第四章特殊变换及其矩阵

定理 8 与正规矩阵酉相似的方阵仍然是正规矩阵。
证明：如果存在酉矩阵 U ，使得 B = U - 1 AU ，则
BBH = (U - 1 AU )(U - 1 AU ) H
= U - 1 AUU H AHU H
= U - 1 AAHU -
H
= U - 1 AH AU -
H
= U H AH AU
= U H AH (U - 1 ) H U - 1 AU = (U - 1 AU ) H (U - 1 AU )
H
nGn
u u u u
H 1 1 1 H 2 2 2
u u
H n n n
1 1 1 1 i 1 1 i A (1 i ) (1 i ) 2 i 1 2i 1 1 1
注意这里矩阵的特征值为复数
| t1 n |2 | t11 |2
, n)
对 i 施行归纳法，可得 ti j 0 ( i j ) ，证毕。
定 理 5 的 证 明
必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉 矩阵 U 及对角阵 D ，使得 A UDU H 因此 AAH (UDU H )(UDU H ) H UDDU H
U DDU H (U DU H )(UDU H ) AH A
充分性。根据Schur引理，存在酉矩阵 U 及
上三角阵 T ，使得 A UTU
H H
H
显然 A A AA 当且仅当 T T T T 。 根据引理6， T 是对角矩阵。故 A 是正规阵。
H H
例 7 判断下列矩阵是不是正规矩阵：
条件是 T 在 V 的任意一组标准正交基下的矩阵
A 满足
A A ( A A)
H T
例 5 (方阵的Cartesian分解)
任意复方阵 A 可分解为
A H1 i H2 ,
其中 H , H 都是Hermite矩阵。 1 2
例 6 (Cayley变换)
方阵 A 是实反对称矩阵，那么 I A 是非奇异 的，并且Cayley变换矩阵
二、正规矩阵的等价定义
定理 4 ( Schur 引理 ) 任何复方阵 A 必酉相似于 一个上三角阵
T 。即存在酉矩阵 U H U AU = T .
H
，使
并称
A = UTU
为方阵 A 的Schur分解。
100多年前(1909年) Schur给出的Schur 引理是矩阵理
论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在
S ( I A)( I A)
是正交矩阵。
1
证明： 因为 AT A ，所以对任意的 x R n，
有
x Ax ( x Ax) x ( A) x x A x T 因此 x Ax 0 。对于 ( I A) x 0
T T T T T T
x x x ( I A) x 0 ，从而方程组 只有零解，所以 ( I A) 是非奇异的。
则称
，使得
U H AU = U - 1 AU = B
QT AQ = Q- 1 AQ = B
A 酉相似（或正交相似）于 B
。
酉空间 V 上的线性变换 T 称为 V上的一个 正规变换，如果存在 V 的标准正交基 ε1 , ε2 , L , εn 定义2
及对角矩阵
D º diag(d1, d2 , L , d n )
矩阵计算中也具有相当重要的地位。
根据Schur引理，可以推出正规矩阵的一个相当美妙
的性质，此性质经常被当作正规矩阵的等价定义。
定理 5
方阵 A 是正规的，当且仅当
AAH = AH A .
为证明这个结论，再给出一个引理。
引理 6 对角阵。 满足
TT = T T
H H
的三角阵
T 必是
证
明
对上三角阵 T ( ti j )
满足
(T ( ε1 ), T ( ε2 ), L , T ( εn )) = ( ε1 ,ε2 , L , εn ) D
并称 T 在任意标准正交基 示为正规矩阵。
η1 ,η2 , L , ηn下的矩阵表
定理3
正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是
酉相似的。
证明：设正规变换 T 在 V 的两组标准正交基
，比较等式
T T H = T HT
两边乘积矩阵在第 i 行第 i 列位置上的元素 ，并注 意到 ti j 0 ( i j ) ，因此对 i 1, 2, , n ，有
| ti i |
2
| ti n | | t1 i |
2 2
| ti i |
2
当 i 1 时，有 | t11 |2 | t12 |2 可知 t1 j 0 ( j 2, 3,
(T ( ), ) ( , T ( )) .
则称 称
T 为 V 上的 Hermite 变换（对称变换） ，并
T 在 V 的任意一组标准正交基下的矩阵表示为
Hermite 矩阵（对称矩阵）。
定理 2 酉空间（或欧氏空间） V 上的线性变换 T 是 Hermite 变换（对称变换）的充要条件是 T 在 V
= (T ( ε1 ), T ( ε2 ), L , T ( εn ))U = ( ε1 , ε2 , L , εn ) AU = (η1 ,η2 , L , ηn )U H AU
所以 B = U H AU ，结论成立。 根据定理3，正规变换在任一标准正交基下的矩阵
表示必定酉相似于对角阵，即
Λ = U H AU
H 2
因此 3 2 ，即
从而 2 ，故
2 3 i i
，故 i 0 或 1.
A2 U 2U H U U H A.
课后思考
1、实正规矩阵是否正交相似于实 对角矩阵？
2、实正规矩阵是否正交相似于复 对角矩阵？ 3、实正规矩阵正交相似于什么 样的“简单”矩阵？
aj i , (T ( j ), i ) ai j
所以 从而
a j i (T ( i ), j ) ( i , T ( j ))
A A
H
(T ( j ), i ) ai j
定义3
设
性变换，如果对任意 、 V ， 都有
T 是酉空间（或欧氏空间） V 上的线
A A
T
推广到酉空间，相应的矩阵称为Hermite矩阵，满足 关系式
AH A
既然矩阵与变换一一对应，那么Hermite矩阵以及实
对称矩阵与什么样的变换对应呢？
设 T 在酉空间 V 的一组标准正交基 下的矩阵表示为 A 且 A H A 。
任取
1 , 2， ， n
、 V
，设
= (1 , 2， ， n ) x, = (1 , 2， ， n ) y
第四章
特殊变换及其矩阵
§1、正规变换与正规矩阵
正规变换（正规矩阵）可以说是对称变换 （对称矩阵）、正交变换（正交矩阵）等 的推广和抽象，即只关心永恒的主题---“对角化”的问题。这又一次体现出现代 数学高度的抽象和统一。
链接：《现代数学的特点与意义》，孙小礼、杜珣， 《大学数学》，1992，2（或 杜珣《现代数学引论》 序言）或其他。
§2、Hermite变换及Hermite矩阵
单从变换的角度我们很难把Hermite变换 （对称变换）与正规变换联系起来，但从 Hermite矩阵（对称矩阵）的定义，或者 从Hermite矩阵（对称矩阵） 都可对角化 上却能找到两者的关联，这似乎可以作为 数学的“奇异美”的一个例证。
我们知道，实对称矩阵 A 满足关系式
（1）实对称矩阵（ A A ）；
T
（2）实反对称矩阵（ AT A ）；
（3）正交矩阵 （A A
T H 1
）；
天下英雄尽 入吾彀矣！
（4）酉矩阵（ AH A1 ）； （5）Hermite 矩阵（
A A ）；
H
（6）反Hermite 矩阵（ A
A ）；
1 1 （7）形如 a , a R or C 的矩阵。 1 1
, un ) ( Au1 ,
, Aun ) (1u1 ,
, nun )
充分性。若有 U H AU ，显然可验证
AH A AAH
定理10
方阵 A 是正规的，当且仅当 A 有 n 个
两两正交的单位特征向量,即对应于不同特征值的特 征子空间相互正交（完备正交系）。 证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉 矩阵 U ( u1 , , un ) 及对角阵 diag(1 , , n ) 使得 U H AU 因此 A( u1 , ，即 AU U
两方阵 A, B 互逆的条件是成立关系式
AB BAБайду номын сангаас I .
从纯代数角度看，如果去掉乘积为单位矩阵的限制， 那么两矩阵是可交换矩阵。
联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果再限定两
矩阵互为转置，即要求成立 AAT AT A ，情况又如 何？
显然对称矩阵 ( AT A) 和反对称矩阵 ( AT A) 都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具
则
T ( ) (1 , 2， ， n ) Ax, T ( ) ( 1 , 2， ， n ) Ay, (T ( ), ) y Ax ( y A ) x
H H H
( A y) H x ( , (T ( ))
一、 Hermite变换（对称变换）
定义1 设 T 是酉空间（或欧氏空间） V 上的线 性变换，如果对任意 、 V ， 都有
例11 设 A 为正规矩阵，且 A A ，则 A A.
3 2
2
因为 A 是正规矩阵，所以存在酉矩阵 U ，使得
A U U H
再由 A A ，得
3 2
(U U ) (U U )(U U )(U U )
H 3 H H H
U U U U (U U )
3 H 2 H
(T ( ), ) ( , T ( )) .
T 为 V 上的 反Hermite 变换（或反对称变 换），并称 T 在 V 的任意一组标准正交基下的矩
则称 阵表示为反Hermite 矩阵（反对称矩阵）。
定理 4
酉空间（或欧氏空间） V 上的线性变
换 T 是 反Hermite 变换（或反对称变换）的充要
ε1 , ε2 , L , εn 和 η1 ,η2 , L , ηn 下的矩阵表示 分别为 A、B ，并设 (η1 ,η2 , L , ηn ) = ( ε1 ,ε2 , L , εn )U
显然过渡矩阵 U 是酉矩阵（请试试自己证明一下）
因为
( η1 ,η2 , L , ηn ) B
= (T ( η1 ), T ( η2 ), L , T ( ηn ))
的任意一组标准正交基下的矩阵
A 满足
A A ( A A)
H T
即 A 是Hermite矩阵。
证明：
必要性。
设 T 在 V 的一组标准正交基
1 , 2， ， n 下的矩阵表示为 A (ai j ) 。
(T ( i ), j ) (a1 i1 a2 i 2
an i n , j )
, un ) ( Au1 ,
, Aun ) (1u1 ,
, nun )
充分性。若 A 有 n 个两两正交的单位特征向量
u1 ,
, un ，取 U ( u1 ,
, un ) 即可。
正规矩阵的谱分解
H U UH AU AU U 1 AU
A UU 1G1 2G2
= B H B.
定理 9
征值。
方阵 A 是正规的，当且仅当 A 与对角矩
阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉 矩阵 U ( u1 , , un ) 及对角阵 diag(1 , , n ) 使得 U H AU 因此 A( u1 , ，即 AU U
由于
T T
由于
S ( I A) ( I A) ( I A) ( I A) S ( I A )( I A ) ( I A) ( I A)
有性质 AAT AT A 的这种新矩阵就“一统江湖”， 具有了统一性。
对称矩阵最主要的性质是可以对角化，尤其是可以正
交对角化，推广到这种新矩阵后这个性质是否还能保 留呢？
一、正规变换(Normal Transformation)
定义1 对于复方阵（或实方阵）A、B ，如果存在酉
矩阵 U 或正交矩阵 Q 或