赛氪考研：如何解释洛必达法则

如何解释洛必达法则

洛必达是法国中世纪的王公贵族，他喜欢并且酷爱数学，后拜伯努利为师学习数学。但洛必达法则并非洛必达本人研究。由于当时伯努利境遇困顿，生活困难，而学生洛必达又是王公贵族，洛必达表示愿意用财物换取伯努利的学术论文，伯努利也欣然接受。此篇论文即为影响数学界的洛必达法则，也是我们今天要讲的内容。

洛必达法则最犀利的地方在于大大简化了极限运算，尤其是不定型的极限。这种化繁为简的技术手段从来都是深受喜爱的。常见的教科书中，洛必达法则的证明大都利用柯西中值定理，证明过程非常抽象，实际意义不明显。我们在给出其几何意义之前，先看看书本上的定义吧。

00型不定式极限的洛必达法则为：

若函数()f x 和()g x 满足下列条件：

⑴

()lim 0x a

f x →=，()lim 0x a

g x →=；

⑵在点

a 的某去心邻域内两者都可导，且()'0g x ≠；

⑶()

()

''lim x a f x A g x →=（A 可为实数，也可为±∞）， 则()()()()

''lim lim x a x a f x f x g x g x →→=

直观理解

极限()()lim

x a f x g x →作为无穷小的比较，其本质是分子与分母“比阶”，也就是比谁

在自变量

x a →的过程中，趋于0的速度更快。数学中，前辈们给“谁趋于0的速度

快”这一描述起了优雅的名字，分别为“同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小和低阶无穷

小”。

就像分子分母在跑道上进行趋于0或者∞

的赛跑，我们旁观者想搞清楚：（1）谁赢了（极限是大于一还是小于一）；（2）他们是差不多同时撞线还是领先者领先好几个身位到达终点（同阶还是高阶），同时撞线时差了多少（同阶的话极限到底是几）。但问题在于

我们肉眼的判断能力有限，只知道两人的运动情况（函数在某点附近的表达式），洛必达法则告诉我们，在一定的条件下，我们可以用放慢镜头的办法（分子分母公平降阶）判断出两者谁跑得快、快多少。函数每求一次导，相当于降一次阶，相当于赛跑过程中镜头慢了一倍。这样慢下去，两者冲线的情况最终就越来越清晰。

但并不是放慢镜头就可以得到两者冲线的情况的，有时候，因为技术原因慢镜头在冲线处不能放（函数在冲线处邻域内不可导）；有时候，即使镜头再慢，也无法区分出谁先冲线（洛必达法则使用后，极限反而不存在）；有时候，有人中间摔倒或者中途退赛而没能冲线（不是

00型或者∞∞），这时候再去放慢镜头也无济于事。

几何解释

将

()f x 和()g x 看作是某条连续曲线L 的参数方程，记为

()()()(),L x g x f x =，根据条件⑵在点a 的某去心邻域内两者都可导，

且()'

0g x ≠和⑶()

()

'

'lim x a f x A g x →=（A 可为实数，也可为±∞）可得，曲线

L 在点()()()000,P g x f x =处存在切线T ，那么过点0P 的切线斜

率为

()

()

'0'

0f x g x 。

另一方面，对于曲线上的任意一点

P ，割线OP 的斜率为

()()()()

00OP f x f x k g x g x -=

-。当

0x x →时，点P 无限接近于点0P ，从而得到过点

0P 的切线T 的斜率为

()()()()

()()

00

000lim

lim P x x x x f x f x f x k g x g x g x →→-==-，所以

()()()()

=0'

0'0lim x x f x f x g x g x →【1】。 设过曲线上的任意一点P 的切线为R ，则切线R 的斜率为()()

''

f x

g x 。

如图1所示，曲线上定点0P 、P 的切线分别为T 、R ，当0x x →时，切线R

的极限位置即为切线

T ，由此得：

()()()()

0''0''0lim x x f x f x g x g x →=【2】 综合【1】、【2】得，()()()

()

00'

'lim lim x x x x f x f x g x g x →→=。

另一方面，对于曲线上的任意一点

，割线

o P P

的斜率

为

()()()()

00o P P f x f x k g x g x -=

-，割线

OP 的斜率为()()

OP

f x k

g x =。当点

0P 逐渐靠近原点O 直至重合的过程中，割线与o P P 与OP 越来越接近，直至重合，

此时

()()

o P P OP

f x k k

g x ==。此时，让

，点无限接近于点，

割线

o P P

的斜率变为过点的切线的斜率为

，所以

。