8平稳随机过程
Ch12-平稳随机过程
例 2 . 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f
1 2
， 0 2
试讨论平稳性
sol . X t 0 E X t X t E a a a
2
a R X t1 , t 2 Cos R X 2 随机相位正弦波为(宽 )平稳 sp
p p
T T
U x X t dt P X t x F1 x — — 分 布 函 数 各 态 历 经
p
(4).(1) 和 (2) — — 平 稳 过 程 各 态 历 经
例1 讨论随机相位正弦波的平稳性和各态历经性
1 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f ， 0, 2 2 sol. 1: 平稳性
Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n
2.严平稳过程的分布与数 字特征 1：一维分布 ，F1 x; t1 F1 x; t1 , f1 x; t1 f1 x;0 f1 x — —与 t 无关 则均值： EX t1 x1 f1 x1; t dx1 x1 f1 x dx1 X
( ) I e I 2 e 2 k 0关 ， 故 若 τ<0 时 ， 只 需 令 t ’=t+ τ，则有 E[X(t)X(t+τ)] =E[X(t`)X(t`+ τ )]= I2 e-2λ∣τ∣
图12-2
故这一过程的自相关函数为 E[X(t)X(t+τ)]= I2e-2λ∣τ∣ 它只与τ有关。因此随机电报信号X(t)是 一平稳过程。其图形如上图所示
测试技术基础课后习题答案
第2章习题及解答1.判断正误(1)凡频谱是离散的信号必然是周期信号。
( × )准周期信号(2)任何周期信号都由频率不同，但成整倍数比的离散的谐波叠加而成。
( × )(3)周期信号的频谱是离散的，非周期信号的频谱也是离散的。
( × )(4)周期单位脉冲序列的频谱仍为周期单位脉冲序列。
( √ )(5)非周期变化的信号就是随机信号。
( × )准周期信号(6)非周期信号的幅值谱表示的是其幅值谱密度与时间的函数关系。
( × )(7)信号在时域上波形有所变化，必然引起频谱的相应变化。
( × )(8)各态历经随机过程是平稳随机过程。
( √ )(9)平稳随机过程的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征。
( √ )(10)非周期信号的频谱都是连续的。
( × ) 准周期信号(11)单位脉冲信号的频谱是无限带宽谱（√）(12)直流信号的频谱是冲击谱（√）2.选择正确答案填空(1)描述周期信号的数学工具是(B )。
A.相关函数B. 傅里叶级数C. 拉普拉斯变换D. 傅里叶变换(2)描述非周期信号的数学工具是( C )。
A.三角函数B. 拉普拉斯变换C. 傅里叶变换D. 傅里叶级数(3)将时域信号进行时移，则频域信号将会( D )A.扩展B. 压缩C. 不变D. 仅有相移(4)瞬变信号的傅里叶变换的模的平方的意义为( C )A.信号的一个频率分量的能量B. 在f处的微笑频宽内，频率分量的能量与频宽之比C. 在f处单位频宽中所具有的功率(5)概率密度函数是在（C）域，相关函数是在（A）域，功率谱密度函数是在（D）域描述随机信号。
A.时间B. 空间C. 幅值D. 频率 (6) 白噪声信号的自相关函数是（C ）A.相关函数B. 奇函数C. 偶函数D. 不存在3．已知方波信号傅里叶级数，请描述式中各常数相的物理意义，并绘出频谱图。
见书中例题4．已知锯齿波信号傅里叶级数，请描述式中各常数相的物理意义，并绘出频谱图。
通信原理考试复习填空和选择题总汇
《通信原理》复习填空和选择题1、通信是通过光电等信号将消息由一方传输到另一方的过程2、信息量I与其概率P的关系为3、通信的可靠性是指在给定的信道内接收信息的准确程度4、功率信号的能量为无限大，能量信号的平均功率为 05、数字通信系统的主要性能指标是传输速率和误码率6、观察码间串扰和噪声的影响的实验手段是眼图7、用算术平均的方法计算平均信息量的条件是等概率8、数字基带传输系统中随着信噪比的增加，误码率将减小9、八进制对等概发生的离散信息源中，信息传输速率是码元传输速率 3 倍10、六进制离散信源 A、B和C出现的概率均为1/6，D、E和F出现的概率之比为3:2:1，则出现E的概率为，出现D的信息量为11、振幅键控是正弦载波的幅度随数字基带信号而变化的数字调制12、匹配滤波器的输出是输入的自相关函数1、消息中所含信息量 AA.多少与消息的重要程度无关；B.消息越不可能，包含的信息量越小；C.多少与消息的重要程度有关；D.消息越可能，包含的信息量越大。
2、信道可等效为电感与电容串联，信号通过该信道从电容端输出时将 CA.产生固定的衰减和不固定的迟延；B.产生固定的衰减和固定的迟延；C.产生不固定的衰减和固定的迟延；D.产生不固定的衰减和不固定的迟延。
3、N个符号的离散信息源，错误描述的是 BA.最大熵发生在每一符号等概率出现时；B.最大熵发生在某一符号概率为1时；C.熵等于该信息源各符号的统计平均信息量；log(bit/符号)。
D.最大熵值等于N24、最佳接收 DA.对所有准则而言；B.完全取决于信道；C.是个绝对概念；D.接收系统为最小差错5、信息 AA.与不确定性有关；B.与重要程度有关；C.确知信号的信息最多；D. 与不确定性无关。
6、随机信号载有的信息，说法不正确的是 BA.不可预测；B.事先已经确知；C.参数不能完全预知；D. 带有随机性7、已调信号为载波与基带信号乘积的调制方式是 DA.移频键控；B.移相键控；C. 角度调制；D. 振幅键控。
通信专业中的一些重要公式
第一章 绪论 1.传码率B R即波型（码元）传输速率，每秒钟传输的码元速率。
常表示为B R ，单位为“波特（Baud ）”。
)(1Baud T R B =（1.1-1）式中：T 是每个码元占有的时间长度，单位是s 。
2.传信率b R ：即信息传输速率，指每秒钟传输的信息量。
常表示为b R ，单位是“比特/秒（bit/s 或bps ）”。
对于二进制码元，传码率和传信率数值相等，但单位不同。
对于多进制码元，两者不同，但可以通过下列公式进行转换。
)/(log 2s bit N R R B b ⋅= （1.1-2）式中：N 是进制数。
3.误码率e P是指错误接收的码元数在传送总码元数中所占的比例，或者更确切地说，误码率是码元在传输系统中被传错的概率。
即e P = 错误接收码元数目/传输码元总数目 （1.1-3） 4.误信率b P又称误比特率，是指错误接收的信息量在传送信息总量中所占的比例，或者说，它是码元的信息量在传输系统中被丢失的概率。
即b P = 错误接收比特数/传输总比特数 (1.1-4）5.信息量单个符号的信息量[])(1log )(log )(i a i a i x P x P x I =-= （1.2-2）6.熵（平均信息量）∑∑-==Xa Xx P x P x I x P X H )(log )()()()( （1.2-10）式中X 为离散信源符号集合，)(X H 的单位取决于对数底a 的取值，通常情况下取2=a ，这时，)(X H 的单位为bit /符号。
若离散信源X 中只有M 个符号，则上式又可以表示成下式∑=-=Mi i a i x P x P X H 1)(log )()( （1.2-11）7.连续信道连续信道的信道容量，由著名的香农（Shannon ）公式确定，其内容为：假设信道的带宽为)(Hz B ，信道输出的信号功率为)(W S ，输出的加性带限高斯白噪声功率为)(W N ，则该信道的信道容量为())/(/1log 2s bit N S B C += （1.3-26）若噪声的单边功率谱密度为0n ，则有噪声功率为B n N 0=，可得香农公式的另一种形式[])/()/(1log 02s bit B n S B C += （1.3-27）其中0称为信道容量的“三要素”。
通信原理复习题
考试题型：填空 16分选择 24分简答10分计算50分填空：1.某2FSK 系统的传码率为300波特,“1”和“0”码对应的频率分别为f 1=1200H Z ,f 2=2400H Z ,在频率转换点上相位不连续,该2FSK 信号的频带宽度应为 1800Hz 。
若2PSK 系统传码率为300波特,2PSK 信号的频带宽度为 600Hz 。
2.用包络检波法接收2ASK 信号，当发端发“1”码时，包络检波器输出服从莱斯分布，当发端发“0”时，包络检波器服从 瑞利 分布。
3．若频率为5KH Z ，振幅为2V 的正弦调制信号，对频率为100MH Z 的载波进行频率调制，已知信号的最大频偏为75KH Z ，则调频波的带宽为 60KH Z 。
4.某调频波8()20cos 2108cos 4000s t t t ππ⎡⎤=⨯+⎣⎦,则调频波信号功率为 200 w ，调制指数为 8 ，最大频偏为 16 KH Z ，信号带宽为 36 KH Z 。
5．为解决在BPSK 相干解调恢复载波相位模糊问题，可采取 相对相移键控 措施。
6. 一个能量信号的自相关函数R(τ)与能量谱密度P(w)之间的关系是______傅立叶变换_____，R(0)的物理意义表示___平均功率________。
7.信号通过线性系统不失真的条件是与 ()()y t kx t τ=-8.平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度的关系是互为傅里叶变换对。
9.正态随机过程X （t ）通过传输函数为H(W)的线性系统后，其输出Y(t)与输入的功率谱密度()Y P w ，()X P w 的关系是2()()()Y X P w P w H w =。
10.如果随机过程的____数学期望______与时间无关，而且____相关函数______仅与时间间隔有关，那么该随机过程就称为广义平稳的。
11.高斯过程的n 维分布完全可以由它的___数学期望_______、____方差_____及____相关函数______决定。
平稳随机过程的采样和插值
随机信号实验平稳随机过程的采样和插值一 ．实验目的了解确定信号的采样与平稳随机信号的采样之间的关系，掌握信号的采样及分析方法。
二 . 实验原理确定信号的采样符合香农定理，那么随机信号的采样是否符合香农定理呢？答案是定的。
香农定理可以推广到随机信号的采样。
若X(t)为平稳随机过程，且具有零均值，它的功率谱密度)(ωx S 限于（-c ω，+c ω）之间。
当满足条件cf 21T ≤时，便可将X(t)按它的振幅样本展开为：∑-=∞→--=NNn c c N n t n t nT X t X πωπω)sin()()(lim上式就是平稳随机过程的采样定理。
式中T 为采样周期。
三．实验任务与要求⑴ 程序用matlab 或c/c++语言编写和仿真。
系统框图如图29、图30所示：图29 抽样系统框图图30 插值系统框图⑵ 输入信号x(t)：x(t)=正弦波信号+n(t)，频率为100Hz 的正弦波信号，幅值为1v ，n(t)为白噪声。
计算输入信号的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑶ 低通滤波器设计低通滤波器技术要求： 通带截止频率1KHz 阻带截止频率2KHz 。
过渡带:1KHz 阻带衰减：>35DB通带衰减：<1DB采样频率：≤44.1KHz计算经低通滤波器后信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑷对输入信号进行抽样：采样频率8000Hz。
每间隔4个点和每间隔8个点各抽样一次。
计算抽样信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑸对采样信号进行插值：每一个间隔插入4个值和每一个间隔插入8个值。
采样频率8000Hz。
计算插值信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑹对采样前后、插值前插值后信号进行比较。
观察在采样频率不变的情况下，信号频谱的变化和频谱的周期延拓性。
⑺讨论X(n)的自相关函数、功率谱密度与X(t)的自相关函数、功率谱密度之间的关系。
通信原理复习题
考试题型：填空 16分选择 24分简答10分计算50分填空：1.某2FSK 系统的传码率为300波特,“1”和“0”码对应的频率分别为f 1=1200H Z ,f 2=2400H Z ,在频率转换点上相位不连续,该2FSK 信号的频带宽度应为 1800Hz 。
若2PSK 系统传码率为300波特,2PSK 信号的频带宽度为 600Hz 。
2.用包络检波法接收2ASK 信号，当发端发“1”码时，包络检波器输出服从莱斯分布，当发端发“0”时，包络检波器服从 瑞利 分布。
3．若频率为5KH Z ，振幅为2V 的正弦调制信号，对频率为100MH Z 的载波进行频率调制，已知信号的最大频偏为75KH Z ，则调频波的带宽为 160KH Z 。
4.某调频波8()20c o s 2108c o s4000s t t t ππ⎡⎤=⨯+⎣⎦,则调频波信号功率为 20*20/2=200 w ，调制指数为 8 ，最大频偏为 2000*8=16 KH Z ，信号带宽为 （8+1）*2*2000=36 KH Z 。
5．为解决在BPSK 相干解调恢复载波相位模糊问题，可采取 相对相移键控 措施。
6. 一个能量信号的自相关函数R(τ)与能量谱密度P(w)之间的关系是______傅立叶变换_____，R(0)的物理意义表示___平均功率________。
7.信号通过线性系统不失真的条件是与 ()()y t kx t τ=-8.平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度的关系是互为傅里叶变换对。
9.正态随机过程X （t ）通过传输函数为H(W)的线性系统后，其输出Y(t)与输入的功率谱密度()Y P w ，()X P w 的关系是2()()()Y X P w P w H w =。
10.如果随机过程的____数学期望______与时间无关，而且____相关函数______仅与时间间隔有关，那么该随机过程就称为广义平稳的。
11.高斯过程的n 维分布完全可以由它的___数学期望_______、____方差_____及____相关函数______决定。
通信原理期末考试试题及答案
通信原理期末考试试题及答案通信原理期末考试试题及答案⼀、填空题（总分24，共12⼩题，每空1分）1、数字通信系统的有效性⽤传输频带利⽤率衡量，可靠性⽤差错率衡量。
2、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号，数字信号是指信号的参量可离散取值的信号。
3、⼴义平均随机过程的数学期望、⽅差与时间⽆关，⾃相关函数只与时间间隔有关。
4、⼀个均值为零⽅差为2n σ的窄带平稳⾼斯过程，其包络的⼀维分布服从瑞利分布，相位的⼀维分布服从均匀分布。
5、当⽆信号时，加性噪声是否存在？是乘性噪声是否存在？否。
6、信道容量是指：信道传输信息的速率的最⼤值，⾹农公式可表⽰为：)1(log 2NS B C +=。
7、设调制信号为f （t ）载波为t c ωcos ，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为t t f c ωcos )(，频域表达式为)]()([21c c F F ωωωω-++。
8、对最⾼频率为f H 的调制信号m （t ）分别进⾏AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调信号的带宽分别为2f H 、 2f H 、 f H 。
9、设系统带宽为W ，则该系统⽆码间⼲扰时最⾼传码率为 2W 波特。
10、PSK 是⽤码元载波的相位来传输信息，DSP 是⽤前后码元载波的相位差来传输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。
11、在数字通信中，产⽣误码的因素有两个：⼀是由传输特性不良引起的码间串扰，⼆是传输中叠加的加性噪声。
12、⾮均匀量化的对数压缩特性采⽤折线近似时，A 律对数压缩特性采⽤ 13 折线近似，µ律对数压缩特性采⽤15 折线近似。
⼆、简答题（总分18，共4⼩题）1、随参信道传输媒质的特点？（3分）答：对信号的衰耗随时间变化、传输的时延随时间变化、多径传播2、简述脉冲编码调制的主要过程。
(6分)抽样是把时间连续、幅值连续的信号变换为时间离散，幅值连续的脉冲信号；量化是把时间离散、幅值连续的脉冲信号变换为幅值离散、时间离散的多电平脉冲信号；编码是把幅值、时间均离散的多电平脉冲信号⽤⼀组数字序列表⽰。
8-平稳分布
n n! 2n , 可知 e
n
p
(2n) 00
2n e n e
n
2n
2 2n ( pq) n n 2n e
n
2n
(4 pq)
n
n
p
( 2 n 1) 00
0, p q 1 2 pq ( p q取等) 4 pq 1
(n) pij 0.
(无路可通) i j且 j i
3、状态i和j相通(i j ) :
命题 : 如i j，j k , 则i k .
( n1 ) 证明：i j，n1 1, 使pij 0; j k , n2 1, n2 ) 使p (jk 0.
由K C方程得： i k.
(1) 66
若考虑状态2： 1 (3) 1 (4) 1 1 (n) , f 22 , f 22 , , f 22 n 1 . 2 4 8 2 1 1 1 f 22 0 1.( 一尺之棰，日取其半，万世不竭.) 2 4 8
(1) (2) f 22 0, f 22
8、有穷步到达概率：系 统自状态i出发，经有穷 步到达j的条件概率, 包括1步， 2步， 之和. f ij f
n 1 (n) ij
P Tij n X (0) i
ห้องสมุดไป่ตู้ 1
P(Tij n) P Tij
n 1
(X (0) i不起作用，相当于 缩减概率空间 .)
1 1 1 2 1 0 2 3 4 2 4 8 1 n 2 n 1
1 n 2 n2
n 1
随机过程重要公式
随机过程重要公式随机过程是指一组随机变量的有序组合。
在应用中，随机过程常用于描述时间序列的随机变化。
随机过程具有一些基本的性质和公式，这些公式对于理解和分析随机过程是非常重要的。
下面是一些随机过程的重要公式：1.期望和协方差：对于一个随机过程X(t)，它的期望值E[X(t)]定义为随机变量X(t)的平均值。
协方差Cov(X(t), X(s))定义为随机变量X(t)和X(s)的相关性。
2.自协方差函数：随机过程中，自协方差函数描述了随机变量在不同时间点的相关性。
它定义为Cov(X(t), X(s))=E[(X(t) - E[X(t)])(X(s) - E[X(s)])]。
3.自相关函数：自相关函数是自协方差函数的无偏估计，它表示随机过程X(t)在不同时刻的相关性。
它定义为ρ(t, s) = Cov(X(t),X(s))/√(Var(X(t))Var(X(s)))。
4.平均值和方差：对于一个随机过程X(t)，它的平均值μ(t)定义为E[X(t)]，方差σ^2(t)定义为Var(X(t))。
平均值和方差是衡量随机过程内部变化的重要指标。
5.马尔可夫性：如果对于任意时间点t，给定过去的信息X(s)，s<t，未来的信息X(u)，u>t与现在的信息X(t)是独立的，则称随机过程具有马尔可夫性。
6.鞅：鞅是一种随机过程，它的期望条件在给定过去信息下保持不变。
即E[X(t)，X(s),s<t]=X(s)，对于任意时间点t。
7.平稳性：平稳性是指随机过程的统计特性在时间平移下保持不变。
如果一个随机过程的均值和自相关函数不随时间变化，则称该随机过程是平稳的。
8.自相关时间函数：自相关时间函数描述了随机过程中自相关函数随时间变化的情况。
它通常用于分析时间序列的长期依赖性。
9.平稳随机过程的功率谱密度：平稳随机过程的功率谱密度描述了随机过程频谱的分布情况。
它是自相关函数的傅里叶变换。
10.随机过程的滑动平均：随机过程的滑动平均是指对随机过程X(t)在一些时间窗口内的平均值。
随机信号分析 第三章平稳随机过程(3)
2.9随机过程X(t)=Acos(wt)+Bsin(wt),其中w为常数,A,B是两个互相独 立的高斯变量,并且E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]= σ2 求X(t)的数学期望和自相关函数.
解:根据数学期望和自相关函数的定义可得:
Байду номын сангаас
E[X(t)]=E[Acos(wt)+Bsin(wt)] =E[A]cos(wt)+E[B]sin(wt)=0
1.4：随机变量X在[ , a]上均匀分布，证明 的方差a 2 / 3, x 1 特征函数为C( ju ) sin ua. au
解：因为X服从均匀分布，所以可 以些出它的概率密度函 数： 1 p ( x ) 2a , x a 0, 其他 1 x2 a 所以E[ x] xp( x)dx * 0, 2a 2 a a
R X (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[( A cos wt B sin wt )( A cos w(t ) B sin w(t ))] E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ AB] cos wt sin(wt w ) E[ AB] sin wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) 2 cos w R X ( )
例4：随机变量X和Y之间成线性关系：Y=X+5,已 知X服从标准的高斯分布，求所机变量Y的概率密度。
解：随机变量X和Y之间存在唯一的反函数，其表达式为X=Y-5
则f(y)=y-5,|f’(y)|=1,
测试技术复习题和答案
信号部分1 试判断下述结论的正误。
（1 ）凡频谱是离散的信号必然是周期信号。
（2 ）任何周期信号都由频率不同，但成整倍数比的离散的谐波叠加而成。
（3 ）周期信号的频谱是离散的，非周期信号的频谱也是离散的。
（4 ）周期单位脉冲序列的频谱仍为周期单位脉冲序列。
（5 ）非周期性变化的信号就是随机信号。
（6 ）非周期信号的幅值谱表示的是其幅值谱密度与时间的函数关系。
（7 ）信号在时域上波形有所变化，必然引起频谱的相应变化。
（8 ）各态历经随机过程是平稳随机过程。
（9 ）平稳随机过程的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计持征。
（10 ）两个周期比不等于有理数的周期信号之和是周期信号。
（11 ）所有随机信号都是非周期信号。
（12 ）所有周期信号都是功率信号。
（13 ）所有非周期信号都是能量信号。
（14 ）模拟信号的幅值一定是连续的。
（15 ）离散信号即就是数字信号。
2 对下述问题，选择正确答案填空。
（1 ）描述周期信号的数学工具是( ) 。
A. 相关函数B. 傅氏级数C. 拉氏变换D. 傅氏变换（2 ）描述非周期信号的数学工具是( ) 。
A. 三角函数B. 拉氏变换C. 傅氏变换D. 傅氏级数（3 ）时域信号持续时间压缩，则频域中低频成分( ) 。
A. 不变B. 增加C. 减少D. 变化不定（4 ）将时域信号进行时移，则频域信号将会( ) 。
A. 扩展B. 压缩C. 不变D. 仅有相移（5 ）概率密度函数在( )域、相关函数是在( )域、功率谱密度函数是在( )域上来描述的随机信号A. 时间B. 空间C. 幅值D. 频率3 指出题图3 所示的信号时域波形时刻与时刻频谱（幅值谱）有无变化，并说明原因。
题3 图题6 图4 判断下列序列是否是周期函数。
如果是，确定其周期。
（1 ）；（2 ）。
5 有一组合信号，系由频率分别为724Hz 、44Hz 、5005410Hz 及600Hz 的相同正弦波叠加而成。
求该信号的周期T 。
第四章平稳随机过程的非线性变换
第四章平稳随机过程的非线性变换引言：在前几章中，我们已经学习了平稳随机过程的基本概念和性质，以及一些线性变换对平稳过程的影响。
在本章中，我们将进一步研究平稳随机过程的非线性变换，并分析其对平稳过程的影响。
一、非线性变换的基本概念和性质1.非线性变换的定义：非线性变换是指将一个随机变量或随机过程通过非线性函数进行变换的过程。
一般而言，非线性变换会使得原始随机过程的统计特性发生变化。
2.非线性变换的性质：(1)非线性变换可逆性：与线性变换不同，非线性变换并不保证可逆性，即经过非线性变换之后，难以从变换后的结果恢复出原始的随机过程。
(2)非线性变换的稳定性：与线性变换类似，非线性变换也有稳定性的概念。
如果对于任意的平稳随机过程，通过非线性变换得到的随机过程仍然是平稳的，则称该非线性变换为稳定的非线性变换。
(3)非线性变换的矩特性：非线性变换会改变随机过程的矩特性，即均值、方差等统计特性会发生变化。
因此，通过非线性变换可以得到更多的统计信息。
二、非线性变换对平稳随机过程的影响1.非线性变换的影响：(1)直观影响：非线性变换通常会使得随机过程的波形更为复杂，振幅变化更大，同时也可能改变波形的周期性。
(2)统计特性的变化：非线性变换会改变平稳过程的矩特性，如均值、方差等统计特性将发生变化。
此外，非线性变换也可能增加过程的相关性，使之更接近于高斯分布。
(3)动力学特性的变化：非线性变换可能改变平稳随机过程的动力学行为，使之呈现更加复杂的行为，包括分岔、混沌等现象。
这些变化对于描述实际系统的行为非常重要。
2.非线性变换的实际应用：(1)数据压缩与表示：非线性变换可以对数据进行压缩和表示，通过保留数据的重要特征，可以减小数据的维度，提高数据处理的效率。
(2)信号处理与滤波：非线性变换可以改变信号的频谱特性和功率分布，并通过滤波等操作来实现信号处理的目标。
(3)图像处理与识别：非线性变换可以提取图像中的纹理、形状、边缘等特征，并用于图像识别、分类等应用。
信号测试技术复习题
变极距型电容传感器灵敏度
灵敏度和极距的平方变化成反比，二者是非线性的，并且要灵敏度高，极距变化量就要小，因此要在实际中解决这对矛盾，可以采用如下方法：
7．若电阻应变片的输入信号为正弦波，则以该应变片为工作臂的直流测量用桥的输出是（B）
A. 直流信号B. 正弦波C. 调幅波D. 脉动波
8．记录0~200Hz的正弦信号，宜采用固有频率为（B)Hz的振动子较合适。
A.120 B.400 C.1200 D.2500
9．在时域中计算的信号总功率，等于在频域中计算的信号（C）。
16.二阶系统的阻尼比越小，则其对阶跃响应的超调量。A
A.越大 B.越小 C.不存在
17.不失真测试条件除要求测量装置幅频特性是常数外，其相频特性要求满足。A
A.相移与频率成正比 B.常值相移 C.任意相移
18.用频率法测定测试系统的频率特性时，使用的激励信号是信号，可测定系统的特性。AB
A.正弦 B.脉冲 C.阶跃
A.静态 B.稳态 C.动态
19．属于传感器动态特性指标的是( )B
A.迟滞 B.过冲量
C.稳定性 D.线性度
20．利用相邻双臂桥检测的应变式传感器，为使其灵敏度高、非线性误差小（ ）C
A．两个桥臂都应当用大电阻值工作应变片
B．两个桥臂都应当用两个工作应变片串联
C．两个桥臂应当分别用应变量变化相反的工作应变片
27.压电式传感器与电压放大器配合使用时，传感器的灵敏度与电缆长度有关。( T )
28.当被测物是动态的，测量就是动态测量。（F）
29.在数字信号处理过程中，量化误差大小与A/D转换器的位数无关。（×）
通信原理概论练习题
一、填空:(1)某路电话中要传输的语音信号频率范围是2００～400０Hz,用ＰCＭ调制方式处理时,则对语音信号的最低抽样速率为８000Hz,码元周期为０.125ms，如果对此信号的每个抽样值进行8位二进制编码,则当采用均匀编码方式时,最小量化单位是整个量化区域的1/25６，对编码结果传输时的信息速率是64ｋbｐｓ，码元速率为64KB，采用二进制非归零编码方式时,基带信号带宽是6４000Hｚ，无码间串扰的最大频带利用率是２Ｂ／Hz,而当采用A律十三折线方式编码时,最小量化单位是整个量化区域的1／2048，对编码结果传输时的码元速率为6４KB,基带信号带宽是64000Hz，无码间串扰的最大频带利用率是２B/Ｈz,接收端在解调后恢复原语音信号时应该使用低通滤波器,其截止频率应该是64０00Hz。
如果使用我国TDM的现代数字电话公用网对这种主意信号进行传输，则传输一次群时信号的码元速率为2048ＫB，其中用来传送语音信号的大约占整个时间片的１5／1６,用来传送同步信号的时间片占整个时间片的15/16,用来传送信令信号的时间片占整个时间片的15/16。
(2)通信信号的复用方式有时分复用（TDM）,频分复用（FＤM），码分复用（ＣDＭ）和波分复用（ＷDＭ)等等。
(3)通信按照消息传递的方向与时间关系分可以有单工,半双工和全双工三种方式。
(4)通信按照数字信号的排列顺序分可以有串行通信和并行通信两种方式。
(5)某路电话中要传输的语音信号频率范围是200~4000Hz，则其基带信号的带宽为3800Ｈz,用ＡM调制方式进行调制通信时，已调信号的带宽是7600Ｈz,用DSB调制方式进行调制通信时，已调信号的带宽是76０0Ｈz，用SＳB调制方式进行调制通信时,已调信号的带宽是38００Ｈz,用2AＳＫ调制方式对其A律１3折线编码进行调制通信时，已调信号的带宽是640０0Hz,用2FSK 调制方式对其A律13折线编码进行调制通信且采用的两种载波频率分别为2MＨz和２.5ＭHz时，已调信号的带宽是564kHz,用2PSK调制方式对其A律１3折线编码进行调制通信时,已调信号的带宽是６４０00Ｈｚ,用2DPSK调制方式对其A律１３折线编码进行调制通信时，已调信号的带宽是６4０0０Hz。
平稳随机过程的均方值
平稳随机过程的均方值
嘿，朋友！咱今天来聊聊平稳随机过程的均方值。
你知道吗，这均方值就像是一个神秘的宝藏，得慢慢挖掘才能发现
它的价值。
想象一下，平稳随机过程就像是一场混乱的舞会。
在这个舞会上，
各种舞步、节奏都毫无规律。
但均方值就像是这场舞会的组织者，它
能从这看似杂乱无章的舞步中找出一些关键的规律。
比如说，我们日常生活中的噪声。
那呼呼作响的风声，噼里啪啦的
雨声，还有街头巷尾的嘈杂声，这些都可以看作是一种随机过程。
而
均方值呢，就能帮我们衡量这些噪声的强度。
这均方值可不是随随便便就能搞明白的哟！它得通过一系列复杂又
精妙的计算才能得出。
就好比你要做一道超级复杂的数学题，得一步
一步地来，不能马虎。
如果把平稳随机过程比作是一条波涛汹涌的河流，那均方值就是这
条河的平均水深。
它能告诉我们这条河大概的情况，是深是浅，是湍
急还是平缓。
再比如，股票市场的价格波动，那也是个平稳随机过程。
均方值就
能帮投资者大概了解这个市场的波动程度，是风平浪静还是惊涛骇浪。
均方值的计算，就像是在给这个混乱的世界制定一些秩序。
它让我们能在看似无序的随机现象中找到一些确定性的东西。
你想想，要是没有均方值这样的工具，我们面对那些随机的现象不就像无头苍蝇一样乱撞吗？
总之，平稳随机过程的均方值是个非常重要且神奇的东西，它能帮助我们在混乱中找到秩序，在无序中发现规律。
朋友，你可得好好琢磨琢磨它呀！。
通信原理的期末考试题
第一章1、消息、信息与信号的概念消息：指通信系统传输的对象，它是信息的载体。
信息：是消息中包含的有效内容。
信号：是消息的传输载体。
2、通信系统一般模型（发送端）（接收端）通信系统的作用就是将信息从信源发送到一个或多个目的地。
信息源（简称信源）：把各种消息转换成原始电信号。
发送设备：产生适合于在信道中传输的信号。
信道：将来自发送设备的信号传送到接收端的物理媒质。
分为有线信道和无线信道两大类。
噪声源：集中表示分布于通信系统中各处的噪声。
接收设备：将信号放大和反变换，从受到减损的接收信号中正确恢复出原始电信号。
受信者（信宿）：把原始电信号还原成相应的消息。
3、模拟通信系统模型模拟通信系统是利用模拟信号来传递信息的通信系统4、数字通信系统模型数字通信系统是利用数字信号来传递信息的通信系统信源编码与译码目的：提高信息传输的有效性（压缩）完成模/数转换信道编码与译码目的：增强抗干扰能力（抗干扰编码、减纠错编码、伪随机序列）加密与解密目的：保证所传信息的安全数字调制与解调目的：形成适合在信道中传输的带通信号同步目的：使收发两端的信号在时间上保持步调一致（载波同步、位同步、帧同步、网同步等）5、通信系统的分类（1）按通信业务分类：电报通信系统、电话通信系统、数据通信系统、图像通信系统（2）按调制方式分类：基带传输系统和带通（调制）传输系统（3）按信号特征分类：模拟通信系统和数字通信系统（4）按传输媒介分类：有线通信系统和无线通信系统（5）按工作波段分类：长波通信、中波通信、短波通信（6）按信号复用方式分类：频分复用、时分复用、码分复用6、通信方式可分为：单工、半双工和全双工通信单工通信：消息只能单方向传输的工作方式半双工通信：通信双方都能收发消息，但不能同时收发的工作方式全双工通信：通信双方可同时进行收发消息的工作方式7、并行传输：将代表信息的数字信号码元序列以成组的方式在两条或两条以上的并行信道上同时传输。
串行传输 ：将数字信号码元序列以串行方式一个码元接一个码元地在一条信道上传输8、信息量、平均信息量信息量： P(x)－消息发生的概率， I －消息中所含的信息量，)(log )(1log x P x P I a a -==单位bit 等概率平均信息量：非等概率121222221()()[log ()]()[log ()]()[log ()]()g ()(/(1.46)M M Mi i i H x P x P x P x P x P x P x P x lo P x ==-+-++-=--∑L 比特符号）9、通信系统主要性能指标有效性和可靠性有效性：指传输一定信息量时所占用的信道资源（频带宽度和时间间隔），或者说是传输的“速度”问题。
平稳随机过程的物理意义
平稳随机过程的物理意义嘿，你有没有想过这个世界上有很多看似无序，实则蕴含着奇妙规律的现象呢？就像我们的生活，有时候乱糟糟的，但其实也有某种内在的稳定性。
今天咱们就来聊聊平稳随机过程这个超有趣的概念，它在物理里可有着超级重要的意义呢！我有个朋友叫小李，他是个搞物理研究的。
有一次我们一起聊天，他就跟我说起平稳随机过程。
我当时就懵了，这啥玩意儿啊？小李就笑着跟我打了个比方。
他说，你看那大海，海浪不停地起伏，看起来毫无规律，时高时低，一波接着一波。
从表面上看，每一个海浪的高度、形状、到达的时间好像都是随机的。
这就有点像随机过程。
可是呢，如果你长时间地观察大海，你会发现一些有趣的事情。
比如说，海浪的平均高度在很长一段时间内是相对稳定的，海浪的一些统计特性，像是能量啊，频率分布啊，在不同的时间段看起来竟然差不多。
这就有点像平稳随机过程的意思啦。
那平稳随机过程在物理上到底是怎么体现的呢？咱先说说热噪声。
你知道电路里吧，就算没有外界的干扰，也会有那种嗡嗡嗡的噪声。
这热噪声就是一种随机过程。
它的产生是因为电子的热运动，这些电子在导体里乱动，就像一群调皮的小蚂蚁到处乱跑。
单个电子的运动那是完全没个准儿的，是随机的。
可是当你从整体上去看，从统计的角度看，这个热噪声就有平稳随机过程的特性。
它的功率谱密度在一定的条件下是稳定不变的。
这就好比一个班级里的学生，每个学生的学习状态随时在变，就像那些单个电子的随机运动。
但是从整个班级的成绩分布、平均分这些统计量来看，在一段时间内是比较稳定的，就像热噪声的功率谱密度一样。
再讲讲布朗运动。
那些小颗粒在液体或者气体里不停地做无规则运动。
这看起来完全是随机得不能再随机了。
可是呢，如果你去研究这个布朗运动的一些统计特性，比如颗粒的均方位移随时间的变化关系，你会发现它也有平稳的特性。
想象一下，你在看一群小虫子在一个小盒子里乱爬，每只虫子的路线那是千奇百怪。
但是如果你从宏观的角度，看这群虫子整体的扩散范围之类的统计情况，在一定条件下是有规律可循的，就像布朗运动中的平稳随机过程。
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则称X t , t T为严平稳过程。
以上定义的是离散型的严平稳过程。对连续型，则用概率密度来描述→
如果依个随机过程X t , t T的n维概率密度不随时间起点选择的布同而 改变,即对任意n个值t1 , t2 , , tn T和 ',X t , t T的n维概率密度满足
一、均方连续与均方积分
1.均方收敛
设有二阶矩随机变量序列{Xn}和二阶矩随机变量X，若有
lim E
n
Xn X 2
0
成立，则称{X n }收敛于X ,记作 X n ms X
常写成
l
im
n
X
n
X
或 l i mX n X
均方连续→
2.均方连续
1定义：设X t, t T为随机过程，如果对任 意 t T ,
对于各态历经过程， 各种时间平均以概率1收敛于相应的统计平均。
最关心的是随机过程X{t}沿整个时间轴的如下两种平均：
X t
lim
T
1 2T
T
T
X tdt
X
tX t
lim T
1 2T
T
T
X
tX t
dt
不同的各态历经性的定义→
定义8.2.4 设X t ,- t 是一个平稳随机规程，
1若 X t EX t 常数
lim EX t t X t 2 0
t 0
则称{X t, t T}为均方连续的,记作l i m X t t X t t 0
(2)定理8.2.1：如果随机过程{X(t),t∈T}是均方连续的，则其均值 函数μX(t)必定是连续函数，即
如果 l i m X t t X t t 0
图8.2 具有各态历经性的随机过程 t
(2)任何一个样本函数的 特性都可以充分地代表 整个随机过程的特性。
各态历经性→
2.各态历经性
观测二极管的电压时，只要二极管工作状态是稳定的，就没有物 理上的原因会使得一个管子上所得到的时间平均值，比k个管子上 于某一时刻所得到的统计平均值来得大或小。也就是说，电压关 于时间的平均值应该与电压的统计平均值，这就是各态历经性质。
则有
lim
t 0
X
t
t
X
t
“求极限” 与“求期望” 的次序可换
关于均方连续的几个等价命题→
(3)定理8.2.2：设 {X(t),t∈T}为平稳过程.其中 T=(-∞,+∞),而RX(τ)为其自相关函数，则下列四 个命题等价：
1X t, t T在T上均方连续；
2X t, t T在t 0处均方连续；
作业： 280页第2题
8.3平稳过程的功率谱密度→
8.3 平稳过程的功率谱密度
傅里叶变换经常用来确定一个时间函数的频率结构。
随机信号是否可进行傅里叶变换？是否也存在某种谱结构？
随机过程样本函数不满足傅里叶变换绝对可积条件 xt dt
所以要对随机信号进行行截取后再作傅里叶变换并分析其频谱。
f x1 , x2 , , xn;t1 , t2 , , tn f x1 , x2 , , xn;t1 ', t2 ', , tn '
则称X t , t T为严平稳过程。
以上定义说明:平稳过程的统计特性与所选择的时间起点无关。
对连续型严平稳过程，其一、二维概率密度及数字特征有如下性质：
则称{X(t),t∈T}为宽平稳过程(弱平稳过程、 广义平稳过程) 以下所提的平稳过程均指宽平稳过程。 例1(p270)平稳过程的证明
例2(p271)随机热噪声是平稳序列 宽平稳过程的相关函数具有以下性质→
平稳过程{X(t),t∈T}的相关函数R(τ) 具有以下基本性质
1RX 0 EX 2 t 0;
xT
t e it dt
T
T xT
t e it dt
应用Parseval公式→
由Parseval公式可知
x T 2 T T
t
dt
1
2
Fx ,T
2 d
1
lim T 2T
x T 2
T T
t
dt
1
2
1
lim
T 2T
Fx
,T
2 d
信号在(-∞,+∞)上 的平均功率
信号的平均功率按频率的分配情况
S
x
lim
T
1 2T
Fx ,T 2
功率谱密度
平稳过程的平均功率和功率谱密度→
2.平稳过程的平均功率和功率谱密度
以上讨论的是确定信号的频谱分析,对随机过程可做类似的分析,当然,鉴于过程的随 机性,求平均功率时不仅要对区间[-T,T]取平均,还需求概率意义下对随机变量的平均.
设{x(t),-∞<t<+∞}是均方连续的随机过程,作截尾过程 xT t
2T 1 0
2T
B
R
2 X
d
0
式中 B EX t X t X t
本节小结→
小结
内容：主要介绍平稳过程各态历经及性质。
要求：（1）了解均方连续过程的“求极限”、
“求积分”与“求期望”的次序可互换，这 将在下一节的功率谱内容中有所应用。 （2）熟记采用均值、自相关函数各态历经 性的充分必要条件，并能用之于判断、证明 一个过程是否为相关的各态历经过程。
若取电阻为1欧姆,则x2(t)表示信号在t时刻的功率。下面利用傅里叶变换 对确定信号x(t)作谱分解。
如果确定性信号x(t)满足傅里叶变换的条件，则其傅里叶变换存 在，或说信号x(t) 具有频谱
Fx
x
t
e it dt
称xt 为Fx 的傅里叶反变换，在xt 的连续点，有
xt 1
2
平均功率的表达→
lim 1
T x 2 t dt
信号在t∈(-∞,+∞) 上的平均功率
T 2T T
xt
T
OT
在样本函数x(t)上任意截取长为2T的
一段，并记为 xT t ,称为截尾函数
t
xT
t
xt
,
t T,
0, t T .
截尾函数的持续时间有限，其傅里叶变换存在，
Fx ,T
具有各态历经性的充分必要条件→
均值各态历经性定理
平稳过程X t ,- t 的均值具有各态历经性
的充分必要条件是lim 1 T T
2T 1 0
2T
RX
2 X
d
0
自相关函数各态历经性定理
平稳过程X t ,- t 的自相关函数RX
具有各态历经性的充分必要条件是
1
lim T T
信号的能量按频率的分配情况
Fx
2 能量谱密度或能量频谱。
因此，Parseval公式可理解为总能量的谱表示式。
工程技术上遇到的很多时间函数总能量是无限的， x 2 t dt
这类函数因不满足傅里叶变换而不存在频谱.因此,不能通过能量谱密度来研究 此类信号的频率结构，然而平均功率往往是有限的，即
n
lim
0
E
i 1
X
i
t i
Y
0
n
即 l i m X i ti Y
0 i1
则称{X(t),t∈T}在[a,b]上均方可积，而
b
称Y为X(t)在[a,b]上的均方积分，记为
Y X t dt a
即
X 0 i1
i
t i
积分与期望的次序→
因截尾过程均方可积,故存在傅里叶变换
Fx ,T
T
T xT
t e it dt
由Parseval公式可知
x T 2 T T
t
dt
1
2
Fx ,T
2 d
信号在(-T,+T)上的总能量
为求平均功率按平率的分布,需求平均功率,而平均功率时不仅要对区间[-T,T] 取平均,还需求概率意义下对随机变量的平均,即数学期望.
Fx
e it d
xt和Fx 之间满足 Parseval等式
xt 和Fx 之间满足Parseval等式 :
x 2 t dt 1
2
Fx
2 d
正是通过Parseval公 式,才体现了信号能量 按频率分布的关系。 仅有傅里叶变换是不 能体现此关系的。
信号在(-∞,+∞)上 的总能量
本节将利用傅里叶变换寻求平稳过程的频率结构—功率谱密度。
一、平稳过程的谱分析1.确定信号的谱分析 2.平稳过程的平均功率和功率谱 密度;二、平稳过程的功率谱密度与自相关函数的关系三、功率谱密度的性质
平稳过程的谱分析→
一、平稳过程的谱分析
1.确定信号的谱分析
对确定信号x(t),-∞<t<+∞作谱分析，x(t)可表示t时刻的电流密度或电压,
(2)定理8.2.3 设{X(t),t∈T}为均方连续的随机过程，则有
①E
b a
X
t dt
b
a
X
t dt
表明：求积分 与求期望的次
②E
b a
X tdt
b a
b a
RX
s,
t
dsdt
序可交换。
以上在有限区间[a,b]上均方积分的概念可推广到无穷区间，如
X t dt l i m b X t dt
第八章 平稳随机过程
8.1平稳随机过程的概念及数字特征
一、严平稳过程
设X t , t T为一随 机过程，若对T内的任 意n个 值t1 , t2 , , tn对任意 实数