高一数学第5讲：映射、函数的概念(教师版)

第5讲映射、函数的概念
1.函数的定义
（1）传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。

（2）近代定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A 上的函数，记作A→B，或y=f(x)，x∈A，此时，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，习惯上我们称y是x的函数。

（3）两个定义间的联系：函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发。

这样，就不难得知函数的实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应。

2.函数的定义域
函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意
义的制约。

如函数y {x|x≥0}，圆半径r与圆面积S的函数关系为S=πr2的定义域为{r|r＞0}。

求函数定义域的一般原则是：①如果f(x)为整式，其定义域为实数集R；②如果f(x)
为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；③如果f(x)是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；④如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}。

求函数定义域除上述所列外，还应注意以下几点：
①如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
②如果不给出解析式：已知f(x)的定义域为x∈A，则f[g(x)]的定义域是求使g(x)∈A 的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域为A，则f(x)的定义域是求g(x)在A上的值域。

3.函数的对应法则
对应关系f是函数关系的本质特征，y=f(x)的意义是：y就是x在关系f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。

如f(x)=2x+6，f表示2倍的自变量加上6，如f(3)=2×3+6=12。

f(a)与f(x)的区别与联系：f(a)表示当x=a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。

如一次函数f(x)=3x+4，当x=8时，f(8)=3×8+4=28是一常量。

当法则所实施的对象与解析式中所表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则，比如f(x)=x2+1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，此时此式是以x为自变量的函数解析式；而对于f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示对x+1施加法则，右端是关于x的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x+1的函数解析式。

4.函数的值域
对于函数y=f(x)，x∈A，与x的值相对应的y值叫做函数值。

如函数y=x2+5x+3，当x=3时，y=32+5×3+3=27，叫做x=3时的函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。

函数的值域是由对应法则f对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合。

关于求函数值域的问题，是可用初等手段来解决的问题，只要根据函数的对应规律，把握值域的概念，运用不同的数学手段就能得其解。

5.同一函数的判定
一般的，考查、判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可。

两个函数当且仅当定义域与对应关系分别相等时，才是同一函数，这说明：
①定义域不同，两个函数也就不同；
②对应关系不同，两个函数也是不同的；
③即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定
义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。

6.区间
设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：
①满足不等式a x b ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[],a b 。

②满足不等式a x b ＜＜的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作(),a b 。

③满足不等式a x b ≤＜或a x b ≤＜的全体实数集合都叫做半开半闭区间，分别记作
[),a b 或(],a b 。

④满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤a ，x ＜a 的全体实数x 的集合分别记作[a,+∞)，(a,+∞)，(-
∞,a]，(-∞,a)。

注意：①区间左端点值要小于区间右端点值，常作为隐藏条件使用；②区间符号里面两
个字母（或数字）之间用“，”隔开；③“∞”无穷大，是一个符号，不是一个数。

7.映射
定义：设A 、B 是两个非空数集，如果按照某种对应法则f ，对A 内任一元素x ，在B
中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射。

这时，称y 是x 在映射
f 的作用下的象，记作f(x)。

于是y=f(x)，x 称作y 的原象。

映射f 也可记作f ：A →B 。

其
中A 叫做映射f 的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的值域。

注意：映射的概念可以概括为“取元任意性、成象唯一性”，即：①映射的三要素：原
象、象、对应关系；②A 中元素不可剩余，B 中元素可剩余；③多对一行，一对多不行；④
映射具有方向性：f ：A →B 与f ：B →A 一般是不同的映射。

映射与函数的关系：
①联系：映射的概念是在函数的现代定义（集合语言定义）的基础上引申、拓展的；函
数是一个特殊的映射，因此，要善于用映射的语言来叙述和解决函数问题。

②区别：函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而对映射而言，A 和B 不一定是数集。

一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任一元素，在集
合A 中都有且只有一个原象，那么这时我们就说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，
并称这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。

注意：一一映射就是一个特殊的映射，它不仅要求对于A 中的每一个元素，在集合B
中都有唯一的元素与它对应；而且还要求对于B 中的每一个元素，在A 中有且只有一个原象，
也就是只能是一对一的对应。

如何确定象与原象：
对于一个从集合A 到集合B 的映射f 而言，A 中的每个元素x ，在f 的作用下，在B 中
都对应着唯一的元素y ，则y 称为象，而x 叫做原象。

对于给出原象求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象。

对于给出象求原
象的问题，若可先假设原象，再代入对应关系中得到象，若它与已知的象是同一个元素，则
求出了原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象。

函数的定义、对应法则、定义域、值域、区间、同一函数的判定
例1 有下列式子能否确定y 是x 的函数？
（1）2x +2y =2；
（2）1-x +1-y =1；
（3）y=2-x +x -1。

解析 （1）由2x +2y =2，得y =y 是x 的函数，如当x=1
时，由它所确定的y 值有两个，即y=±1。

（2）1=，得2(11y =-+，所以当x 在{x|x≥1}中任取一个
值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数。

（3）由2010
x x -≥⎧⎨-≥⎩得x∈∅，故由它不能确定y 是x 的函数。

例2 下列图形（横轴表示x 轴，纵轴表示y 轴）表示y 是x 的函数的是（）
解析 根据函数定义，对于非空数集A 中每一个确定的x 值，非空数集B 中都有唯一确定的y 值与之对应，只有D 符合函数定义。

例3 求下列函数的定义域：
（1）y=2+2
-x 3； （2）y=x -3·1-x ；
（3）y=(x-1)0+1
x 2+
2} （2）要使函数有意义，则当且仅当3010x x -≥⎧⎨-≥⎩
时成立，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x ≤3}
（3）要使函数有意义，则当且仅当1010
x x -≠⎧⎨
+⎩＞时成立，解得x ＞-1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x|＞-1且x ≠1}
例4 求下列函数的值域：
（1）f(x)=(x-1)2+1，x ∈{-1，0，1，2，3}；
（2）f(x)=(x-1)2+1
解析 （1）∵f(-1)=5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，
∴这个函数的值域为{1，2，5}。

（2）∵(x-1)2
+1≥1，∴这个函数的值域为{y|y ≥1}。

例5 下列四组中的函数f(x)与g(x)，表示相同函数的一组是（）
A.f(x)=|x|，)2
B.f(x)=1x ·1-x ，g(x)=1-x 2
C.f(x)=0x ，g(x)=x
x D.f(x)=x ，g(x)=2x 解析 A 中f(x)和g(x)的定义域不相同，分别为(-∞,+∞)、[0,+∞)；B 中f(x)和g(x)的定义域也不相同，分别为[1,+∞)、(-∞,-1]∪[1,+∞)；D 中f(x)和g(x)的值域不相同，分别为(-∞,+∞)、[0,+∞)，故均不表示相同的函数，仅C 中两函数的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞)、对应法则、值域（{1}）均相同，表示相同的函数。

例6 如图所示的对应：其中构成映射的个数是（）
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 ①②③这三个图所示的对应都符合映射的定义，即A 中每一个元素在对应法则下，B 中都有唯一的元素与之对应。

对于④⑤，A 中的每一个元素在B 中有2个元素与之对应，所以不是A 到B 的映射。

对于⑥，A 中的元素a3、a4在B 中没有元素与之对应，所以不是A 到B 的映射。

综上可知，能够成映射的个数为3，选A 。

例7 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集
合B 中的元素n 2+n ，则在映射f 下，象20的原象是（）
A.2
B.3
C.4
D.5 解析 ∵2n
+n=20，∴将n=2，3，4，5代入检验可知n=4时成立。

故选C
A
1.设M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，给出图中四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（B ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.已知函数y=f(x)（x ∈[a ，b]），那么集合{（x ，y ）|y=f(x)，x ∈[a ，b]}∩{（x ，y ）|x=2}中所含元素的个数是（C ）
A.1
B.0
C.0或1
D.1或2
3.若函数y=f(x)的定义域是{x|0﹤x ﹤1}，则y=f(2
x )的定义域是（B ）
A.（-1，0）
B.（-1，0）∪（0，1）
C.（0，1）
D.[0，1] 4.设f(x)=22x -1x 1 ，则f(21)+f(3
1)+f(-2)+f(-3)=（D ） A.1235 B.-12
35 C.1 D.0 5.已知映射f ：A →B ，其中A=B=R ，对应法则f ：y=-2x +2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不
存在原象，则k 的范围是（A ）
A.k ﹥1
B.k ≥1
C.k ﹤1
D.k ≤1
B
6.下列对应是集合M 到集合N 的一一映射的是（D ）
A.M=N=R ，f ：x →y=-x
1，x ∈M ，y ∈N B.M=N=R ，f ：x →y=2x ，x ∈M ，y ∈N C.M=N=R ，f ：x →y=
x |x |1+，x ∈M ，y ∈N D.M=N=R ，f ：x →y=3x ，x ∈M ，y ∈N 7.求下列函数定义域
（1）y=1
x 2-x 2x ++；（2）y=-1|x |2x + 解：（1）210112210201x x x x x x x x x +≠⎧≠-≠-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-≠-≠+-≠⎩⎩⎪+⎩
且， ∴定义域为(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)
（2）202||101
x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠±⎩⎩，∴定义域为[-2,-1）∪（-1,1）∪(1,+∞)。

8.已知函数y=1
3kx x k 8-2kx 22++的定义域为全体实数，求实数k 的值。

解：∵函数y 的定义域只要求分母k 2x 2+3kx+1≠0，因此问题转化为：求使k 2x 2+3kx+1≠0
成立时k 的取值。

此时需分类讨论：
（1）k=0时，8y =-，定义域为R ，符合要求；
（2）k ≠0时，∵k 2＞0，k 2x 2+3kx+1≠0，即△=9k 2-4k 2＜0，此时5k 2＜0，无解。

综上k=0时，函数y=1
3kx x k 8-2kx 22++的定义域为R 。

9.求函数y=2x-1-x 的值域。

解：令t =（t≥0），则x=t 2+1，∴y=2(t 2+1)-t=2t 2-+2=21152()48
t -+， 当t=14时，y min =158，∴函数y=2x-1-x 的值域为[158
，+∞) 10.已知集合A={1，2，3}，B={a ，b}，问：
（1）A 到B 的不同映射f ：A →B 有多少个？（2）B 到A 的不同映射g ：B →A 有多少个？ 解：（1）根据映射定义，A 到B 的不同映射可以分为两类：
①A 中的元素都对应B 中的一个元素时，有2个；
②A 中的两个元素同时对应B 中的一个元素，A 中的另一个元素对应B 中的另一个元素时，有6个。

综上可知，A 到B 的不同映射共有8个。

（2）类似（1）可求得B 到A 映射共有9个。

C
11.函数y ＝1－x 2x 2－3x －2
定义域为(D) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2]
C ．(－∞，－12∩(－12，1)
D ．(－∞，－12)∪(－12
，1] 12.下列各组函数相等的是(D)
A ．f (x )＝x 2－1x －1
与g (x )＝x ＋1 B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2x C ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2
＋x x D ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12
13.A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是(B)
14.已知f (x )＝x
x ＋1，则f (2)－f (12)＝(C) A ．1 B.23 C.13 D ．－13
15．已知f (x )＝x
1＋x ，
(1)求f (x )＋f (1x
)的值； (2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (7)＋f (1)＋f (12)＋…＋f (17
)的值． 解：(1)f (x )＋f (1x )＝x 1＋x ＋1x 1＋1x
＝1＋x 1＋x ＝1. (2)由(1)可知，f (1)＋f (2)＋…＋f (7)＋f (1)＋f (12)＋…＋f (17
)＝7.
1.下列各组函数中，表示同一函数的是（D ）
A.y=x-1和y=1
x 1-x 2+ B.y=0x 和y=1 C.f(x)=2x 和g(x)=(x+1)2 D.f(x)=x x 2）（和g(x)=2x x ）（ 2.下列各图中，可表示函数y=f(x)图像的只可能是（D ）
3.设集合M=R ，从M 到P 的映射f ：x →y=1
x 12+，则映射f 的值域为（A ） A.{y|y ∈R} B.{y|y ∈+R } C.{y|0≤y ≤2} D.{y|0﹤y ≤1}
4.设集合A 和集合B 都是坐标平面上的点集{（x ，y ）|x ∈R ，y ∈R}，映射f ：A →B ，把集合A 中的元素（x ，y ）映射成集合B 中的元素（x+y ，x-y ），则在映射f 下，象（2，1）的原象是（B ）
A.（3，1）
B.（23，21）
C.（23，-2
1） D.（1，3） 5.用区间表示下列函数的定义域：
（1）y=x -21x 2x
++；（2）y=-x |x |1x 0）
（+；
解：（1
）200101022020x x x x x x x ≥⎧≥⎧⎪+≥⎪⎪⇒≥-⇒≤≤⎨⎨-≥⎪≤⎩≠，∴定义域为[0,2]
（2）101||00
x x x x x +≠≠-⎧⎧⇒⎨⎨-⎩⎩＞＜，∴定义域为(-∞,-1)∪(-1,0)。

1.下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是（D ）
2.已知集合P={x|0≤x ≤4}，Q={y|0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是映射的是（C ）
A.f ：x →y=21x
B.f ：x →y=31x
C.f ：x →y=32x
D.f ：x →y=8
12x
3.函数y=x -1+x 的定义域为（D ）
A.{x|x ≤1}
B.{x|x ≥0}
C.{x|x ≥1或x ≤0}
D.{x|0≤x ≤1}
4.函数+x 的定义域为（C ）
A.{x|x ≥0}
B.{x|x ≤1}
C.{x|x ≥1}∪{0}
D.{x|0≤x ≤1}
5.若f （x ）=
x
1-x ，则方程f （4x ）=x 的根是（A ） A.21 B.-2
1 C.
2 D.-2 6.设f(x)=|x-1|-|x|，则f[f(2
1)]=（D ） A.-21 B.0 C.21 D.1 7.函数y=1-x +x -1的定义域为 {1}
8.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a+2b ，2b+c ，2c+3d ，4d ，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16，当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（C ）
A.4，6，1，7
B.7，6，1，4
C.6，4，1，7
D.1，6，4，7
9.函数f （x ）=1x ++x
-21的定义域为 [-1,2)∪(2,+∞) 10.求函数x x y -+=142的值域。

解：设t =（t≥0），则x=1-t 2，∴y=2(1-t 2)+4t=-2t 2+4t+2=-2(t-1)2+4，
当t=1时，y max =4，∴函数x x y -+=142的值域为(-∞,4]
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