专题02 求轨迹方程问题(第五篇)(原卷版)

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第五篇 解析几何

专题02 求轨迹方程问题

【典例1】【湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期期末考试】已知点()0,1F ，点

()(),0A x y y ≥为曲线C 上的动点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，满足1AF AB +＝．

（1）求曲线C 的方程；

（2）直线l 与曲线C 交于两不同点P ，Q （非原点），过P ，Q 两点分别作曲线C 的切线，两切线的交点为M ．设线段PQ 的中点为N ，若FM FN ＝，求直线l 的斜率．

【典例2】【广东省梅州市2020届质检】已知过定点(1,0)N 的动圆是P 与圆2

2

:(1)8M x y ++=相内切. （1）求动圆圆心P 的轨迹方程；

（2）设动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，,A B 是曲线C 上的两点，线段AB 的垂直平分线过点1

(0,)2

D ，求

OAB ∆面积的最大值（O 是坐标原点）.

【典例3】【山东省济宁市2019届高三二模】在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆F 1：(x +√3)2+y 2=16上的动点，定点F 2(√3,0)，线段PF 2的垂直平分线交PF 1于Q ，记Q 点的轨迹为E . （Ⅰ）求轨迹E 的方程；

（Ⅰ）若动直线l ：y =kx +m(k ≠0)与轨迹E 交于不同的两点M 、N ，点A 在轨迹E 上，且四边形OMAN 为平行四边形.证明：四边形OMAN 的面积为定值.

【典例4】【东北三省四市2019届高三第一次模拟】已知椭圆C ：221189

x y +=的短轴端点为1B ，2B ，

点M 是椭圆C 上的动点，且不与1B ，2B 重合，点N 满足11NB MB ⊥，22NB MB ⊥.

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（Ⅰ）求动点N 的轨迹方程； （Ⅰ）求四边形21MB NB 面积的最大值.

1. 【广东省广州市2019届高三第二次模拟】从抛物线2

36y x =上任意一点P 向x 轴作垂线段，垂足为Q ，

点M 是线段PQ 上的一点，且满足2PM MQ = (1)求点M 的轨迹C 的方程；

(2)设直线)1(x my m R =+∈与轨迹c 交于A B ，两点，T 为C 上异于A B ，的任意一点，直线AT ，BT 分别与直线1x =-交于D E ，两点，以DE 为直径的圆是否过x

轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．

2. 【陕西省咸阳市2020届高三模拟考试】已知圆22(16x y +

+=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点N ，线段PN 的垂直平分线交PM 于G 点. （I ）求点G 的轨迹C 的方程；

（Ⅰ）过点(4,0)T 作斜率不为0的直线l 与（I ）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求QT . 【思路引导】

（1）利用待定系数法求出点G 在以M 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆上，点G 的轨迹C 的方程为

22

142

x y

+=．

（2）先求出点Q 的坐标，再利用两点间的距离公式求QT ．

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3. 【陕西省延安市2019届高考模拟】

已知两直线方程1:l y x =

与2:l y x =，点A 在1l 上运动，点B 在2l 上运动，且线段AB

的长为定值 （Ⅰ）求线段AB 的中点C 的轨迹方程；

（Ⅰ）设直线1:l y kx m =+与点C 的轨迹相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若5

4

OM ON k k ⋅=

，求原点O 的直线l 的距离的取值范围.

4. 【江西省南昌市2020届模拟】如图，已知圆1F 的方程为2

2

49

(1)8

x y ++=

，圆2F 的方程为221

(1)8

x y -+=

，若动圆M 与圆1F 内切与圆2F 外切．

()1求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；

()2过直线2x =上的点Q 作圆22:2O x y +=的两条切线，设切点分别是,M N ，若直线MN 与轨迹C 交

于,E F 两点，求EF 的最小值．