控制工程基础第4章 根轨迹法

m
n
zi pj 180 2k 1
i 1
j 1
m
n
s1 zi s1 p j 180 2k 1
i 1
j 1
s1 p1
m
p1
zi
1
n
p1 p j
180
2k
1
i 1
j2
m
n
1 180 2k 1 p1 zi p1 pj
i 1
j2
m
s2 1.577
是根轨迹上的点，故为分离点 不是根轨迹上的点, 舍去
例2 已知系统开环传递函数
GsH s
K s 1
s2 3s 3.25
画出系统闭环根轨迹
解：1 求开环极点
s2 3s 3.25 0
p1 1.5 j
p2 1.5 j
-3
(2) 实轴上的根轨迹
p1
z
-2 -1
p2
性能分析：
0 K 7，系统稳定；
1.
K 7，系统临界稳定；
K 7，系统不稳定；
a
3
1
j
3
1
j
2
1
a 60 ,180
[S]
p3
p2 z1
p1
-3 -2 -1 0
4实轴上无分离会合点 p4
5求p3的出射角
3 180 p3 z1
p3 p1 p3 p2 p3 p4
180 1 1 2 3
180 45 135 26.6 90
进线决定。
渐进线与实轴交点的坐标为：
n
m
pj zi
a
j1
i 1
nm
渐进线与实轴正向的夹角为：
a
2k 1
nm
极点之和减去 零点之和。
k依 次 取0， 1， 2，一 直
到 获得n m个 倾角 为 止。
例1、某单位反馈系统的开环传递函数为
Gs
ss
K
1s
2
开环有三个极点 p1 0, p2 1, p3 2 开环无零点
闭环特征根为
K→∞ [S]
s1,2 1 1 2K
K=0.5
-2
0
K→∞
4.1.2 根轨迹方程及幅角、幅值条件
典型反馈控制系统的闭环传递函数为
Xo Xi
s s
1
Gs GsH
s
其特征方程为 1 GsH s 0
或写作
GsH s 1
满足上式的s值，都是特征方程 的根，都必定是根轨迹上的点，故
称上式为根轨迹方程。
[S]
n4 m2 nm 2 有2条根轨迹终止于处
证明：
s s
z1 p1
s s
z2 s zm p2 s pn
1 K
当K 0时，即有
s p1 s p2 s pn 0
由此求得根轨迹的起点为：p1 , p2 , pn
当K 时，即有
s z1 s z2 s zm 0
Apj s pj
pj s pj
i 1,2,m j 1,2,n
因此有：幅角条件
m
n
zi pj 180 2k 1
i 1
j 1
k 0,1,2,
m
Azi
幅值条件
K
i 1 n
1
Apj
j 1
可见，幅角条件与K 无关;
而幅值条件与K 有关，且K 由0 ~ 。
因 此 ， 复 平 面[ S ]上 所 有 满 足 幅 角 条 件 的点 都 是
1.61
K 7；
实部方程： 4 8 2 2K 0
虚部方程： 5 3 6 K 0
[S]
p3
3
p2 z1
p1
-3 -2 -1 0 1.61
解 方 程 并 舍 去 无 意 义 解， 得 ：
0； 1.61； 1.61
p4 4 K 7
K 0；K 7； K 7
令
Re1 G j H j 0 Im1 G j H j 0
可解出值及对应的临界开环增益K 及K来。
例3、某单位反馈系统的开环传递函数为
Gs
ss
K
1s
2
画根轨迹
1实轴上根轨迹 [S]
2分离点坐标
ss
K
1s
2
1
0.433
-2 -1 0
K ss 1s 2
令：dK 0 得：s 0.433 ds
z1、z2 zm为系统的m个开环零点
K 为系统的开环根轨迹增益 K K
GsH s
K s s
z1 s z2 s zm p1 s p2 s pn
其向量表达为
G
s
H
s
K
Az1e j z1 Azme j zm Ap1e j p1 Apne jpn
其中 Azi s zi zi s zi
n
推广： a
180 2k
1
pa zi
i 1
j1
pa pj
i
ja
j
所有零点到 pa 的向量夹角
m
n
出射角：a 180 2k 1 i j
起始于 pa 的根轨迹在起点处
i 1
j 1
ja
的切线与水平正方向的夹角
其它极点到 pa 的向量夹角
所有极点到 zb 的向量夹角
n
m
入射角：b 180 2k 1 j i
由此求得根轨迹的终点为：z1 , z2 , zm
但当n m时，只有m条根轨迹趋向于开环
零点，另外n m条根轨迹趋向于何处呢？
n m,且K
s z1 s s p1 s
z2 s zm p2 s pn
1 K
0
只有当s 时，上式可写为：
sm sn 0
即
1 snm
0
s
当 K 时，有n m条根轨迹趋于无穷远处。
辅助方程： 3s2 K 0 解得： s j1.414
例 单位反馈系统
Gs
ss
K s
3s2
2
2s
2
画根轨迹
解：
1化成标准传递函数，求零、极点
p1 0, p2 3, p3.4 1 j
[S]
z1 2
p3
p2 z1
p1
-3 -2 -1 0
p4
2实轴上的根轨迹
3渐进线条数 n m 3
特征方程的根，当K 由0 ~ 变化时，这些点所
构成的轨迹即根轨迹。
下面利用幅角、幅值条件画根轨迹
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss 2
Hale Waihona Puke Baidu
K
ss 2
幅角条件： s s 2 180 2k 1
试 探 法 确 定 满 足 上 式 的s点
M
s1 0 , s1 2 0
[S]
s2 180 , s2 2 0
第4章 根轨迹法
• 反馈控制系统的基本性能，主要由系统的极点（即特 征方程的根）分布所决定，因此分析系统必须求解特 征方程的根。但求解高阶系统特征方程异常困难，这 就限制了时域分析法在二阶以上系统中的应用。
• 1948年，伊文思根据反馈系统开、闭环传递函数之间 的内在联系，提出了直接由开环传递函数确定闭环特 征根（即闭环极点）的新方法，并且建立了一套法则， 这就是在工程上获得广泛应用的根轨迹法。
[S] 0
3 求分离点：
根轨迹方程:
s2
K
s 1
3s 3.25
1
K s2 3s 3.25 s1
dK 2s 3s 1 s2 3s 3.25
ds
s 12
0
有：s2 2s 0.25 0
解得：s1 2.12 是根轨迹的分离点会合点 s2 0.12 舍去
4 出射角：
4.1 根轨迹法的基本概念
4.1.1 根轨迹 所谓根轨迹，是指当系统
某个参数（如开环增益K）由 零到无穷大变化时，闭环特 征根在[S]平面上移动的轨迹。
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss 2
K
ss 2
闭环传递函数为
X o s X i s
s2
2K 2s
2K
特征方程为 s2 2s 2K 0
[S]
p1
1
z1
p3
p2
2
[S]
1
z1
z2 2
p1 s1•
[S]
1
z1
p3
p2
2
起始角：起始于开环 极点的根轨迹在起点 处的切线与水平线正 方向的夹角。
Gs
s
K s p1 s
z1 p2 s
p3
在根轨迹上选择s1点，距复极点p1为，
当 0时，则s1 p1 1,即起始角（出射角）
根据幅角条件
3渐进线
n 3, m 0,故三条根轨迹趋向处。
a
0
1
3
2
0
1
a
2 k
1180
3
60 , 180
4根轨迹与虚轴的交点
Ds ss 1s 2 K 0
[S]
a 0.433
-2 -1 0
即：s3 3s2 2s K 0
s3 3s2 2s K 0
令：s j
[S]
j 3 3 j 2 2 j K 0
四、实轴上的根轨迹
实轴上根轨迹区段的右侧，开环零点、 极点数目之和应为奇数。
这个结论可由幅角条件证明。
m
n
zi pj 180 2k 1
i 1
j 1
k 0,1,2,
[S]
五、根轨迹的渐进线
若m n，则当K 时，要有n m条根轨迹 趋于处，这n m条趋于处根轨迹的方位可由渐
1 180 p1 z p1 p2
180 116.57 90
206.57
由于对称性
2 206.57
会合点 -3
206.57
p1
[S]
z116.57
2.12
-2 -1 0
p2
八、实轴上的分离点的分离角恒为 90 实轴上的会合点的会合角恒为 90
会合时，根轨迹 切线的倾角
终止于 zb 的根轨迹在终点处
的切线与水平正方向的夹角
j 1
i 1
ib
其它零点到 zb 的向量夹角
七、分离点的坐标
几条根轨迹在[S]平面上相遇后又分开的点， 称为根轨迹的分离点（或会合点）。
分离点坐标的求法：
1 d (G(s)H (s)) 0
ds
2 由根轨迹方程
令：dK 0 解出s ds
n
n个特征根随K变化必然会出现n条根轨 迹。
二、根轨迹的对称性 因为开环极点、零点或闭环极点都
是实数或共轭复数，它们在[S]平面上的 分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于 实轴。
[S]
三、根轨迹的起点与终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环
零点，如果开环零点数m小于开环极点数n , 则有(n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
2
1
m
1
j1 d p j i1 d zi
解出d
例1、某单位反馈系统的开环传递函数为
ss
K
1s
2
Gs
1
ss
K
1s
2
[S]
K ss 1s 2
dK d ss 1s 2 0
ds ds
s 1s 2 ss 2 ss 1 0
a
-2 -1 s10
3s2 6s 2 0 解得：s1 0.423
由于 GsH s 1 是复数向量。
两个向量相等的条件是幅角、幅值分别相等。 因此得到：
幅角条件: GsH s 180 2k 1 k 0,1,2 幅值条件: GsH s 1
其中
GsH s
K s z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pn
式中 p1、p2 pn为系统的n个开环极点
n 3, m 0, 故三条根轨迹趋向处。
渐进线与实轴交点的坐标为
[S]
a
0
1
3
2
0
1
渐进线与实轴正向的夹角为
a -2 -1 0
a
2k
1180
3
60 , 180
六、根轨迹的起始角与终止角
起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点 处的切线与水平线正方向的夹角。
终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点 处的切线与水平线正方向的夹角。
26.6
4 26.6
[S]
p3
3
p2 z1
p1
-3 -2 -1 0
p4
4
6求根轨迹与虚轴交点
ss 3 s2 2s 2 K s 2 0
Gs
ss
K s
3s2
2
2s
2
s4 5s3 8s2 6 K s 2K 0
令s j，代入特征方程
4 j5 3 8 2 6 K j 2K 0
如：s 1 j点
K
1
M
s s2
K 1s
[S]
K s s2
1 j 1 j 2
-2
0
1 j 1 j 2 2 2
K
N
K 1 2
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、根轨迹的分支数 根轨迹在[S]平面上的分支数=
闭环特征方程的阶数n
这是因为n阶特征方程对应n个特征
根，当开环增益K由0 ~ 变化时，这
-3
p1
z
-2 -1
p2
[S] 0
九、根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中
有一部分极点位于虚轴上，即闭环特征方程
有纯虚根 j ，系统处于临界稳定状态，因
此，将 s j 代入特征方程中得
1 G j H j 0
或
Re1 G j H j j Im1 G j H j 0
s4
2
1
s3 -2 s20 s1
s3 180 , s3 2 180 s4 1, s4 2 2
若s4位于根轨迹上，则必满足
幅角条件，即1 2 180，
N
s4一定在 2，0的中垂线MN上。
利用幅值条件可算出各根轨迹上的 K 值。
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss 2
K
ss 2
3 2 K 0
3
2
0
-2
2 1.414
K 6
a 0.433 -1 0
解 得 ： 2.3
1 0
1.414
K 0 K 6
K 3
3 1.414
K 6
或用劳斯判据
Ds s3 3s2 2s K 0
s3 1
2
s2 3
K
s1 6 K 3
s0 K
稳定范围：0 K 6 临界稳定： K 6