人教中考数学培优易错试卷(含解析)之二次函数附答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1

2

x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；

（3）点P（4，6）．

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣1

2

t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由

S△PAB=S△PAN+S△PBN=1

2

PN•AG+

1

2

PN•BM=

1

2

PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数

的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），

将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣1

2

，

所以抛物线解析式为y=﹣1

2

（x﹣6）（x+2）=﹣

1

2

x2+2x+6；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB 解析式为y=kx+b ，

将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：

6

60b k b =⎧⎨

+=⎩

， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩

，

则直线AB 解析式为y=﹣x+6，

设P （t ，﹣

12

t 2

+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），

∴PN=PM ﹣MN=﹣

12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣1

2

t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+1

2PN•BM =1

2

PN•（AG+BM ） =

1

2PN•OB =12×（﹣1

2t 2+3t ）×6 =﹣3

2t 2+9t

=﹣32（t ﹣3）2+272

，

∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，

∵PH ⊥OB 于H ， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH ∥AO ， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴， ∴∠DPE=90°，

若△PDE 为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°，

∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即点E 与点A 重合，

则当y=6时，﹣

12

x 2

+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4， 即点P （4，6）．

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

2．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2

y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两

点，其中A 点的坐标为（－3，0）．

（1）求点B 的坐标；

（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．

①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；

②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94

. 【解析】

【分析】

（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．

②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】

解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.

（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），

∴2a 1

b

12a 9a 3b c 0

=⎧⎪⎪

-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.

∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13

S 1322

∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13

S 3p p 22

∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴

3

p 62

=，解得p 4=±. 当p 4=时2

p 2p 321+-=；当p 4=-时，2

p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：

3k b 0

b 3-+=⎧⎨

=-⎩

，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.

∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).

∴()

2

2239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝

⎭.

∵a 10<=-，-3

302

<<- ∴线段QD 长度的最大值为

94

.