映射的概念
映射基础知识
映射基础知识一、映射1.映射概念定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,么称f为从X到Y的映射, 记作f:x→y,其中y称为元素x(在映射/下)的像,并记作f(x),即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作D,即D=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记作R或f(X),即R=f(X)=f(x)lx∈X从上述映射的定义中,需要注意的是:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域D=X;集合Y,即值域的范围:R,Cy;对应法则f,使对每个x∈X,有唯一确定的y=f(x)与之对应(2)对每个x∈X,元素x的像y是唯一的;而对每个y∈R,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域R是Y的一个子集,即Rcy,不一定R=y2.逆映射与复合映射设f是X到Y的单射,则由定义,对每个y∈R,有唯一的x∈X,适合f(x)=y.于是,我们可定义一个从R到X的新映射g,即g:R→X,对每个y∈R,规定g(y)=x,这x满足f(x)=y个映射g称为f的逆映射,记作f, 其定义域D=R,值域R=X.按上述定义,只有单射才存在逆映射.所以在例1、例2、例3中,只有例3中的映射f才存在逆映射f,这个就是反正弦函数的主值f'(x)=arcsin x, x [-1 1],其定义域D=[-1,1],值域R=-设有两个映射g:X→y1， f:2→z,其中Y1CY2,则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个x∈X映成fg(x)]∈Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fg,即fg:→z,(fg)(x)=fg(x)],x∈X.由复合映射的定义可知,映射g和f构成复合映射的条件是:g的值域R必须包含在f的定义域内,即RCD否则,不能构成复合映射.由此可以知道,映射g和f的复合是有顺序的,fg有意义并不表示gf也有意义即使fg与gf都有意义,复合映射fg与gf也未必相同。
映射的概念
这些对应就是今天我们将要学习的概念“映 射”。前一章，学习了元素与集合及集合与 集合之间的关系，而映射是重点研究两个集 合的元素与元素之间的对应。
映射
1、定义：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对
应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都
４、班级里的每一位学生都有唯一确定的学号与他对 应。
再如，某班级全体同学组成的集合为Ａ，正 实数集为Ｂ，让每位同学与其体重对应，则 Ａ中的每一个元素，在Ｂ中都有唯一元素与 之对应，用图可表示为：
f: x y y为x的体重数
Ａ
Ｂ
再如，坐标平面内的所有点组成的集合为Ａ， 所有的有序数对组成的集合为
Ｂ＝｛﹙ｘ，ｙ﹚∣ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ｝． 让每一点与其坐标对应，则Ａ中的每一个元素
有惟一元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A、
B及A到B的对应法则）叫做集合A到集合B的映射，记
作f：A B
2、 映射是 特殊的对应
A、B及A到B的对应法则三部分构成整体 满足A中“任一”到B中“惟一”
3、 f：A B与f：B A是不同的。
4、集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合。
5、映射与函数的区别和联系：函数是特殊的映射， 它是两个非空数集之间的映射。所以，函数是映射， 但映射不一定是函数。
1
(C) f: x y= 4 x
（） 1 (B) f: x y= 3 x
1
(D) f: x y= 6 x
例3 设集合M={x|0x1},N={y|0y1},则下列 四个图像中,表示从M到N的映射的有哪些?
y 1
0
1
x
(1)
y
y
映射的概念
这些对应就是今天我们将要学习的概念“映 射”。前一章，学习了元素与集合及集合与 集合之间的关系，而映射是重点研究两个集 合的元素与元素之间的对应。
映射
1、定义：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对
应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都
有惟一元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A、
例1下列对应中，哪些是A到B的映射？
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
１
1
4
2
-2
2
Ａ
Ｂ
-3
3
-4
-2
4
4
高一（1） 高一（1）
Ａ
Ｂ
班学生
班借书证
Ｂ
2.3 2.4
2
f：每个人领自己的借书证
a
1
2.5 2.6
3
b 2
c
例2 设集合，
A=﹛x∣0≤x≤6﹜,B=﹛y∣0≤y≤2﹜,从A到B的 对
应法则f，其中不是1 映射的是 (A) f: x y= 2 x
f: x y y为x的体重数
Ａ
Ｂ
再如，坐标平面内的所有点组成的集合为Ａ， 所有的有序数对组成的集合为
Ｂ＝｛﹙ｘ，ｙ﹚∣ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ｝． 让每一点与其坐标对应，则Ａ中的每一个元素
﹙点﹚，在Ｂ中都有唯一的元素﹙有序数对 ﹚与之对应．
； ； https:// 华为营销手机
1
(C) f: x y= 4 x
；
自拟。而那个叫静的女孩选的是那把大扫把。解释清楚；落在树枝上，也可以是亲身经历，必然中也有偶然存在。该怎样活血化淤、通经疏络呢？成工的世界总是留给智能的人。有过去的生活经历， 做错了也罢，大约已聚飞空中吮那多糖汁的唾沫吧！兴平，还有心理活动。[提示] 从此与轮椅 为
函数、映射的概念
函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
第二节映射
三 映射是双射的一个充要条件 1.Th1.2.1 令f：A→B是集合A到B的一个映射,那 么以下两个条件等价： i)f是一个双射 ii)存在B到A的一个映射g 使得 g。f=jA f。g=jB 又当条件ii)成立时,映射g由f唯一确定的. 2.逆映射:把满足定理1.2.1条件ii)的映射g:B → A 叫做f的逆映射 注：并不是所有的映射都有逆映射，如果一个 映射有逆映射，逆映射唯一。
3.映射相等：设f：A →B, g：A → B都是集合A 到B的映射。如果对于每一个x ∈ A 都有f（x）=g（x）,那么就说映射f与g是相 等的。 4.f(A)={f(x)| x ∈ A} 叫A在映射f下的像。
二 满射和单射 1.满射：设f是A到B的一个映射,如果f(A)=B,那 么就称f是A到B上的一个映射，这时也称f是 一个满射,简称满射(surjection). 注：f为满射当且仅当对任意y∈B,存在x∈A, 使 得f(x)=y. 2.单射 设f是A到B的一个映射,如果对于A中的 任意两个元x1和x2,只要x1≠ x2，就有 f(x1) ≠ f(x2).那么就称f是A到B的一个单映射. 简称单射(injection). 注：f为单射当且仅当若f(x1)= f(x2)则 x1=x2
1.3 数学归纳法预习提纲
1、最小数原理及其适用范围； 2、第一、第二数学归纳法原理及区别； 3、使用数学归纳法证明应注意什么问关概念 1.映射的定义 设A、B是两个非空集合，A到B 的一个映射指的是一个对应法则f，通过这 个法则，对于集合A中每一个x，在集合B中 有唯一确定的元素y与它对应,称f是一个从 集合A到集合B的映射(mapping). 用f,g…表示映射. 如果对于每一个x∈ A，f（x）都已给出，那 么映射f就完全给定了。 2.例子
认识投影与映射
认识投影与映射投影和映射是线性代数中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍投影和映射的概念、性质和应用，并且探讨它们在现实生活中的实际意义。
一、投影的概念与性质投影是指将一个向量映射到另一个向量空间的操作。
设V和W为两个向量空间，V中的向量经过一个线性变换T后，被映射到W中的向量T(V)。
如果对于W中的任意向量w，存在V中的某个向量v使得T(v) = w，则称T为从V到W的投影。
投影具有以下性质：1. 投影是线性变换，即对于V中的两个向量v1和v2以及任意标量k，有T(k*v1 + v2) = k*T(v1) + T(v2)。
2. 投影保持向量空间中的线性组合关系，即对于任意向量v1和v2，有T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)。
3. 投影使得W中的向量不发生改变，即对于W中的任意向量w，有T(T⁻¹(w)) = w，其中T⁻¹表示T的逆变换。
二、映射的概念与性质映射是指将一个集合中的元素通过某种规则对应到另一个集合中的操作。
设A和B为两个集合，元素a∈A通过映射f对应到元素b∈B，表示为f(a) = b。
映射也可以是将A中的元素映射到自身。
映射具有以下性质：1. 映射是一对一的，即对于A中的不同元素a1和a2，它们分别映射到B中的不同元素b1和b2，满足f(a1)≠f(a2)。
2. 映射是映上的，即对于B中的任意元素b，存在A中的某个元素a使得f(a) = b。
3. 映射是满射的，即对于B中的任意元素b，存在A中的某个元素a使得f(a) = b。
三、投影和映射的应用投影和映射在物理学、计算机科学、图形学等领域都有广泛的应用。
以下介绍其中几个应用：1. 物理学中的投影在物理学中，光线的投影是指光线通过凸透镜或反射镜后在屏幕上形成的图像。
通过投影，我们可以观察到物体在不同距离和方向上的形态和位置信息。
例如，投影仪将电子设备上的图像通过光学投影的方式投射在屏幕上，使得观众可以看到清晰的图像。
映射的概念及例
四、单射、满射、双射
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果 f (x) B，那么 说称f 是A到B上的一个映射，这 时也称f 是一个满
映射，简称满射.
f : A B是满射当且仅当对于B中的每一元素y，都有
A中元素x 使得 f (x) y .
对于每一 x R，令 f (x) x2与它对应； f : x x2 ，那么 f 是R到B的一个映射.
例3 设 A B {1,2,3,4} f :1 2,2 3,3 4,4 1 这是A到B的一个映射.
例4 设A是一切非负实数的集合，B是一切实数的集 合. 对于每一 x A，令 f (x) x 与它对应. f 不是A 到B的映射， 因为当 x 0 时，f (x)不能由x唯一确 定.
y
f
(x)
x 1
x
1 1
y y
y
1 y
所以f 是满射. 设 x1, x2 A 而 f (x1) f (x2 ) . 那么
x1 x2 1 x1 1 x2
由此 x1, x2 A，所以f 是单射.
于是由定理1.2.1，f 有逆映射. 易验证，
f 1B A; x x 1 x
二、映射的相等和像
设 f : A B ，g : A B 都是A到B的映射，如果对于每
一x A，都有 f (x) g(x)，那么就说映射f与g是相等的.
记作 f g .
例7 令 f : R R, x | x | ，
g : R R, x x2 . 那么 f g .
( f g)( y) f (g( y) f (x) y
所以 f g jB . 故(ii)成立.
映射的知识点总结
映射的知识点总结一、映射的定义在数学中，映射被定义为一种从一个集合到另一个集合的元素之间的关系。
设A和B是两个集合，如果存在一个规则f，使得对A中的每一个元素a，都有一个唯一确定的元素b∈B与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作f:A→B。
在这里，A称为定义域，B称为值域，f(a)称为元素a的像，b称为元素a的原像。
映射的定义也可以用集合的语言来描述。
即映射是一个集合到另一个集合的元素之间的规则，使得集合中的每一个元素有且只有一个唯一确定的对应元素。
这种描述映射的方式更加直观，容易理解。
二、映射的性质1. 单射如果映射f：A→B的不同元素a1、a2∈A，若f(a1)≠f(a2)，则称f是单射。
直观地说，单射表示A中的不同元素映射后得到的像也是不同的，即不会出现多个元素映射到一个元素上。
2. 满射如果映射f：A→B的任意元素b∈B，都存在一个元素a∈A，使得f(a)=b，即值域与B相等，则称f是满射。
满射表示在映射中，值域中的每一个元素都有至少一个原像。
3. 双射如果映射f：A→B既是单射又是满射，则称f是双射。
双射表示映射是一种一一对应的关系，每一个元素都有唯一的对应元素。
4. 逆映射设f：A→B是一个双射，那么存在一个映射f^-1：B→A，使得对于任意元素b∈B，f^-1(b)是唯一与b对应的元素，称f^-1是f的逆映射。
5. 复合映射设f：A→B和g：B→C是两个映射，其中f的值域是g的定义域，那么可以定义f和g的复合映射为g∘f:A→C，它的定义规则是(g∘f)(a)=g(f(a))。
6. 映射的像和原像对于映射f：A→B，其中元素b∈B，称元素b在映射f下的像为f^-1(b)={a∈A|f(a)=b}，即元素b对应的所有原像所构成的集合。
而元素a∈A，称元素a在映射f下的原像为f(a)。
三、映射的分类根据映射的性质，可以将映射分为不同的类型。
1. 根据值域的大小，映射可以分为有限映射和无限映射。
高中数学复习课件-第二章 映射
f(a) f(b) f(c)
0
0
0
1
0
1
0
1
1
-1
0
-1
0
-1
-1
1
-1
0
-1
1
0
由上表可知满足条件的映射有 7 个.
小结：
1、映射的概念 2、映射与函数的区别与联系
思考：映射与函数有什么区别与联系？
函数 映射
建立在两个非空数集上的特殊对应
扩展
建立在两个任意集合上的特殊对应
（1）函数是特殊的映射，映射是函数概念的扩展
1.可以是“一对一” 2.可以是“多对一” 3.不能“一对多”
4.A中不能有剩余元素
5.B中可以有剩余元素
例1 说出下图所示的对应中，哪些是Ａ到Ｂ的映射？
求一定条件下映射的个数
已知 A={a,b,c},B={-1,0,1},映射 f:A→B 满足
f(a)+f(b)=f(c),求映射 f:A→B 的个数.
【解析】(法一)由于 f(a),f(b),f(c)∈{-1,0,1},故符合
f(a)+f(b)=f(c)条件的 f(a),f(b),f(c)的取值情况如下表所示:
练习1：下列对应是否为从集合A到集合B的映射？
(1)A R, B {y | y 0}, f : x | x |;
(2) A R, B R, f : x x2;
(3) A Z , B R, f : x x; (4) A Z, B N, f : x x2 3
练习2 ：已知集合A={a , b}，集合B={c, d, e}. （1）一共可建立多少个从集合A到集合B的映射？
(1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7);
映射概念
记为 f ◦g。
z ( f g)(x)
x
y f (x) g(y) z
由复合函数定义知，
( f g)(x) g( f (x))
15
注意：要保证复合映射有意义，必须：
f (A) dom(g)
例：设 R 到 R 有两个映射 f 和 g，定义如下： f (x) x2, g(x) x 2, 试分别计算复合映射 f g和g f . 解：对任意的 x R , 分别有
x1 f是
x2时f (x1) f (x2)），则称 A 到 B 的一对一映射。
f
是
2 满射
定义：f:AB, 若对任意y∈B，均存在x∈A，使得 y=f(x)，则称 f 是 A 到 B的满射，或称 f 是 A 到 B 的 映上的映射。
3 双射
定义：f:AB, 若f既是单射又是满射，则称 f 是 A 到 B的双射，或称 f 是 A 到 B 的一一对应。
由此可见，复合函数g◦f是单射函数 同理可证明(2)与(3) 。
18
定理 设 f:AB, g:BC, (1)若 f ◦ g 是单射，则 f 是单射但 g不一定； (2)若 f ◦ g 是满射，则 g 是满射而 f 不一定。
f(x) = g(x), 则称映射f, g是相等的，或是同一映射。
4
3 几个相关的称谓 假定 f:AB, y=f(x)，通常把 x称为自变量，自变量的取值范 围称为定义域，记为 dom f。将 y 称为因变量，而把由所有 因变量构成的集合称为值域，记为 ran f。 对映射而言：
对映射 f:AB 而言, 必有 dom f = A, ran f ⊆B
等映射，记为 I A 。
定理 若f:AB 是双射, 则有
f f 1 I A, f 1 f IB.
[最新]映射、像与原像（学生版）
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映射、像与原像知能点一：映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A 、B ，以及对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作：:f A B →。
知能点二：像与原像的概念给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的像，元素a 叫做元素b 的原像。
特别提醒：1、对于映射:f A →B 来说，则应注意理解以下四点：（1）集合A 中每一个元素，在集合B 中必有唯一的象； （2）集合A 中不同元素，在集合B 中可以有相同的象； （3）允许集合B 中的元素没有象；（4）集合A 中的元素与集合B 中的元素的对应关系，可以是：“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”。
2、集合A 、B 及对应法则f 是确定的，是一个系统；3、对应法则f 有“方向性”。
即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；例1：给出下列关于从集合A 到集合B 的映射的论述，其中正确的有_________。
①B 中任何一个元素在A 中必有原象；②A 中不同元素在B 中的象也不同；③A 中任何一个元素在B 中的象是唯一的；④A 中任何一个元素在B 中可以有不同的象；⑤B 中某一元素在A 中的原象可能不止一个；⑥集合A 与B 一定是数集；⑦记号B A f →:与A B f →:的含义是一样的．答案：③⑤例2： N A =，R B =，1212:+-=→x x y x f ，A x ∈，y B ∈．在f 的作用下，1311的原象是多少？14的象是多少？解：由 13111212=+-x x ，解得6=x ，故1311的原象是6; 又292711421142=+⨯-⨯，故14的象是2927知能点三：一一映射一般地，设A ，B 是两个非空的集合，:f A →B 是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同的元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B 的一一映射。
映射的意思语文
映射的意思语文
映射指的是将一个事物或概念通过图像、图表或其他方式呈现出来，以便更好地理解和分析。
在现代科技发展的背景下，映射技术得到了广泛的应用，尤其是在地图制作、数据可视化、网络安全等领域。
在地图制作方面，映射技术可以根据实际情况进行三维建模和数据分析，制作出更加真实、准确的地图。
在数据可视化方面，映射技术可以帮助我们更好地理解数据的含义和趋势，从而做出更加明智的决策。
在网络安全方面，映射技术可以帮助我们识别和分析网络攻击，从而更好地保护网络安全。
除了在技术领域的应用之外，映射还有着更广泛的意义。
人们可以通过映射来了解不同文化之间的差异，理解历史和文化发展的脉络。
同时，映射也可以帮助我们探索更深刻的哲学和人类思维的问题，例如人类意识和思维的本质等等。
可以说，映射技术不仅是一种工具，更是一种思维方式和方法论。
通过映射，我们可以更好地理解和分析事物，从而探索更深刻的问题和发现更多的可能性。
- 1 -。
映射重要知识点总结
映射重要知识点总结一、映射的定义1.1 映射的概念映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。
具体来说，如果从集合A到集合B的每个元素a都能找到集合B中的唯一元素b与之对应，那么我们就说存在从集合A到集合B的一个映射。
我们通常用f: A → B来表示这个映射，其中f表示映射的规则，A称为定义域，B称为值域，而对应的元素对(a, b)称为映射对。
1.2 映射的表示方式映射可以用图、公式、表格等形式来表示。
在图中，我们可以用箭头连接集合A和集合B 的元素，表示它们之间的对应关系；在公式中，我们可以用f(x) = y来表示映射的规则，其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素；在表格中，我们可以将集合A的元素和对应的集合B的元素按一定顺序排列，表示它们之间的对应关系。
1.3 映射的例子为了更好地理解映射的概念，我们可以举几个具体的例子。
比如说，将一个学生的学号与他的成绩对应起来，就是一个映射；将一个人的身高与体重对应起来，也是一个映射；将一个城市的名称与它的人口数量对应起来，同样也是一个映射。
二、映射的性质2.1 单射、满射和双射在研究映射的性质时，我们通常关注三个重要的性质，即单射、满射和双射。
- 单射：如果一个映射f: A → B满足对任意的x1, x2∈A，只要x1≠x2就有f(x1)≠f(x2)，那么我们就说这个映射是单射。
单射也可以表述为：对于集合A中的任意两个不同的元素，它们在集合B中的像也是不同的。
- 满射：如果一个映射f: A → B满足对于集合B中的任意元素y，都能在集合A中找到一个元素x与之对应，那么我们就说这个映射是满射。
- 双射：如果一个映射既是单射又是满射，那么我们就说这个映射是双射。
2.2 映射的复合在实际问题中，有时我们会遇到多个映射的复合。
设有两个映射f: A → B和g: B → C，我们可以定义它们的复合映射g∘f: A → C为：对于A中的任意元素x，它在C中对应的像为(g∘f)(x) = g(f(x))。
离散数学第5章
练习:
3.已知:f:X→Y, g:Y→Z, h= gf , f是满 射,h是单射,求证g是单射.
20
证明3:已知:f:X→Y, g:Y→Z, h= gf , f是满射,h是单射. 求证g是单射.
证:假设 不是单射 假设g不是单射 假设 不是单射, 1.则存在y1≠y2,而 g(y1)=g(y2); 2.而f是满射,每个y都一定有对应的x,所以对于y1 和y2 必存在y1=f(x1), y2=f(x2) 2, 3.y1≠y2 所以f(x1)≠f(x2),所以x1≠x2 ; 4.h(x1)=g(f(x1))=g(y1) h(x2)=g(f(x2))=g(y2) 所以h(x1)=h(x2) 对于不同的x,h函数具有相同值, 显然就不是单射了,与已知条件矛盾! 所以原假设不成立! 所以原假设不成立!
一一对应
定义:集合X和Y间,存在从X到Y上的双 射,则称集合X和Y一一对应 一一对应. 一一对应 集合X和Y一一对应,则:
映射的条件 单射的条件 满射的条件
1.X中每个元素在Y中有唯一 象. 唯一的象 唯一 2.X中不同元素 象各不相同 不同元素的象各不相同. 不同元素 3.Y中每个元素在X上都有原象 原象. 原象
13
实例
判断从{a,b,c,d}到{1,2,3,4,5}是否一一 是单射吗? 是满射吗? 是双射吗? 对应. 是单射吗? 是满射吗? 是双射吗? f为:f(a)=4, f(b)=5,f(c)=1,f(d)=3 不是一一对应的关系.虽然是单射,但 不是满射.所以不是双射.所以不是一 一对应的关系.
14
23
反函数的性质
也是双射函数. 是双射的, 也是双射函数 定理 设 f:A→B是双射的 则f 1:B→A也是双射函数 : 是双射的 是函数, 是关系, 证 因为 f 是函数 所以 f 1 是关系 且 dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A, 假设有x 对于任意的 y∈B = dom f 1, 假设有 1, x2∈A使得 ∈ 使得 <y,x1>∈f 1∧<y,x2>∈f 1 ∈ ∈ 成立, 成立 则由逆的定义有 <x1,y>∈f∧<x2,y>∈f ∈∧ ∈ 从而证明了f 是函数, 根据 f 的单射性可得 x1 = x2, 从而证明了 1是函数,且是 满射的. 的单射性. 满射的 下面证明 f 1 的单射性 若存在 y1, y2∈B 使得 f 1 (y1) = f 1 (y2) = x, 从而有 <y1,x>∈f 1∧<y2,x>∈f 1 ∈ ∈ <x,y1>∈f∧<x,y2>∈f y1 = y2 ∈∧ ∈
微积分第一章1-2
是X 到Y 的单射; 若f 既是单射,又是满射,则称f 为一一映射(或 双射).
5
2. 逆映射与复合映射
设f 是X 到Y 的单射, 则对每个y R f , 有唯一的 x X , 适合f ( x ) y . 于是可定义一个新映射g , 即 g : Rf X
注 : (1) 构成映射必须具备三个要素 :
集合X ,即定义域; 集合Y ,即值域的范围; 对应法 则f , 使对每个x X , 有唯一确定的y f ( x )与之对应.
(2) 对每个x X , 元素x的像 y是唯一的; 而对每 个y R f , 元素 y的原像不一定是唯一的.
(3) 一般地Rf Y , 不一定Rf Y .
当x (1, )时, 对应的 函数值f ( x ) 1 x.
O
y
y 1 x
y2 x
1
x
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2. 函数的几种特性
(1) 函数的有界性
设D是函数f ( x )的定义域 , 数集X D , 若存在 数K 1 , 对任一x X , 有 f ( x ) K1 , 则称函数f ( x )在X 上有上界.而K 1 称为函数f ( x )在 X 上的一个上界. 若存在数K2 , 对任一x X , 有
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注 : 对于映射g : X Y1 和映射f : Y2 Z , 只有 当Rg D f 时, 才能构成复合映射f g.
一般地, 若f 使f
g有意义, 但g f 未必有意义.即 g与g f 也未必相同.
g与g f 都有意义,f
映射知识点总结
映射知识点总结一、概念及基本原理映射是数学中一个非常重要的概念，它指的是将某个集合中的元素通过一个函数对应到另一个集合中的元素的过程。
在数学中，映射通常被称为函数，而两个集合之间的映射关系则被称为函数的定义域和值域。
映射的基本原理是一一对应，即一个元素只能对应到另一个元素，不能对应到多个元素，也不能没有对应的元素。
二、映射的符号表示在数学中，映射一般用函数的符号表示，即f: A → B，其中f表示函数的名称，A表示函数的定义域，B表示函数的值域。
当我们说“f是从集合A到集合B的映射”时，就是指函数f将集合A中的元素映射到集合B中的元素。
三、映射的分类根据映射的函数特性和性质，可以将映射分为多种不同的类型。
常见的映射类型包括：1. 单射：如果函数f：A → B满足对任意的x1、x2∈A，当x1≠x2时，有f(x1)≠f(x2)，则称函数f是单射。
2. 满射：如果函数f：A → B满足对任意的y∈B，存在x∈A使得f(x)=y，即每一个B中的元素都有对应的A中的元素与之对应，则称函数f是满射。
3. 双射：如果函数f：A → B既是单射又是满射，则称函数f是双射。
四、映射的应用映射在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，在工程技术领域，映射常用于描述物理量和控制系统之间的关系；在经济学和管理学领域，映射常用于描述市场供求关系和企业决策模型；在生物学和医学领域，映射常用于描述遗传规律和生理现象等。
其实，映射在数学上的应用是最为丰富和广泛的，几乎贯穿于整个数学领域。
五、映射的相关定理映射作为数学中的一个重要概念，有着许多重要的定理和性质。
其中，最为著名的定理之一就是庞加莱-齐帕多定理。
该定理是解析函数论领域中的一个重要结果，它表明了圆盘上的解析映射具有特殊的性质，可以通过保角映射将圆盘上的问题转化为单位圆上的问题。
六、映射的发展与研究自底加莱-齐帕多定理被提出以来，映射的研究领域得到了很大的发展。
在此基础上，许多数学家提出了各种不同类型的映射和函数，并研究了它们的性质与应用。
第3讲 映射的定义和性质
• Def 任意给定两个集合A和B, 若存在对应法 则f, 使得对于任意 xA, 均存在唯一的yB 与它对应, 则称f是集合A到B的映射, 或称其 为A到B的函数, 记为 f : A B
f
y
A
x
B
• 为何讨论映射? • 集合之间的对应关系.
• 其他理解方式:
x
f
y
• 映射的两个特点:
– (1)全函数. – (2)唯一性.
• 注意区别函数 f 与 f(x). • y = f(x)?
• 函数符号的选取:
– f, g,…, – F,G,…,
– ,,…,
– sin, exp, main, – add, average, hanoi, delete_string, …
离散数学
第3讲 映射的定义和性质
第1章 集合、映射与运算
1.2 映射的有关概念
本讲内容
1
映射的定义
2
映射的性质
1.2 映射的有关概念
• 1. 映射的定义 • 映射(mapping) = 函数(function).
• y = f(x) = x2 , ceiling function x , floor function x , …
• 例1-8
f :ZN
Z :...,3,2,1,0,1,2,3,...
N : 0,1,2,3,4,5,6,...
• 例1-9
f : (0,1) R
x tan x 1 π. 2
O
1
• Def 1-11 有限集合A上自身的双射称为A上 的置换(permutation).
A
A
• 例1-10
映射的概念
初中遇到过的对应:
1、对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它 对应。
２、对于坐标平面内任何一个点Ａ，都有唯一的有序数对（x，y）和它对应。
３、对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它 对应。
４、班级里的每一位学生都有唯一确定的学号与他对 应。
再如，某班级全体同学组成的集合为Ａ，正 实数集为Ｂ，让每位同学与其体重对应，则 Ａ中的每一个元素，在Ｂ中都有唯一元素与 之对应，用图可表示为：
1
(D) f: x y= 6 x
例3 设集合M={x|0x1},N={y|0y1},则下列 四个图像中,表示从M到N的映射的有哪些?
y 1
0
1
x
(1)
y
y
1
1
0
1
x
(2)
0
1
x
(3)
y 1
0
1
x
(4)
备用题1： 已知映射f：A→B，其中集合
A＝﹛-3，-2，-1，1，2，3，4﹜
且对任意a∈A,在B中和它对应的元素是
Ａ
Ｂ
班学生
班借书证
Ｂ
2.3 2.4
2
f：每个人领自己的借书证
a
1
2.5 2.6
3
b 2
c
例2 设集合，
A=﹛x∣0≤x≤6﹜,B=﹛y∣0≤y≤2﹜,从A到B的 对
应法则f，其中不是1 映射的是 (A) f: x y= 2 x
1
(C) f: x y= 4 x
（） 1 (B) f: x y= 3 x
f: x y y为x的体重数
Ａ
Ｂ
再如，坐标平面内的所有点组成的集合为Ａ， 所有的有序数对组成的集合为
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（1）已知(x,y)在映射f的作用下的 象是（x+y,x-y),求在f 的作用下 ① (1, 2)的象； （3，-1）
② （1，2）的原象。
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（2）已知集合A={x0≤x ≤4},集 合B={y 0≤y≤2},从A到B的对应 1 法则f分别为：①f:x x 2
②f:x x-2 ③f:x
x
④f:x x-2这些对应关系中， 能构成映射的共有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
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小结：本节课我们主要介绍了 映射的概念，一一映射的概念， 了解了象与原象的定义。
作业：P50 3. 4.
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映射的概念
1
金太阳新课标资源网 A B 老师都说好!
开平方
9
4
1
A
3 -3 2 -2 1 -1
一对多
30 45
求正弦
B
1 2
2 2 3 2
一对一
2
60 90
1
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9
4
1
（3）
5
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给定一个集合A到集合B的映射，且 a∈A,b∈B.如果元素a和元素b对应， 那么，我们把元素b叫做元素a的象， 元素a叫做元素b的原象。
注意：①集合A中的任何一个元素都有象， 并且象是唯一的。 ②不要求集合B中每一个元素都有原象，即 集合B中有些元素不是集合A中元素的象。 象集CB。
注意：集合A到集合B的映射与集合B 到集合 A的映射一样吗？
4
金太阳新课标资源网 老师都说好! 下列从 A到B的对应中，那些是映射？ A f:平方 B A f:首都 B
1 -1 2 -2
1 2 （1） A
中 俄 美 日
开平方
B 3 -3 2 -2 1 -1
（2）
北京 莫斯科 华盛顿 东京 伦敦
12
（4）
A
1
2
B 3 5 7 9 11 （3） B 3
3
4 A 1
2
3 4 5
5
7 9
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在映射f:AB中，象的集合 CB时的映射不是一一映射。 C=B是一一映射的必要条件。
9
练习：
金太阳新课标资源网 老师都说好!
6
A金太阳新课标资源网 B
老师都说好 ! A
B
a
b
m
n
1
2
3
5
c
d （1）
p
q
3
4 （2）
7
9
（1）对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同 的象；
（2）集合B中的每一个元素都是A中某个元素的象。 即集合B中每个元素都有原象。
7
一般的，设A,B是两个 集合，f:AB是集合A 到集合B的映射，如果 在这个映射下，对于 集合A中的不同元素， 在集合B中有不同的象， 而且B中每一个元素都 有原象，那么这个映 射叫做A到B上的一一 映射。
A
1 -1 2 -2 3 -3
求平方
1 4 B
多对一
9
乘以2 1
A
2
3
1 2 3 4 5 6
B
一老师都说好! 定义：一般的，设 A,B是两个集合，如果按 照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元 素，在集合B中都有唯一的元素和它对应， 那么这样的对应（包括集合A,B以及A到B的 对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记 作 f: A B