数学分析(华东师大)第十一章反常积分

数学分析(华东师大)第十一章反常积分

r mg R ∫

∫

第 十 一 章 反 常 积 分

§1 反常积分概念

一 问题提出

在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有

界性 .但

在

很多实

际

问题中往

往

需

要突

破这

些限制 ,

例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v 0 至少要多大 ? 设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为

g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R ) 处火箭所受的引力为

mg R 2

F = . x 2 于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为 2

∫

d x = mg R 2 1 - 1 . R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”:

图 11 - 1 + ∞

mg R 2

d x = lim

r mgR 2 R

x 2 r → + ∞ R d x = mg R . x 2

最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使

1 2

2 mv 0 = m g R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106

( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?

2

∫

· R u

∫ ∫ ∫ R

2

§1 反常积分概念

265

从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为 v = 2 g( h - x) , 其中 g 为重力加速度 .

设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为 d x , 它们之间应满足

πR 2 d x = v πr 2 d t ,

图 11 - 2

由此则有

d t =

R d x , x ∈ [0 , h] . r

2

2 g( h - x )

所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:

h t f = 0 R 2

d x . r 2

2 g( h - x)

但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是

u 2

t f = lim

∫ 2

d x

u → h

-

r

2 g( h - x)

= lim -

2 2

g r 2

h - h - u

u → h

=

2 h R .

g r 相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .

二 两类反常积分的定义

定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限区间 [ a , u]

上可积 .如果存在极限

lim

∫

f ( x ) d x = J, ( 1)

u → + ∞ a

则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) ,

记作

+ ∞

J =

f ( x ) d x ,

( 1′)

a

+ ∞ + ∞ 并称

f ( x) d x 收

敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称

f ( x) d x

a

a

发散 .

类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 :

a

b

∫

∫

∫

∫

§1 反常积分概念

267

分部积分法一般都可引用到无穷积分中来 .对于本例来说 , 就有 ∫

+ ∞

d x + ∞

d t

2 x ( ln x ) p =

∫

ln 2

t

p . 从例 3 知道 , 该无穷积分当 p > 1 时收敛 , 当 p ≤1 时发散 .

2) 任取实数 a, 讨论如下两个无穷积分 : ∫

d x + ∞

d x - ∞

1 + x

2

和

∫

a

由于

a

1 + x

2

.

lim ∫

d x

= lim

( arctan a - arctan u )

u → - ∞ u 1 + x 2

v

u → - ∞

= arctan a + π ,

2

lim

∫

d x = lim

( arctan v - arctan a)

v → + ∞ a

1 +

x 2

v → + ∞

π

2

- arctan a ,

因此这两个无穷积分都收敛 .由定义 1 , ∫

+ ∞ d x a

d x

+ ∞ d x - ∞ 1 + x 2 =∫

- ∞

1 + x

2 +

∫

a

1 + x

2 = π . 注 由于上述结果与 a 无关 , 因此若取 a = 0 , 则可使计算过程更简洁些 .

定义 2 设函数 f 定义在区间 ( a , b] 上 , 在点 a 的 任一右 邻域内无 界 , 但 在 任何内闭区间 [ u , b] Ì ( a , b] 上有界且可积 .如果存在极限

lim

∫f ( x ) d x = J ,

( 5)

u → a

+

u

则称此极限为无界函数 f 在 ( a , b] 上的反常积分 , 记作

b

J =

f ( x ) d x , ( 5′)

a

b

并称 反 常 积 分

f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 5) 不 存 在 , 这 时 也 说 反 常 积 分 a

b

f ( x ) d x 发散 . a

在定义 2 中 , 被积函数 f 在点 a 近旁是无界的 , 这时点 a 称为 f 的瑕点 ,

而无

b

=