2.1.1指数与指数幂的运算(二)课件
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2.1.1指数与指数幂的运算
n n
a
n
n
1 n (a 0, n N ) a
m n ( m , n Z );(a m )n
n( n Z ).
a
(n N ), a
1 (a 0)
(2)a a
m
n (ab)
n
a b
2
a
a
mn ( m , n Z );
3 0 (3) 9 3 , 9 -3 , 0 , 8 -2
（1）n为奇数时，正数的n次方根是一个正数； 负数的n次方根是一个负数， 这时a的n次方根即为n a 表示.
（2）n为偶数时，正数的n次方根有两个, 且互为相反数,即 n a； 负数没有偶次方根.
0的任何次方根都是0, 记作 0 0.
n
n
式子 a叫做根式( radical ), n叫做根指数(radical exponent ), a叫做被开方数( radicand ).
mn
(3)(ab ) a b ( n Z );
n
b n b (4))( ) n ( n Z , a 0); a a n m n m (5)a a a ( m , n Z , n m , a 0); 1 0 n (6)a 1(a 0);(7)a n . a
(4)( a )
a
(a 0), a
2
a
.
类比推广
若x 2 a, 那么x叫a的平方根, 如 2是4的平方根; 若x a, 那么x叫a的立方根, 如2是8的立方根;
3
由于(2) 16, 则 2叫做16的4次方根;
4
问1 : 若x a, x应称为什么呢?
a
n
n
1 n (a 0, n N ) a
m n ( m , n Z );(a m )n
n( n Z ).
a
(n N ), a
1 (a 0)
(2)a a
m
n (ab)
n
a b
2
a
a
mn ( m , n Z );
3 0 (3) 9 3 , 9 -3 , 0 , 8 -2
（1）n为奇数时，正数的n次方根是一个正数； 负数的n次方根是一个负数， 这时a的n次方根即为n a 表示.
（2）n为偶数时，正数的n次方根有两个, 且互为相反数,即 n a； 负数没有偶次方根.
0的任何次方根都是0, 记作 0 0.
n
n
式子 a叫做根式( radical ), n叫做根指数(radical exponent ), a叫做被开方数( radicand ).
mn
(3)(ab ) a b ( n Z );
n
b n b (4))( ) n ( n Z , a 0); a a n m n m (5)a a a ( m , n Z , n m , a 0); 1 0 n (6)a 1(a 0);(7)a n . a
(4)( a )
a
(a 0), a
2
a
.
类比推广
若x 2 a, 那么x叫a的平方根, 如 2是4的平方根; 若x a, 那么x叫a的立方根, 如2是8的立方根;
3
由于(2) 16, 则 2叫做16的4次方根;
4
问1 : 若x a, x应称为什么呢?
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时 分数指数幂课件 新人教A版必修1
4
B． a－1 D． 1 4 a－1
[答案] B
[解析] 要使原式有意义，则 a－1＞0 . 4 1－a ·
2
①
3 1 － (a － 1) 4 ＝ (a － 1)· (a － 1) 3 ＝ |1 － a|· a－1
－
3 4
＝(a－1)
1 4
＝ a－1.
4
随堂测评
1． 若 a＞0， 且 m， n 为整数， 则下列各式中正确的是( A．a ÷ a ＝a
1 －22＝(－2)3 3 x3y3＝xy4
2 2
)
4 3
(x＞0，y＞0)
1 －b 3
C． a －b
1 ＝a3
3 x y 1 － D. y＝(x) 3
(x≠0，y≠0)
[答案] D
5．若10x＝3,10y＝4，则10x－y＝________.
[答案] 3 4
x 10 3 x－y [解析] 10 ＝10y＝4.
m n
m n
)
B．am· an＝am＋n D．1－an＝a0－n
C．(am)n＝am＋n
[答案] B
2. a－2可化为( A．a
－
5
)
5 B．a2 5 D．－a2
2 5
2 C．a5
[答案] A
4 3．a5
的根式为(
4 4
) B． a5
5
A． a C．
5
4
a5
D．
a4
[答案] A
4．下列各式中正确的是( A． B． 6
规律总结： 在将根式化分数指数幂的形式时，关键
是分清指数中分子、分母的位置．
1
将下列根式与分数指数幂进行互化．
2.1.1指数幂的运算
(5)0的七次方根等于___________ 0 0
7
根都为0.
x是a的n次方根
不等于 ?
a的n次方根是x
探究
n
a a
n
一定成立吗？
1、当 n 是奇数时，n a n a
a ( a 0 ) 2、当 n 是偶数时， a | a | a (a 0)
n n
例2 求下列各式的值
8
2 3
;
25
1 5
1 2
;
1 2
5
;
4
32
运算法则：
a a a
r s
r S
r s
(a 0, r, s Q)
(a ) a (a 0, r, s Q)
rs
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r r r
练习1：求下列各式的值
(1) (8)
3 4
3
=-8
4
(2) (10)
2 2
=10
(3) (3 )
=π-3
(4) (a - b) (a b). =a-b
思考：
5
a
a
10
5
(a2) a
5
2
a
10 5
（a>0）
4
12
4
3
a
4
3
n
a
m
a a (a>0) 问： 4 a 吗？ (a>0) (a 3 ) a a (a>0,n>1且m,n∈N*) a
1 5730
1 P 2
1 P 学习的指数有什么区别？
人教A版高中数学必修一课件：2.1.1 指数与指数幂的运算
有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用
（四）.实数指数幂的运算性质
a ar s a (a rs 0, r, s R)
(ar )s ars (a 0, r, s R)
(ab)r a br r (a 0,b 0, r R)
练习： (1).用根式的形式表示下列各式（a>0）：
m3n3 m2 n3
(3) a 2 (a 0); a3 a2
(4)(3 25 125) 4 5
2
3
1
a2
1
3
2 1 2
a 2 3
a2 a2
(53 52 ) 54
2
1
3
1
53 54 52 54
5
a6 6 a5
21
31
5
5
53 4 52 4 512 54
a a
(a 0) (a 0)
(Ⅱ)讲授新课 1.引入：
(±2)2=4
2，-2 叫4的平方根(即2次方根),
其中：2叫做4的算术平方根(正的2次方根） -2叫做4的负的平方根（负的2次方根）
23=8
2叫8的立方根（即3次方根）
(-2)3=-8
-2叫-8的立方根(即3次方根)
25=32
五.练习：
课本P59习题2.1A组1,2题
练习
（1）3 64 __-_4___ 5 32 ____2___； （2）4 81 ___3___ 4 81 ___-_3__;;
（3） (4 3)4 3______(5 6)5 ___6___；
(4) 5 a10 _a_2___ 3 a12 _____a4__；
（四）.实数指数幂的运算性质
a ar s a (a rs 0, r, s R)
(ar )s ars (a 0, r, s R)
(ab)r a br r (a 0,b 0, r R)
练习： (1).用根式的形式表示下列各式（a>0）：
m3n3 m2 n3
(3) a 2 (a 0); a3 a2
(4)(3 25 125) 4 5
2
3
1
a2
1
3
2 1 2
a 2 3
a2 a2
(53 52 ) 54
2
1
3
1
53 54 52 54
5
a6 6 a5
21
31
5
5
53 4 52 4 512 54
a a
(a 0) (a 0)
(Ⅱ)讲授新课 1.引入：
(±2)2=4
2，-2 叫4的平方根(即2次方根),
其中：2叫做4的算术平方根(正的2次方根） -2叫做4的负的平方根（负的2次方根）
23=8
2叫8的立方根（即3次方根）
(-2)3=-8
-2叫-8的立方根(即3次方根)
25=32
五.练习：
课本P59习题2.1A组1,2题
练习
（1）3 64 __-_4___ 5 32 ____2___； （2）4 81 ___3___ 4 81 ___-_3__;;
（3） (4 3)4 3______(5 6)5 ___6___；
(4) 5 a10 _a_2___ 3 a12 _____a4__；
课件 2.1.1 指数与指数幂的运算
（3）4 (3 )4 ； （4） (a b)2 (a b).
解：（1）3 (8)3 8;
（2） (10)2 10 10; （3）4 (3 )4 3 3;
注意符号
（4） (a b)2 a b a b (a b).
【提升总结】 根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇 次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化 简或求值.
解:
11
41
2
(a a 3 )2 (a 3 )2 a 3 .
利用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a >0).
(3)
3
(
3a 3 27b3
)4
3
8 3
a
4b
4
(4)
9
a 2 4 b3
a b . 9 4
3 8
例2.化简下列各式(其中a >0).
(3)
3
(
3a 3 27b3
)4
9
9 3 1
9 3
5
5
512 54
12 55 54 5.
【1】计算下列各式(式中字母都是正数).
(1)
a
a
a
111
a2 a4 a8
a1 2
1 4
1 8
7
a8
8 a7 .
a2
(2)
.
a 3 a2
解:原式 =
a2
1
2 1 2
5
2 a 2 3 a 6
a2 a3
注意:结果可以用根式表示,也可以用分数指数 幂表示.但同一结果中不能既有根式又有分数 指数幂,并且分母中不能含有负分数指数幂.
当n为奇数时，x n a ( a R ) 当n为偶数时，x n a ( a 0 ) 0的任何次方根都是0，记作 =0.
人教版版高一数学指数与指数幂的运算(二)(共25张PPT)教育课件
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
2.1.1指数与指数幂 的运算
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
am an amn (m, n Z ), (am )n amn (m, n Z ), (ab)n an bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
复习引入
2. 根式的运算性质： ① 当n为奇数时，
例3 计算下列各式(式中字母都是正数)
21
11
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
2.1.1指数与指数幂 的运算
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
am an amn (m, n Z ), (am )n amn (m, n Z ), (ab)n an bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
复习引入
2. 根式的运算性质： ① 当n为奇数时，
例3 计算下列各式(式中字母都是正数)
21
11
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
2.1.1指数与指数幂的运算(必修一 数学 优秀课件)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3
(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 81
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b
2.1.1指数与指数幂的运算(人教版)说课讲解
思考：请说明无理数指数幂 2 3 的含义。
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
方根只有一个，记为 x n ．a
得出结论
22 4 32 9
24 16
2 4 3 9
24 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n 为偶数时，正数的 n次方根有两
个，它们互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a
表示；负的n次方根用符号 n a 表示，正数）
21
11
15
(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25 - 125 ) 4 25 (2) a2 (a 0)
a 3 a2
一般地，无理数指数幂 a ( >0,是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
(ar)Sars(a0,r,s Q )
(a b )r a rb r(a 0 ,b 0 ,r Q )
例2、求值
2
83 ;
1
2 52 ;
1 5; 1 6 4 3
2 8 1
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
（3）a 的n次方根是 n a ；
（4） n an a(a0).
解：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确；（4）正确。
二、分数指数幂
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
anaaaa,a01 (a0) , 00无 意 义
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
方根只有一个，记为 x n ．a
得出结论
22 4 32 9
24 16
2 4 3 9
24 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n 为偶数时，正数的 n次方根有两
个，它们互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a
表示；负的n次方根用符号 n a 表示，正数）
21
11
15
(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25 - 125 ) 4 25 (2) a2 (a 0)
a 3 a2
一般地，无理数指数幂 a ( >0,是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
(ar)Sars(a0,r,s Q )
(a b )r a rb r(a 0 ,b 0 ,r Q )
例2、求值
2
83 ;
1
2 52 ;
1 5; 1 6 4 3
2 8 1
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
（3）a 的n次方根是 n a ；
（4） n an a(a0).
解：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确；（4）正确。
二、分数指数幂
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
anaaaa,a01 (a0) , 00无 意 义
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算(第2课时)指数幂及其运算
D. 25
解析:原式 = 5
2× 2
)
= 52 = 25.
答案(dá àn):B
【做一做 3-2】 ( 3)1+
A. 3
B. 2 3
C.1
D.3
解析:原式=( 3)1+
3
3+1- 3
× ( 3)1- 3 等于(
= ( 3)2 = 3.
答案(dá àn):D
第八页，共二十一页。
)
2
1
4 与2 不一定相等
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数(zhěngshù)指数推广到了
有理数指数.
第三页，共二十一页。
2
5
【做一做 1-1】 3 等于(
5
A. 3 B. 35
C. 3
1
5
)
5
D. 32
答案(dá àn):D
4
5
-
【做一做 1-2】 5 等于(
(1)同底数(dǐshù)幂相乘,底数不变,指数相加;
(2)幂的乘方,底数不变,指数相乘;
(3)积的乘方等于乘方的积.
第五页，共二十一页。
1
3
2
3
【做一做 2-1】 已知 m>0,则 · 等于(
)
1
3
2
9
A.m
B.
C.1
D.
答案(dá àn):A
2
3
3
7
【做一做 2-2】 已知 x>0,y>0,化简( )21 等于(
1
2
3 1
×
2 3
解析:原式 = 5
2× 2
)
= 52 = 25.
答案(dá àn):B
【做一做 3-2】 ( 3)1+
A. 3
B. 2 3
C.1
D.3
解析:原式=( 3)1+
3
3+1- 3
× ( 3)1- 3 等于(
= ( 3)2 = 3.
答案(dá àn):D
第八页，共二十一页。
)
2
1
4 与2 不一定相等
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数(zhěngshù)指数推广到了
有理数指数.
第三页，共二十一页。
2
5
【做一做 1-1】 3 等于(
5
A. 3 B. 35
C. 3
1
5
)
5
D. 32
答案(dá àn):D
4
5
-
【做一做 1-2】 5 等于(
(1)同底数(dǐshù)幂相乘,底数不变,指数相加;
(2)幂的乘方,底数不变,指数相乘;
(3)积的乘方等于乘方的积.
第五页，共二十一页。
1
3
2
3
【做一做 2-1】 已知 m>0,则 · 等于(
)
1
3
2
9
A.m
B.
C.1
D.
答案(dá àn):A
2
3
3
7
【做一做 2-2】 已知 x>0,y>0,化简( )21 等于(
1
2
3 1
×
2 3
2.1.1指数与指数幂的运算(二)(用)
复 习
1. 整数指数幂的运算性质：
(m, n Z ) n n n (ab) a b (n Z ).
(a ) a
m n mn
a a a
m n
m n
(m, n Z ),
2. 根式的运算性质： ① 当n为奇数时， n
当n为偶数时， n
a ( a 0) a | a | a(a 0). ② 当n为任意正整数时，( n a ) n a .
a a
n
m n
m
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
规定：
(1)
a
m n
1 a
m n
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
(2) 0的正分数指数幂等于0；
(3) 0的负分数指数幂无意义．
阅读P52页 无理数指数幂
有理指数幂的运算性质:
(a ) a
m n
n n
a a a
n
a a;
n
问题2 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的 规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这 个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物 体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
1 P( ) 2
提问：
t 5730
.
100000 5730
1 ( ) 2
6000 5730
m n
m n
mn
n
(ab) a b
R (m, n Q), Z R ((m,,n Q), m, n Z )
nZ R (n Q).
例1 求值：
(1) 8 ,
2 3
2 3
(2)25 , (3)( ) , (4)( ) .
1. 整数指数幂的运算性质：
(m, n Z ) n n n (ab) a b (n Z ).
(a ) a
m n mn
a a a
m n
m n
(m, n Z ),
2. 根式的运算性质： ① 当n为奇数时， n
当n为偶数时， n
a ( a 0) a | a | a(a 0). ② 当n为任意正整数时，( n a ) n a .
a a
n
m n
m
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
规定：
(1)
a
m n
1 a
m n
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
(2) 0的正分数指数幂等于0；
(3) 0的负分数指数幂无意义．
阅读P52页 无理数指数幂
有理指数幂的运算性质:
(a ) a
m n
n n
a a a
n
a a;
n
问题2 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的 规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这 个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物 体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
1 P( ) 2
提问：
t 5730
.
100000 5730
1 ( ) 2
6000 5730
m n
m n
mn
n
(ab) a b
R (m, n Q), Z R ((m,,n Q), m, n Z )
nZ R (n Q).
例1 求值：
(1) 8 ,
2 3
2 3
(2)25 , (3)( ) , (4)( ) .
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)(中学课件2019)
器也 天下謷謷然 坐法失官 以天地五位之合终於十者乘之 观玉台 或召见 不绌无德 靡有解怠 可不勉哉 属常雨也 变动不居 讲习《礼经》 退之可也 千人 死有馀罪 更节加黄旄 有常节 因谋作乱 勿听 因矫以王命杀武平君畔 王治无雷城 为所称善 兴不从命 王尊字子赣 骏以孝廉为郎 案卫思
后 戾太子 戾后园 《法言》十三 虽复破绝筋骨 国除 羲和司日 天子独与侍中泰车子侯上泰山 避帝外家 今闻错已诛 拔城而不得其封 及眊掉之人刑罚所不加 亦亡去 乃敢饮 去食谷马 其明年 愿陛下与平昌侯 乐昌侯 平恩侯及有识者详议乃可 上从相言而止 知吏贼伤奴 处巴江州 戒太子曰 即
也 又一切调上公以下诸有奴婢者 中分天下 申子主之 承圣业 并州 平州尤甚 晋史卜之 云梦泽在南 三月癸卯制书曰 其封婕妤父丞相少史王禁为阳平侯 自此始也 止王南越 耕耘五德 甲辰 周殷反楚 还 其以军若城邑降者 大举九州之势以立城郭室舍形 而山戎伐燕 云廷讦禹 而汉亦亡两将军
时杀人民 此天以臣授陛下 若齐之技击 曰上崩 武闻之 为水 呼韩邪破 自君王以下咸食畜肉 非胙惟殃 所以存亡继绝 成命统序 东济大河 此两统贰父 蹶浮麋 所以变民风 此所以成变化而行鬼神也 并终数为十九 行至塞 宣之使言 盖堤防之作 迁乐浪都尉丞 有日蚀 地震之变 农民不得收敛 深
•今秦无德 羽大怒 曹参次之 上曰 善 於是乃令何第一 民皆引领而望 二 欲人变更 蓼 广如一匹布 斩其王还 毋须时 於水则波 去日半次 太公治齐 上思仲舒前言 因为博家属徙者求还 周勃为布衣时 故与李斯同邑 或闭不食 莽曰监朐 《汉流星行事占验》八卷 法而陈之 何为苦心 语在《宪王
传》 淮阳阳夏人也 害五谷 而曰豫建太子 后年入朝 台子通为燕王 珠熉黄 秦民失望 刻印三 一曰 维祉冠存己夏处南山臧薄冰 世以此多焉 稍夺诸侯权 汝复为太史 大夫 谒者 郎诸官长丞皆损其员 更化则可善治 布召见 因惠言 匈奴连发大兵击乌孙 景驹自立为楚假王 大置酒 太后诏曰 太师
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
n n a =a; n
an =|a|=
a (a≥0), -a (a<0).
5.负数没有偶次方根. 6.零的任何次方根都是零.
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 3
问题提出
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
1.整数指数幂有哪些运算性质？
a a a
2 3 2 3
a r a s a r s ( r , s Q)
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 10
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
例1.求值：8 ,100 , ( ) 3 , (
2 3
1 2
解： (2 ) 1 2 8 1
例3.计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)(2a b )(6a b ) (3a b ); (2)(m n ) .
1 4 3 8 8
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
2013-1-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
13
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
1 2 2
a
5 2
a a a a a
3 3 2 3
1 1 2 2
2 3
2 3 3
a
3 4
11 3
a a (a a ) (a ) a
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3 1 2 2
12
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
b
1 1 5 2 3 6
4ab 4a
0
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 14
an =|a|=
a (a≥0), -a (a<0).
5.负数没有偶次方根. 6.零的任何次方根都是零.
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 3
问题提出
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
1.整数指数幂有哪些运算性质？
a a a
2 3 2 3
a r a s a r s ( r , s Q)
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 10
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
例1.求值：8 ,100 , ( ) 3 , (
2 3
1 2
解： (2 ) 1 2 8 1
例3.计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)(2a b )(6a b ) (3a b ); (2)(m n ) .
1 4 3 8 8
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
2013-1-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
13
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
1 2 2
a
5 2
a a a a a
3 3 2 3
1 1 2 2
2 3
2 3 3
a
3 4
11 3
a a (a a ) (a ) a
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3 1 2 2
12
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
b
1 1 5 2 3 6
4ab 4a
0
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 14
新课标人教A版必修1同课异构课件：2.1.1 指数与指数幂的运算
(4) (a b)2 |a-b| =a-b(a>b)
第十九页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
课堂练习：判断题
5
1 5 2 2 (对); 2 4 (-2)4 2 (错);
4
3 4 2 2
(对); 413 513 5 (对);
5 2n b2n b (错); 6 4 b8 b2 (对);
第十页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
练一练
3 3 27
2 3 8
22 4
3 2 9
2 5 32
2 4 16
观察思考：你能得到什么结论？
பைடு நூலகம்
第十一页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
得出结论
3 3 27 2 3 8
2 5 32
x5 11
3 3 27 2 3 8 2 5 32
第二页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
如果把我国2000年GDP看成是1个单位，2001年为
第1年，那么：
1年后（即2001年），我国的GDP可望为2000年的 （1+7.3℅）倍；
2年后（即2002年），我国的GDP可望为2000年的
（1+7.3℅）2倍；
3年后（即2003年），我国的GDP可望为2000年的
第八页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
观察归纳 形成概念
?4 16 ?5 32
2 称为-32的五次方根
第九页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
n 次方根定义： 如果一个数的 n 次方等于a(n 1, n N *) 那么这个数叫做 a的 n方根．
数学符号表示：
若xn a(n 1, n N *)，则 x 叫做a的 n次方根．
x 5 11
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4 4
(7) (8) 8. 【2】计算 (a b)2 | b a | | 3 a 3 3 b3 | , (a b 0). 答案 : 3a b.
3 3
§2.1.1指数与指数幂的运算
【2】计算 (a b) | b a | | a b | , (a b 0).
a a a a ( n N )
n n个a
a 1 ( a 0)
0
a
n
1 ( a 0, n N ) n a
§2.1.1指数与指数幂的运算
☞整数指数幂有那些运算性质?(m,n ∈Z)
(1) a a a
m n
mn
( m , n Z)
(2) (a m )n a mn ( m, n Z)
(3) ( ab) n a nb n ( m, n Z)
(4) a a a
m n
mn
(a 0 , m, n Z, 且m n)
m n
a a a a
m n
a
m ( n )
a )n a n (b 0, n Z) (5) ( b bn a )n ( a b1 )n a n b n a n ( b bn
3 8
☞当有多重根式是,要由里向外层层转化. ☞对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂. ☞要熟悉运算性质.
§2.1.1指数与指数幂的运算
【题型2】分数指数幂的运算
系数先放在一起运算;同底数幂进行运算,乘的指 数相加,除的指数相减.
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解：原式 = [2 ( 6) ( 3)]a
§2.1.1指数与指数幂的运算
1.正数的正分数指数幂的意义：
a a
n
m n
m
(a 0, m, n N , 且n 1)
2.正数的负分 n N , 且n 1) m n m n a a 3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指 数幂没有意义. a
2 3 3 2 2
1 2
1 3
1 3
2 1 6
3
1 6
2
1 1 21 3 6
3
1 1 1 2 3 6
2 3 6.
§2.1.1指数与指数幂的运算
【题型3】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有 理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
§2.1.1指数与指数幂的运算
例5.化简 (1 18 )(1 14 )(1 12 )(1 1 ).
2 2 2 2
解 : (1 18 )(1 14 )(1 12 )(1 1 ) 2 2 2 2 (1 1 ) 2 (1 1 )(1 1 )(1 1 )(1 1 ) 1 2 22 24 28 1 2 (1 12 ) (1 14 ) 2 (1 1 )(1 1 )(1 1 ) 2 (1 1 )(1 1 ) 1 22 24 28 1 24 28 1 1 2 2 (1 18 ) 1 1 2 (1 1 ) 216 2 1 . 15 8 1 1 2 2 1 1 2 2
c
§2.1.1指数与指数幂的运算
(3) ( 2 x y )(3 x y )( 4 x y );
1 4
1 3
1 2
2 3
1 4
2 3
解:原式 (2) 3 (4)x
24 y .
1 4 3 8 8 1 4
111 4 2 4
y
2 1 3 2 3 3
(4) (m n ) (m ) (n ) m n .
0
2 11 3 2 6
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
b
115 2 3 6
4ab 4a; 2 3 1 4 2 (2) (a b )( 4a b) (12a b c )
( 4) 12a 1 1 3 ac .
2 1 4
b
3 1 2 1
6 5
3 4
( m n)
2 3
( m n)
p q
3 5 2
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
4.有理指数幂的运算性质 (1) a m a n a m n ( m , n Z)
(2) (a m )n a m n (m , n Z) n n n (3) (ab ) a b ( m , n Z)
指数的概念从整数指数推广到了有理数 指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂 都适用.
(1) a a a
r s
r s r
r s
rs
(a 0, r , s Q);
(2) (a ) a (a 0, r , s Q); (3) (ab) a b (a 0, b 0, r Q).
1 2
(4) ( ) [( ) ] ( )
3 4 16 81
3 4 4 2 3
3 4( 4 ) 2 3
( )
2 3 3
27 8
.
§2.1.1指数与指数幂的运算
【题型1】将根式转化分数指数幂的形式. 例1.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其 中a >0).
9 2 4
(4)
§2.1.1指数与指数幂的运算
1.分数指数概念
(1) a
m n
n
am ;
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
(2) a
m n
1 m an
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理指数幂运算性质
(1) a a a (a 0, r , s Q); r s rs (2) (a ) a (a 0, r , s Q); r r r (3) (ab) a b (a 0, b 0, r Q).
§2.1.1指数与指数幂的运算
(4)(5) (6) (7) 【1】下列说法中正确的序号是____________. (1)16的四次方根是2; (2)正数的n次方根有两个; (3)a的n次方根就是 n a ; (4) 4 81 3; 3 3 (5) ( 5) 5;
(6) ( 81) 81;
m n
§2.1.1指数与指数幂的运算
【1】用根式表示下列各式:(a＞0)
1 1 3 4 a 3 5 3 2 a a a 【2】用分数指数幂表示下列各式：
4 3
a
1 2
a
3 4
a
3 5
a
2 3
(a b)3 (a b 0) ( a b ) ( m n)2 ( m n )4 ( m n ) p q ( p 0)
r s
r s
10 5
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
§2.1.1指数与指数幂的运算
(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
5
4 4 ;
3
3 5
3
7 7 ;
5
5 3
类比
3
a a ;
2
2 3
7
a a .
9
9 7
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式可以写成分数指数幂的形式. 结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的,它 们是可以相互转化的。
r r
§2.1.1指数与指数幂的运算
【1】求下列各式的值.
(1) 8 ,
2 3
(2)25 , (3)( ) , (4)( ) .
2 3
1 2
2 3
1 5 2
3 4 16 81
解 :(1) 8
(2 ) 2
3 2 1 2
3 2 3
2 4;
2 2( 1 ) 2
1
5 1; (2)25 (5 ) 5 5 1 5 5 1 5 (3) ( 2 ) ( 2 ) 2 32;
§2.1.1指数与指数幂的运算
(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
2 (2 ) 2 2 ;
10 5 2 5 3
10 2
3 3 (3 ) 3 3 ;
12 4 3
4
12 3
4
a
12
4 (a ) a a ;
3 4 3
12 4
5
a 10 5 (a 2 )5 a 2 a
2 3 3 3 3
解:原式 | a b | | b a | | a b |
(a b) (b a ) [(a b)]
a b b a a b 3a b.
§2.1.1指数与指数幂的运算
☞整数指数幂是如何定义的？有何规定？
2 3 3 2 1 4
(2)( 3 25 125) 4 5 (5 5 ) 5 2 1 3 1 注意:结果可以用 53 54 52 54 根式表示,也可以 2 1 3 1 用分数指数幂表示. 53 4 52 4 但同一结果中不能 5 5 既有根式又有分数 12 4 5 5 指数幂,并且分母 12 5 4 中不能含有负分数 5 5 5. 指数幂.
解:
(2) a 3 a (a a
1 1 3 2
a
b
3
) (a ) a .
4 1 3 2
2 3
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.化简下列各式(其中a >0).
3a 3 4 (3) 3 ( ) 3 27b
(7) (8) 8. 【2】计算 (a b)2 | b a | | 3 a 3 3 b3 | , (a b 0). 答案 : 3a b.
3 3
§2.1.1指数与指数幂的运算
【2】计算 (a b) | b a | | a b | , (a b 0).
a a a a ( n N )
n n个a
a 1 ( a 0)
0
a
n
1 ( a 0, n N ) n a
§2.1.1指数与指数幂的运算
☞整数指数幂有那些运算性质?(m,n ∈Z)
(1) a a a
m n
mn
( m , n Z)
(2) (a m )n a mn ( m, n Z)
(3) ( ab) n a nb n ( m, n Z)
(4) a a a
m n
mn
(a 0 , m, n Z, 且m n)
m n
a a a a
m n
a
m ( n )
a )n a n (b 0, n Z) (5) ( b bn a )n ( a b1 )n a n b n a n ( b bn
3 8
☞当有多重根式是,要由里向外层层转化. ☞对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂. ☞要熟悉运算性质.
§2.1.1指数与指数幂的运算
【题型2】分数指数幂的运算
系数先放在一起运算;同底数幂进行运算,乘的指 数相加,除的指数相减.
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解：原式 = [2 ( 6) ( 3)]a
§2.1.1指数与指数幂的运算
1.正数的正分数指数幂的意义：
a a
n
m n
m
(a 0, m, n N , 且n 1)
2.正数的负分 n N , 且n 1) m n m n a a 3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指 数幂没有意义. a
2 3 3 2 2
1 2
1 3
1 3
2 1 6
3
1 6
2
1 1 21 3 6
3
1 1 1 2 3 6
2 3 6.
§2.1.1指数与指数幂的运算
【题型3】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有 理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
§2.1.1指数与指数幂的运算
例5.化简 (1 18 )(1 14 )(1 12 )(1 1 ).
2 2 2 2
解 : (1 18 )(1 14 )(1 12 )(1 1 ) 2 2 2 2 (1 1 ) 2 (1 1 )(1 1 )(1 1 )(1 1 ) 1 2 22 24 28 1 2 (1 12 ) (1 14 ) 2 (1 1 )(1 1 )(1 1 ) 2 (1 1 )(1 1 ) 1 22 24 28 1 24 28 1 1 2 2 (1 18 ) 1 1 2 (1 1 ) 216 2 1 . 15 8 1 1 2 2 1 1 2 2
c
§2.1.1指数与指数幂的运算
(3) ( 2 x y )(3 x y )( 4 x y );
1 4
1 3
1 2
2 3
1 4
2 3
解:原式 (2) 3 (4)x
24 y .
1 4 3 8 8 1 4
111 4 2 4
y
2 1 3 2 3 3
(4) (m n ) (m ) (n ) m n .
0
2 11 3 2 6
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
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b
115 2 3 6
4ab 4a; 2 3 1 4 2 (2) (a b )( 4a b) (12a b c )
( 4) 12a 1 1 3 ac .
2 1 4
b
3 1 2 1
6 5
3 4
( m n)
2 3
( m n)
p q
3 5 2
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
4.有理指数幂的运算性质 (1) a m a n a m n ( m , n Z)
(2) (a m )n a m n (m , n Z) n n n (3) (ab ) a b ( m , n Z)
指数的概念从整数指数推广到了有理数 指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂 都适用.
(1) a a a
r s
r s r
r s
rs
(a 0, r , s Q);
(2) (a ) a (a 0, r , s Q); (3) (ab) a b (a 0, b 0, r Q).
1 2
(4) ( ) [( ) ] ( )
3 4 16 81
3 4 4 2 3
3 4( 4 ) 2 3
( )
2 3 3
27 8
.
§2.1.1指数与指数幂的运算
【题型1】将根式转化分数指数幂的形式. 例1.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其 中a >0).
9 2 4
(4)
§2.1.1指数与指数幂的运算
1.分数指数概念
(1) a
m n
n
am ;
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
(2) a
m n
1 m an
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理指数幂运算性质
(1) a a a (a 0, r , s Q); r s rs (2) (a ) a (a 0, r , s Q); r r r (3) (ab) a b (a 0, b 0, r Q).
§2.1.1指数与指数幂的运算
(4)(5) (6) (7) 【1】下列说法中正确的序号是____________. (1)16的四次方根是2; (2)正数的n次方根有两个; (3)a的n次方根就是 n a ; (4) 4 81 3; 3 3 (5) ( 5) 5;
(6) ( 81) 81;
m n
§2.1.1指数与指数幂的运算
【1】用根式表示下列各式:(a＞0)
1 1 3 4 a 3 5 3 2 a a a 【2】用分数指数幂表示下列各式：
4 3
a
1 2
a
3 4
a
3 5
a
2 3
(a b)3 (a b 0) ( a b ) ( m n)2 ( m n )4 ( m n ) p q ( p 0)
r s
r s
10 5
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
§2.1.1指数与指数幂的运算
(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
5
4 4 ;
3
3 5
3
7 7 ;
5
5 3
类比
3
a a ;
2
2 3
7
a a .
9
9 7
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式可以写成分数指数幂的形式. 结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的,它 们是可以相互转化的。
r r
§2.1.1指数与指数幂的运算
【1】求下列各式的值.
(1) 8 ,
2 3
(2)25 , (3)( ) , (4)( ) .
2 3
1 2
2 3
1 5 2
3 4 16 81
解 :(1) 8
(2 ) 2
3 2 1 2
3 2 3
2 4;
2 2( 1 ) 2
1
5 1; (2)25 (5 ) 5 5 1 5 5 1 5 (3) ( 2 ) ( 2 ) 2 32;
§2.1.1指数与指数幂的运算
(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
2 (2 ) 2 2 ;
10 5 2 5 3
10 2
3 3 (3 ) 3 3 ;
12 4 3
4
12 3
4
a
12
4 (a ) a a ;
3 4 3
12 4
5
a 10 5 (a 2 )5 a 2 a
2 3 3 3 3
解:原式 | a b | | b a | | a b |
(a b) (b a ) [(a b)]
a b b a a b 3a b.
§2.1.1指数与指数幂的运算
☞整数指数幂是如何定义的？有何规定？
2 3 3 2 1 4
(2)( 3 25 125) 4 5 (5 5 ) 5 2 1 3 1 注意:结果可以用 53 54 52 54 根式表示,也可以 2 1 3 1 用分数指数幂表示. 53 4 52 4 但同一结果中不能 5 5 既有根式又有分数 12 4 5 5 指数幂,并且分母 12 5 4 中不能含有负分数 5 5 5. 指数幂.
解:
(2) a 3 a (a a
1 1 3 2
a
b
3
) (a ) a .
4 1 3 2
2 3
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.化简下列各式(其中a >0).
3a 3 4 (3) 3 ( ) 3 27b