北师大文科数学高考总复习练习：专题探究课5 含答案

专题探究课五

(建议用时：90分钟)

1．(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 2

4与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，

(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．

又y ′＝x 2，故y ＝x 2

4在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.

y ＝x 2

4在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0.

故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：

设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.

将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1

＋y 2－b

x 2

＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a .

当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，

则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．

2．(2016·北京卷)已知椭圆C：x2

a2＋

y2

b2＝1过点A(2,0)，B(0,1)两点．

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线P A与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

(1)解由题意知a＝2，b＝1.

所以椭圆方程为x2

4＋y

2＝1，又c＝a2－b2＝ 3.

所以椭圆离心率e＝c

a＝

3

2.

(2)证明设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x20＋4y20＝4，由B点坐标(0,1)

得直线PB方程为：y－1＝y0－1

x0(x－0)，

令y＝0，得x N＝

x0

1－y0

，从而|AN|＝2－x N＝2＋

x0

y0－1

，

由A点坐标(2,0)得直线P A方程为y－0＝

y0

x0－2

(x－2)，

令x＝0，得y M＝

2y0

2－x0

，从而|BM|＝1－y M＝1＋

2y0

x0－2

，

所以S

四边形ABNM ＝

1

2|AN|·|BM|

＝1

2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

2＋

x0

y0－1⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1＋

2y0

x0－2

＝x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4 2(x0y0－x0－2y0＋2)

＝2x0y0－2x0－4y0＋4

x0y0－x0－2y0＋2

＝2.

即四边形ABNM的面积为定值2.

3．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，3)，且它的离心率e

＝1 2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →

，求实数λ的取值范围． 解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，

由已知得：⎩⎪⎨

⎪⎧

4a 2＋3

b 2＝1，

c a ＝1

2，c 2

＝a 2

－b 2

，

解得⎩

⎨⎧

a 2＝8，

b 2＝6，

所以椭圆的标准方程为x 28＋y 2

6＝1.

(2)因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切， 所以|t ＋k |1＋k 2＝1⇒2k ＝1－t 2

t (t ≠0)，

把y ＝kx ＋t 代入x 28＋y 2

6＝1并整理得： (3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－24)＝0，

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt

3＋4k 2，

y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t

3＋4k 2

， 因为λOC →

＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt (3＋4k 2)λ，6t (3＋4k 2)λ，

又因为点C 在椭圆上，所以，

8k 2t 2(3＋4k 2)2λ2＋6t 2(3＋4k 2)2λ2＝1⇒λ2

＝2t 23＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋1

t

2＋1，