《圆的对称性》

第三章圆
《圆的对称性》教学设计说明
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用.
二、教学任务分析
知识与技能
通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理.
过程与方法
通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力.
情感态度与价值观
（1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣．（2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐．
（3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．
教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
三、教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：认识圆的对称性（轴对称图形，中心对称图形）、认识圆心角的概念、探索圆心角，弦，弧的关系、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业.
数学活动一：认识圆的对称性
提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？
提问二：圆是对称图形吗？
（1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证
圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴） 验证方法：折叠
（2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？ 同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?
现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?
通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形.对称中心为圆心． 数学活动二：了解圆心角的定义
如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
数学活动三、探索圆心角定理
尝试与交流．按下面的步骤做一做：
1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O 和⊙O ′，沿圆周分别将两圆剪下．
2．在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′ (如下图示)，圆心固定．注意：∠AOB 和∠A ′O ′B ′时，要使OB 相对于0A 的方向与O ′B ′相对于O ′A ′的方向一致，否则当OA 与O ′A ′重合时，OB 与O ′B ′不能重合．
3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．
教师叙述步骤，同学们一起动手操作．
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．
结论可能有：
1．由已知条件可知∠AOB=∠A ′O ′B ′．
2．由两圆的半径相等，可以得到∠OBA=∠O ′B ′A ′=∠OAB 和∠O ′A ′B ′．
3．由△AOB ≌△A ′O ′B ′可得到AB ＝A ′B ′．
4．由旋转法可知AB =''A B
刚才到的AB =''A B 理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA 与O ′A ′重合时，由于∠AOB=∠A ′O ′B ′．这样便得到半径OB 与O ′B ′重合．因为点A 和点A ′重合，点B 和点B ′重合，所以AB 和A ′B ′重合，弦AB 与弦A ′B ′重合，即AB ＝A ′B ′． 在上述操作过程中，你会得出什么结论?
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． A
A'
这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．
(通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．
如下图示.虽然∠AOB=∠A ′O ′B ′，但AB ≠A ′B ′AB ≠''A B
下面我们共同想一想．
在同圆或等圆中 弧相等
相等的圆心角
如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注意：
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．
（2）此定理中的“弧”一般指劣弧．
（3）要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”等等．
例题： 如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 的一点，且AD CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？
（过程见课本）
（补充例题）
例．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ． A
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？•为什么？∠AOB与∠COD呢？
D
分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt•△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到=
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=1
2
AB，CF=
1
2
CD∴AE=CF
又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，AB=CD，∠AOB=∠COD
理由是：∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=1
2
AB，CF=
1
2
CD∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD ∴AB=CD，∠AOB=∠COD
课时小结
通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳)
利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦之间相等关系定理
AB CD
四、教学反思
本节课的教学策略是通过教师引导，让学生观察、思考、交流合作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态课件及引导，让学生感受圆的旋转不变性，并能运用圆的对称性研究圆中的圆心角、弧、弦间的关系定理.同时注重培养学生的探索能力和简单的逻辑推理能力.体验数学的生活性、趣味性，激发他们的学习兴趣.
（1）情景引入中运用媒体形象直观的展现了圆心角、弧、弦之间的关系，激发学生的学习兴趣，并让学生体会到数学对称之美
（2）在探究圆的旋转不变性和探究圆心角、弧、弦之间的关系定理时，教师应用白板的旋转功能让学生观察——猜想——证明——归纳的数学过程，让学生既轻松又形象直观地获得了新知.
总的来说，本节课中应充分将课堂还给学生，把数学的课堂变成了数学探讨的课堂，学生探究的课堂，让学生体验到数学的美.。