人教版九年级数学下册27.3平面直角坐标系中的位似教案

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第2课时 平面直角坐标系中的位似

1．学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换；(重点)

2．掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．(难点)

一、情境导入

观察如图所示的坐标系．

试着发现坐标系中几个图形间的联系，然后自己作出一个类似的图形． 二、合作探究

探究点一：平面直角坐标系中的位似 【类型一】 利用位似求点的坐标

如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的1

2

后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( )

A ．(3，3)

B ．(4，3)

C ．(3，1)

D ．(4，1)

解析：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的1

2后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A

点的一半，∴端点C 的坐标为(3，3)．故选A.

方法总结：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题 【类型二】 在坐标系中画位似图形

在13×13的网格图中，已知△ABC 和点M (1，2)．

(1)以点M 为位似中心，位似比为2，画出△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′； (2)写出△A ′B ′C ′的各顶点坐标．

解析：(1)利用位似图形的性质及位似比为2，可得出各对应点的位置；(2)利用所画图形得出对应点坐标即可．

解：(1)如图所示，△A ′B ′C ′即为所求；

(2)△A ′B ′C ′的各顶点坐标分别为A ′(3，6)，B ′(5，2)，C ′(11，4)．

方法总结：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题 【类型三】 在坐标系中确定位似比

△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－1

3)，则△A ′B ′C ′与△ABC 的位

似比是________．

解析：∵△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－1

3)，∴△A ′B ′C ′与△ABC

的位似比是1∶3.

方法总结：以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

探究点二：位似在坐标系中的简单应用 【类型一】 确定图形的面积

如图，原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心，点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是3

2

，则△A ′B ′C ′的面积是________．

解析：∵点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，原点O 是位似中心，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的面积比是1∶4，又∵△ABC 的面积是3

2，∴△A ′B ′

C ′的面积是6.

方法总结：位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型二】 位似变换与平移、旋转、轴对称的综合

如图，点A 的坐标为(3，4)，点O 的坐标为(0，0)，点B 的坐标为(4，0)．

(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(________)，△A 1O 1B 1的面积为________；

(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐标为(________)； (3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(________)；

(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点A 4的坐标为(________)，△A 4O 4B 4的面积为________．

解析：(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(2，4)，△A 1O 1B 1的面积为1

2×4×4＝8；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐

标为(－3，－4)；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(3，－4)；(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点A 4的坐标为(－6，－8)，△A 4O 4B 4的面积为1

2×8×8＝32.故答案为(1)2，4；8；(2)－3，－4；

(3)3，－4；(4)－6，－8；32.

方法总结：此题主要考查了图形的旋转以及平移和位似变换、三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．

三、板书设计

位似变换的坐标特征：

关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．