二次根式性质的应用

3x 2 3x 5 5(
3 3x 2 3x 5 5
3x 2 3x 5)
3 5( 3x 2 3x 5)
练习2. 设实数x、y、z满足：
x y z 4( x 5 y 4 z 3)
求x、y、z的值．
解：移项： x y z 4 x 5 y 4 z 3 0 利用 a ( a )2 (a 0) 进行配方：
3 ( y ) 2 ( y ) y y 2 y 2 1 2 ． 所以原式 2 2 3y 3 ( y ) ( y ) y y
注： a 中 a 0 即被开方数非负性和 ( a )2 a(a 0) 性质的应用．
Hale Waihona Puke Baidu
1 1994 例4. 当x 时，求 (4 x3 1997 x 1994)2003 的值． 2 [分析] 直接把x的值代入太麻烦，利用( a )2 a(a 0)把
1994 中的根号去掉，问题就好解决一点了．
解法1：因为 x
1 1994 ，所以 (2 x 1)2 ( 1994)2 ， 2 即 4 x2 4 x 1 1994 ，
2 整理得 4 x 4 x 1993 0 （凑），
2 2 2003 [ x (4 x 4 x 1993) (4 x 4 x 1993) 1] 原式
a 6 0 (1) 解：依题意得： , 18 3a 0 (2)
(1) a 6 ，
(2) a 6 , 所以a6，代入原式得b7． 注： a 中 a 0 即被开方数非负性的应用．
2004 2 ( x y ) 2 x y 4 ( x 2 y 7) 0 例2. 已知 ，求
( x 5 2)2 ( y 4 2)2 ( z 3 2)2 0
x 5 2 0 x 9 所以 ， 解得 y 8 ． y4 20 z 7 z 3 2 0
练习3. 求适合下列关系式的 m 的值．
的值．
2x y 4 0 解：因为 ， 2 ( x 2 y 7) 0
又因为两个非负数的和为0，
2 x y 4 0 x 5 ． 所以 ， 解得 x 2 y 7 0 y 6
故 ( x y)
2004
(5 6) 2004 1 ．
a ( x a ) 0 (1) a ( y a ) 0 (2) 解：因为 ， (3) x a 0 a y 0 (4)
又a、x、y是两两不同的实数，
由(1)、(3)得 a 0，
由(2)、(4)得 a 0，
所以 a 0 ．
代入原方程得： 0 x y ，所以 x y ．
二次根式性质的应用
二次根式的定义和几个重要性质
定义：一般地，形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式． 性质：(1) (2)
a 中a 0 ;
a 0 ;
2
a, a 0 (3) a a ; a a 0
(4) ( a )2 a(a 0)．
例1. 已知 a 6 2 18 3a b 7 ，求a、b的值．
3x 5 y 2 m 0 (2) 所以 ， (3) 2 x 3 y m 0
(3)2(2)得： x y 2 m 0 (4) ，
m 201 ． 联立(1)、(4)得：
3x 5 y 2 m 2 x 3 y m x 199 y 199 x y
x 199 y 0 解：因为 ，解得： x y 199 (1) ， 199 x y 0
代入原式得： 3x 5 y 2 m 2 x 3 y m 0 ，
注： a 0 即算术平方根非负性的应用．
例3. 已知 a( x a) a( y a) x a a y ，
在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同
2 2 3 x xy y 的实数，求 2 的值． 2 x xy y
[分析]题中只给出了a、x、y 的一个方程，却要求出分 式的值，所以必须充分利用隐含条件．
练习1. 已知 3x 2 3x 5 5 ，求代数式
3 x 2 3x 5 的值．
解：原式两边同乘以 ( 3x 2 3x 5) ，得：
( 3x 2 3x 5)( 3x 2 3x 5) 5( 3 x 2 3 x 5) ( 3x 2)2 ( 3x 5) 2 5( 3x 2 3x 5)
原式 ( x 4 x 2 1997 x 1994) 2003
[ x (4 x 1993) 1997 x 1994]2003 (4 x 2 4 x 1994) 2003 (4 x 1993 4 x 1994) 2003 (1) 2003 1
(1)2003 1
1 1994 例4. 当x 时，求 (4 x3 1997 x 1994)2003 的值． 2 1 1994 解法2. 因为 x ，所以 (2 x 1)2 ( 1994)2， 2 即 4 x2 4 x 1 1994 ，
2 整理得 4 x 4 x 1993（降次），
例5. 已知实数a、b满足3 a 5 b2 7 ，
s 2 a 3 b 2 ，求s的取值范围．
3 a 5 b 7 2 解：因为 b b ，所以 ， 2 a 3 b s 21 5s a 0 19 解得： ， 利用 a 0(a 0) b 14 3s 0 19 和 b 0的性质． 21 14 所以 s ． 5 3