDCE ABCD PDCE ⊥ABCD 90BAD ADC ∠=∠=︒12AB AD CD a ===PD =M PA AC ∥MDE PB CD PAD ⋂EBC l =l ABCD PAD EBC 2()2cos 2x f x x =+ABC V A B C a b c ()3f A =b c a+ABC V ABC V D BC AD =2AC =BC广州天省实验学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题简要答案第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，只有一项符合题目要求，每小题5分，共40分．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分【9题答案】【答案】AD【10题答案】【答案】BC【11题答案】【答案】ACD【12题答案】【答案】AC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】 ①.②. 【16题答案】【答案】 ①.②. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）（2）（3）【19题答案】【答案】（1） （2【20题答案】【答案】（1）证明略；（2【21题答案】(3,5)-832π312+12λ=4-53k =13k =-23A π=【答案】（1）证明略（2）（3）垂直，【22题答案】【答案】（1）是等边三角形；（2）.3π4πABCV BC=。
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题(苏教版2019,必修第一册第1-5章)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷（苏教版2019）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏教版2019必修第一册第1章~第5章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}()14,2,5A x x B =-<<=，则()R B A = ð（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．()[),45,-∞⋃+∞D ．()[),15,-∞-+∞ 【答案】A【解析】()2,5B =,则R (,2][5,)B =-∞+∞ ð，则()(]R 1,2B A =- ð.故选：A.2．已知集合{}{}2,,42,A xx k k B x x k k ==∈==+∈Z Z ∣∣．设:,:p x A q x B ∈∈，下列说法正确的是（）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由(){}221,B xx k k ==+∈Z ∣，{}2,A x x k k ==∈Z ∣，故B 为A 的真子集，又:,:p x A q x B ∈∈，故p 是q 的必要不充分条件.故选：B.3．,,,a b c b c ∈>R ，下列不等式恒成立的是（）A ．22a b a c +>+B ．22a b a c +>+C ．22ab ac >D ．22a b a c>【答案】B【解析】对于A ，若0c b <<，则22b c <，选项不成立，故A 错误；对于B ，因为b c >，故22a b a c +>+，故B 成立，对于C 、D ，若0a =，则选项不成立，故C 、D 错误；故选：B.4．已知实数a 满足14a a -+=，则22a a -+的值为（）A ．14B ．16C ．12D ．18【答案】A【解析】因为()212212a a a a a a ---=+++⋅，所以()22211216214a a a a a a ---+=+-⋅=-=.故选：A.5．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若221a b +=，则()()2121a b++的最大值为（）A ．916B ．2516C ．94D ．254【答案】C【解析】因为()()212122221a b a b a b++=⋅+++，又221a b +=，所以()()22292121222(224a b aba b+++=⋅+≤+=，当且仅当1222ab==，即1a b ==-时取等号，故选：C6．已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．(]0,3B ．[)2,+∞C ．()0,∞+D ．[]2,3【答案】D【解析】因为函数()f x 满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x -<-成立，不妨假设12x x <，则210x x ->，可得()()210f x f x -<，即()()12f x f x >，可知函数()f x 在R 上递减，则1206a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪-+≥⎪⎩，解得23a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,3.故选：D.7．已知函数()221x f x x x =-+，且()()1220f x f x ++<，则（）A ．120x x +<B ．120x x +>C ．1210x x -+>D ．1220x x ++<【答案】A【解析】由函数单调性性质得：y x x =，21x y =+在R 上单调递增，所以()221x f x x x =-+在R 上单调递增，令函数222121()||1||||21212121x x x x x x g x x x x x x x +-=-+=-+=+++++，则2112()||||()2121x xxx g x x x x x g x -----=-+=-+=-++，所以()()0g x g x +-=，则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()()()12121212200f x f x g x g x x x x x ++<⇔<-⇔<-⇔+<.故选：A ．8．已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为(4,1)-，则29c a b++的取值范围为（）A ．[)6,-+∞B ．(,6)-∞C ．(6,)-+∞D ．(],6∞--【答案】D【解析】由不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为(4,1)-，可知1和4-是方程20ax bx c ++=的两个实数根，且0a <，由韦达定理可得4141b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即可得3,4b a c a ==-，所以()222499169994463444a c a a a a b a a a a a -+++⎛⎫===+=--+≤-=- ⎪++-⎝⎭.当且仅当944a a -=-时，即34a =-时等号成立，即可得(]29,6c a b∞+∈--+.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若集合{1,1,3,5}M =-，集合{3,1,5}N =-，则正确的结论是（）A ．,x N x M ∀∈∈B ．,x N x M ∃∈∈C ．{1,5}M N ⋂=D ．{1,5}M N = 【答案】BC【解析】对于A ，3N -∈，但是3M -∉，A 错误，对于B ，1N ∈，1M ∈，B 正确，对于CD ，{1,1,3,5}{3,1,5}{1,5}M N =--= ，{1,1,3,5}{3,1,5}{3,1,1,3,5}M N =--=-- ，C 正确，D 错误．故选：BC ．10．已知0a >，0b >，且2a b +=，则（）A ．222a b +≥B ．22log log 0a b +≤C ．1244a b -<<D ．20a b ->【答案】ABC【解析】对于A ，有()()()()2222222222111122222222a b a ab b a ab b a b a b a b ⎡⎤+=+++-+=++-≥+=⋅=⎣⎦，当且仅当a b =时取等号，故A 正确；对于B ，0a >，0b >，有()22112144ab a b ≤+=⋅=，当且仅当a b =时取等号，故1ab ≤，从而()2222log log log log 10a b ab +=≤=，故B 正确；对于C ，由,0a b >，知0ab >，所以()()()()()()222222222042224ab a ab b a ab b a b a b a b a b <=++--+=+--=--=--，故()24a b -<，从而22a b -<-<，所以22122244a b --=<<=，故C 正确；对于D ，由于当1a b ==时，有,0a b >，2a b +=，但2110a b -=-=，故D 错误.故选：ABC.11．对于任意的表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（）A ．函数[]()y x x =∈R 为奇函数B ．函数[]y x =的值域为ZC ．对于任意的,x y +∈R ，不等式[][][]x y x y +≤+恒成立D ．不等式[]2[]430x x -+<的解集为{}23x x ≤<【答案】BCD【解析】对于A ，当01x ≤<时，[]0y x ==，当10x -<<，[]1y x ==-，所以[]()y x x =∈R 不是奇函数，所以A 错误，对于B ，因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以当x ∈R 时，[]Z x ∈，所以函数[]y x =的值域为Z ，所以B 正确，对于C ，因为,x y +∈R 时，[][],x x y y ≤≤，所以[][][][][]x y x y x y x y ⎡⎤+=+≤+≤+⎣⎦，所以C 正确，对于D ，由[]2[]430x x -+<，得[]13x <<，因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以23x ≤<，所以D 正确.故选：BCD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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广东省广州市四校联考2018-2019学年高一下学期期中数学试卷最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）
A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）
2．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）
A．B．C．D．
3．在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．正三角形
4．tan70°+tan50°﹣的值等于（）
A．B．C．D．
5．为了得到函数y=2sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=2sin2x的图象（）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
6．已知点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π]内α的取值范围是（）A．（，）∪（π，）B．（，）∪（π，）
C．（，）∪（，）D．（，）∪（，π）
7．函数f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（x）=（）
A．sin（2x﹣） B．sin（2x﹣） C．sin（4x+）D．sin（4x+）8．设a=2sin13°cos13°，b=，c=则有（）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
9．f（x）=的值域为（）
A．（﹣﹣1，﹣1）∪（﹣1，﹣1）B．[，﹣1）∪（﹣1，] C．（，）D．[，]
10．如图所示，P、Q为△ABC内的两点，且=+，=﹣，则△ABP 的面积与△ABQ的面积之比为（）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
11．已知向量||=5，||=3，与的夹角为150°，则?=．
12．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合终边在直线3x﹣y=0上，则=．
13．如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若?=0，则?=
14．已知函数f（x）=|cosx|?sinx，给出下列四个说法：
①f（x）为奇函数；②f（x）的一条对称轴为x=；
③f（x）的最小正周期为π；④f（x）在区间[﹣，]上单调递增；
⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．
其中正确说法的序号是．
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）
（1）若||=2，且∥，求的坐标；
（2）若||=，且+2与﹣垂直，求与的夹角θ．
16．已知α为第三象限角，且f（α）=．
（1）化简f（α）；
（2）若α=﹣π，求f（α）的值．
（3）若f（α）=﹣，求cos（π+α）的值．
17．已知α，β均为锐角，且，．
（1）求sin（α﹣β）的值；
（2）求cosβ的值．
18．已知函数f（x）=（a+2cos 2
x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈
（0，π）．
（1）求a，θ的值；
（2）令g（x）=f（x）+f（x+），x∈[0，]，求g（x）的最值并求出相应的x的值．19．已知向量=（cos x，sin x），=（cos，sin），且x∈[0，]．
（1）求?及|+|；
（2）若f（x）=?﹣2λ|+|的最小值为﹣，求实数λ的值．
20．已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．
（1）若，试用表示；
（2）证明：；
（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示．
广东省广州市四校联考2014-2015学年高一下学期期中
数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1．已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）
A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）
考点：平面向量的坐标运算．
专题：平面向量及应用．
分析：直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．
解答：解：由=（2，4），=（﹣1，1），得：
2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）．
故选：A．
点评：本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．
2．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）
A．B．C．D．
考点：弧长公式．
专题：计算题；直线与圆．
分析：设圆内接正方形的边长为a，求出圆的半径r，再计算圆弧所对的圆心角．
解答：解：设圆内接正方形的边长为a，则该圆的直径为a，
∴弧长等于a的圆弧所对的圆心角为
α===．
故选：D．
点评：本题考查了圆弧所对的圆心角的计算问题，是基础题目．
3．在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．正三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题；解三角形．
分析：三角形的内角和为π，利用诱导公式可知sinC=sin（A+B），与已知联立，利用两
角和与差的正弦即可判断△ABC的形状．
解答：解：∵在△ABC中，sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B），
∴sinC=2sinAcosB?sin（A+B）=2sinAcosB，
即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，
∴sin（A﹣B）=0，
∴A=B．
∴△ABC一定是等腰三角形．
故选：C．
点评：本题考查三角形的形状判断，考查两角和与差的正弦，利用sinC=sin（A+B）是关键，属于中档题．
4．tan70°+tan50°﹣的值等于（）。