中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类及答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1O ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O 于点D ．

()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；

()2如图3，当DC AC =时，延长AB 至点E ，使12BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O 的切线；

②求PC 的长．

【答案】（1）26；（2）333-①见解析，②．

【解析】 分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出

OBD 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==，求出答案即

可； ②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 详解：()1如图2，连接OD ，

//OP PD PD AB ⊥，，

90POB ∴∠=，

O 的直径12AB =，

6OB OD ∴==，

在Rt POB 中，30ABC ∠=，

3tan30623OP OB ∴=⋅== 在Rt POD 中，

22226(23)26PD OD OP =-=-=；

()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，

DC AC =，

30DBC ABC ∴∠=∠=，

60ABD ∴∠=，

OB OD =，

OBD ∴是等边三角形，

OD FB ∴⊥，

12

BE AB =， OB BE ∴=，

//BF ED ∴，

90ODE OFB ∴∠=∠=，

DE ∴是O 的切线；

②由①知，OD BC ⊥，

3cos30633CF FB OB ∴==⋅== 在Rt POD 中，OF DF =， 13(2

PF DO ∴==直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)， 333CP CF PF ∴=-=．

点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出OBD 是等边三角形是解题关键．

2．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．

（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；

（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF ＝3，求阴影部分的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）

6334π-. 【解析】

【分析】

（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得

∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.

（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.

【详解】

解：（1）证明：连接OC ，如图，

∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PC,

∴∠PCA+∠ACO=90º,

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º

∴∠PCA=∠OCB,

∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,

∴∠PCA=∠ABC ；

（2）连接OE ，如图，

∵△ACB 中，∠ACB ＝90º,∠CAB ＝2∠B,

∴∠B ＝30º,∠CAB ＝60º,∴△OCA 是等边三角形，

∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD ＝∠CAD ＋∠ABC ＝90º,

∴∠ACD ＝∠B ＝30º,

∵PC ∥AE,∴∠PCA ＝∠CAE ＝30º,∴FC=FA,

同理，CF ＝FM,∴AM ＝2CF=23,

Rt △ACM 中，易得AC=23×32

=3＝OC, ∵∠B ＝∠CAE ＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,

∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,

连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点，如图所示，

∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO ＝3

∵△CDO ≌△EDO(AAS)，

∴332 ∴1332

ABM S AB MO ∆=⨯= 同样，易求93AOE S ∆=

， 260333602

BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形933633332ππ-+-=

. 【点睛】

本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.

3．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AD 、BC 的延长线交于点F ，点E 在CF 上，且∠DEC =∠BAC ．

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；

（2）当AB =AC 时，若CE =2，EF =3，求⊙O 的半径．

【答案】（1）证明见解析；（2）354

． 【解析】

【分析】 （1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；

（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ，根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3，根据勾股定理得到CD 225DE CE =

-=，证明△CDE ∽△DBE ，根据相似三

角形的性质即可得到结论．

【详解】

（1）如图，连接BD ．

∵∠BAD =90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD =90°，∴∠DEC +∠CDE =90°． ∵∠DEC =∠BAC ，∴∠BAC +∠CDE =90°．

∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ．

∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；

（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°．

∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．

∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3．

∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=

∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°．

∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴

CD BD CE DE =，∴BD 5335⨯==，∴⊙O 的半径35=．