纳维-斯托克斯方程N-S方程详细推导

连续方程物理意义： 流体在单位时间内流经单位体 积空间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代
数和为零 。
若流体不可压缩：? v x ? ? v y ? ? v z ? 0
?x ?y ?z
上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积 空间内流入与流出的液体体积之差等于零，即液体
体积守恒。 适用范围： 恒定流或非恒定流；理想液体或实际液
体。 一维流动的连续方程 ?1A1 ? ?2 A2
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重
要理论基础。可以用 牛顿第二定律r 加ur以推导。
? 受力分析：
?a ? F
1、质量力：fxρdxdydz x轴正方向
2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
? ? ( ? vx ) dxdydzdt ? ? ( ? vy ) dxdydzdt ? ? ( ? vz ) dxdydzdt
?x
?y
?z
?
?
? ? ?
?
(
? vx
?x
)
?
?(? vy )
?y
?
?
(
? vz
?z
)
? ? ?
dxdydzdt
3、微元体内的质量变化：?? dxdydzdt
y
微元体及其表面的质量
通量
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入
与输出的质量差：
??
vx
?dydzdt?
????vx
?
?(? vx
?x
)
dx???dydzdt?
?
?(? vx
?x
)
dxdydzdt
Y方向：?
?
(
?
?
v z
z
)
dxdydzdt
：
；
Z方向?
?(?v
?y
y
)
dxdydzdt
?z
?
1 (?uy 2 ?x
?
?ux ) ?y
亥姆霍兹速度分解定理
整理 推广
得
不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中的 连续性方程质量守恒
z
dy
? vxdydz
dz
dx
输入微元体 － 输出微元体
的质量流量 的质量流量
? ?? ?
vx
?
?
??vx
?x
??
dx?dydz ?
＝ 微元体内的
质量变化率
x
Y?
1
?
?p ?y
?uz ?t
?
?uz ?x
ux
?
?uz ?y
uy
?
?uz ?z
uz
?
Z
?
1 ?
?p ?z
理想流体的运动微分方程
即欧拉运动微分方程
粘性流体的运动微分方程
以流体微元为分析对象，流体的运动方程可 写为如下的矢量形式：
DV ? ?F ? P
(1)
Dt
这里 ：
DV ? ?V ? ?V ?? ?V
?t
从而有：
?
? ? ?
?
(
? vx
?x
)
?
? (? vy )
?y
?
?
(
? vz
?z
)
? ? ?
dxdydzdt
?
??
?t
dxdydzdt
或： ?? ? ?(? vx ) ? ?(? vy ) ? ?(? vz ) ? 0
?t ?x
?y
?z
连续性方程
矢量形式：
?
r
g(?? )
?
??
?t
?0
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
?
?dxdydz dux
dt
fx
?
1
?
?p ?x
?
du x dt
fy
?
1 ?
?p ?y
?
du y dt
fz
?
1
?
?p ?z
?
du z dt
?ux ?t
?
?ux ?x
ux
?
?ux ?y
uy
?
?ux ?z
uz
?
X
?
1
?
?p ?x
?u y ?t
?
?u y ?x
ux
?
?u y ?y
uy
?
?u y ?z
uz
?
?当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由 平动、线变形、角变形及旋转四种基本形式所组成 。
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动
右图为任意 t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体 微团。由于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微 小的时间间隔后，该流体微团的形状和大小会发生变化 ，变成了斜四边形。
流体微团的运动形式 与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速 分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边 的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
微团上每一点的速度都包含 中心点的速度 以及由于坐标位置不同 所引起的速度增量两个组成部分。
?平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和 uy ，使它们在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一距离 uydt 。因而，把 中 心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流体微团的平移 运动速度。
?线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x
方向的速度差为
，当这速度差值为正时
，微团沿 x 方向发生伸长变形；当它为负时，微
团沿 x 方向发生缩短变形。
?线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线 变形速度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
Dt ?t
(2)
是流体微团的DDt ?加??t 速? ?V度?? ?，? ??t微? V分i ??xi符号：
(3)
百度文库
称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的 某性质
应力状态及切应力互等定律
?
zz
?
?? zz ?z
dz
? yz
?
?? yz
?y
dy
?zx
?
?? zx ?z
dz
；
；
?
x
?
1 (?uz 2 ?y
?
?u y ?z
)
?
y
?
1 (?ux 2 ?z
?
?uz ) ?x
?
z
?
1 (?uy 2 ?x
?
?ux ) ?y
?角变形速度：直角边 AMC （或BMD）与对角线
EMF 的夹角的变形速度
?x
?
1 (?uz 2 ?y
?
?u y ) ?z
?y
?
y (?ux 2 ?z
?
?uz ) ?x
2、表面力： 切向应力＝0（理想流体） 法向应力＝压强
p ? ?p dx p ? ?p dx
?x 2
?x 2
x轴正方向
x轴负方向
理想流体的运动微分方程
根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
fx?dxdydz ?
?? p ? ?
?p ?x
dx ??dydz ? 2?
?? p ? ?
?p ?x
dx ??dydz 2?
本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月
内容提要
? 流体运动分析及理想流体基本方程 ? 真实流体受力分析 ? 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本
方程
流体质点运动的分析
?分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运 动的基础。
?流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本 运动形式有 平移运动、旋转运动、线变形和角变形 运动等。实际运动也可能遇到只有其中的某几种形 式所组成。