新人教A版高中数学必修5 第二章 数列 课件2.2等差数列
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高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
高中数学人教A版必修5第二章2.2等差数列2课时课件
a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整 除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下 一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原 数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是 原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出 什么结论?
人教a版必修五课件：等差数列的性质(52页)
2．在等差数列{an}中，若 an＋am＝ap＋aq，则 m＋n＝p ＋q 吗？
提示：不一定，若{an}是常数列，则 m＋n＝p＋q 不一 定成立．若{an}不是常数列，则 m＋n＝p＋q 成立．
3．等差数列的“子数列”有什么性质？
提示：若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差 数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公差为 2d 的等差数列； 偶数项数列{a2n}是公差为 2d 的等差数列； (3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．
等差数列．
思考感悟
1．等差数列的通项同一次函数间是什么关系？
提示：(1)当等差数列的公差 d＝0 时，其通项 an＝a1， 是不随自变量变化而变化的常数， 是常函数， 不是一次函数． (2)当等差数列的公差 d≠0 时，其通项 an＝a1＋(n－1)d ＝dn＋(a1－d)，显然其是关于 n 的一次函数．
ai＋an－i＋1＝„
.
(4)若数列{an}为等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b 是常 数)是公差为 λd 的等差数列． (5)若数列{an}为等差数列， 则下标成等差数列且公差为 m 的项 ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)组成公差为 md 的等 差数列． (6)若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{Aan＋Bbn}也是
第二章
数列
2.2 等差数列
第2课时 等差数列的性质
课前自主预习 课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律． 2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用.
高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
人教版高中数学必修五 2.2 等差数列
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d 为常数，n∈N*).
知识2：等差中项 问题导思：
如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么它们之间有怎样的 数量关系？ 答：因为 A－a＝b－A，所以 a＋b＝2A.
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．它 们之间的关系式是 a＋b＝2A .
4．已知等差数列{an}：－1,2,5,8，…，求公差 d 和 a10. 解：∵a1＝－1， ∴d＝a2－a1＝2－(－1)＝3， ∴a10＝a1＋(10－1)×d＝－1＋9×3＝26.
变式训练 3：《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹
子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，
下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为( )
A．1 升
B.6676升
C.4474升
D.3373升
【解析】设所构成数列为{an}，且其首项为 a1，公差为 d， 依题意得aa17＋＋aa28＋＋aa39＋＝a44，＝3， 即43aa11＋＋62d1＝d＝3，4，
2．等差数列的通项公式可以解决以下三类问题： (1)已知 an，a1，n，d 中的任意三个量，可求出第四个量； (2)已知数列{an}的通项公式，可以求出等差数列{an}中的 任一项，也可以判断某一个数是否是该数列中的项； (3)若已知{an}的通项公式是关于 n 的一次函数或常数函 数，则可判断{an}是等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)×5＝5n－4， ∴a80＝5×80－4＝396.
(2)a1＝a2－d＝12＋2＝14， ∴an＝14＋(n－1)×(－2)＝－20， ∴n＝18.
类型3：等差数列的实际应用问题 例 3：梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽 110 cm，中间还有 10 级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．
知识2：等差中项 问题导思：
如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么它们之间有怎样的 数量关系？ 答：因为 A－a＝b－A，所以 a＋b＝2A.
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．它 们之间的关系式是 a＋b＝2A .
4．已知等差数列{an}：－1,2,5,8，…，求公差 d 和 a10. 解：∵a1＝－1， ∴d＝a2－a1＝2－(－1)＝3， ∴a10＝a1＋(10－1)×d＝－1＋9×3＝26.
变式训练 3：《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹
子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，
下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为( )
A．1 升
B.6676升
C.4474升
D.3373升
【解析】设所构成数列为{an}，且其首项为 a1，公差为 d， 依题意得aa17＋＋aa28＋＋aa39＋＝a44，＝3， 即43aa11＋＋62d1＝d＝3，4，
2．等差数列的通项公式可以解决以下三类问题： (1)已知 an，a1，n，d 中的任意三个量，可求出第四个量； (2)已知数列{an}的通项公式，可以求出等差数列{an}中的 任一项，也可以判断某一个数是否是该数列中的项； (3)若已知{an}的通项公式是关于 n 的一次函数或常数函 数，则可判断{an}是等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)×5＝5n－4， ∴a80＝5×80－4＝396.
(2)a1＝a2－d＝12＋2＝14， ∴an＝14＋(n－1)×(－2)＝－20， ∴n＝18.
类型3：等差数列的实际应用问题 例 3：梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽 110 cm，中间还有 10 级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距 若 是有穷等差数列， 是有穷等差数列 则与首、 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. ＝ ＋ － － (5)数列 n＋b}(λ、b是常数 是公差为 的等差数 数列{λa 是常数)是公差为 数列 、 是常数 是公差为λd的等差数 列．
方法感悟
若数列{a 是公差为 的等差数列，则有： 若数列 n}是公差为 d 的等差数列，则有： an－a1 am－ak (1)d＝ (m、n、k∈N*)． ＝ ＝ 、 、 ∈ ． n－1 m－k － － (2)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an 若 ＋ ＝ ＋ 、 、 、 ∈ ， ＝ap＋aq. m＋n ＋ (3)若 若 ＝k，则 am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)． ， 、 、 ∈ ． 2
差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列， ＜ ，所以利润构成的数列是一个递减数列， 即随着n的增大， 的值越来越小， 即随着 的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处 的增大 时 此处 暗含a － 成立 公司将出现亏损． 成立)公司将出现亏损 暗含 n－1≥0成立 公司将出现亏损．
变式训练2 变式训练
体考虑问题． 利用 利用2a 利用a 体考虑问题．(1)利用 4＝a3＋a5，(2)利用 n＝ 利用 am＋(n－m)d. －
解析】 【 解析】 (1)∵a3＋ a4＋a5＝12，∴ 3a4＝ 12，a4 ∵ ， ， ＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋ ＋ ＋ ＋ a4＝7a4＝28. (2)在等差数列 n}中，根据 an＝am＋(n－m)d， 在等差数列{a 中 在等差数列 － ， 1 ∴a51＝a11＋40d，∴d＝ (54＋26)＝2. ， ＝ ＋ ＝ 40 ＝－26＋ × ＝－ ＝－20. ∴a14＝a11＋3d＝－ ＋3×2＝－ ＝－
人教A版高中数学必修五2.2《等差数列》课件
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/ 8/3202 1/8/320 21/8/3 2021/8/ 38/3/2 021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021 年8月3 日星期 二2021/ 8/3202 1/8/320 21/8/3
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2 021年8 月2021 /8/320 21/8/32 021/8/ 38/3/20 21
a1,an,n,d 知三求一
例2 、在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,
求{an}的通项公式 解：由题意可得 a1+5d=12
a1+17d=36 ∴ d = 2 ，a1 =2
∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n
求通项公式的关键:
求基本量a1和d
方程思想
等差数列的通项公式为：
通项公式应用
例1（1）求等差数列7，4，1，-2，…的第100项； （2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…
的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
变式：《九章算术•均输章》——等差数列问题 今有金箠(chui)，长五尺。斩本一尺，重四斤； 斩末一尺，重二斤。问次一尺各重几何。
a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d
…
归纳： an=a1+(n-1)d
当n=1时，上式也成立。
观察归纳
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
6.等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列{an}中的任意两项 an,am(n,m∈N*,m≠n),
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
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3 2 1 0
等差数列的图象3
（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
●
●
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●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
等差数列的通项公式为：
an d n (a1 d )
an pn q
直线的一般形式：
y kx b
等差数列的图象为相应直线上的点。
y
o
x
巩固练习 1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ ) A. 1 B. -1
2.2等差数列
在过去的三百 多年里，人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星：
相差76
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062 ）
你能预测出下一次 的大致时间吗？
主持人问: 最近的时间什么 时候可以看到哈雷慧星？ 天文学家陈丹说: 2062年左 右。
通常情况下，从地面 到10公里的高空，气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律， 请你根据下表估计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。
(4) 2，0，-2，-4，-6，-8 …
a4 10 7 3 1 3 3
a3 7 4 3 1 2 3
a2 4 1 3
1，4，7，10，13，16，…
an 2 (n 1) (2)
等差数列的通项公式
如果一个数列
a1 , a2 , a3 , …，an , …
an an 2 2
例4 求证：一个数列 an 为等差数列的充 要条件是 an pn q ( p, q为常数)
判断数列是否为等差数列的常用方法：
(1) 定义法: 证明an－an－1＝d (常数)
(2) 中项法: 利用中项公式，若2b＝a＋c, 则a, b, c成等差数列. (3) 通项公式法: 等差数列的通项公式是 关于n的一次函数.
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象1●
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
●
●
an f (n)
●
●
1
●
●
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象2
（2）数列：7，4，1，-2，…
●
●
●
1
2
3
4
●
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
n=1时亦适合
等差数列的通项公式
a2 a1 d
a3 a2 d
…
a4 a3 d
an1 an2 d
an an1 d
迭加得 an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
用一下
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
a12 0
思考
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列： 3 （1）2 ，(a b) ， 4 (3) , ( 2
a
（2）-12，( -6 ) ，0
),
b
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。
ab A 2
an 1
(3)
1，4，7，10，（ 13 ），16，…
(4)
2， 0， -2， -4， -6，（ -8 ）…
它们的共同的规律是？
d=76
( 1 ) 1682，1758，1834，1910，1986，（2062）
d=-6.5
( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （ -20）.
d=3
2 2 提示： 300< 83+5×（n-1）500 44 n 84 5 5
n=45，46，…，84
课下作业：
P40 1、3、5
解答课本例2，并思考：为什么梯子的两 侧是直线？你能用本节知识和平面几何知 识解答吗？
这是一个以 a1 和 d 为未知数的二元一次 方程组，解这个方程组，得 a1 ２，公差是３.
练一练
4. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19, 求a1与d.
a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a9 3，求a12
a1 11, d 1
提示： (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 ) 提示： d=an+1- an=-4
1 C.3
5 D. 11
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 . 3. 在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？ 40
(5)
(6) (7)
1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
5，5，5，5，5，5，…公差 d=0 常数列
x,3x,5x, 7 x,9 x,
公差 d= 2x
你会求它们的通项 公式吗？ (3)
a5 13 10 3 1 4 3
…… an 1 (n 1) 3
高度(km) 温度(℃) 1 28 2 21.5 3 15 4 8.5 5 2 … …
8844.43米
减少6.5
9 -24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
你能根据规律在（ ） 内填上合适的数吗？
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（2062）. ( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）.
7 3. -20是不是等差数列0，- 2 ，-7…中的项；
47 7 20 0 (n 1) n (舍) 7 2
例2
在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d. an a1 (n 1)d 解：由题意可知
a1 4 d 10 a1 11d 31
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d an a1 (n 1)d
( 3 ) 1，4，7，10，（ 13 ），16，…
d=-2
( 4 ) 2，0，-2，-4，-6，（ -8 ）,…
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
它们是等差数列吗？
an 是项数 n 的函数
解： a1
an a1 (n 1)d
8 , d 5 8 3, n 20 ,
a20 8 (20 1) (3) 49
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？ 解： a1
5, d 9 (5) 4, an 401 ,
5 (n 1) (4)
因此， 401
解得
n 100
练一练
a4 15 ,
an a1 (n 1)d
a7 27, a10 39
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？
100 2 (n 1) 7 n 15
等差数列的图象3
（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
等差数列的通项公式为：
an d n (a1 d )
an pn q
直线的一般形式：
y kx b
等差数列的图象为相应直线上的点。
y
o
x
巩固练习 1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ ) A. 1 B. -1
2.2等差数列
在过去的三百 多年里，人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星：
相差76
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062 ）
你能预测出下一次 的大致时间吗？
主持人问: 最近的时间什么 时候可以看到哈雷慧星？ 天文学家陈丹说: 2062年左 右。
通常情况下，从地面 到10公里的高空，气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律， 请你根据下表估计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。
(4) 2，0，-2，-4，-6，-8 …
a4 10 7 3 1 3 3
a3 7 4 3 1 2 3
a2 4 1 3
1，4，7，10，13，16，…
an 2 (n 1) (2)
等差数列的通项公式
如果一个数列
a1 , a2 , a3 , …，an , …
an an 2 2
例4 求证：一个数列 an 为等差数列的充 要条件是 an pn q ( p, q为常数)
判断数列是否为等差数列的常用方法：
(1) 定义法: 证明an－an－1＝d (常数)
(2) 中项法: 利用中项公式，若2b＝a＋c, 则a, b, c成等差数列. (3) 通项公式法: 等差数列的通项公式是 关于n的一次函数.
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象1●
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
●
●
an f (n)
●
●
1
●
●
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象2
（2）数列：7，4，1，-2，…
●
●
●
1
2
3
4
●
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
n=1时亦适合
等差数列的通项公式
a2 a1 d
a3 a2 d
…
a4 a3 d
an1 an2 d
an an1 d
迭加得 an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
用一下
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
a12 0
思考
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列： 3 （1）2 ，(a b) ， 4 (3) , ( 2
a
（2）-12，( -6 ) ，0
),
b
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。
ab A 2
an 1
(3)
1，4，7，10，（ 13 ），16，…
(4)
2， 0， -2， -4， -6，（ -8 ）…
它们的共同的规律是？
d=76
( 1 ) 1682，1758，1834，1910，1986，（2062）
d=-6.5
( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （ -20）.
d=3
2 2 提示： 300< 83+5×（n-1）500 44 n 84 5 5
n=45，46，…，84
课下作业：
P40 1、3、5
解答课本例2，并思考：为什么梯子的两 侧是直线？你能用本节知识和平面几何知 识解答吗？
这是一个以 a1 和 d 为未知数的二元一次 方程组，解这个方程组，得 a1 ２，公差是３.
练一练
4. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19, 求a1与d.
a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a9 3，求a12
a1 11, d 1
提示： (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 ) 提示： d=an+1- an=-4
1 C.3
5 D. 11
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 . 3. 在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？ 40
(5)
(6) (7)
1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
5，5，5，5，5，5，…公差 d=0 常数列
x,3x,5x, 7 x,9 x,
公差 d= 2x
你会求它们的通项 公式吗？ (3)
a5 13 10 3 1 4 3
…… an 1 (n 1) 3
高度(km) 温度(℃) 1 28 2 21.5 3 15 4 8.5 5 2 … …
8844.43米
减少6.5
9 -24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
你能根据规律在（ ） 内填上合适的数吗？
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（2062）. ( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）.
7 3. -20是不是等差数列0，- 2 ，-7…中的项；
47 7 20 0 (n 1) n (舍) 7 2
例2
在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d. an a1 (n 1)d 解：由题意可知
a1 4 d 10 a1 11d 31
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d an a1 (n 1)d
( 3 ) 1，4，7，10，（ 13 ），16，…
d=-2
( 4 ) 2，0，-2，-4，-6，（ -8 ）,…
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
它们是等差数列吗？
an 是项数 n 的函数
解： a1
an a1 (n 1)d
8 , d 5 8 3, n 20 ,
a20 8 (20 1) (3) 49
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？ 解： a1
5, d 9 (5) 4, an 401 ,
5 (n 1) (4)
因此， 401
解得
n 100
练一练
a4 15 ,
an a1 (n 1)d
a7 27, a10 39
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？
100 2 (n 1) 7 n 15