例析弹性势能的考查方式

例析弹性势能的考查方式

李琴

江苏省黄埭中学 江苏苏州 215143

《考试大纲》并不要求掌握弹簧弹性势能的计算公式，更不要求用弹性势能的公式去计算有关问题，但是弹性势能仍然是高考重要的考点，如何考、用什么方式考都是师生需要关注的问题。本文对历年高考和模拟中出现的对弹性势能的考查进行总结归纳，旨在解码考查方式，研究命题思想。

一、能量转换考查弹性势能大小

弹簧弹性势能的大小等于物体克服弹簧弹力做功的大小，即W E P -=。所以题中所涉及弹性势能的求解首选的处理方法就是运用动能定理或者功能关系求解。

【例1】（2014·江西模拟）如图1所示，倾角为θ的固定斜面的底端有一挡板M ，轻弹簧的下端固定在挡板M 上，在自然长度下，弹簧的上端在O 位置。质量为m

的物块A （可视为质点）从P 点以初速度v 0沿斜面向下运动，PO ＝x 0，物块A 与弹簧接触后将弹簧上端压到O ＇点位置，然后A 被弹簧弹回。A 离开弹簧后，恰好能回到P 点。已知A 与斜面间

的动摩擦因数为μ，重力加速度用g 表示。求： （1）物块A 运动到O 点的速度大小；

（2）O 点和O ＇点间的距离x 1； （3）在压缩过程中弹簧具有的最大弹性势能E P 。 【解析】（1）A 从P 点运动到O 点，只有重力和摩擦力做功，

由动能定理可知：

20202

121)cos sin (mv mv x mg mg -=-θμθ，解得)cos (sin 2020θμθ-+=gx v v 。 （2）A 从P 点向下运动再向上运动回到P 点的全过程中，根据动能定理：

20102

10)(cos mv x x mg -=+-θμ，解得20201cos 4x g v x -=θμ。 （3）A 从O ′运动到P 点的过程中，根据功能关系))(cos sin (10x x mg mg E P ++=θμ，解得

)1tan 1(4120+=θμ

mv E P 。 【答案】（1）)cos (sin 2020

θμθ-+=gx v v ；（2）20201cos 4x g v x -=θμ；（3）)1tan 1(4120+=θμmv E P 。 【点评】本题第（2）问中求出了弹簧的最大型变量，但是对于弹性势能的求解不应该运用弹性势能与型变量的关系式22

1kx E P =求解，因为弹性势能的表达式在《考试大纲》中不作要求，所以出题者会避开这个考点。一般情况下都是运动动能定理或者功能关系求解。

二、等量置换考查弹性势能

【例2】（原创）如图2所示，质量为m 的物块A 从弹簧的正上方O 点自由释放压缩弹簧到最低点P ，OP 的距离为h ．当用另一质量为m +m 0的物块B 也从O 点自由释放压缩弹簧到同一点P 时的速度为多少？

【解析】物块B 运动到P 点的过程中，运用功能关系200)(21)(v m m E gh m m p ++=+，要想求出v ，应该先求弹簧的弹性势能E p ，可以发现物块A 的重力做功全部转化为弹簧的弹性势能，p E mgh =。而两次弹簧压缩量相同，弹性势能相同，联立得0

02m m gh m v +=。 【答案】0

02m m gh m v +=。 【点评】本题不需要弹性势能的表达式，也不需要弹簧具体的型变量，运用前后两次弹簧的相同压缩

图2 P

图1

量、相同弹性势能最为联系的纽带联立处理问题是解题的关键。

三、半定量研究弹性势能

【例3】如图3所示，光滑半圆形轨道半径为R ，水平面粗糙，弹簧自由端D 与轨道最低点C 距离为4R ，一质量为m 的可视为质点的小物块自圆轨道中点B

由静止释放，压缩弹簧后被弹回到D 点恰好静止。已知

物块与水平面的动摩擦因数为0.2，重力加速度为g ，弹

簧始终处在弹性限度内，求： （1）弹簧的最大压缩量和最大弹性势能

（2）现把D 点右侧水平地面打磨光滑，且已知弹簧

压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，使小物块压缩弹簧，释放后能通过半圆轨道最高点A ，压缩量至少是多少?

【解析】（1）物块从B 点运动到D 点后压缩弹簧后又回到D 点的过程中，假设弹簧的最大压缩量为x 0，根据动能定理00)24(0-=+-x R mg mgR μ，可得R x 5.00=。

弹簧从被压缩到最短到恢复原长的过程中，弹性势能完全转化为克服摩擦力做功，即mgR mgx E P 1.00==μ。

（2）当物块运动到最高点时，其最小的速度满足R

v m mg A 2

=，得gR v A =。物块从初始位置运动到A 点的过程中，根据功能关系212124A P mv R mg R mg E ++=μ，解得mgR E P 3.31=。 根据“已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比”这句话得出弹性势能与型变量的半定性关系2kx E P =（k 为比例系数，不表示弹簧的劲度系数）。根据mgR R k E P 1.0)5.0(2==得出R mg k 4.0=

，将其代入2113.3kx mgR E P ==得R x 2

331=。 【点评】第（1）问中弹性势能的求解仍然涉及能量转换方法求解。第（2）问虽然涉及到弹性势能与型变量的关系，但是题中给出了两者的半定量关系，两者关系的比例系数也可以在两个势能表达式的对比中消除。

四、科学探究弹性势能的表达式

【例4】（2013苏州模拟）如图4所示，劲度系数k ＝100N /m 的一根轻质弹簧，右端固定在竖直墙壁上，左端连接一质量m ＝1.0kg 的小物块，开始时弹簧处于原

长，小物块静止于O 点，现将小物块缓慢向左拉动至A 点后释

放，让小物块沿水平面向右运动起来，已知OA 长度L ＝0.25m ，

小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.1，最大静摩擦力可看成

等于滑动摩擦力的大小，g 取10m/s 2． （1）作出小物块在由O 移动到A 的过程中，弹簧弹力F

随伸长量x 变化的F -x 图象，类比于由v -t 图象求位移的方法，求此过程中克服弹簧弹力做的功W ；

（2）求小物块从A 点向右运动过程中的最大速度v ； （3）求小物块从A 点开始运动后，第一次到达最右端时，弹簧的

形变量；

（4）求小物块从A 点开始运动直至静止的总路程． 【解析】（1）根据胡克定律可知，弹簧弹力F 与伸长量x 的关系为：

F ＝kx ＝100x ，其中0≤x ≤0.25m 。其F -x 图象如图5所示。在F -x 图象中

图线与x 轴所围的面积即表示了此过程中克服弹簧弹力做的功，有

图

4

B 图3

图5