控制工程基础第4章 根轨迹法
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根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
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第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
第四章控制系统的根轨迹分析法
控制系统的根轨迹分析法
根轨迹分析法是一种图解分析法，利用它求解 高阶系统中某一参数对系统性能的影响将非常方便。
§4.1
§4.2 §4.4 §4.3
根轨迹的基本概念及分析方法
绘制根轨迹的基本规则 系统性能的根轨迹分析 参量根轨迹——广义根轨迹
§4.1
根轨迹的基本概念及分析方法
系统开环中某一参数从0→∞时，闭环系统特征 根在 S 平面上的位置也随之变化移动，一个根形成 一条轨迹。 Y R K
6)根轨迹与虚轴的交点 [例]已知系统开环
GH ( s ) Kg s ( s 1)( s 2 )
也可以用劳斯表求交点
交点
s j
-p1
Im
j
Re
求与虚轴交点 [解]已知与虚轴交点处 s j 代入
j ( j 1)( j 2 ) K g 0
j 3
[例]求系统特征方程 的根随开环增益K的 变化在S平面上的位 置变化情况，并分析 K对系统的影响。
s(s 2)
(s)
Y (s) R (s)
K s 2s K
2
[解] 以K为参数求根迹 当K从0→∞ 系统的闭环传递函数 连续变化时, K C(s) 得到无数组 = 特征方程的 R(s) S2+2S+K 根,组成图形
8
jω
p2 600 p 0 1 -1
例 试确定系统分离点。 Kr G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 前例已求得根轨迹的渐近线 解： 和实轴上的根轨迹段 根轨迹的分离点： p3 A(s)B'(s)=A'(s)B(s) 2 -2 (3S +6S+2)=0 s2=-1.57 s1=-0.43 s2没有位于根轨迹上，舍去。
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
第四章控制系统的根轨迹法
9
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
第四章根轨迹分析法
j=1
i=1 ≠b
例 设系统开环传递函数零、极点的分布如图4-9所
示，试确定根轨迹离开复数共极点- p1 、- p2的出
射角。
解 按公式（4-28），由作图结果得
øb= +180°（2k+1) + - p1+ z1- - p1+ p2-
jw
- p1+ p3- - p1+ p4
S平面
= +180°（2k+1) +45° -90°-135°-26.6°
根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现 纯虚根。故可在闭环特征方程中令s=jw，然后令 其实部和虚部分别等于0，从中求得交点的坐标 值及其相应的Kg值。 例 设系统的开环传递函数为
Gk（s）=s（s+1K）g（s+2）
试求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界根轨迹增 益Kgp。
解 闭环系统的特征方程为 s（s+1）（s+2）+Kg=0
确定根轨迹上某点对应的K*值
例：开环传函 G(s)H(s)= K ，求根轨迹
(s+1)(s+2)
解 1、确定极点、零点
开环 –p1= -1, –p2= -2
无零点
1、相角条件
∠(s+zi)- ∠(s+pj) = 0-[∠(s+1)+ ∠(s+2)] =±180o(2k+1)
试差法 s= -1.5
∠θ1+ ∠θ2=180 o
故 D’(s)=3s2+6s+2
N’(s)=0
解得 s1=-0.423 s2=-1.577
由于s2不在根轨迹上，因而分离点是s1 。
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
自动控制原理第四章根轨迹法
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
【控制工程】第4章 根轨迹法
a
2k 1
nm
极点之和减去 零点之和。
k依 次 取0， 1， 2，一 直
到 获得n m个 倾角 为 止。
例1、某单位反馈系统的开环传递函数为
Gs
ss
K
1s
2
开环有三个极点 p1 0, p2 1, p3 2
开环无零点
n 3, m 0, 故三条根轨迹趋向处。
渐进线与实轴交点的坐标为
[S]
Apj s pj
pj s pj
i 1,2,m j 1,2,n
因此有：幅角条件
m
n
zi pj 180 2k 1
i 1
j 1
k 0,1,2,
m
Azi
幅值条件
K
i 1 n
1
Apj
j 1
可见，幅角条件与K 无关;
而幅值条件与K 有关，且K 由0 ~ 。
因 此 ， 复 平 面[ S ]上 所 有 满 足 幅 角 条 件 的点 都 是
零点，另外n m条根轨迹趋向于何处呢？
n m,且K
s z1 s s p1 s
z2 s zm p2 s pn
1 K
0
只有当s 时，上式可写为：
sm sn 0
即1 snm
0
s
当 K 时，有n m条根轨迹趋于无穷远处。
四、实轴上的根轨迹
实轴上根轨迹区段的右侧，开环零点、极点数目之和应为奇 数。
K
1
M
s s2
K 1s
[S]
K s s2
1 j 1 j 2
-2
0
1 j 1 j 2 2 2
K
N
K 1 2
4.2 绘制根轨迹的基本法则
第四章控制系统根轨迹分析法
已知控制系统开环传函的极、零点分布的基础上，研究某一个 或某些系统参数的变化对控制系统闭环传函极点分布影响的一 种图解法。
二.根轨迹 是指当系统某个参数（比如开环增益k）由零到
无穷大变化时，闭环特征根在[s]平面上移动的轨迹。
举例：
开环传函：G0s
k
ss1
K为开环增益（因为标准型）
rs
k
Cs 有两个开环极点 无开环零点
m j1
(szj )] 0
d [ n
ds i1
n
(s
pi )
d ds
m
(s z j )]
j 1
m
(s pi )
( s 1 p 1 ) ( s 1 p 2 ) 10 8 0 0 0 1080
S1对应的 k 's 1 p 1s 1 p 2 0 .1 0 .4 0 .04 同理 ，实轴上 p1~之间p2的点都是根轨迹上的点。
4.1 根轨迹的概念
(2)在复平面上取S2= -0.25 + j0.25
jω
例
k
G0(
s
)
Ts1
1 T
×
×
p 1 T
j
×
×σ
F
1 T
1
1T
2k 1 1
k' G0(s)s(s0.5)
p1 0 p2 0.5
j
-0.5
0
F 0 0.5 0.25 2
2k 1 , 3
2
22
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线：
（1）条数： （n-m）条
终点，即k ,只有当 s Zi 或 s为0。
4.2 根轨迹的绘制规则
规则三：实轴上的根轨迹
二.根轨迹 是指当系统某个参数（比如开环增益k）由零到
无穷大变化时，闭环特征根在[s]平面上移动的轨迹。
举例：
开环传函：G0s
k
ss1
K为开环增益（因为标准型）
rs
k
Cs 有两个开环极点 无开环零点
m j1
(szj )] 0
d [ n
ds i1
n
(s
pi )
d ds
m
(s z j )]
j 1
m
(s pi )
( s 1 p 1 ) ( s 1 p 2 ) 10 8 0 0 0 1080
S1对应的 k 's 1 p 1s 1 p 2 0 .1 0 .4 0 .04 同理 ，实轴上 p1~之间p2的点都是根轨迹上的点。
4.1 根轨迹的概念
(2)在复平面上取S2= -0.25 + j0.25
jω
例
k
G0(
s
)
Ts1
1 T
×
×
p 1 T
j
×
×σ
F
1 T
1
1T
2k 1 1
k' G0(s)s(s0.5)
p1 0 p2 0.5
j
-0.5
0
F 0 0.5 0.25 2
2k 1 , 3
2
22
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线：
（1）条数： （n-m）条
终点，即k ,只有当 s Zi 或 s为0。
4.2 根轨迹的绘制规则
规则三：实轴上的根轨迹
第4章 根轨迹法
j 1 i 1 n
(2k 1)180 (2k 1)
k 0, 1, 2,
zj
4.2 绘制根轨迹的基本规则
1.根轨迹的对称性
根轨迹关于实轴对称。因为系统的闭环极 点为实根或复根，复根共轭成对出现且关于 实轴对称，因此系统的根轨迹关于实轴对称。
2.根轨迹的条数（分支数）
zj
[例4-3]
已知单位负反馈系统的开环传递函数为
Kr G(s) H (s) s ( s 2)( s 4)
试概略绘制该系统的根轨迹。
[解] 根据开环传递函数可知，无系统的开环
零点，则m=0；开环极点有3个，即n=3，分别 为 p1 0 、p2 2 和 p3 4 。将开环极点 用“×”在复平面上标出，如图4-4所示。根据 根轨迹绘制规则确定其根轨迹。
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) 180 90 90 180
1
zp j
l
[例4-4] [解]
p p 180
2 1
jω
×j 2
-2
-1
0 0
σ
j2 ×
图4-5 例4-4系统的根轨迹
4.4 本章小结
第4 章
根轨迹法
根轨迹法的基本概念 绘制根轨迹的基本规则 参量根轨迹的绘制 本章小结
4.1 根轨迹法的基本概念
1948年，伊凡斯（W.R.Evans）提出 了一种简便的求解闭环极点的图解方 法—根轨迹法。
4.1.1 根轨迹
根轨迹定义
根轨迹与系统性能的关系
根轨迹定义
根轨迹：当控制系统的开环传递函数的某个 参数从零变化到无穷大时，闭环极点在s平面上 的变化轨迹称之为根轨迹。 根轨迹法：利用根轨迹进行线性控制系统分 析和设计的方法称为根轨迹法。 [例4-1]单位负反馈控制系统如图4-1所示， 试分析参数K变化对系统性能的影响
(2k 1)180 (2k 1)
k 0, 1, 2,
zj
4.2 绘制根轨迹的基本规则
1.根轨迹的对称性
根轨迹关于实轴对称。因为系统的闭环极 点为实根或复根，复根共轭成对出现且关于 实轴对称，因此系统的根轨迹关于实轴对称。
2.根轨迹的条数（分支数）
zj
[例4-3]
已知单位负反馈系统的开环传递函数为
Kr G(s) H (s) s ( s 2)( s 4)
试概略绘制该系统的根轨迹。
[解] 根据开环传递函数可知，无系统的开环
零点，则m=0；开环极点有3个，即n=3，分别 为 p1 0 、p2 2 和 p3 4 。将开环极点 用“×”在复平面上标出，如图4-4所示。根据 根轨迹绘制规则确定其根轨迹。
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) 180 90 90 180
1
zp j
l
[例4-4] [解]
p p 180
2 1
jω
×j 2
-2
-1
0 0
σ
j2 ×
图4-5 例4-4系统的根轨迹
4.4 本章小结
第4 章
根轨迹法
根轨迹法的基本概念 绘制根轨迹的基本规则 参量根轨迹的绘制 本章小结
4.1 根轨迹法的基本概念
1948年，伊凡斯（W.R.Evans）提出 了一种简便的求解闭环极点的图解方 法—根轨迹法。
4.1.1 根轨迹
根轨迹定义
根轨迹与系统性能的关系
根轨迹定义
根轨迹：当控制系统的开环传递函数的某个 参数从零变化到无穷大时，闭环极点在s平面上 的变化轨迹称之为根轨迹。 根轨迹法：利用根轨迹进行线性控制系统分 析和设计的方法称为根轨迹法。 [例4-1]单位负反馈控制系统如图4-1所示， 试分析参数K变化对系统性能的影响
《控制工程基础》课件第四章根轨迹
美国人W. R. Evans所从事的是飞机导航和 控制工作，其中涉及许多动态系统的稳定问题， 这使其又回到了70多年前Maxwell和Routh曾做 过的特征方程的研究工作中。但Evans用系统参 数变化时特征方程的根变化轨迹来研究，开创 了新的思维和研究方法，这就是在工程上获得 较广泛应用的根轨迹法。
相应的增益为
K
1
1.07,
K
2
14.9
4.3 绘制根轨迹的基本法则
方法2 设系统开环传递函数为
GsH s
K s s
z1 s z2 s zm p1 s p2 s pn
由系统闭环特征方程，得
K
s p1 s s z1 s
p2 s pn z2 s zm
求极值
dK 0
由上两式中项 s nm 1系数相等，得渐近线与实轴交点的坐
标为
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
即其分子是极点之和减去零点之和。渐近线与实轴
正方向的夹角为
2k 1
式中k依次取0，±1， ±2a， …,n一 直m 到获得（n-m）个
倾角为止。
4.3 绘制根轨迹的基本法则
例 已知系统开环传递函数为 试绘制其渐近线。
4.3 绘制根轨迹的基本法则
由上两式可得 D sN s - DsN s 0
即 d GsH s 0
ds
根据该式，即可确定分离点（或会合点）的参数。
例2 某系统开环传递函数为
GsH s
K s 6 ss 4
d GsH s 0
ds
即s2 12s 24 0
解之，得 s1 2.54, s2 9.46
4.3 绘制根轨迹的基本法则
相应的增益为
K
1
1.07,
K
2
14.9
4.3 绘制根轨迹的基本法则
方法2 设系统开环传递函数为
GsH s
K s s
z1 s z2 s zm p1 s p2 s pn
由系统闭环特征方程，得
K
s p1 s s z1 s
p2 s pn z2 s zm
求极值
dK 0
由上两式中项 s nm 1系数相等，得渐近线与实轴交点的坐
标为
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
即其分子是极点之和减去零点之和。渐近线与实轴
正方向的夹角为
2k 1
式中k依次取0，±1， ±2a， …,n一 直m 到获得（n-m）个
倾角为止。
4.3 绘制根轨迹的基本法则
例 已知系统开环传递函数为 试绘制其渐近线。
4.3 绘制根轨迹的基本法则
由上两式可得 D sN s - DsN s 0
即 d GsH s 0
ds
根据该式，即可确定分离点（或会合点）的参数。
例2 某系统开环传递函数为
GsH s
K s 6 ss 4
d GsH s 0
ds
即s2 12s 24 0
解之，得 s1 2.54, s2 9.46
4.3 绘制根轨迹的基本法则
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n 3, m 0, 故三条根轨迹趋向处。
渐进线与实轴交点的坐标为
[S]
a
0
1
3
2
0
1
渐进线与实轴正向的夹角为
a -2 -1 0
a
2k
1180
3
60 , 180
六、根轨迹的起始角与终止角
起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点 处的切线与水平线正方向的夹角。
终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点 处的切线与水平线正方向的夹角。
s4
2
1
s3 -2 s20 s1
s3 180 , s3 2 180 s4 1, s4 2 2
若s4位于根轨迹上，则必满足
幅角条件，即1 2 180，
N
s4一定在 2，0的中垂线MN上。
利用幅值条件可算出各根轨迹上的 K 值。
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss 2
K
ss 2
终止于 zb 的根轨迹在终点处
的切线与水平正方向的夹角
j 1
i 1
ib
其它零点到 zb 的向量夹角
七、分离点的坐标
几条根轨迹在[S]平面上相遇后又分开的点， 称为根轨迹的分离点（或会合点）。
分离点坐标的求法：
1 d (G(s)H (s)) 0
ds
2 由根轨迹方程
令：dK 0 解出s ds
n
1 180 p1 z p1 p2
180 116.57 90
206.57
由于对称性
2 206.57
会合点 -3
206.57
p1
[S]
z116.57
2.12
-2 -1 0
p2
八、实轴上的分离点的分离角恒为 90 实轴上的会合点的会合角恒为 90
会合时，根轨迹 切线的倾角
辅助方程： 3s2 K 0 解得： s j1.414
例 单位反馈系统
Gs
ss
K s
3s2
2
2s
2
画根轨迹
解：
1化成标准传递函数，求零、极点
p1 0, p2 3, p3.4 1 j
[S]
z1 2
p3
p2 z1
p1
-3 -2 -1 0
p4
2实轴上的根轨迹
3渐进线条数 n m 3
m
n
zi pj 180 2k 1
i 1
j 1
m
n
s1 zi s1 p j 180 2k 1
i 1
j 1
s1 p1
m
p1
zi
1
n
p1 p j
180
2k
1
i 1
j2
m
n
1 180 2k 1 p1 zi p1 pj
i 1
j2
m
a
3
1
j
3
1
j
2
1
a 60 ,180
[S]
p3
p2 z1
p1
-3 -2 -1 0
4实轴上无分离会合点 p4
5求p3的出射角
3 180 p3 z1
p3 p1 p3 p2 p3 p4
180 1 1 2 3
180 45 135 26.6 90
s2 1.577
是根轨迹上的点，故为分离点 不是根轨迹上的点, 舍去
例2 已知系统开环传递函数
GsH s
K s 1
s2 3s 3.25
画出系统闭环根轨迹
解：1 求开环极点
s2 3s 3.25 0
p1 1.5 j
p2 1.5 j
-3
(2) 实轴上的根轨迹
p1
z
-2 -1
p2
特征方程的根，当K 由0 ~ 变化时，这些点所
构成的轨迹即根轨迹。
下面利用幅角、幅值条件画根轨迹
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss 2
K
ss 2
幅角条件： s s 2 180 2k 1
试 探 法 确 定 满 足 上 式 的s点
M
s1 0 , s1 2 0
[S]
s2 180 , s2 2 0
3渐进线
n 3, m 0,故三条根轨迹趋向处。
a
0
1
3
2
0
1
a
2 k
1180
3
60 , 180
4根轨迹与虚轴的交点
Ds ss 1s 2 K 0
[S]
a 0.433
-2 -1 0
即：s3 3s2 2s K 0
s3 3s2 2s K 0
令：s j
[S]
j 3 3 j 2 2 j K 0
由此求得根轨迹的终点为：z1 , z2 , zm
但当n m时，只有m条根轨迹趋向于开环
零点，另外n m条根轨迹趋向于何处呢？
n m,且K
s z1 s s p1 s
z2 s zm p2 s pn
1 K
0
只有当s 时，上式可写为：
sm sn 0
即
1 snm
0
s
当 K 时，有n m条根轨迹趋于无穷远处。
3 2 K 0
3
2
0
-2
2 1.414
K 6
a 0.433 -1 0
解 得 ： 2.3
1 0
1.414
K 0 K 6
K 3
3 1.414
K 6
或用劳斯判据
Ds s3 3s2 2s K 0
s3 1
2
s2 3
K
s1 6 K 3
s0 K
稳定范围：0 K 6 临界稳定： K 6
[S] 0
3 求分离点：
根轨迹方程:
s2
K
s 1
3s 3.25
1
K s2 3s 3.25 s1
dK 2s 3s 1 s2 3s 3.25
ds
s 12
0
有：s2 2s 0.25 0
解得：s1 2.12 是根轨迹的分离点会合点 s2 0.12 舍去
4 出射角：
[S]
n4 m2 nm 2 有2条根轨迹终止于处
证明：
s s
z1 p1
s s
z2 s zm p2 s pn
1 K
当K 0时，即有
s p1 s p2 s pn 0
由此求得根轨迹的起点为：p1 , p2 , pn
当K 时，即有
s z1 s z2 s zm 0
26.6
4 26.6
[S]
p3
3
p2 z1
p1
-3 -2 -1 0
p4
4
6求根轨迹与虚轴交点
ss 3 s2 2s 2 K s 2 0
Gs
ss
K s
3s2
2
2s
2
s4 5s3 8s2 6 K s 2K 0
令s j，代入特征方程
4 j5 3 8 2 6 K j 2K 0
Apj s pj
pj s pj
i 1,2,m j 1,2,n
因此有：幅角条件
m
n
zi pj 180 2k 1
i 1
j 1
k 0,1,2,
m
Azi
幅值条件
K
i 1 n
1
Apj
j 1
可见，幅角条件与K 无关;
而幅值条件与K 有关，且K 由0 ~ 。
因 此 ， 复 平 面[ S ]上 所 有 满 足 幅 角 条 件 的点 都 是
性能分析：
0 K 7，系统稳定；
1.
K 7，系统临界稳定；
K 7，系统不稳定；
由于 GsH s 1 是复数向量。
两个向量相等的条件是幅角、幅值分别相等。 因此得到：
幅角条件: GsH s 180 2k 1 k 0,1,2 幅值条件: GsH s 1
其中
GsH s
K s z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pn
式中 p1、p2 pn为系统的n个开环极点
如：s 1 j点
K
1
M
s s2
K 1s
[S]
K s s2
1 j 1 j 2
-2
0
1 j 1 j 2 2 2
K
N
K 1 2
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、根轨迹的分支数 根轨迹在[S]平面上的分支数=
闭环特征方程的阶数n
这是因为n阶特征方程对应n个特征
根，当开环增益K由0 ~ 变化时，这
进线决定。
渐进线与实轴交点的坐标为：
n
m
pj zi
a
j1
i 1
nm
渐进线与实轴正向的夹角为：
a
2k 1
nm
极点之和减去 零点之和。
k依 次 取0， 1， 2，一 直
到 获得n m个 倾角 为 止。
例1、某单位反馈系统的开环K
1s
2
开环有三个极点 p1 0, p2 1, p3 2 开环无零点
2
1
m
1
j1 d p j i1 d zi
解出d
例1、某单位反馈系统的开环传递函数为
ss
K
1s
2
Gs
1
ss
K
1s
2
[S]
K ss 1s 2
dK d ss 1s 2 0
ds ds
s 1s 2 ss 2 ss 1 0
a
-2 -1 s10
3s2 6s 2 0 解得：s1 0.423
-3
p1