高一数学第5讲：映射、函数的概念(教师版)

第5讲映射、函数的概念1.函数的定义（1）传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。

（2）近代定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A 上的函数，记作A→B，或y=f(x)，x∈A，此时，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，习惯上我们称y是x的函数。

（3）两个定义间的联系：函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发。

这样，就不难得知函数的实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应。

2.函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约。

如函数y {x|x≥0}，圆半径r与圆面积S的函数关系为S=πr2的定义域为{r|r＞0}。

求函数定义域的一般原则是：①如果f(x)为整式，其定义域为实数集R；②如果f(x)为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；③如果f(x)是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；④如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}。

求函数定义域除上述所列外，还应注意以下几点：①如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义；②如果不给出解析式：已知f(x)的定义域为x∈A，则f[g(x)]的定义域是求使g(x)∈A 的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域为A，则f(x)的定义域是求g(x)在A上的值域。

3.函数的对应法则对应关系f是函数关系的本质特征，y=f(x)的意义是：y就是x在关系f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。

如f(x)=2x+6，f表示2倍的自变量加上6，如f(3)=2×3+6=12。

f(a)与f(x)的区别与联系：f(a)表示当x=a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。

如一次函数f(x)=3x+4，当x=8时，f(8)=3×8+4=28是一常量。

当法则所实施的对象与解析式中所表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则，比如f(x)=x2+1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，此时此式是以x为自变量的函数解析式；而对于f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示对x+1施加法则，右端是关于x的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x+1的函数解析式。

4.函数的值域对于函数y=f(x)，x∈A，与x的值相对应的y值叫做函数值。

如函数y=x2+5x+3，当x=3时，y=32+5×3+3=27，叫做x=3时的函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。

函数的值域是由对应法则f对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合。

关于求函数值域的问题，是可用初等手段来解决的问题，只要根据函数的对应规律，把握值域的概念，运用不同的数学手段就能得其解。

5.同一函数的判定一般的，考查、判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可。

两个函数当且仅当定义域与对应关系分别相等时，才是同一函数，这说明：①定义域不同，两个函数也就不同；②对应关系不同，两个函数也是不同的；③即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。

6.区间设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：①满足不等式a x b ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[],a b 。

②满足不等式a x b ＜＜的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作(),a b 。

③满足不等式a x b ≤＜或a x b ≤＜的全体实数集合都叫做半开半闭区间，分别记作[),a b 或(],a b 。

④满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤a ，x ＜a 的全体实数x 的集合分别记作[a,+∞)，(a,+∞)，(-∞,a]，(-∞,a)。

注意：①区间左端点值要小于区间右端点值，常作为隐藏条件使用；②区间符号里面两个字母（或数字）之间用“，”隔开；③“∞”无穷大，是一个符号，不是一个数。

7.映射定义：设A 、B 是两个非空数集，如果按照某种对应法则f ，对A 内任一元素x ，在B中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射。

这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作f(x)。

于是y=f(x)，x 称作y 的原象。

映射f 也可记作f ：A →B 。

其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的值域。

注意：映射的概念可以概括为“取元任意性、成象唯一性”，即：①映射的三要素：原象、象、对应关系；②A 中元素不可剩余，B 中元素可剩余；③多对一行，一对多不行；④映射具有方向性：f ：A →B 与f ：B →A 一般是不同的映射。

映射与函数的关系：①联系：映射的概念是在函数的现代定义（集合语言定义）的基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，因此，要善于用映射的语言来叙述和解决函数问题。

②区别：函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而对映射而言，A 和B 不一定是数集。

一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任一元素，在集合A 中都有且只有一个原象，那么这时我们就说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。

注意：一一映射就是一个特殊的映射，它不仅要求对于A 中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应；而且还要求对于B 中的每一个元素，在A 中有且只有一个原象，也就是只能是一对一的对应。

如何确定象与原象：对于一个从集合A 到集合B 的映射f 而言，A 中的每个元素x ，在f 的作用下，在B 中都对应着唯一的元素y ，则y 称为象，而x 叫做原象。

对于给出原象求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象。

对于给出象求原象的问题，若可先假设原象，再代入对应关系中得到象，若它与已知的象是同一个元素，则求出了原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象。

函数的定义、对应法则、定义域、值域、区间、同一函数的判定例1 有下列式子能否确定y 是x 的函数？（1）2x +2y =2；（2）1-x +1-y =1；（3）y=2-x +x -1。

解析 （1）由2x +2y =2，得y =y 是x 的函数，如当x=1时，由它所确定的y 值有两个，即y=±1。

（2）1=，得2(11y =-+，所以当x 在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数。

（3）由2010x x -≥⎧⎨-≥⎩得x∈∅，故由它不能确定y 是x 的函数。

例2 下列图形（横轴表示x 轴，纵轴表示y 轴）表示y 是x 的函数的是（）解析 根据函数定义，对于非空数集A 中每一个确定的x 值，非空数集B 中都有唯一确定的y 值与之对应，只有D 符合函数定义。

例3 求下列函数的定义域：（1）y=2+2-x 3； （2）y=x -3·1-x ；（3）y=(x-1)0+1x 2+2} （2）要使函数有意义，则当且仅当3010x x -≥⎧⎨-≥⎩时成立，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x ≤3}（3）要使函数有意义，则当且仅当1010x x -≠⎧⎨+⎩＞时成立，解得x ＞-1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x|＞-1且x ≠1}例4 求下列函数的值域：（1）f(x)=(x-1)2+1，x ∈{-1，0，1，2，3}；（2）f(x)=(x-1)2+1解析 （1）∵f(-1)=5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，∴这个函数的值域为{1，2，5}。

（2）∵(x-1)2+1≥1，∴这个函数的值域为{y|y ≥1}。

例5 下列四组中的函数f(x)与g(x)，表示相同函数的一组是（）A.f(x)=|x|，)2B.f(x)=1x ·1-x ，g(x)=1-x 2C.f(x)=0x ，g(x)=xx D.f(x)=x ，g(x)=2x 解析 A 中f(x)和g(x)的定义域不相同，分别为(-∞,+∞)、[0,+∞)；B 中f(x)和g(x)的定义域也不相同，分别为[1,+∞)、(-∞,-1]∪[1,+∞)；D 中f(x)和g(x)的值域不相同，分别为(-∞,+∞)、[0,+∞)，故均不表示相同的函数，仅C 中两函数的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞)、对应法则、值域（{1}）均相同，表示相同的函数。

例6 如图所示的对应：其中构成映射的个数是（）A.3B.4C.5D.6解析 ①②③这三个图所示的对应都符合映射的定义，即A 中每一个元素在对应法则下，B 中都有唯一的元素与之对应。

对于④⑤，A 中的每一个元素在B 中有2个元素与之对应，所以不是A 到B 的映射。

对于⑥，A 中的元素a3、a4在B 中没有元素与之对应，所以不是A 到B 的映射。

综上可知，能够成映射的个数为3，选A 。

例7 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n 2+n ，则在映射f 下，象20的原象是（）A.2B.3C.4D.5 解析 ∵2n+n=20，∴将n=2，3，4，5代入检验可知n=4时成立。

故选CA1.设M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，给出图中四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（B ）A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知函数y=f(x)（x ∈[a ，b]），那么集合{（x ，y ）|y=f(x)，x ∈[a ，b]}∩{（x ，y ）|x=2}中所含元素的个数是（C ）A.1B.0C.0或1D.1或23.若函数y=f(x)的定义域是{x|0﹤x ﹤1}，则y=f(2x )的定义域是（B ）A.（-1，0）B.（-1，0）∪（0，1）C.（0，1）D.[0，1] 4.设f(x)=22x -1x 1 ，则f(21)+f(31)+f(-2)+f(-3)=（D ） A.1235 B.-1235 C.1 D.0 5.已知映射f ：A →B ，其中A=B=R ，对应法则f ：y=-2x +2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k 的范围是（A ）A.k ﹥1B.k ≥1C.k ﹤1D.k ≤1B6.下列对应是集合M 到集合N 的一一映射的是（D ）A.M=N=R ，f ：x →y=-x1，x ∈M ，y ∈N B.M=N=R ，f ：x →y=2x ，x ∈M ，y ∈N C.M=N=R ，f ：x →y=x |x |1+，x ∈M ，y ∈N D.M=N=R ，f ：x →y=3x ，x ∈M ，y ∈N 7.求下列函数定义域（1）y=1x 2-x 2x ++；（2）y=-1|x |2x + 解：（1）210112210201x x x x x x x x x +≠⎧≠-≠-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-≠-≠+-≠⎩⎩⎪+⎩且， ∴定义域为(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)（2）202||101x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠±⎩⎩，∴定义域为[-2,-1）∪（-1,1）∪(1,+∞)。