北师大版七年级下册数学学案：3.7切线长定理
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。
本节课主要介绍切线长定理及其应用。
切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的切线性质和几何图形的对称性。
在学习本节课时，学生需要掌握切线与圆的位置关系，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
教材通过生动的例题和丰富的练习，帮助学生理解和掌握切线长定理，并能够灵活运用它解决相关问题。
二. 学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。
然而，对于部分学生来说，理解和运用切线长定理解决实际问题仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服学习中的困难。
三. 教学目标1.理解切线长定理的含义，掌握切线长定理的证明过程。
2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象力，提高学生的逻辑思维能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和合作精神。
四. 教学重难点1.重点：切线长定理的证明过程，切线长定理的应用。
2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用几何画板等教学软件，直观展示切线与圆的位置关系，帮助学生理解切线长定理。
3.通过例题讲解和练习，巩固学生对切线长定理的理解和运用。
4.鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教学课件，包括切线与圆的位置关系示意图、切线长定理的证明过程等。
2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生对切线长定理的应用。
3.准备几何画板等教学软件，用于直观展示切线与圆的位置关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板展示一个圆和一条切线，引导学生观察切线与圆的位置关系，提出问题：“切线与圆有什么特殊的性质？”让学生回顾已学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计1
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计1一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。
本节课主要介绍切线长定理，即从圆外一点引出两条切线，切线长相等。
这个定理是圆的有关性质之一，对于学生理解圆的性质和解决与圆相关的问题具有重要意义。
教材通过生活中的实例引入切线长定理，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了相似三角形、平行线等知识，对几何图形的性质有一定的了解。
但是，他们对圆的性质认识不足，切线长定理较为抽象，需要通过实例和操作活动来加深理解。
此外，学生对于实际问题的解决方法还不够熟练，需要教师在教学中给予引导和指导。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解切线长定理，并能运用切线长定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、思考、交流等过程，培养几何思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：学生体验数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：学生能够理解并运用切线长定理。
2.难点：学生能够将切线长定理应用于实际问题，并解决问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师通过实例和问题引导学生发现切线长定理，培养学生的几何思维能力。
2.操作活动法：学生通过实际操作，加深对切线长定理的理解。
3.合作交流法：学生分组讨论，分享解题方法和经验，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2.学具：圆、直尺、圆规、剪刀、彩笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例引入切线长定理，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解在修剪树枝时，如何利用切线长定理剪出相等的树枝。
2.呈现（10分钟）教师展示切线长定理的定义和性质，引导学生观察、思考。
同时，通过多媒体课件演示切线长定理的证明过程，帮助学生理解。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，运用切线长定理解决几何问题。
九年级数学下册 3_7 切线长定理导学案(新版)北师大版
AOB P第三章圆第7节切线长定理【学习目标】1、了解切线长的概念．2、理解切线长定理【学习重难点】能熟练运用相关性质解决问题【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、直线和圆的位置关系有哪些？它们所对应的数量关系又是怎样的？判断直线与圆相切有哪些方法？2、您知道角平分线的性质和判定定理吗？二、自主学习看书94页—95页后，解答下列问题：1、切线长概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的条切线，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的夹角。
即：如上中，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，则PA= ，∠APO= 。
试证明：3、内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，它的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的三角形实践练习:如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）．【我的疑惑】模块二合作探究探究1、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm,CA=13cm,求AE、BD、CF的长。
探究2、如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．•A B P C E F •O B A C PO模块三、小结反思1.本课知识：（1）、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆；内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。
（2）、内心的性质：（3）、如何作△ABC 的内切圆？2.方法：模块四： 形成提升 1、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ， EF 切⊙O 于C 点，分别交PA 、PB 于点E 、F ，已知PA=7cm ，则△PEF 的周长等于________． 2、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=_________．【拓展延伸】1、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，连接PO 与⊙O 相交于C ，连接AC 、BC ，求证：AC=BC ．2.如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．组长评价：你认为该成员这一节课的表现：（A）很棒( B)一般(C) 没发挥出来(D)还需努力.家长签名：。
3.7切线长定理(共14 公开课一等奖课件.ppt) 大赛获奖课件 公开课一等奖课件
E
O F
1 2P
李师傅在一家木料厂上班，工 作之余想对厂里的三角形废料进行 加工：裁下一块圆形用料，且使圆 的面积最大。
下图是他的几种设计，请同学们帮 他确定一下。
A
B
C
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这 个三角形叫做圆的外切三角形。
PB叫做点P 到⊙O的切 线长。
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间 的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，
切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外 一点和切点，可以度量。
A 根据你的直观判断，
猜想图中PA是否等于
PB？∠1与∠2又有什
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。
A
O
B
C
作三角形内切圆的方法：
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
A
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
M N
I
B
D
C
例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm， AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于 点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
= 180 °－(25°＋ 35 °) =120 °
O长定理。 （2）三角形的内切圆
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3.7切线长定理(教案)2018-2019学年九年级下学期数学教材解读(北师大版)
3.增强学生的数学应用意识：将切线长定理应用于解决实际问题，让学生在实际情境中发现数学的价值，提高数学应用意识和解决实际问题的能力，培养数学建模素养。
三、教学难点与重点
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了切线长定理，这是一个在几何学中至关重要的概念。通过教学，我发现学生们对于切线长定理的理解存在几个关键点需要关注。
首先，学生在理解切线长定理的定义上还存在一些困难。尽管通过直观的图形可以让他们感受到切线长相等的性质，但在抽象出定理的具体表述时，他们往往需要更多的时间和引导。我意识到，可能需要通过更多的实际例子和操作，让学生在动手实践中加深对定理的理解。
2.应用切线长定理解决实际问题：结合教材例题，让学生掌握如何利用切线长定理求解与圆相关的线段长度问题，以及在实际应用中如何构建切线长定理模型，提高学生的几何解题能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的几何直观和空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够直观理解圆的切线与半径、弦之间的关系，发展空间想象力和几何直观能力。
其次，定理的证明过程对学生来说是一个挑战。在课堂上，我尝试用了几种不同的方法来证明切线长定理，但显然，对于一部分学生来说，这些证明过程仍然难以消化。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助工具，比如动画或实物模型，来帮助学生更直观地理解证明的每一步。
在应用方面，我发现学生们在面对实际问题时，往往不知道如何运用切线长定理。这可能是因为他们还没有建立起几何问题与定理之间的联系。在未来的教学中，我计划设计更多与实际情境相关的题目，让学生在解决问题的过程中，学会如何将切线长定理应用到具体情境中。
3.7切线长定理(教案)2023春九年级下册数学(北师大版)安徽
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示切线长定理的基本原理。
2.强化学生的逻辑推理和证明能力，运用切线长定理进行推理和证明，培养严谨的数学思维；
3.激发学生的数学抽象和模型构建能力，将实际问题转化为数学模型，运用切线长定理解决具体问题；
4.增强学生的数学运算和数据分析能力，在解决与切线长定理相关的问题中，提高运算速度和准确性；
5.培养学生的团队合作和交流表达能力，通过小组讨论和问题解答，提升合作解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）切线长定理的定义及其推导过程：理解切线长定理的概念，掌握其推导过程，明确定理的基本性质。
举例：通过直观图示和实际操作，引导学生理解切线与半径的垂直关系，推导出切线长定理。
（2）切线长定理在直角三角形中的应用：运用切线长定理解决直角三角形中的相关问题，掌握切线长定理在直角三角形中的应用方法。
举例：给出具体的证明题目，指导学生如何结合这些知识点进行证明。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“3.7切线长定理”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求一个圆的切线长度的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索切线长定理的奥秘。
举例：将推导过程分解为几个简单的步骤，引导学生逐步理解。
《＊7 切线长定理》教学设计2-九年级下册数学北师大版
《切线长定理》教学设计一、教材分析切线长定理这节课是北师大版九年级下册第三章第七节的内容，它体现了圆的轴对称性，为我们证明线段、角、弧、垂直关系等提供了一个基本图形和证明依据，是切线的性质和判定的进一步应用，为进一步研究圆的数量关系做好了铺垫，起着承上启下的作用。
二、学生分析学生学习了圆的基本性质、垂径定理、点和圆、直线和圆的位置关系，以及有关的三角形、四边形的有关证明，对本节课的学习应该不是很困难，处于这一阶段的学生，其思维已经具备了明显的逻辑性，但还不是不够完整，如何分析、如何入手等还有待进一步提高。
在本堂课上通过具体的问题的指引，学生自己思考，动手操作等，引发学生的兴趣，能够引导他们一步步达成教学目标。
三、教学目标知识与技能目标1、掌握切线切线长定理及其应用；2、会作三角形内切圆并能够解决一些数学问题。
过程与方法目标1、经历探索切线长定理的过程；2、体会内切圆作图，从而提炼相关的数学知识，滲透数形结合一题多解的思想。
情感态度与价值观目标让学生在活动中体验探索、交流、成功与提升的喜悦，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于实践，大胆推理的科学态度。
教学重点：（1）切线长定理的初步运用（2）会作三角形内切圆以及简单运用。
教学难点：正确的运用切线长定理以及会作三角形的内切圆。
四、教法分析教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。
利用“问题情境——建立数学模型——解释、应用、拓展”的模式进行教学，本节课是概念、定理、解题的教学，因此，要利用概念模式、定理教学模式、解题教学模式的有机组合，完成本节课的教学。
五、学法分析学生以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，以“学—展—点—练”为核心开展自主探究式学习。
1.从圆外一点画圆的两条切线，通过添加有关辅助性，探究并证明切线长定理，进而探究其中蕴含着等腰三角形的三线合一的性质及垂径定理。
2．自己动手画圆的两条切线、三条切线、四条切线，运用切线长定理得到圆外切四边形的性质、三角形内切圆半径的计等。
3.7切线长定理学案
（1）若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r。
2已知，如图，△ABC的三边BC＝a，CA＝b，AB＝c，它的内切圆O的半径长为r，求：△ABC的面积S。
3已知，如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC＝105°，∠ACB＝90°，AB＝20cm，求：BC、AC。
图（1）中，有什么结论？（PA＝PB）
图（2）中，连结AB，增加了什么结论？（增加了∠PAB＝∠PBA）
图（3）中，再连结OP，增加了什么结论？（增加了∠OPA＝∠OPB，OP⊥AB，AC＝BC， ）。
图（4）中，再连结OA，OB。又增加了什么结论？（增加∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＋∠APB＝180°，以及三角形全等）
例2.如图，△ABC中，∠A＝α°，O是△ABC的内心。求证：
例3.已知，如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作弦AB切小⊙O于C点，AD切小⊙O于E点。
（1）求证：AB＝AD；
（2）求证：DE＝BC。
展示
反馈
积极思考团结协作亮出自我
精讲总结
达
标
检
测
1已知，如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B点，求证：OP垂直平分线段AB。
程Leabharlann 自主学习知识点1.定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2.切线长定理——
3.常用辅助线
已知PA，PB切⊙O于A，B。
（1）（2）（3）（4）
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。
2.运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。
3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.圆规、直尺、彩色粉笔。
3.练习题和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。
然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。
同时，解释切线长定理的意义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。
例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。
3.7+切线长定理+同步练习+2023—2024学年北师大版数学九年级下册
*3.7切线长定理【基础达标】1.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是()A.4B.4√3C.8D.8√32.如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和☉O分别相切于点L,M,N,P.若四边形ABCD的周长为20,则AB+CD等于()A.5B.8C.10D.123.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B,若OP=4,PA=2√3,则∠AOB的度数为()A.60°B.90°C.120°D.无法确定4.如图,AB为☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD,CE分别与☉O相切于点D,E,若AD=6,∠DAC=∠DCA,则CE=.5.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,其切点分别为P,C,D,如果AB=5,AC=3,则BD的长为.6.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,若∠P=60°,PB=2 cm.(1)求证:△PAB是等边三角形.(2)求AC的长.【能力巩固】7.如图,有一张三角形纸片ABC,☉O是它的内切圆,D是其中的一个切点,已知AD=5 cm,小明准备用剪刀沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN),则剪下的△AMN的周长为()A.20 cmB.15 cmC.10 cmD.随直线MN的变化而变化8.如图,若△ABC的三边长分别为AB=9,BC=5,CA=6,△ABC的内切圆☉O切AB,BC,AC于点D,E,F,则AF的长为()A.5B.10C.7.5D.49.如图,PA,PB是☉O的切线,其切点分别为A,B,点C,D在☉O上.若∠PAD+∠C=220°,则∠P的度数为°.10.如图,AB为☉O的直径,AD,BC分别与☉O相切于点A,B,CD经过☉O上一点E,AD=DE,若AB=12,BC=4,则AD的长为.11.如图,在△ABC中,∠C=90°,点O在BC上,以OC为半径的半圆切AB于点E,交BC于点D,若BE=4,BD=2,求☉O的半径和边AC的长.【素养拓展】12.如图,一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5 cm的圆环,当滚到与坡面BC开始相切时停止.AB=40 cm,BC与水平面的夹角为60°.试问其圆心所经过的路线长是多少?(结果保留根号)参考答案【基础达标】1.C2.C3.C4.65.26.解:(1)证明:∵PA ,PB 分别与☉O 相切于点A ,B ,∴PA=PB ,且∠P=60°, ∴△PAB 是等边三角形. (2)∵△PAB 是等边三角形,∴PB=AB=2 cm,∠PBA=60°.∵BC 是☉O 的直径,PB 是☉O 的切线, ∴∠CAB=90°,∠PBC=90°,∴∠ABC=30°, ∴AC=2×√33=2√33cm .【能力巩固】 7.C 8.A 9.100 10.9 11.解:如图,连接OE.∵AB 与☉O 相切, ∴OE ⊥AB , ∴∠BEO=90°. 设☉O 的半径为r ,在Rt △BEO 中,由勾股定理得OB 2=OE 2+BE 2.∵BE=4,BD=2,∴(2+r )2=r 2+42,解得r=3, ∴CD=6,∴BC=BD+CD=2+6=8. ∵∠C=90°,OC 为☉O 的半径, ∴AC 与☉O 相切, ∴AC=AE. 设AC=AE=x ,∴AB=BE+AE=4+x.在Rt △ABC 中,由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2,∴(4+x)2=x2+82,解得x=6,∴AC=6.【素养拓展】12.解:如图,连接OD,BD,作DE⊥AB于点E.∵BC与水平面的夹角为60°,∴∠DBE=60°,∴∠BDE=30°.设BE=x,则BD=2x,∴由勾股定理得4x2-x2=25,解得x=5√3,3∴OD=AE=40-5√3(cm).3)cm.答:其圆心所经过的路线长是(40−5√33。
3.7 切线长定理(教案)-北师大版数学九下
第7节*7切线长定理1.了解切线长的概念,并经历探索切线长定理的过程.2.会证明切线长定理,并能运用切线长定理进行相关的计算.1.初步学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能运用所学的知识和技能解决问题,发展应用意识.2.在解题过程中,形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.了解数学的价值,对数学有好奇心与求知欲,在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.【重点】了解切线长的概念,掌握切线长定理.【难点】切线长定理的证明及应用.【教师准备】多媒体课件和圆规.【学生准备】1.复习三角形内切圆等相关知识.2.直尺和圆规.导入一:在一个墙角放置了一个圆形的容器,俯视图如图所示,在俯视图中圆与两边的墙分别切于B,C两点.【问题】图中的线段AB和线段AC的长度有什么关系?为什么?学生大胆猜测:AB=AC,但是不知道什么原因.【引入】从☉O外的A点画出的两条切线AB和AC为什么相等?这就是本节课我们要探究的内容——切线长定理.[设计意图]通过让学生看到日常生活所熟悉的情境,极大地激发了学生的学习兴趣,并在鼓励其大胆猜想的同时引出了本节课所要探究的内容,使学生能做到有的放矢.导入二:如图所示,PA,PB是☉O的两条切线.有一天中午,一只小蜗牛放学回家,饥饿难耐,妈妈把小蜗牛喜欢吃的两份一样的美食分别放在了☉O上的A,B两点处,你帮小蜗牛选择一下,在相同的速度的条件下,沿路PA走还是沿路PB走能使它尽快吃到食物?【学生活动】学生积极发言,大胆猜测,教师要求学生说明各自结论的理由.学生分析:大部分同学会认为两条路是一样的,即PA=PB.【问题】PA和PB是过圆外一点P画出的圆的两条切线,如果PA=PB,那么是否过圆外任意一点画出的圆的两条切线都相等呢?[设计意图]通过小蜗牛的故事,吸引了学生的注意力,让他们在游戏中初步感知本节课的探究任务,为下面切线长定理概念的探究打下了良好的基础.[过渡语]前面我们探究了圆的切线的性质定理,圆的切线还有哪些相关的性质呢?今天我们就来进行探索.想一想:过圆外一点画圆的切线,你能画出几条?【师生活动】学生迅速抢答:过圆外一点可以作一条、两条,还有的学生认为可以作无数条圆的切线.教师要求学生动手操作,教师巡视发现问题.【教师点评】过圆外一点能画出两条圆的切线.课件出示:【议一议】如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.问题:(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?学生分析:这个图形是轴对称图形,它的对称轴是点P,O所在的直线.问题:(2)在这个图形中你能找到相等的线段吗?【师生活动】学生思考后得出PA=PB.教师要求学生说说理由.代表发言:因为这个图形是轴对称图形,根据其性质“对应线段相等”就可以得出PA=PB.【教师点评】图中的线段PA,PB是圆的切线,它们的长度就叫做切线长.切线长概念:过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.[设计意图]通过切线长概念的探究过程,不但了解了切线长的概念,而且通过对相等线段的判断,使学生初步感知了切线长定理的证明方法,为下面定理的证明打下良好的基础.[知识拓展]切线与切线长的区别:它们是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线【教师引导】通过情境导入和上面对议一议第二个问题的探究,我们都得到了一个同样的结论切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.【想一想】除了刚才我们利用轴对称的性质外,你还有其他的方法对切线长定理进行证明吗?学生分析:根据“见切点连半径”的思路,可以构造出两个直角三角形,再根据切线的性质证明两个三角形全等就可以得出PA=PB.【师生活动】要求学生先独立解答,完成后同伴相互交流,代表板演展示.学生完成后,教师课件出示解答过程,供学生参考,规范他们的解题步骤.已知:如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.求证:PA=PB.证明:连接OA,OB,PO.∵PA,PB是☉O的切线,∴∠PAO=∠PBO=90°.在Rt△OPA和Rt△OPB中,∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△OPA≌Rt△OPB.∴PA=PB.符号语言描述:若线段PA,PB是☉O的切线,则PA=PB.[设计意图]通过对切线长定理的证明,不但加深了对切线长定理的印象,还进一步掌握了切线的辅助线的做法,一举两得.[知识拓展]切线长定理推论1:圆心和圆外一点的连线,平分从这点出发的两条切线的夹角.三、圆外切四边形边的性质[过渡语]上节课我们研究了三角形的内切圆的性质,那么四边形的内切圆又有什么样的性质呢?课件出示:【想一想】如图所示,四边形ABCD的四条边都与☉O相切,图中的线段之间有哪些等量关系?与同伴进行交流.【教师活动】为帮助学生更好地解决问题,教师出示下面的图形,帮助学生进行分析.【学生活动】学生仔细观察,找出图中相等的线段后,与同伴交流,统一答案.代表发言:∵四边形ABCD为圆外切四边形,根据切线长定理可得:AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH.【问题】但是原图中并没有E,F,G,H四个点,显然题目的原意并不是要得出上面的四组线段相等,你还能得出线段之间的相等关系吗?【师生活动】学生分组讨论,教师巡视并参与到学生的讨论当中去,对感觉有难度的学生及时进行点拨、指正.每组的代表把得到的结论写在黑板上,统一学生的答案,教师找学生说明理由.证明:∵AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH,∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=(AH+DH)+(BF+CF)=AD+BC,即AB+CD=AD+BC.【教师点评】切线长定理推论2:圆的外切四边形的两组对边之和相等.[设计意图]通过探究,使学生对切线长定理有了更深刻的理解,同时利用切线长定理的拓展也如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=24,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,求☉O的半径.思路一〔解析〕由AC,BC的值利用勾股定理可以求出AB的长度.根据“见切点连半径”作出辅助线,可以得出四边形OECF是正方形.然后利用切线长定理可以列出以☉O半径为未知数的方程,解方程得出半径.解:连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF,设OD=r.在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,∴AB===26.∵☉O分别与AB,BC,CA相切于点D,E,F,∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF.又∵∠C=90°,∴四边形OECF为正方形.∴CE=CF=r.∴BE=24-r,AF=10-r.∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r.而AB=26,∴34-2r=26.∴r=4,即☉O的半径为4.思路二〔解析〕由AC,BC的值利用勾股定理可以求出AB的长度.根据“见切点连半径”作出辅助线,利用“△ABC的面积=△ABO的面积+△BCO的面积+△ACO的面积”,列出以☉O半径为未知数的方程.解:设OD=r,分别连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,∴AB===26.∵S△ABC =S△ABO+S△BCO+S△ACO,∴×10×24=×26×r+×24×r+×10×r,解得r=4.即☉O的半径为4.[设计意图]本节课的例题设计紧扣这堂课的知识点,通过对例题的解答,既巩固了本节课的重点,又培养了学生灵活应用切线长定理的能力.1.切线长概念.2.切线长定理.3.切线长定理的两个推论.1.如图所示,PA切☉O于A,PB切☉O于B,OP交☉O于C,下列结论中错误的是()A.∠1=∠2B.PA=PBC.AB⊥OPD.PA2=PC·PO解析:由切线长定理可判断出A,B选项均正确.易知△ABP是等腰三角形,根据等腰三角形三线合一的特点,可求出AB⊥OP,故C正确.故选D.2.如图所示,△MBC中,∠B=90°,∠C=60°,MB=2,点A在MB上,以AB为直径作☉O与MC相切于点D,则CD的长为()A.B. C.2 D.3解析:在Rt△BCM中,tan60°==,∴BC==2,∵AB为☉O的直径,且AB⊥BC,∴BC为圆O的切线,又CD也为☉O的切线,∴CD=BC=2.故选C.3.如图所示,☉O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的长为.解析:∵AB,AC,BC都是☉O的切线,∴AD=AE,BD=BF,CE=CF,∵AB=4,AC=5,AD=1,∴AE=1,BD=BF=3,CE=CF=4,∴BC=BF+CF=3+4=7.故填7.4.如图所示,PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C,☉O的半径为6cm,OP的长为10cm,则△PDE的周长是.解析:连接OA.∵PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C点,∴BD=CD,CE=AE,PA=PB,OA⊥AP.在直角三角形OAP 中,根据勾股定理,得AP=8,∴△PDE的周长为2AP=16.故填16cm.5.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B,连接PO与☉O相交于C,连接AC,BC,求证AC=BC.证明:∵PA,PB分别切☉O于A,B,∴PA=PB,∠APC=∠BPC.又∵PC=PC,∴△APC≌△BPC.∴AC=BC.7切线长定理1.切线长概念:过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.2.切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.一、教材作业【必做题】1.教材第95页随堂练习.2.教材第96页习题3.9第1,2,3题.【选做题】教材第96页习题3.9第4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠P=60°,PA=2,那么AB的长为()A.1B.2C.3D.42.如图所示,圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于()A.15cmB.20cmC.30cmD.60cm3.如图所示,P为☉O的直径BA延长线上的一点,PC与☉O相切,切点为C,点D是☉上一点,连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论:①PD与☉O相切;②四边形PCBD是菱形;③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为个.4.如图所示,☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90°,∠A,∠B,∠C所对的边长依次为3,4,5,则☉O的半径是.【能力提升】5.(2014·内江中考)如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E,则AD为()A.2.5B.1.6C.1.5D.16.(2014·宜宾中考)如图所示,已知AB为☉O的直径,AB=2,AD和BE是☉O的两条切线,A,B为切点,过圆上一点C作☉O的切线CF,分别交AD,BE于点M,N,连接AC,CB,若∠ABC=30°,则AM=.7.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,分别交PA,PB于点D,C.若PA,PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根,求△PCD的周长.8.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.☉O分别内切Rt△ABC的三边AB,BC,CA于D,E,F,半径r=2.求△ABC的周长.【拓展探究】9.(2014·聊城中考)如图所示,AB,AC分别是半圆O的直径和弦,OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线AP,AP与OD的延长线交于点P.连接PC并延长,与AB的延长线交于点F.(1)求证PC是半圆O的切线;(2)若∠CAB=30°,AB=10,求线段BF的长.【答案与解析】1.B(解析:∵PA,PB分别切☉O于A,B,∴PA=PB.∵∠P=60°,∴△PAB是等边三角形.∴AB=PA=2.故选B.)2.D(解析:根据梯形的中位线等于两底和的一半,得梯形的两底和等于梯形的中位线的2倍,即30cm.根据圆外切四边形的两组对边和相等,得梯形的两腰的和等于两底和,即30cm.则梯形的周长等于30+30=60(cm).故选D.)3.4(解析:①连接OC,OD,利用切线的性质得出∠PCO=90°,进而得出△PCO≌△PDO(SSS),即可得出∠PCO=∠PDO=90°,得出答案正确;②利用①所求得出:∠CPB=∠BPD,进而求出△CPB≌△DPB(SAS),即可得出答案正确;③利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA(ASA),进而得出CO=PO=AB,即可得出答案正确;④利用四边形PCBD是菱形,∠CPO=30°,且DP=DB,则∠DPB=∠DBP=30°,即可得出答案正确.)4.2(解析:如图所示,设切点分别为D,E,F,连接OD,OE,∵☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,∴AF=AD,BE=BF,CE=CD,OD⊥AD,OE⊥BC,∵∠ACB=90°,∴四边形ODCE是正方形,设OD=r,则CD=CE=r,∵BC=3,∴BE=BF=3-r,∵AB=5,AC=4,∴AF=AB+BF=5+3-r,AD=AC+CD=4+r,∴5+3-r=4+r,r=2,则☉O 的半径是2.)5.B(解析:连接OD,OE,设AD=x,∵半圆分别与AC,BC相切,∴∠CDO=∠CEO=90°,∵∠C=90°,∴四边形ODCE是矩形,∴OD=CE,OE=CD,∴CD=CE=OE=OD=4-x,BE=6-(4-x)=x+2,∵∠AOD+∠A=90°,∠AOD+∠BOE=90°,∴∠A=∠BOE,∴△AOD∽△OBE,∴=,∴=,解得x=1.6.故选B.)6.(解析:连接OM,OC,∵OB=OC,且∠ABC=30°,∴∠BCO=∠ABC=30°,∵∠AOC为△BOC的外角,∴∠AOC=2∠ABC=60°,∵MA,MC分别为☉O的切线,∴MA=MC,且∠MAO=∠MCO=90°,在Rt△AOM和Rt△COM中,MA=MC,OM=OM,∴Rt△AOM≌Rt△COM(HL),∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°,在Rt△AOM中,OA=AB=1,∠AOM=30°,∴tan30°=,即=,∴AM=.)7.解:∵PA,PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根,∴PA+PB=m,PA·PB=m-1,∵PA,PB切☉O于A,B两点,∴PA=PB=,即·=m-1,即m2-4m+4=0,解得m=2,∴PA=PB=1,∵PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,∴AD=ED,BC=EC,∴△PCD的周长为PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2.8.解:根据切线长定理,得BD=BE,CE=CF,AD=AF.如图所示,连接OE,OF,则OE⊥BC,OF⊥AC,∴四边形OECF 是矩形,又∵OE=OF,∴矩形OECF是正方形,∴CE=CF=r=2.又∵BC=5,∴BE=BD=3.设AF=AD=x,根据勾股定理,得(x+2)2+25=(x+3)2,解得x=10.则AC=12,AB=13.即△ABC的周长是5+12+13=30.9.(1)证明:如图,连接OC,∵OD⊥AC,OD经过圆心O,∴AD=CD,又在Rt△PAD和Rt△PCD中,PD=PD,∴PA=PC,在△OAP和△OCP中,OA=OC,PA=PC,OP=OP,∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP=∠OAP,∵PA是☉O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°,即OC⊥PC,∴PC是☉O的切线.(2)解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵∠CAB=30°,∴∠COF=60°,∵PC是半圆O的切线,AB=10,∴OC⊥PF,OC=OB=AB=5,∴OF===10.∴BF=OF-OB=5.本课依然采用自主探究与小组合作结合的学习方式,对课程内容提出问题后先让学生独立完成,然后在小组内交流并整理所获得的信息内容,最后在课堂上展示组内成果,从而调动学生学习的积极性.在探究过程中要积极引导学生进行操作、观察、归纳、推理等活动,鼓励学生动手、动脑和动口,使学生经历知识的探索过程,并让他们在学习活动中体会到成功的喜悦,从而使教学目标落实到位.讲解例题时,增加了一种解题思路,所以只注意了优等生的课堂反映情况,对后进生的关注不够,造成了有的学生掌握得不好.在教学中不要只强调结论,要特别关注学生的动手操作过程,关注他们互相交流的过程,看学生是否能积极地投入到数学活动中去,要多加鼓励,提高他们学习数学的兴趣.随堂练习(教材第95页)解:如图所示,连接OA,OB.因为PA为☉O的切线,所以OA⊥PA,即∠OAP=90°.因为OA=3,PO=6,所以PA==3.同理可得PB=3.习题3.9(教材第96页)1.解:∵PA与PB分别切☉O于A,B两点,DE切☉O于C,∴PA=PB=5cm,DA=DC,EC=EB,∴△PDE的周长=PD+PE+DC+EC=PD+DA+PE+EB=PA+PB=10cm.2.解:设AF=x,∵△ABC的内切圆☉O与三边分别相切于D,E,F三点,AB=9,BC=14,CA=13,∴AE=AF=x,BF=BD=AB-AF=9-x,CE=CD=AC-AE=13-x,∵BD+CD=BC,∴9-x+13-x=14,解得x=4,∴AF=4,BD=5,CE=9.3.解:∵PA与PB分别切☉O于A,B两点,∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA,∵∠P=40°,∴∠PAB=∠PBA=70°.∵AD=BE,BD=AF,∴△FAD≌△DBE.∴∠ADF=∠BED.∵∠BED+∠BDE=180°-70°=110°,∴∠ADF+∠BDE=110°.∴∠EDF=180°-(∠ADF+∠BDE)=70°.4.解:存在内切圆.连接AC,作∠ABC的平分线,交AC于点O,点O即为四边形ABCD的内切圆的圆心.过点O分别作BC,AB的垂线,垂足分别为E,F.可得四边形OEBF为正方形,OE即为☉O的半径.由△OEC∽△ABC得=,即=,解得OE=,即内切圆的半径为.1.让学生通过动手操作逐步感知切线长的概念、定理、定理的证明、定理的应用的过程,再次体会探究新知的一般过程.2.由于本节课的知识点比较少,所以通过自主探究和合作交流学生基本上可以掌握本节课的重点内容.3.对于圆的外切四边形的性质的探究则可以利用切线长定理进行类比延伸.4.切线长定理的辅助线作法——“见切点连半径”,也要求学生要重点掌握.如图所示,若△ABC的三边长分别为AB=9,BC=5,CA=6,△ABC的内切圆☉O分别切AB,BC,AC于D,E,F,求AF的长.〔解析〕由切线长定理可知AF=AD,CF=CE,BE=BD,设AF=x,然后表示出BD,CF的长,即可表示出BE,CE的长,根据BE+CE=5,可求出AF的长.解:设AF=x,根据切线长定理得AD=x,BD=BE=9-x,CE=CF=6-x,则有9-x+6-x=5,解得x=5,即AF的长为5.[解题策略]此题主要是运用了切线长定理,用已知数和未知数表示所有的切线长,再进一步列方程求解.。
第3章3.7切线长定理(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)
2.教学难点
（1）切线长定理的证明过程：学生对几何证明的逻辑推理能力要求较高，理解切线长定理的证明过程可能存在困难。
-突破方法：采用直观图形和动画演示，逐步引导学生通过观察和思考，理解证明的每一步逻辑。
（2）切线长定理在复杂图形中的应用：在实际问题中，圆与其他几何图形结合，学生可能难以识别和运用切线长定理。
-突破方法：提供解题思路和方法，如先找切点、再利用定理等，通过分步骤解析，帮助学生建立解题框架。
本节课的教学难点与重点是密切相关的，教师需在教学过程中针对重点内容进行详细讲解和反复强调，同时针对难点内容采取有效方法，帮助学生克服困难，确保学生对切线长定理的理解和应用能力得到全面提升。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
2.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调切线长定理的证明和应用这两个重点。对于难点部分，如证明过程中的逻辑推理，我会通过逐步引导和举例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和圆规来实际作图，演示切线长定理的基本原理。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第3章3.7切线长定理（教案）2023-2024学年九年级下册数学（教案）(北师大版)
【精】北师大版九年级数学下册3.7切线长定理教学设计
（两圆为同心圆， 线段所在直线和小圆相切 ）[在 一转，步入正题时，他
这两问中，如果学生想不到球的整体时，这个圆可以
们的兴致也随之而来，
不提 ]
带着强烈的好奇心思考
线段的两个端点 和小圆的位置关系怎样？（ 一个 老师提出的问题。
是切点在小圆上，一个在小圆外 ）
此时教师又引导学
我们可以看出，球与手的距离就决定于这条线段
培养学 生合情推理 能力、语言 表达能力。
教学 过程
二、 合乎 情理 探索 发现
教 学 内容
（二）、切线长定理：
1、探索问题 1：从⊙ O外一点 P 引⊙ O的两条切线，
切点分别为 A、B，那么线段 PA和 PB之间有何关系？
探索步骤：
（ 1）根据条件画出图形；
（ 2）度量线段 PA和 PB的长度；
（ 3）猜想：线段 PA和 PB之间的关系；
（ 4）寻找证明猜想的途径；
（ 5）在图 3 中还能得出哪些结论？并把它们归类。
（ 6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长
的性质？请说明理由。
由（ 5）得：
A
线段相等： PA=PB；
《切线长定理》教案
课 题： 切线长定理 一、教材分析： 1、教学内容： 切线长定义和切线长定理 2、教学目标： （ 1）、知识技能目标：了解 切线长的定义， 掌握 切线长定理，并利用它进行有关的计 算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何 题。 （ 2）、数学思考目标：经历 画图、度量、猜想、证明等数学活动过程， 发展 合情推理 能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。 （ 3）、解决问题目标： 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的 知识和技能解决问题，发展应用意识。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略 的多样性，发展实践能力与创新精神。 （ 4）、情感与态度目标： 了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活 动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 3、教学重点： 理解切线长定理 4、教学难点： 应用切线长定理解决问题 二、教学方法： 教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。利用“问题情境——建立数学模型——解 释、应用、拓展”的模式进行教学。本节课是概念、定理、解题的教学，因此，要利用概 念模式元、定理教学模式元、解题教学模式元的有机组合，完成本节课的教学。 三、教学手段 为了提高课堂教学效率，激发学生学习兴趣，培养学生空间想象力，本节课采用的是 直观教学手段，充分利用多媒体和自制教具的演示使数学知识形象化，便于学生理解和掌 握。 教 具： 多媒体计算机、自制圆半径测量仪、悠悠球 学 具： 刻度尺 2 把、量角器、圆规、水杯、强力胶 四、教学指导思想： 突出体现基础性、普及性、发展性，使教学面向全体学生，实现： ——人人学有价值的数学； ——人人都能获得必需的数学； ——不同的人在数学上得到不同的发展。 学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。教学过程是师 生交往互动的过程，在这一过程中，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事 数学活动的机会，帮助他们在动手实践、自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基 本的数学知识与技能、 数学思想和方法， 使学生的学习过程生动活泼、 主动而且富有个性。 五、教学实施过程：
北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章3.7《切线长定理》的内容是在学生掌握了直线与圆的位置关系、圆的方程等知识的基础上，进一步研究圆的切线性质。
本节内容主要介绍了切线长定理，即从圆外一点引出两条切线，分别与圆相交，那么这两条切线的长度相等。
教材通过例题和练习题，使学生掌握切线长定理的应用，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直线、圆的基本知识，对几何图形的认识有一定的基础。
但是，对于切线长定理的理解和应用，还需要通过实例和练习来进一步巩固。
学生在学习过程中，需要充分调动已有的知识储备，进行逻辑推理和空间想象，从而掌握切线长定理。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，掌握切线长定理的证明过程。
2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和几何思维。
四. 教学重难点1.重点：切线长定理的理解和应用。
2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过问题引导，激发学生的思考；通过案例分析，使学生理解并掌握切线长定理；通过小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：内容包括切线长定理的定义、证明过程和应用实例。
2.练习题：包括基础题和拓展题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：直尺、圆规、三角板等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个生活中的实例：在圆形操场跑步时，从同一点出发，沿两条不同的路径跑完全程，问两条路径的长度是否相等？引发学生的思考，引出本节课的内容——切线长定理。
2.呈现（15分钟）讲解切线长定理的定义和证明过程。
通过PPT展示切线长定理的图形，引导学生观察、思考，然后给出证明过程。
在此过程中，强调切线长定理的关键点：圆外一点引出两条切线，分别与圆相交，这两条切线的长度相等。
+3.7切线长定理++课件+-2023-2024学年北师大版数学九年级下册
解：（1）由切线长定理知,PA=PB,EA=ED,FD=FB,
∴PE+ED=PE+EA=PA=15,
PF+FD=PF+FB=PB=15,
∴C△PEF=PE+EF+PF
=PF+ED+PF+FD=30cm (2)∵∠P=50,∴∠PEF+∠PFE=180°-50°=130°,
PD
O
∴∠AEF+∠BFE=180°×2-130°=230°
注意：过圆外任意一点都可以引圆的两条切线；过圆上一点只能引圆的一条切线。
【解决问题】
如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，
B，D．若PA＝15 cm，
（1）PB= cm.
（2）若∠AEF＝120°，则∠FEO= .
（3）△PEF的周长是
cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF= .
A E
PD
O
(2)∵EA，EP是☉O的切线，
∴∠AEO＝∠FEO. ∴∠FEO＝60°.
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O
于点A，B，D．若PA＝15 cm，
（3）△PEF的周长是
cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF= .
A E
PD
O
FB
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O 于点A，B，D．若PA＝15 cm， （3）△PEF的周长是 30 cm. （4）若∠P＝50°，则∠EOF= 65° .
边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3cm，
A
∴半径r的取值范围为0＜r≤3cm.
D
·O
C
3.7切线长定理学案
本溪县第二中学九年数学下学案九年备课组 3.7切线长定理一、学习目标：1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。
二、学习过程：（一）复习导入：(时间：2分钟)1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？（二）新课探究：1.探究切线长的定义：（自学提示：学生独立完成，并填空。
时间：3分钟） 如下图，过⊙O 外一点P ，画出⊙O 的所有切线。
P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2. 探究切线与切线长的区别和联系：（自学提示：学生独立填写，小组交流指3.探究切线长定理：自学提示：（阅读教材94页完成订立的证明，时间：10分钟）如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明。
签批 ： 2016年3月8日切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。
该定理用数学符号语言叙述为：∵∴三、当堂训练：时间：20分钟）1.如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切，切点为点与AB 、AC 的延长线相切，切点分别为店E 、F ，则图中相等的线段有_______________________________________________________。
2. 从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则从这点到圆的最短距离为________。
3. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=70°。
则∠P=________。
4、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，PA=PB=4cm ，∠P=40°，C 是劣弧AB 上任意一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 与点D 、E ，试求：（1）△PDE 的周长；（2）∠DOE 的度数。
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第三章§3.7 切线长定理
目标1. 使学生理解切线长.
2. 使学生掌握切线长定理，并能初步运用.
合作探究1，过圆外一点画圆的切线，你能画几条？试试看。
2、探索问题：从⊙O外一点P画⊙O的两条切线，切点分别
为A、B，
（1）这个图形是轴对称图形吗？
（2）你能找出图中的相等关系吗？说明理由。
（3）切线长概念：
（4）切线长定理：过圆外一点画圆的条切线，它们的切线长，圆心和这一点的连线两条切线的夹角。
已知：
求证;
证明：
用符号语言表示定理
（5），如图3-28，已知⊙O的半径为3 cm，点P和圆心O的距离为6 cm.过点P画⊙O的
两条切线，这两条切线的切线长cm。
3，探究为了测量一个光盘的直径，小明把直尺，
光盘和三角尺按图示放置于桌面，量出A P=5cm,
这张光盘的直径是cm,
P
A
B
O
1，已知四边形ABCD 的四条边都与⊙O 切线，图中的线段之间有哪些等量关系？说明理由
2，已知如图，Rt △ABC 的两条直角边AC =10 cm ，BC =24 cm ，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F ，求⊙O 的半径.
3,如图，PA 和PB 是圆O 的两条切线，A ，B 为切点，∠P=40°，点D 在AB 上，点E 和点F
分别在PA 和PB 上，且AD=BE ，BD=AF ，求∠EDF 的度数
4,小结，
这节课你学到了什么内容？你还想知道什么？
5，作业习题 2.3.4题
图9
O
D
C
B
A
?? 1 ?
A
F
B
D
E O
C。