相似三角形比例线段及判定

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（3）E 点能否为 BC 的中点？如果能，求出相应的 m 的值；如果不能，说明理由。 n
4、如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC＝3，P 为 BC 上一点，PE∥AB 交 AC 于 E，PF∥CD
交 BD 于 F，设 PE、PF 的长分别为 a 、 b ， x a b 。那么当点 P 在 BC 边上移动时， x 的值是否变化？若 变化，求出 x 的范围；若不变，求出 x 的值，并说明理由。
分析：要证 BD AB ，一般只要证 BD、DC 与 AB、AC 或 BD、AB 与 DC、AC 所在三角形相似，现在 DC AC
B、D、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 BD AB DC AC
中，AC 恰好是 BD、DC、AB 的第四比例项，所以考虑过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于 E，从而得到 BD、
CD、AB 的第四比例项 AE，这样，证明 BD AB 就可以转化为证 AE＝AC。 DC AC
证明：过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于 E
1 2
CE∥AD 2 3
∠E＝∠3
1 E
AE＝AC
E A
12 3
CE∥AD BD AB DC AE
∴ BD AB DC AC
B
AD DE AE 的错误。 DB BC EC
2、 相似三角形的基本图形 Ⅰ.平行线型：即 A 型和 X 型。 Ⅰ.相交线型
C D
B.
A
D
E A
A D
E
B
B
C
C
3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明 三角形相似及比例式或等积式。 4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着 k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 k。 6、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
【例 3】如图，在△ABC 中，P 为中线 AM 上任
A
一点，CP 的延长线交 AB 于
D，BP 的延长线交 AC 于 E，连结 DE。
（1）求证：DE∥BC；
（2）如图，在△ABC 中，DE∥BC，DC、BE 交
于 M，试问：M 是否为 BC 的中点？
B
解析：（1）延长 AM 至 Q，使 MQ＝MP
三、注意
1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三 角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。
AD DE AE 在利用定理证明时要注意 A 型图的比例 ，每个比的前项是同一个三
AB BC AC
角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成
bd ac
a c ad bc d c 或 a b
bd
ba cd
（比例基本定理）
合比性质： a b c d
b
d
a b
c d
m (b d n
n
0)
等比性质 :
a b
c d
m n
a b
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
线于 F。求证： PE PM PF PN 。 3、如图，在△ABC 中，AC＝BC，F 为底边 AB 上一点， AF m （ m 、 n ＞0），取 CF 的中点 D，连 BF n
结 AD，并延长交 BC 于 E。
（1）求 BE 的值； EC
（2）如果 BE＝2EC，那么 CF 所在的直线与边 AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论；
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
SAS
SSS
AAS（ASA）
HL
相似三角形 的判定
两边对应成
一条直角边
三边对应成 两角对应相
比例夹角相
与斜边对应
等
比例
等
成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识 并从中探究新知识掌握的方法。
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答案： 1 3
变式 1：已知 a c e 2 ，若 b 2d f 3 0 ，则 a 2c e 2 ＝
。
bd f 3
b 2d f 3
变式 2：已知 x : y : z 2 :1: 3 ，求 2x y 3z 的值。 x 2y
D
E
P
于 P，连结 AP 并延长交 BC
M
C
∵BM＝MC，∴四边形 BPCQ 是平行四边形
Q
例3图
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∴CD∥BQ，BE∥QC
∴ AD AP AE DB PQ EC
∴DE∥BC （2）过 B 作 BQ∥CD 交 AM 的延长线于 Q
∵DE∥BC，∴ AD AP AE DB PQ EC
＝4 cm，BC＝7 cm，求 BD 的长。
答案： 35 cm 9
评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练：
一、填空题：
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1、若 2m n 1 ，则 m ＝ n 3n
z＝
。
；若 x : y : z 2 : 4 : 7 ，且 3x y 2z 32 ，则 x ＝
2．若 3．若线 4．已
知： = = = , 则
=______，
=_________。
知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b-c=4, 则 4a+2b-3c=________。
B、DE＝2，BC＝6
C、DE＝3，BC＝5
D、DE＝2，BC＝8
3、如图，BD、CE 是△ABC 的中线，P、Q 分别是 BD、CE 的中点，则 PQ∶BC＝（ ）
A、1∶3
B、1∶4
C、1∶5
D、1∶6
4、如图， l1
∥ l2
，
AF
2 5
FB ，BC＝4CD，若
AE
kEC，则
k
＝（
）
A、 5 3
教师：
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龙文教育个性化辅导授课案 学生：_g__g__g_g_gg时gg间g:2g0g13g年angg月ang日ga时ng间纲
相似三角形知识点整理
重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 ☆内容提要☆ 一、本章的两套定理 第一套（比例的有关性质）：
6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
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(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这 两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2
B、2
C、 5 2
D、4
A
E
D
PQ
B
C
选择第 3 题图
GA
l1
F E
B
C D l2
选择第 4 题图
A
D K
E
B F HC
解答第 1 题图
三、解答题：
1、已知如图，AD＝DE＝EC，且 AB∥DF∥EH，AH 交 DF 于 K，求 DK 的值。 KF
2、如图，□ABCD 中，EF 交 AB 的延长线于 E，交 BC 于 M，交 AC 于 P，交 AD 于 N，交 CD 的延长
∴ AP AE ，∴BE∥QC PQ EC
∴四边形 BPCQ 是平行四边形 ∴M 是 BC 的中点 探索与创新： 【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如
图，△ABC 中，AD 是角平分线。求证： BD AB 。 DC AC
A G
E
F
E
A F
A EF
B
C
D
例2图4
B
D
C
变式 1 图
B
D
C
变式 2 图
变式 1：已知如图，D 是△ABC 的边 BC 的中点，且 AE 1 ，求 AF 的值。 BE 3 FC
变式 2：如图，BD∶DC＝5∶3，E 为 AD 的中点，求 BE∶EF 的值。
答案：（1） 1 ；（2）13∶3； 3
【例 1】已知 x y z 0 ，那么 x y z ＝
。
345
x yz
分析：此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观
点求解，将已知条件转化为 x 3 z ， y 4 z ，代入所求式子即可得解；三是设“ k ”值法求解，这种方法对
5
5
于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧。
DC