轴对称问题的有限元分析
三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
建立每个有限元的平衡方程，通过求解这些方程来得到近似解。
离散化
将连续的问题离散化，将整个求解域划分为有限个小的子域（称为有限元），每个子域上定义节点。
有限元方法的基本原理
解方程
通过求解整体矩阵的方程，得到各个节点的值，从整体矩阵，用于表示整个求解域上的问题。
详细描述
三维弹性力学问题的有限元分析
总结词
详细描述了三维热传导问题有限元分析的基本原理、方法和应用。
详细描述
三维热传导问题是有限元分析的另一个重要领域，主要研究热量在物体中的传递和分布。通过将连续的物体离散化为有限个小的单元，可以建立单元之间的热量传递关系，从而得到整个物体的温度分布。这种方法广泛应用于工程领域，如传热学、热能工程等。
边界条件处理
轴对称问题的有限元方法
轴对称问题有限元分析的实现流程
建立系统方程
根据有限元近似解法，将微分方程转化为离散化的系统方程。
划分网格
根据问题的几何形状和特点，将求解区域划分为一系列离散的网格单元。
建立数学模型
根据实际问题，建立相应的数学模型，包括物理方程、边界条件和初始条件。
求解系统方程
采用适当的数值方法（如直接法、迭代法等），求解离散化的系统方程，得到每个离散单元上的近似解。
轴对称问题具有旋转对称性，即其解在绕对称轴旋转时保持不变。
轴对称问题的定义和特性
特性
定义
将连续的物理问题离散化为有限个离散的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
离散化
在每个离散单元上，使用近似函数来逼近真实解。常用的近似函数包括多项式、样条函数等。
近似解法
对于轴对称问题，边界条件通常与对称轴相关。需要对边界条件进行特殊处理，以确保离散化后的系统方程满足原始问题的约束。
三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意 空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作 用的回转体,这类问题经典弹性力学往往无能为力。在 FEM中，空间问题只要求0阶连续，因此构造单元方便
➢空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）分割的单元数量多，未知量的数目剧增。— ——— （对某些问题简化）——— ——— （轴对称问题） ➢空间分析的优点
p
s
C
(6-16)
e 1
e 1
式中
F e ——单元上集中力等效结点载荷列向量；
p
F e ——单元上表面力等效结点载荷列向量；
S
F e ——单元上体积力等效结点载荷列向量；
F e
——单元结点载荷列向量。
C
等效结点力公式为 Fe NTF p
式中
Fe SSeNTpSds
Fe VeNTpvdV
如同平面等参单元一样，需要通过雅克比矩阵来实现，由偏导法则
N i N xi x N yi y N zi z
同理可得
N i , N i
写成矩阵
Ni
x
y
z
Ni x
Ni x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
Ni
x
y
z
Ni z
ui vi wi
(6-18)
式中
xi、yi、zi——结点i的坐标； ui、vi、wi——结点i沿x、y、z方向的位移； Ni——对应于i结点的形状函数。
在自然坐标系（局部坐标系）中，各结点的形状函数可写成如
下形式， 对于8个顶角结点（ i＝1，2，……，8）
有限元分析及工程应用-2016第五章
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元 1）位移模式
qe ui wi u j wj uk wk T
与平面三角形单元相似，仍选取线 性位移模式，即：
u w
a1 a4
a2r a5r
aa36zz
u Niui N ju j Nkuk
,
A2
1 2 2(1 )
单元中除了剪应力外其 它应力分量也不是常量
在轴对称情况下，由虚功原理可推导出单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz 2 BT DBrdrdz
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元
2）单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz
Loads>Apply>Structural>Displacement>Symmetry B.C.>On Lines，用鼠标在图形窗口上拾取编号为“1”和“3”的线段 ，单击[OK]，就会在这两条线上显示一个“S”的标记，即 为对称约束条件。
(7)施加面力：Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines，用鼠标在图形 窗口上拾取编号为“4”，单击[OK] 在“VALUE Load PRES value”后面的输入框中输入“10”，然后单击[OK]即可
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（3）应用实例 (3)建立几何模型：
MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By Dimension，在出现的对话框中分别输入：X1=5，X2=10，Y1=0， Y2=20，单击[OK]。
第4章 空间问题有限元分析-轴对称
Re N T f p
FL e 2 r0 N T 62 f p 21
圆环 2 r0 Ni f pr Ni f pz N j f pr
N j f pz
Nm f pr
T
Nm f pz
r0 -- 集中力作用点的径向坐标。
2019/10/18
第4章 空间问题有限元分析 空间轴对称问题
曹国华
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
1
主要内容
§ 4.1位移模式 § 4.2几何方程 § 4.3单元刚度 § 4.4等效载荷
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
3
1、研究对象
当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外力都 轴对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题称为轴对 称应力分析问题，在工程中如 活塞，压力容器等 。
空间有限元分析-轴对称
12
几何方程与物理方程
PA线应变
0，（略去高阶小量）.
PB线应变
εφ
PB PB PB
(u
φ
uφ φ
d φ)
u
ρdφ
1 uφ ; ρ φ
PA转角
α
DA
uφ ρ
d
ρ
uφ
,
PA d ρ ρ
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
空间有限元分析-轴对称
28
等效载荷
r Niri N j rj Nmrm
2、体积力移置
FFGee 2 [N] f rdrdz
若体积力为重，则单位体积 的力为
f
＝－0
计算结构力学有限元方法_三维结构和轴对称
三维问题的有限元方法
空间问题
单元的应变
根据弹性力学基本公式，有应变：
∂
一维问题 二维问题
εx
=
∂u ∂x
∂
ε
x
∂x
εy = 0γΒιβλιοθήκη xy∂∂y∂x
三维问题 ε x
0
0
∂ u
∂y
v
∂
∂x
ε
y
εz
γ yz
γ
zx
=
0 0
γ xy
∂ ∂z
r, s = 1,2,3,4
四面体单元
∫∫∫ K
e rs
=
V BrT DBsdV ,
r, s = 1,2,3,4
Ke r,s
=
E(1− µ) 36(1+ µ)(1− 2µ)Ve
brbs + A2 (crcs + dr ds )
×
A1bscr + A2csbr
A1bsdr + A2dsbr
A1
=
µ 1- µ
四面体单元的
Pi = [Pix Piy Piz ]T , i = 1,2,3,4
节点载荷
∫ Pe = N T ρdx
单元节点载荷的计算公式,其中N 应为四面体单元的形函数
∂
0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂z 0 ∂
0
0
∂ ∂z ∂ ∂y
u
v
w
∂
∂x
0
统一形式：ε = ∇u
∂y ∂x
三维问题的有限元方法
单元的应力
根据弹性力学基本公式，有应力：σ = Dε 三维问题
1 −µ −µ 0
理论力学中的轴对称问题如何处理？
理论力学中的轴对称问题如何处理？在理论力学的广阔领域中，轴对称问题是一类具有重要意义和实际应用价值的研究对象。
轴对称问题常见于工程结构、机械设计以及许多物理现象的分析中。
理解和掌握如何处理这类问题，对于解决实际工程和科学中的力学难题至关重要。
首先，我们需要明确什么是轴对称问题。
简单来说，轴对称是指一个物体或系统绕着某一轴旋转一定角度后，与原来的形状完全重合。
在力学中，这意味着物体的几何形状、受力情况以及运动状态等在绕对称轴旋转时保持不变。
对于轴对称问题的处理，第一步通常是建立合适的坐标系。
由于轴对称的特性，选择柱坐标系往往是最为方便和直观的。
在柱坐标系中，我们有径向坐标 r、轴向坐标 z 和周向坐标φ 。
其中，周向坐标φ 在轴对称问题中通常不参与计算，因为物体在周向上的性质是相同的。
在确定了坐标系后，接下来就是对物体进行受力分析。
对于轴对称物体，其受力情况在绕对称轴旋转时也具有相应的对称性。
例如，如果受到的外力是集中力，那么这个力必然沿着对称轴或者在与对称轴垂直的平面内。
如果是分布力，比如压力、重力等，其分布规律也应该在轴对称的基础上进行考虑。
以一个简单的例子来说明，假设我们有一个轴对称的圆柱体，在其侧面受到均匀分布的压力。
在这种情况下，我们可以将这个分布压力等效为一个合力，这个合力的作用线必然通过圆柱体的轴线。
在处理轴对称问题时，运动学分析也是必不可少的环节。
对于旋转运动，我们需要考虑角速度、角加速度等参数。
由于轴对称的特点，角速度和角加速度在周向上的分量通常为零，只有轴向和径向的分量需要重点关注。
在动力学分析中，我们要运用牛顿第二定律来建立运动方程。
对于轴对称问题，由于受力和运动的对称性，方程往往会得到一定程度的简化。
例如，在考虑转动惯量时，由于轴对称性，只需要考虑轴向和径向的转动惯量分量。
材料力学性能在轴对称问题中也起着关键作用。
不同的材料在受力时的变形和应力分布规律不同。
对于常见的各向同性材料，其在轴对称条件下的应力应变关系可以通过相应的本构方程来描述。
空间与轴对称问题有限元分析课件
02
CATALOGUE
有限元分析基础
有限元分析的基本概念
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂 的物理系统离散化为有限个简单元（或称为元 素）的组合，以求解复杂系统的物理行为。
它基于变分原理和加权余量法，通过数学模型 将实际工程问题转化为数学问题，从而得到近 似的数值解。
有限元分析广泛应用于工程领域，如结构分析 、流体动力学、电磁场等。
求解线性方程组
通过求解线性方程组得到每个节 点的位移和应力等物理量。
有限元分析的常用软件
ANSYS
功能强大的有限元分析软件，适用于各种工 程领域。
COMSOL Multiphysics
多物理场有限元分析软件，适用于模拟复杂 的多物理场耦合问题。
ABAQUS
专业的有限元分析软件，广泛应用于结构分 析、流体动力学等领域。
空间与轴对称问题有限元分析的优缺点
01
数值误差
有限元分析依赖于离散化的网格 ，存在数值误差，可能影响结果 的精度。
建模难度
02
03
计算资源需求
对于复杂问题的建模，需要较高 的专业知识和技巧，建模难度较 大。
对于大规模问题，有限元分析需 要大量的计算资源，如内存和计 算时间。
未来发展方向与挑战
优化算法
建筑领域
建筑设计中的对称和均衡问题需要考虑空间对称 性，以提高建筑的美观性和稳定性。
机械工程领域
机械零件的形状和结构需要考虑轴对称性，以确 保零件的稳定性和可靠性。
空间与轴对称问题的解析方法
解析法
通过数学公式和定理推导出问题的解 ，适用于简单的问题和特定条件下的 求解。
有限元法
将问题分解为有限个小的单元，通过 求解每个单元的近似解来逼近原问题 的解，适用于复杂的问题和不规则区 域的处理。
第四章轴对称问题
主要内容： 4-1轴对称问题有限单元法 4-2空间问题常应变四面体单元
轴对称结构体可以看成由任意
一个纵向剖面绕着纵轴旋转一周而 形成。此旋转轴即为对称轴，纵向 剖面称为子午面，如图4-1表示一 圆柱体的子午面abcd被分割为若干 个三角形单元，再经过绕对称轴旋 转，圆柱体被离散成若干个三棱圆 环单元，各单元之间用圆环形的铰 链相连接。对于轴对称问题，采用 圆柱坐标较为方便。以弹性体的对 称轴为z轴，其约束及外载荷也都 对称于z轴，因此弹性体内各点的 各项应力分量、应变分量和位移分 量都与环向坐标θ无关，
zi , z j , zm, ri , rj , rm 及结点位移ui , uj , um, wi , w j , wm代入式（4-4）中,可以 解出六个待定系数 1, 2, 。,再6 将这些待定系数回代到式 （4-4）中，就可以得到由结点位移和形函数所表示的单元内任 一点的位移表达式
u Ni ui N j u j Nmum w Ni wi N j w j Nmwm
bi A1 fi
Si
2 A3 A
A1
bi
A1bi A2ci
fi fi
A1ci
ci
i, j, m
A1ci A2bi
返回
其中
u A1 1 u
，
1 2u
A2 21 u
，
1 uE A3 41 u1 2u
从（4-14）式可知，只有剪应力在单元中是常数，而其他 三个正应力在单元中都不是常数，与坐标r和z有关。同样 采用形心坐标和来代替，每个单元近似地被当作常应力单 元，所求得的应力是单元形心处的应力近似值。
e1
e1
这就是求解结点位移的方程组，写成标准形式
轴对称问题
(i , j , m )
由上式可见，单元内应变 εr、εz、γrz都是常量，但φi, φj, φm与各单元中各点的位置(r, z)有关，环向应变εθ不是常量； 当结构包含对称轴(r = 0)在内时，φi , φj , φm是奇异的， 这将给数值计算带来困难。
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
- 16 -
z j
wj uj wi ui
单元结点力向量：
wm um
i m
{ f }e
⎧ fi ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨fj ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ f m ⎭ 6×1
r
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
- 11 -
4.2 三结点三角形轴对称单元
4.2.2 单元位移模式 由于有三个结点，在r方向和z方向上各有三个结点条件， 因此设它的单元位移模式为
u ( r , z ) = α1 + α 2 r + α 3 z ⎫ ⎬ w(r , z ) = α 4 + α 5 r + α 6 z ⎭
该位移模式与平面问题三结点三角形单元完全相同。同样， 将结点坐标和结点位移代入上式可得到单元内部位移
⎧ ui ⎫ ⎪w ⎪ ⎪ i⎪ 0 ⎤ ⎪uj ⎪ e ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = [ N (r , z )]{δ } Nm ⎥ ⎪ wj ⎪ ⎦ ⎪ um ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ wm ⎪ ⎩ ⎭
-5-
4.1 基本概念
4.1.2 基本方程 ①平衡方程
∂σ r ∂τ zr σ r −σ θ + + + br = 0 ∂r ∂z r ∂σ z ∂τ rz τ rz + + + bz = 0 ∂z ∂r r ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
空间与轴对称问题有限元分析
划分网格
将连续的求解域离散化为有限个简单 元，形成网格。
建立刚度矩阵和载荷向量
根据每个简单元的特性，建立刚度矩 阵和载荷向量，以描述简单元之间的 力和力矩关系。
求解线性方程组
通过求解线性方程组，得到每个节点 的位移和应力分布。
有限元分析的优势与局限性
优势
有限元方法具有较高的灵活性和通用性，可以处理复杂的几何形状和边界条件， 适用于各种物理问题的求解。此外，有限元方法可以通过并行计算等技术提高 计算效率。
05
空间与轴对称问题有限元分析 的未来发展
新型有限元方法的研究与应用
混合有限元方法
结合不同类型有限元的优点，以更好地适应复 杂问题的需求。
自适应有限元方法
根据问题求解的实际情况，自动调整有限元的 尺寸和形状，以提高求解精度和效率。
非标准有限元方法
针对特定问题开发非标准的有限元，以获得更好的求解效果。
复杂空间与轴对称问题的挑战与解决方案
高维空间问题
01
随着问题维度的增加，有限元的构造和求解变得更加复杂，需
要发展更高效的算法和软件。
不规则区域问题
02
有限元的构造和处理在不规则区域上更具挑战性，需要研究新
的方法和技巧。
多物理场耦合问题
03
多物理场耦合的空间与轴对称问题需要发展能够同时处理多个
物理场的有限元方法。
误差估计
对称性有助于更准确地估计误差。
空间对称性问题的有限元模型建立
01
02
03
定义对称轴
明确对称轴的位置，以便 在建立模型时考虑对称性。
选取合适的有限元
根据对称性选择合适的有 限元类型，如四边形、六 面体等。
建立对称约束
东南大学 有限元分析课程 第三章 轴对称问题和空间问题有限元法
B = Bi
Bj
Bm
0 0 ( s = i , j , m) cs bs
K e = 2π rc B T DB
单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为：
K sp = 2π rc BsT DB p bs bp + f s f p + A1 (bs f p + f s bp ) + A2 cs c p = A1 (cs bp + cs f p ) + A2bs c p A1 (bs c p + f s c p ) + A2 cs bp cs c p + A2bs bp
式中： 式中：
A1 =
µ
1− µ
A2 =
1 − 2µ 2(1 − µ )
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到， 为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , z c 代替 B 矩阵中的变 量，将单元中的r和z近似地当作常量，并且分别等于 rc , z c 。
1 r ≈ rc = ( ri + rj + rm ) 3
K e = 2π ∫∫ B T DBrdrdz
单元刚度矩阵的分块矩阵为， 单元刚度矩阵的分块矩阵为，
K sp = 2π ∫∫ BsT DB p rdrdz ( s, p = i, j , m)
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到， 为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , z c 代替 B 矩阵中的变 量 r, z 。
1 rc = ( ri + r j + rm ) 3
1 z c = ( zi + z j + z m ) 3
lsdyna轴对称有限元模型
lsdyna轴对称有限元模型1. 简介lsdyna是一种通用的有限元分析软件，广泛应用于工程、汽车和航空航天等领域。
轴对称有限元模型是lsdyna的重要分析工具之一，它在处理旋转对称结构的过程中具有独特的优势和应用价值。
本文将对lsdyna轴对称有限元模型进行详细介绍和分析。
2. 原理轴对称有限元模型是建立在圆柱坐标系下的有限元模型，它以z轴为旋转对称轴，将三维问题简化为二维问题。
在lsdyna中，通过设定特定的边界条件和约束条件，可以将三维结构的分析转化为轴对称的二维模型。
这样不仅可以大大减少计算量，提高计算效率，而且还能更准确地评估旋转对称结构的力学行为。
3. 建模在lsdyna中建立轴对称有限元模型，需要考虑以下几个关键步骤：- 坐标系转换：将三维坐标系转换为圆柱坐标系，并设定z轴为旋转对称轴。
- 材料定义：根据实际情况选择适当的材料参数，并进行材料定义。
- 几何建模：利用lsdyna自带的几何建模工具或导入CAD模型，建立轴对称有限元模型的几何形状。
- 网格划分：根据模型的特点和要求，进行合适的网格划分。
- 材料属性分配：为每个部件分配适当的材料属性，包括密度、弹性模量、屈服强度等。
- 节点约束：根据轴对称性，设定合适的节点约束条件，以保证模型在旋转对称轴上的平衡状态。
- 荷载施加：根据实际工程需求施加合适的载荷条件，进行模拟分析。
4. 分析通过lsdyna轴对称有限元模型，可以进行多种分析，包括但不限于以下几个方面：- 动力学分析：通过施加动态载荷，评估旋转对称结构在振动或冲击荷载下的响应。
- 热力学分析：考虑热荷载对旋转对称结构的影响，进行热力学分析。
- 疲劳分析：模拟旋转对称结构在循环加载下的疲劳性能，评估其寿命。
- 冲击分析：模拟旋转对称结构在冲击荷载下的响应，评估结构的稳定性和可靠性。
5. 应用lsdyna轴对称有限元模型在工程实践中具有广泛的应用价值，主要体现在以下几个方面：- 发动机部件分析：涉及发动机曲轴、连杆、活塞等零部件的疲劳、强度和振动分析。
结构有限元分析-第3章-轴对称
3 轴对称问题弹性力学空间问题中的轴对称问题是指，物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。
研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r，θ，z），以z轴为对称轴。
轴对称问题实例如图3.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过Z轴的一个纵截面就是对称面图3.1受均布内压作用的长圆筒3.1 三角形截面环单元三结点单元位移函数图4-2 三结点单元轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，在整个弹性体中是三棱圆环，各单元中圆环形铰相联接。
三角形截面环单元的结点位移在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移u 和轴向位移w ，两个位移分量表示为，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=w u f }{[][]Tmm j j i iT mT jT iew u w u w u==δδδδ}{单元结点位移轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为，⎭⎬⎫++=++=z r z r u 654321w αααααα⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m jim j i m j i u u u c c c b b b a a a 21321ααα根据结点位移，可得：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m jim j i m j i w w w c c c b b b a a a 21654ααα单元形函数jm m j i r z z r a -=mmj ji iz r z r z r 11121=∆mj i z z b -=jm i r r c -=（i ，j ，m ）)(21z c r b a N i i i i ++∆=单元内任一点的位移{}[]{}em jim m j j i i m jim j iN N N w u w u w u N N N N N N w u f δ=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=00003.2 应变矩阵（几何矩阵）根据几何方程及单元内位移的表达式，可得：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧r w z u z w ru r u zr z r γεεεθ应变矩阵)(21m m j j i i u b u b u b r u ++∆=∂∂)(21m m j j i i u f u f u f r u ++∆=rcz b r a f i i i ++=（下标轮换）)(21m m j j i i w c w c w c z w ++∆=∂∂)(21m m j j i i u c u c u c z u ++∆=∂∂)(21m m j j i i w b w b w b r w ++∆=∂∂应变矩阵[]{}em ji m m mm m jj jj j ii ii i zr z r B B B b c c f b b c c f b b c c f b δγεεεθ=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧00000000021),,(00021][m j i b c c f b A B i i i iii ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3.3 应力矩阵由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------+-=)1(22100011101110111)21)(1()1(][μμμμμμμμμμμμμμμμμE D应力矩阵11A =-μμ2)1(221A =--μμ3)21)(1(4)1(A E=-+-μμμ令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-=21111110010101)21)(1()1(][A A A A AA A E D μμμ则弹性矩阵为：]][[][B D S =][][m j iS S S S =),,()(2]][[][2211113m j i b A c A c f b A c A f b A c A f b A B D S i ii i i i ii i i i i i ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++∆==由弹性矩阵[D ]和几何矩阵[B ]可以得到应力矩阵[S ]，由应力矩阵可知，除剪应力为常量，其它三个正应力分量都是r 、z 的函数。
5_轴对称问题有限元分析
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
13 /54
单元刚度矩阵
同平面问题一样， 同平面问题一样， 用虚位移原理推导单元刚度矩 在轴对称情况下，单元的虚 阵。在轴对称情况下，单元的 虚位移方程为
(u ) F = ∫∫∫ (ε ) σ rdrdθ dz
e* T e *
T
(5.17)
0 0 cm bm
( m = i, j , k )
(5.12)<<构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
8 /54
单元应变与应力
由此可见， 轴对称问题的几何方程式(5.11)， 由此可见， 轴对称问题的几何方程式 ， 在形式上 和平面问题是一样的， 和平面问题是一样的，但是轴对称问题中的 B 和 ε 并不完 全是常量元素， 的函数， 全是常量元素，其中各点的应变将随 r 、z 的函数，故 B 是 的函数。 r 、 z 的函数。 由于 B 是 r 、z 的函数， 的函数， 所以单元中各点的应变将随 r 、 而变化，即单元中各点的应变不同。为了简化计算， z 而变化，即单元中各点的应变不同。为了简化计算，通 常用单元形心坐标 ( z , r ) 近似代替 f i 中的 r 、 z 值，即用单 处的应变作为单元的平均应变， 元形心 ( z , r ) 处的应变作为单元的平均应变，变成常应变 单元， 单元，即
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang 9 /54
单元应变与应力
1 z ≈ z = ( zi + z j + zk ) 3 1 r ≈ r = ( ri + rj + rk ) 3 am cm z fm ≈ fm = + bm + r r
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第1节基本知识本节的有限元对象为轴对称问题，目的是学习将3D问题转化为2D问题分析的轴对称方法，涉及如何选取轴对称单元、建模规律、载荷的施加方法和后处理技术。
一、轴对称问题的定义轴对称问题是指受力体的几何形状、约束状态，以及其它外在因素都对称于某一根轴（过该轴的任一平面都是对称面）。
轴对称受力体的所有应力、应变和位移均对称于这根轴。
二、用ANSYS解决2D轴对称问题的规定用ANSYS解决2D轴对称问题时，轴对称模型必须在总体坐标系XOY平面的第一象限中创建，并且Y轴为轴旋转的对称轴。
求解时，施加自由约束、压力载荷、温度载荷和Y方向的加速度可以像其它非轴对称模型一样进行施加，但集中载荷有特殊的含义，它表示的是力或力矩在360°范围内的合力，即输入的是整个圆周上的总的载荷大小。
同理，在求解完毕后进行后处理时，轴对称模型输出的反作用力结果也是整个圆周上的合力输出，即力和力矩按总载荷大小输出。
在ANSYS中，X方向是径向，Z方向是环向，受力体承载后的环向位移为零，环向应力和应变不为零。
常用的2D轴对称单元类型和用途见表11-1。
表11-1 2D轴对称常用结构单元列表的高阶单的高阶单在利用ANSYS进行有限元分析时，将这些单元定义为新的单元后，设置单元配置项KEYOPT（3）为Axisymmetric(Shell51和Shell61单元本身就是轴对称单元，不用设置该项)，单元将被指定按轴对称模型进行计算。
后处理时，可观察径向和环向应力，它对应的是SX与SZ应力分量，并且在直角坐标系下观察即可。
可以通过轴对称扩展设置将截面结果扩展成任意扇型区域大小的模型，以便更加真实地观察总体模型的各项结果。
轴对称问题有限元分析实例 2D节2第p=1000 N/mF2y611xO61211-1 圆柱筒壳示意图图——圆柱筒的静力分析一、案例1问题，直0.1 m1000 N/m的压力作用，其厚度为如图11-1所示，圆柱筒材质为A3钢，受，并且圆柱筒壳的下部轴线方向固定，其它方向自由，试计算其变形、mm，高度为16 径12径向应力和轴向应力。
条件211，泊松比为。
弹性模量为×10 N/m解题过程2点和以圆柱筒底部中心为坐标原点，建立直角坐标系如图11-1所示，标出主要点（1点）的坐标，为实体造型做好准备。
制定分析方案。
分析类型为线弹性性材料，结构静力分析，轴对称问题，由于受力题为为单元的实常数；边界条件为圆柱筒下部施圆柱壳，选用Shell51单元，筒的厚度为0.1 m 1000*12*π等于。
37699 N加轴线方向固定支撑，2点的受力为分析开始准备工作．ANSYS1，选取Utility>Menu>File>Clear & Start New（1）清空数据库并开始一个新的分析OK对话框，单击Clear database and Start New弹出对话框，单击OK按钮，弹出Verify按钮完成清空数据库。
Utility>Menu> File>Change （2）指定新的工作文件名指定工作文件名。
选取项输入工作文件名，本例中Enter New JobnameChange Jobname对话框，在，弹出Jobname 按钮完成工作文件名的定义。
，单击输入的工作文件名为“yuanzhutong”OK，弹出3）指定新的标题 Utility>Menu>File>Change Title指定分析标题。
选取（”项输入标题名，本例中输入“对话框，在Change TitleEnter New Titleshell problem按钮完成分析标题的定义。
OK为标题名，然后单击（4）重新刷新图形窗口选取Utility>Menu>Plot>Replot，定义的信息显示在图形窗口中。
（5）定义结构分析运行主菜单Main Menu>Preferences，出现偏好设置对话框，赋值分析模块为Structure结构分析，单击OK按钮完成分析类型的定义。
2．定义单元运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/ Delete命令，弹出Element Types对话框，单击“Add”按钮新建单元类型，弹出Library of Element Types对话框，先选择单元大类为Shell，接着选择2D axisSymmetr 51（Shell51），单击OK按钮，完成单元类型选择，单击Close按钮完成设置，如图11-2所示。
Shell定义单元类型图11-2．定义实常数3命令，弹出实Main Menu>Preprocessor>Real Constants Add/Edit/Delete运行主菜单（实例常）项输入板厚按钮进入实例常量输入对话框，在TK（I常数定义对话框，单击Add按钮完成实例常量输入。
回到实例常量对话框，此时显示出新建编号OK0.1米，单击数）按钮完成输入，如图11-3所示。
为1的实例常量，单击Close．定义材料属性4命令，系统显Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models运行主菜单、Elastic、Linear、Structure 示材料属性设置对话框，在材料属性对话框中依次选择，如图11-4所示。
Isotropic11-5，如图入弹性模量完成选择后，弹出材料属性输入对话框，分别输2e11，泊松比。
11-4OK所示，单击按钮完成材料属性输入并返回图”按钮离开材料属性设置。
X完成材料属性设置后，单击对话框右上方“图11-3 定义实常量1234进入材料属性设置11-4 图11-5 定义材料属性图．建立几何图形5Main 菜单主点运行建（1）创关键命令弹出创建关键点对话Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>In active CS按钮定义第一点，如ApplyZ=0，单击，，框，在对话框中分别输入关键点编号1X=6，Y=011-6所示。
图按钮定义第二点，如图OK，单击Z=0，Y=16，X=6，2在对话框中分别输入关键点编号．11-7所示。
（2）创建圆柱筒母线运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>lines> Lines>Straight Line命令，在弹出的拾取对话框中分别拾取1点和2点，单击OK按钮完成圆柱筒母线绘制，图11-8所示。
1定义关键点图11-62图11-7 定义关键点图11-8 圆柱筒母线绘制6．划分网格（网格划分工具）命令，出现运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Meshing>MeshTool按钮选择按钮，出现选择拾取对话框，单击Pick AllMeshTool菜单，单击Lines中的Set，8所有线，在单元尺寸控制对话框中的No. of element divisions项中输入线的等分数为对话框中Mesh按钮划分网格，在出现的Mesh LinesOK其它项默认，单击按钮确定。
单击Pick All按钮，系统将自动完成网格划分。
单击选择弹出运行菜单Utility Menu> PlotCtrls> NumberingPlot Numbering Controls按钮完成设置，划分网格结果如图OK11-9对话框，显示单元编号，设置如图所示，单击所示。
11-10．设置显示单元编号11-9 图11-10 划分网格结果图．加载7Main Menu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural> 运行主菜单（1）施加约束按钮出现约束定OK命令，出现拾取菜单，选择关键点1，单击Displacement>On Keypoints选项输入方向自由度，在Displacement Value义对话框，如图11-11所示，选择UY约束Y OK按钮，完成约束定义。
0，其它项默认，再单击Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural> 运行主菜单（2）施加载荷按钮出现载荷定2，单击OK命令，出现拾取菜单，拾取关键点Force/Moment>On Keypoints按钮完成载OKFY所示，载荷类型为，载荷数值为-37699 N，再单击11-12义对话框，如图11-13所示。
荷的施加，结果如图施加约束11-11 图施加载荷图11-12施加约束和载荷结果图11-13．求解8对Solve Current Load Step运行主菜单Main Menu>Solution>Current LS命令，出现窗口，/STAT Command窗口菜单/STAT Command>File>Close关闭话框，单击/STAT Command按钮确定，计算机开始进行求解，求解完成OKSolve Current Load Step菜单中然后单击按钮完成求解。
”提示表示求解完成，单击Close后出现“Solution is done退出求解器。
选择菜单路径Main Menu>Finish．查看分析结果8Utility Menu> PlotCrls>Style> Symmetry 运行下拉菜单度模型（1）扩展获得360，单击Full expansionExpansion>2D Axis-Symmetric弹出轴对称扩展设置对话框，选择OK按钮完成操作，图形窗口将显示扩展后的图形。
and PlotCrls>Style> Size 运行下拉菜单Utility Menu> （2）打开单元形状显示开关constant on real element shapes based Size Shape弹出and Shape对话框，将Display of按OK设置为Replot，单击Replot descriptions设置为On即打开状态，将upon OK/Apply钮完成操作，图形窗口将显示图形的截面形状。
Main Menu>General Postproc>Plot 运行主菜单3）显示节点（单元）位移云图（DOF 择，选Element Solu）命令Results> Contour Plot>Nodal Solu（or11-14所示。