高一数学教案：映射的概念公开课

班级：高一（6）节次：上午第三节学生人数：56 教者：阙东进学科：数学课题：映射的概念课型：新授课

映射的概念2006-09-19

三维目标：

一.知识与技能：

1.理解映射的概念，并会判断某些对应是否为集合A到集合B的映射；

2.正确区分映射与函数概念，函数是一类特殊的映射，映射是函数概念的推广。

二.过程与方法：

1．渗透特殊与一般的思想；

2．类比函数的概念，启发学生得出映射的概念。

三. 情感，态度与价值观：

1．通过分析，讨论，启发，类比使学生理解并掌握映射的概念；

2．让学生感知函数的概念是映射的概念的生长点，了解知识间的相互关系，从而更好地从整体上系统的掌握知识，发展知识。

教学重点：

1．理解映射的概念；

2．映射与函数的本质区别和联系。

教学过程：

一.问题情景：

在学习函数概念时，我们曾遇到过这样一个问题：

判断下列对应是否为集合A到集合B的函数：

（其中为的面积）

A={三角形}，B=R，:f x y y x

二.学生活动：

（学生讨论。。。）

问题1：函数是什么？

问题2：上述问题中哪一点不符合函数的概念？

（提问学生。。。）

结论：函数概念中对集合A，B要求是非空数集，而上述问题中A为三角形的集合，仅这点不符合函数概念。

问题3：就因为这一点不满足函数概念而被函数家族拒之门外，这是否有些可惜啊？

你能否举些类似的例子？（从生活中，数学中找）

（学生讨论。。。）

如：（1）高一（6）班的每一位学生都有唯一的学号与之对应；

（2）高一（6）班的每门学科都有唯一的老师与之对应；

（3）数轴上的每一个点都有唯一的数与之对应；

x y与之对应。

（4）坐标平面内每一点都有唯一的有序实数对(,)

三. 数学建构：

既然现实世界和数学世界都存在大量类似的单值对应，但又不是函数，我们就

有必要研究它，给出一个具体的、明确的概念——映射。

定义：一般地，设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于A 中

的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做

集合A 到集合B 的映射（mapping ），记作

:.f A B →

注意点：1. 定义中的关键字“每一”、“唯一”；

2. 映射:f A B →与:f B A →一般是不同的；

3. 函数是映射概念的生长点，映射是函数概念推广的结果，区别是：

函数对集合A ，B 要求是非空数集，映射对集合A ，B 则没有要

求。

四. 数学运用：

1. 例题讲解：

例1. 如图所示的对应中，那些是A 到B 的映射？

a

1 a

b 1

b

c 2 2

c

（1） （2）

1 a

a 1

2 b

b 2

3 c

（3） （4）

解：根据定义可以知道（1）、（2）、（3）不是A 到B 的映射；（4）是A 到B

的映射。

分析：（1）、（3）不满足“每一”；（1）、（2）不满足“唯一”。

*变式1：上述问题的对应是否是B 到A 的映射？（注：将箭头反向） 解：根据定义可以知道（1）、（2）、（4）不是A 到B 的映射；（3）是A 到B

的映射；

分析：（4）不满足“每一”；（1）、（2）、（4）不满足“唯一”。

12

1 1 1 1 1 1

例 2. 设集合A =B =[0，1]，则下列四个图形表示从A 到B 的映射的

有： 。

（1） （2）

（3） （4）

分析：依据映射的定义，只有（2）、（4）是A 到B 的映射；（1）不满足对

A 中的每一个元素通过对应法则在

B 中都有．．

（唯一的）元素与之对应；（3）不满足对A 中的每一个元素通过对应法则在B 中都有唯一．．

的元素与之对应。

变式2：将上述例题中（2）的图改为：

该图形还表示从A 到B 的映射吗？

分析：依据映射的定义，该图形仍表示A 到B 的映射。

问题3：由例1、例2你能总结出哪些结论？

*小结：（1）若:f A B →，则集合A 中不能有空余元素，集合B 中可有

空余元素；

（2）若:f A B →，则可以多对一，不可以一对多。

O y x 1 1 O y x 1 O y x O y x O y

x

例 3. 设集合P =Q ={}(,)|,,:x y x R y R f P Q ∈∈→是集合P 到集合Q 的

映射，:(,)(,).f x y x y x y →+-

求：（1）P 中的元素（3，1）在Q 中的输出元素；

（2）Q 中的元素（3，1）在P 中的输入元素。

解：（1）由题意得：

x =3，y =1

∴4,2x y x y +=-=

故P 中的元素（3，1）在Q 中的输出元素为（4，2）；

（2）由题意得：

31

x y x y +=⎧⎨-=⎩ ∴x =2，y =1

故Q 中的元素（3，1）在P 中的输入元素为（2，1）。

*小结：弄清映射的法则，并注意解题过程的规范性。

2. 课堂练习：

（1）课本p ．42页练习题1、2、3、4；

（2）思考题：已知映射:.f A B →其中{2,1,1,2,3},A =--且对任

意,a A ∈||B a 在中都有唯一的元素与之对应，请写出两个满

足题意的集合B ，你能发现集合B 应满足什么条件才符合题意？

五. 课堂小结：

（1）映射的概念及注意点；

（2）映射与函数的本质区别和联系。