几何优化分析

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由案例说解析几何中优化问题的处理

由案例说解析几何中优化问题的处理解析几何是高考的必考内容之一，而学生对解析几何又往往感到头疼，所以解析几何被视作考试成败的分水岭。

在解析几何的教学中，优化问题经常见到。

很多同学对于此类问题的处理感到困难，本文就这一问题的处理略作介绍。

一、利用圆锥曲线的定义解决问题例1：点P在椭圆■+■=1上，定点A(2,1)，F为椭圆的右焦点，则|PA|+|PF|的最大值和最小值是___________。

分析：设F1是椭圆的左焦点，连接AF1并延长交椭圆于P1，P2,如图所示，由椭圆的定义可知，有|PF|+|PF1|=2a=10，所以|PA|+|PF|=10+|PA|-|PF1|。

①若|PA|≤|PF1|，则有|PF1|-|PA|≤|AF1|,所以|PA|-|PF1|≥-|AF1|。

②若|PA|>|PF1|，则有|PA|-|PF1|≤|AF1|。

所以|PA|+|PF|=10+|PA|-|PF1|的最小值为10-|AF1|=10-■，即点P为点P1；最大值为10+|AF1|=10+■，即点P为点P2。

小结：例1是利用椭圆的定义进行转化，若点P不在AF1连线上，则利用三角形两边之差小于第三边，说明当点P是AF1的连线与椭圆的交点时取最值。

二、利用圆锥曲线的统一定义解决问题例2：在椭圆■+■=1内有一点P(1,-1)，F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值为。

分析：通常第一次接触这种类型的题目，我们都会设点M的坐标，利用两点间距离公式和椭圆方程联立求解。

显然，很繁琐。

我们知道|MF|为椭圆的焦半径，故可利用圆锥曲线的统一定义有，■=e，其中d为M到右准线的距离，e为椭圆的离心率。

所以|MP|+2|MF|=|MP|+2ed=|MP|+d，要使其最小，只要过P作右准线l 的垂线,垂足为N,垂线交椭圆于M1，即为使|MP|+2|MF|的值最小的M点。

显然，此时最小值为3。

小结：例2是利用圆锥曲线的统一定义进行转化为已知圆锥曲线内的点到准线的距离最短。

解析几何中优化运算过程的策略

以同理可得曰的坐标为：
ｙ日：一４，ｎ一２，：４，ｎ２＋４，ｎ＋ｌ，ｋａｙ－— ｙＡ－ — ｙＢ：
— Biblioteka ：一１，这样
ＸＡ－－ＸＢ
一ｍ
求出点Ａ的坐标后，不做算理相同的重复运算，直接代换
出点的坐标，可使运算过程大大简化．
Ｘ１Ｘ－ｙ．・
同理可得切线ＰＢ的方程为：），＝ ÷ ＿ｙ：．
②
同的，如果求得斜率为尼。的直线对应的目标函数为。），
由直线方程① 与②过点Ｐ（４，一２），所以有一２＝ｘ．－ｙ
高中版中。？教’ ７０弱ｉ０
一
下圆的情景中类似的问题，先设出Ａ（Ｙ），Ｂ（Ｙ）．
单，而且可回避直线不存在斜率情形的讨论，使后续运算
一
由抛物线方程得寺２，１，所以切线的方程为： ’
ｙ－ｙ＝
路顺畅，为最终攻克难关打好基础．
则斜率为：的另一条直线对应的目标函数就是厂（ｋ）；用
不着重复原先的做法再算一次，这就是明察算理下的一
石二鸟，是优化解析几何运算的常用方法．
例１续解：设直线的方程为ｘ＝ｍ（ｙ一２）＋１，代入抛物线方程化简后得：一４ｍｙ＋８ｍ一４＝Ｑ因为直线与抛物线有一个交点Ｐ（１，２），由韦达定理
例２过点Ｐ（４，一２）作两直线，咫与抛物线＝Ｂｙ分别切于Ａ，Ｂ两点，求直线ＡＢ的方程．

机械设计中的结构优化与几何优化

机械设计中的结构优化与几何优化在机械设计领域，为了提高产品的性能和效率，结构优化和几何优化是必不可少的过程。

结构优化旨在通过调整和改进机械结构的布局和材料分布，以达到最佳的结构性能。

而几何优化则通过调整机械零部件的外形和尺寸来优化其工作性能。

本文将介绍机械设计中的结构优化和几何优化的基本原理和方法。

一、结构优化结构优化是通过调整结构布局和材料分布来改进机械系统的性能。

在进行结构优化之前，需要先确定设计目标和设计约束。

设计目标可以是最小重量、最大刚度、最小变形等，而设计约束则包括尺寸限制、工艺要求、应力和应变的约束等。

常用的结构优化方法包括拓扑优化、参数优化和拟合优化。

拓扑优化是通过改变部件的形状和材料分布，来实现结构的最优化。

参数优化是在给定结构形状的基础上，通过改变参数的数值来优化结构性能。

拟合优化则是通过寻找合适的拟合曲线或曲面，以达到最佳的设计目标。

二、几何优化几何优化是通过调整机械零部件的外形和尺寸，来优化其工作性能。

几何优化旨在改变零部件的曲率、角度和尺寸，以提高其刚度、强度和流体动力性能等。

几何优化常用于飞行器、汽车和船舶等领域，以提高其运动性能和气动性能。

几何优化的方法主要包括形状优化、参数化优化和拓扑优化。

形状优化是通过改变零部件的曲率和角度，以改进其工作性能。

参数化优化则是在给定的几何模型上，通过改变参数的数值来优化零部件的形状和尺寸。

拓扑优化是通过拓扑结构的变化，来优化零部件的外形和分布。

三、结构优化和几何优化的应用结构优化和几何优化在机械设计中有着广泛的应用。

它们可以应用于飞行器设计中的翼型优化，以提高其升力和阻力性能；在汽车设计中的车身优化，以提高其安全性和运动性能；在船舶设计中的船体优化，以提高其稳定性和航行性能。

此外，结构优化和几何优化还可以应用于机械系统的动力学分析和热力学分析中。

通过优化结构和几何，在满足约束条件的前提下，可以使机械系统的动力学响应更加平稳且能量损失更小；在热力学分析中，优化后的结构和几何可以提高机械系统的热传导性能和热稳定性。

几何建模系统及几何拟合的优化方法

几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统是指通过计算机软件将物体的几何形状转化为数学参数化的表示形式。

常见的几何建模系统包括CAD软件（Computer-Aided Design，计算机辅助设计）和3D建模软件。

在进行几何建模时，常常需要进行几何拟合，即通过一些数据点或曲线来拟合出物体的几何形状。

几何拟合的优化方法有以下几种：
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化数据点到拟合曲线的距离的平方和来确定最佳拟合曲线。

最小二乘法可以应用于直线拟合、曲线拟合、平面拟合等问题。

2. 牛顿法：牛顿法是一种迭代算法，在曲线拟合中，可以通过牛顿法来寻找最佳拟合曲线的参数。

牛顿法需要初始猜测值，并迭代求解，直到收敛为止。

3. Levenberg-Marquardt算法：Levenberg-Marquardt算法是一
种非线性最小二乘方法，常被用于曲线、曲面的拟合。

该算法通过不断调整参数以最小化拟合误差，具有较好的收敛性和稳定性。

4. RANSAC算法：RANSAC（RANdom SAmple Consensus）
算法是一种鲁棒性较强的拟合方法，主要用于拟合具有噪声、异常值等情况下的数据。

RANSAC算法通过随机采样和迭代
过程来找到最佳拟合模型，并剔除异常点。

以上是几何建模系统及几何拟合的常见优化方法，根据具体的应用场景和需求可以选择适合的方法来进行几何建模和拟合。

第三章几何优化

第三章几何优化前面讨论了在特定几何构型下的能量的计算，可以看出，分子几何构型的变化对能量有很大的影响。

由于分子几何构型而产生的能量的变化，被称为势能面。

势能面是连接几何构型和能量的数学关系。

对于双原子分子，能量的变化与两原子间的距离相关，这样得到势能曲线，对于大的体系，势能面是多维的，其维数取决与分子的自由度。

3.1 势能面势能面中，包括一些重要的点，包括全局最大值，局域极大值，全局最小值，局域极小值以及鞍点。

极大值是一个区域内的能量最高点，向任何方向的几何变化都能够引起能量的减小。

在所有的局域极大值中的最大值，就是全局最大值；极小值也同样，在所有极小之中最小的一个就是具有最稳定几何结构的一点。

鞍点则是在一个方向上具有极大值，而在其他方向上具有极小值的点。

一般的，鞍点代表连接着两个极小值的过渡态。

3.2 寻找极小值几何优化做的工作就是寻找极小值，而这个极小值，就是分子的稳定的几何形态。

对于所有的极小值和鞍点，其能量的一阶导数，也就是梯度，都是零，这样的点被称为稳定点。

所有的成功的优化都在寻找稳定点，虽然找到的并不一定就是所预期的点。

几何优化由初始构型开始，计算能量和梯度，然后决定下一步的方向和步长，其方向总是向能量下降最快的方向进行。

大多数的优化也计算能量的二阶导数，来修正力矩阵，从而表明在该点的曲度收敛标准当一阶导数为零的时候优化结束，但实际计算上，当变化很小，小于某个量的时候，就可以认为得到优化结构。

对于Gaussian默认的条件是：力的最大值小于0.00045均方根小于0.0003为下一步所做的取代计算为小于0.0018其均方根小于0.0012这四个条件必须同时满足，比如，对于非常松弛的体系，势能面很平缓，力的值已经小于域值，但优化过程仍然有很长的路要走。

对于非常松弛的体系，当力的值已经低于域值两个数量级，尽管取代计算仍然高于域值，系统也认为找到了最优点。

这条规则用于非常大，非常松弛的体系。

高中数学第二章解析几何初步优化总结北师大版必修2

[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，
3为半径的圆．
(1)设xy＝k，即 y＝kx，当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取得
最大值和最小值，
此时有 |2k－0| ＝ k2＋1
3，解得 k＝± 3，
故xy的最大值是 3，最小值是－ 3.
(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当直线 y＝x＋b 与圆相切时 b 取
得最大值和最小值，此时|2－0＋b|＝ 3， 2
解得 b＝－2± 6，
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
(3)x2＋y2 表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何的知识知，其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又知圆心到原点的距离为 2，故 x2＋y2 的最大值为(2＋ 3)2＝7＋4 3，最小值为(2－ 3)2＝7－4 3.
2．求过圆外一点的圆的切线过程求过圆外一点的圆的切线方程，一般设为点斜式，运用待定
系数法或判别式法求出斜率k，但用点斜式表示直线方程的前
提是斜率必须存在．过圆外一点可以作圆的两条切线，如果只有一解，那么一定有一条切线斜率不存在，这时可用数形结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来． 3．已知斜率求圆的切线
如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x ＋3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直线 l 过点 A(4，0)，且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方程；
(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直
的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标．

几何优化在产品设计中的作用是什么

几何优化在产品设计中的作用是什么在当今竞争激烈的市场环境中，产品设计的优劣往往决定了一个产品的成败。

而几何优化作为产品设计中的重要环节，其作用不容小觑。

那么，几何优化究竟在产品设计中扮演着怎样的角色呢？首先，几何优化有助于提升产品的性能。

以汽车为例，车辆的外形设计并非仅仅为了美观，更是为了降低风阻，提高燃油效率或续航里程。

通过对车身的几何形状进行精心优化，如调整线条的流畅度、减小迎风面积等，可以显著减少空气阻力。

这不仅能够节省能源，还能提升车辆的加速性能和最高速度。

在机械产品中，零部件的几何形状优化可以改善其力学性能。

比如，通过优化轴的截面形状和尺寸，可以在不增加材料成本的前提下，大大提高其承载能力和抗疲劳强度，延长使用寿命。

其次，几何优化能够实现产品的轻量化。

在航空航天领域，减轻飞行器的重量至关重要。

通过对飞机结构的几何优化，采用更合理的框架布局和薄壁结构，可以在保证强度和刚度的前提下，最大限度地减少材料的使用量。

这不仅降低了制造成本，还提高了燃油效率，增加了有效载荷。

同样，在消费电子产品中，如手机和笔记本电脑，轻薄化是一个重要的发展趋势。

通过优化内部零部件的几何形状和布局，能够在缩小产品体积的同时，不牺牲其功能和性能。

再者，几何优化有利于提高产品的制造工艺性。

合理的几何设计可以简化制造流程，降低生产成本。

例如，在注塑成型的塑料制品中，如果零件的几何形状设计不合理，可能会导致模具结构复杂，增加制造成本和生产周期。

而通过优化设计，减少模具的分型面、避免倒扣结构等，可以大大提高生产效率和良品率。

在金属加工中，优化零件的几何形状可以减少切削余量，降低加工难度，提高加工精度。

这不仅节省了加工时间和成本，还能保证产品的质量稳定性。

此外，几何优化还能增强产品的美学价值。

一个具有优美几何线条和比例的产品往往更能吸引消费者的目光。

在家具设计中，简洁流畅的几何形状可以营造出现代、时尚的感觉；在电子产品设计中，精致的几何造型可以赋予产品科技感和高端品质。

高中数学解析几何优化计算6大技巧

解析几何优化计算6大技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技巧一回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．【例题】如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是()A.2B.3C.32D.62【解析】由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，1|＋|AF 2|＝4，2|－|AF 1|＝2a ，1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62.【答案】D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是()A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由题意可得S△BCFS △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ＝|BF |－p 2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|PA |2＝(x P ＋m )2＋y 2P＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||PA |≥22，所以|PF ||PA |的最小值为22.答案：22技巧二设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．【例题】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为()A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，＋y 21b 2＝1，＋y 22b2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.【答案】D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 21b2＝1，＋y 22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22.答案：22技巧三巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．【例题】设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞3.【解析】法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．kx 0，＋y 20b2＝1，消去y 0并整理，得x 20＝a 2b2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k＋4.又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入②，得(1＋k2)·4a2(1＋k2)2＜a2，解得k2＞3，所以|k|＞ 3.法三：设P(a cosθ，b sinθ)(0≤θ＜2π)，则线段OP的中点Qθ，b2sin|AP|＝|OA|⇔A Q⊥OP⇔k A Q×k＝－1.又A(－a,0)，所以k A Q＝b sinθ2a＋a cosθ，即b sinθ－ak A Q cosθ＝2ak A Q.从而可得|2ak A Q|≤b2＋a2k2A Q＜a1＋k2A Q，解得|k A Q|＜33，故|k|＝1|k A Q|＞ 3.[关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．[对点训练]设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，则有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，可得线段AB的中点M(2t2＋m,2t)，而由题意可得直线AB与直线MC垂直，即k MC·k AB＝－1，可得2t－02t2＋m－5·1t＝－1，整理得m＝3－2t2(当t≠0时)，把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3，又由于圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4.故r 的取值范围为(2,4)．技巧四数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．【例题】已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【解析】设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|，则△APF 的周长为|PA |＋|PF |＋|AF |＝|PA |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ，由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线，由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26，所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6.【答案】126[关键点拨]要求△APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是()A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x－4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝()A ．4 B.5C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.技巧五妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．【例题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【解析】把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则－32a 而F (c,0)，则FB －32a －c FC －c 又∠BFC ＝90°，故有FB ·FC －32a －c －c c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.【答案】63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练]设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为()A ．90° B.60°C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.2－y 22＝1，0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 2x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 204－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°.技巧六巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．【例题】已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．【解析】(1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以－65，(2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，k (x ＋2)，y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为－65，证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝2－8k 21＋4k 2＋65＝5k 4－4k 2，同理可得k PN ＝5k 4－4k2.所以直线MN 过x 轴上的一定点－65，[关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k2这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c2，b 2＝3c 2，将点P c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|)＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227所以12t 2＋14＋3t2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.。

解析几何问题中优化运算的技巧策略

ʏ南京大学附属中学于冬解析几何是历年高考中的主干知识点之一,涉及解析几何的考题还经常出现在各种题型中的压轴题位置,运算量大,综合性强㊂优化数学运算,简化解题过程是圆锥曲线问题中追求的一个目标㊂在解答解析几何问题时,合理探究一些必要的策略技巧,选用适当方法,优化数学运算,往往可以收到事半功倍的效果㊂一㊁挖掘内涵,回归定义例1 (2022届辽宁省丹东市高三下学期复习质量测试(二)数学试题)已知圆M经过点(0,1),且与直线y =-1相切,圆心M 的轨迹为曲线C ㊂(1)求曲线C 的方程;(2)经过点N (0,2)且不平行于x 轴的直线与C 交于P ,Q 两点,点P 关于y 轴的对称点为R ,证明:直线Q R 经过定点㊂解析:(1)设圆心M (x ,y ),根据题意可知点M 到点(0,1)的距离与到直线y =-1的距离相等,结合抛物线的定义,可知圆心M 的轨迹是以(0,1)为焦点,y =-1为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为x 2=4y ㊂(2)由题意知直线P Q 的斜率存在且不为0,设直线P Q 的方程为y =k x +2(k ʂ0),P x 1,x 214,Q x 2,x 224,则R -x 1,x 214,联立x 2=4y ,y =k x +2,消去y 整理得x 2-4k x -8=0,则Δ=16k 2+32>0,x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8㊂因为k Q R =x 224-x 214x 2+x 1=x 2-x 14,所以直线Q R 的方程为y -x 224=x 2-x 14(x -x 2),整理得y =x 2-x 14x +x 1x 24,即直线Q R 的方程为y =x 2-x 14x -2,所以直线Q R 经过定点(0,-2)㊂点评:熟练掌握圆锥曲线的定义可以有效解决解析几何问题,回归定义,揭示问题的本质属性,从而直接确定圆锥曲线的类型与对应的方程,为解析几何的进一步分析与解决提供条件㊂充分理清题意,挖掘内涵,回归本源,利用定义,化繁为简,直达目的㊂二㊁数形结合,平几直观例2 (2022届江西省赣州市高三3月摸底考试(一模)数学试卷)在平面直角坐标系x O y 中,A (-2,0),B (2,0),M (-1,0),N (1,0),P 是平面内的动点㊂若以A B为直径的圆O 与以P M 为直径的圆T 内切㊂(1)证明:|P M |+|P N |为定值,并求点P 的轨迹E 的方程㊂(2)设斜率为12的直线l 与曲线E 交于C ,D 两点,试问:在E 上是否存在一点Q ,使得直线Q C ㊁Q D 与y 轴所围成的三角形是底边在y 轴上的等腰三角形若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)依题意有,|O T |=|A B |2-|P M |2=2-|P M |2,如图1,连接P N ,由O 和T 分别是MN 和P M 的中点,可知|O T |=|P N |2,故|P N |2=2-|P M |2,整理得|PM 图1|+|P N |=4,其为定值㊂又因为4>2=|MN |,所以点P 的轨迹是以M ,N 为焦点的椭圆,而2a =4,c =1,则有b 2=a 2-c 2=3,故点P 的轨迹E 的方程为x 24+y23=1㊂42 解题篇创新题追根溯源高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(2)假设存在满足条件的点Q ㊂依题意知k Q C +k Q D =0,设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),Q (x 0,y 0),则3x 20+4y 20=12㊂由k Q C +k Q D =0,可得y 1-y 0x 1-x 0+y 2-y 0x 2-x 0=0,整理得x 1y 2+x 2y 1-y 0(x 1+x 2)-x 0(y 1+y 2)+2x 0y 0=0㊂设直线l 的方程为x =2y +t ,代入椭圆方程,整理得16y 2+12t y +3t 2-12=0,由Δ=144t 2-64(3t 2-12)>0得t 2<16,由韦达定理得y 1+y 2=-34t ,y 1y 2=3t 2-1216㊂又因为x 1=2y 1+t ,x 2=2y 2+t ,所以x 1y 2+x 2y 1-y 0(x 1+x 2)-x 0(y 1+y 2)+2x 0y 0=4y 1y 2+(t -2y 0-x 0)(y 1+y 2)-2t y 0+2x 0y 0=3t 2-124-34t (t -2y 0-x 0)-2t y 0+2x 0y 0=14[(3x 0-2y 0)t +8x 0y 0-12]=0,则有(3x 0-2y 0)t +8x 0y 0-12=0,可得3x 0-2y 0=0,8x 0y 0-12=0,解得x 0=1,y 0=32,或x 0=-1,y 0=-32,以上解显然满足3x 20+4y 20=12,所以在E 上存在一点Q ,使得直线Q C ㊁Q D 与y 轴所围成的三角形是以øC QD 为顶角的等腰三角形,此时点Q 的横坐标为ʃ1㊂点评:数形结合法是处理解析几何问题时常用的思想方法之一,可以使某些抽象的解析几何更加直观化㊁生动化,能够变抽象思维为形象思维,还原解析几何的平面几何本质,有助于把握数学问题的本质,构建与之相吻合的关系式,使得问题迎刃而解,直观形象㊂三㊁合理构建,设而不求例3 (2022年江苏省南京市盐城市高考数学二模试题)已知双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)经过点(3,1),且渐近线方程为y =ʃx ㊂(1)求a ,b 的值㊂(2)A ,B ,D 是双曲线C 上不同的三点,且B ,D 两点关于y 轴对称,әA B D 的外接圆经过原点O ㊂求证:直线A B 与圆x 2+y2=1相切㊂解析:(1)依题意可得3a 2-1b 2=1,a =b ,解得a =b =2,所以双曲线C 的方程为x 2-y 2=2㊂(2)易知直线A B 一定不为水平直线,设直线A B 的方程为x =m y +n ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则D (-x 2,y 2),其中y 1ʂy 2,联立x 2-y 2=2,x =m y +n ,消去x 整理得(m 2-1)y 2+2m n y +n 2-2=0,由韦达定理得y 1y 2=n 2-2m 2-1,由于әA B D 的外接圆过原点且关于y 轴对称,设外接圆的方程为x 2+y 2+E y =0,则有x 21+y 21+E y 1=0,x 22+y 22+E y 2=0,所以E =-x 21+y 21y 1=-x 22+y 22y 2,所以y 21+2+y 21y 1=y 22+2+y 22y 2,结合y 1ʂy 2,可得y 1y 2=1,所以y 1y 2=n 2-2m 2-1=1,即n 2=m 2+1,则原点到直线A B 的距离为d =|n |m 2+1=1,故直线A B 与圆x 2+y 2=1相切㊂点评:本题借助直线方程的设置,巧妙融合参数的关系式,采用设而不求法进行整体代换处理,借助相关知识加以综合与应用,合理过渡,巧妙转化,优化运算,从而提升解题效率㊂以上只是结合几类比较常见的破解解析几何问题的技巧策略加以剖析㊂当然,在实际解答解析几何问题时,关键是抓住问题的本质,掌握通性通法 ,结合一些常见的技巧策略,诸如巧引参数㊁整体构建㊁极端策略㊁特例思维等,灵活应用解析几何中的定义㊁方程与几何性质,综合相应的技巧策略,以更加简捷明快的方式来分析与处理问题,优化数学运算,简化解题过程,提升数学能力,培养核心素养㊂(责任编辑王福华)52解题篇创新题追根溯源高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

优化解析几何运算一些方法论文

优化解析几何运算的一些方法摘要：高中学生在学习解析几何知识，在解决相关的问题时感到很困难。

困难的主要原因，在知识体系中，就横向而言，解析几何本身所包含的定义、性质、解题方法繁多复杂，就纵向而言，它又和其它知识（如向量、不等式、二次函数等）之间联系很紧密，除此之外，解析几何是用代数的方法研究图像的问题，集中应用数形结合、方程思想，无论知识内容还是解题的方法，对学生而言都是很困难的。

学生普遍遇到有些解析几何题会做，但用时很多，特别是在考试中，在有限的时间，不敢做。

这是同学们很困惑的一件事，针对解析几何题目运算量大的问题，我想从以下一些试题的解法中，谈一些个人的看法。

关键词：题型、性质、方法中图分类号：g633.63 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）10-051-05直线和圆锥线相交的问题平时我们经常会遇到直线和圆锥线相交的问题。

在解决这类问题时，一般是联立直线和圆锥曲线组成方程组，消x或y得到一个关于x或者y的一元二次方程组，形成两根之和，两根之积，δ＞0，再把题中告知的有关条件，转化成两根之和，两根之积的关系(一般地,由δ＞0确定范围或解决是否存在问题)，来解题。

例1：在直角坐标系中，点p到两点，的距离之和等于4，设点p的轨迹为，直线与c交于a，b两点．（ⅰ）写出c的方程；（ⅱ）若，求k的值；解：（ⅰ）设p（x，y），由椭圆定义可知，点p的轨迹c是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线c的方程为．（ⅱ）设，其坐标满足消去y并整理得，故．若，即．而于是，化简得，所以．还有一种是不能转化为两根之和，两根之积的关系，这时要根据题目的条件找到与之间的含参关系，代入两根之积两根之和，消、得到一个关于参数的方程或不等关系解决。

例 2:已知椭圆方程为，过定点的直线交椭圆于不同两点、（点在、之间），且满足，求的取值范围.解：当直线斜率存在时，设直线的方程为代入椭圆方程得由得①设，，则，②又，，即③将③代入②得，消去得整理得由①得解得又又当直线斜率不存在时，方程为，，的取值范围是应该说大多数直线与圆锥曲线相关的问题都可以解决，能掌握到这个程度，同学们的解析几何能力已经很不错了。

Solidworks的几何优化和拓扑优化方法

Solidworks的几何优化和拓扑优化方法Solidworks是一款流行的三维CAD软件，广泛应用于工程设计和创新领域。

在设计过程中，几何优化和拓扑优化是提高产品性能和效率的关键步骤。

本文将介绍Solidworks中的几何优化和拓扑优化方法，以帮助工程师们更好地优化设计和优化产品。

几何优化是指通过改变设计的外形和尺寸来提高产品的性能。

Solidworks提供了许多强大的工具和功能，可以帮助工程师们进行几何优化。

首先，Solidworks的参数化建模功能能够快速有效地调整模型的尺寸。

通过定义参数并设置其取值范围，工程师可以方便地改变模型的形状和尺寸，优化设计。

例如，可以调整零件的长度、宽度或厚度，以满足不同的性能要求。

其次，Solidworks还提供了强大的装配优化功能。

该功能可以根据装配内零件的相互作用，自动调整零件的尺寸和位置，以优化整体装配的性能。

通过这种方式，工程师可以在不改变单个零件的设计的情况下，改善整个系统的性能。

另外，Solidworks的仿真分析工具也是进行几何优化的关键。

工程师可以使用Solidworks Simulation进行结构强度、热传导、流体动力学等各种类型的分析。

通过对分析结果的评估，工程师可以了解哪些区域需要进行优化，从而改善产品的性能。

除了几何优化，拓扑优化是Solidworks中另一个重要的优化方法。

拓扑优化是指通过优化材料的分布和结构来提高产品的刚度和重量比。

它通过去除不必要的材料，改善结构并减少重量，从而实现更高的性能。

Solidworks提供了Topology Study工具，可以进行拓扑优化分析。

在进行拓扑优化之前，工程师需要设定一些限制和目标，如最小重量、最大刚度等。

Solidworks会通过分析内部应力分布，自动确定哪些区域可以减少材料的使用。

然后，工程师可以根据分析结果对模型进行调整和优化。

拓扑优化工具还提供了一些高级功能，如添加约束、考虑材料非线性和多材料优化等。

探析几何内涵优化解题方案

为 △ＦＱ２中位线，。Ｆ的因此
１１
Ｆ＝Ｇ、
从而
＝，３
＋Ｆ２Ｇ，Ｇ＝Ｅ
因此／ＥＦ为直角三角形，求圆Ｍ是以线段ＥＸＧ所Ｇ为直径的圆，方程为其（０（２一）＋）＋（４（００，Ｙ一）Ｙ一）＝
个三等分点，过点Ｄ作直线ＦｆＡ，ＧＣ分别交ＡＢ和
第１期１
刘建中：析几何内涵探
优化解题方案
・１・５
让问题变得直观、自然，也使运算过程简洁、明快．
３通过几何特征的把握巧妙探索例３已知过点Ａ（一１０的动直线ｚ，）与圆Ｃ：
考．
ＢＣ于点Ｇ，连结肌Ｆ，
（）过点Ｅ，，１求ＧＦ的圆的方程；（）线段Ａ２在Ｃ上是否存在点日，得过点日使存在与圆相切的直线？且当过点日有２条圆的切线ＨＩＰ，Ｐ，Ｑ（Ｑ为切点），－Ｉ时求满足／ＰＱ＞９。Ｈ￣０
即
√ ｍ＾ｌ．５＜ ≤ ／０／
又点Ｈ在ＡＣ上，Ｍ到Ａ点Ｃ的距。离ｄ＝＜，此满足条件的点因图３
从而使所求的轨迹问题顺利获解．
Ｌ
Ｌ
日是线段Ａ被以点为圆心，ｒ＝和Ｒ＝ｃ以
与Ｑ为切点）使得／ＰＱ９等价转化为ｒ，ＨＩ０’ ＞＜删 ≤ ，进而把所求点日进行准确的几何定位，

geometry optimization的定义

geometry optimization的定义几何优化的定义几何优化是一种数学方法，旨在寻找使得给定系统达到最佳状况的结构或形状。

该方法通常应用于科学、工程和计算机图形学领域，目的是通过调整系统的几何形状或参数，使系统具备最佳的性能。

在几何优化中，我们使用数学模型和算法来寻找给定问题的最优解。

这种方法的核心是优化算法，可以根据不同的目标和约束条件来优化几何形状。

几何形状可以是二维或三维结构，如图形、物体、建筑或分子。

几何优化被广泛应用于各种领域。

在科学研究中，它可以帮助研究人员优化实验装置的结构，以便获得更准确或更稳定的实验结果。

在工程领域，几何优化可以优化汽车、飞机或建筑物的设计，以提高其性能和效率。

在计算机图形学领域，几何优化可以用于生成逼真的图像和动画。

几何优化的基本步骤包括定义目标函数、设定约束条件、选择合适的优化算法以及优化参数的迭代过程。

目标函数通常是需要最小化或最大化的一个性能指标，如能量、距离、曲率等。

约束条件是一组限制条件，限制系统在优化过程中的变化范围。

优化算法根据定义的目标函数和约束条件，通过迭代搜索的方式寻找最优解。

几何优化的挑战在于寻找一个全局最优解或接近最优解的解。

由于问题的复杂性和多样性，很难找到一个完美的解决方案。

因此，几何优化常常需要结合经验知识和创造性思维，通过多次尝试和调整，逐步优化和改进问题的解决方案。

总结而言，几何优化是一种重要的数学方法，用于通过调整系统的几何形状或参数，寻找使系统达到最佳状态的解决方案。

它在科学、工程和计算机图形学等领域发挥着重要的作用，为问题的解决提供了有效的数学工具和计算方法。

高考数学复习考点题型专题讲解28 解析几何中优化运算的方法

高考数学复习考点题型专题讲解专题28 解析几何中优化运算的方法1.焦点三角形的面积(1)设P点是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝b2tanθ2.(2)设P点是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝b2tanθ2.2.中心弦的性质设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，P为该曲线上异于A，B的点.(1)若圆锥曲线为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k PA k PB＝－b2a2＝e2－1.(2)若圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k PA k PB＝b2a2＝e2－1.3.中点弦的性质设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.(1)若圆锥曲线为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则k AB＝－b2xa2y，k AB·k OM＝－b2a2＝e2－1.(2)若圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则k AB＝b2xa2y，k AB·k OM＝b2a2＝e2－1.(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则k AB＝py0 .4.圆锥曲线的切线方程设M(x0，y0)为圆锥曲线上的点，(1)若圆锥曲线为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>1)，则椭圆在M处的切线方程为xxa2＋yyb2＝1.(2)若圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则双曲线在M处的切线方程为xxa2－yyb2＝1.(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p>0)，则抛物线在M处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).5.与抛物线的焦点弦有关的二级结论过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)两焦半径长为p1－cos θ，p1＋cos θ；(3)1|AF|＋1 |BF|＝2p；(4)|AB|＝2psin2θ，S△AOB＝p22sin θ.类型一优化运算的基本途径途径1 回归定义当题目条件涉及圆锥曲线的焦点时，要考虑利用圆锥曲线的定义表示直线与圆锥曲线相交所得的弦长.例1 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P .若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程. 解设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由题设得F ⎝⎛⎭⎪⎫34，0，故结合抛物线的定义可得|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12（t －1）9，从而－12（t －1）9＝52，解得t ＝－78，所以直线l 的方程为y ＝32x －78.途径2 设而不求在解决直线与圆锥曲线的相关问题时，通过设点的坐标，应用“点差法”或借助根与系数的关系来进行整体处理，设而不求，避免方程组的复杂求解，简化运算. 例2 已知点M 到点F (3，0)的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小2. (1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点P (m ，0)(m >0)作互作垂直的两条直线l 1，l 2，它们与(1)中轨迹E 分别交于点A ，B 及点C ，D ，且G ，H 分别是线段AB ，CD 的中点，求△PGH 面积的最小值.解(1)由题意知，点M到点F(3，0)的距离与到直线l′：x＋3＝0的距离相等，结合抛物线的定义，可知轨迹E是以F(3，0)为焦点，以直线l′：x＋3＝0为准线的抛物线，则知p2＝3，解得p＝6，故M的轨迹E的方程为y2＝12x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝12x1，y22＝12x2，以上两式作差，并整理可得y1－y2x1－x2＝12y1＋y2＝6yG.即k AB＝6y G ，同理可得k CD＝6yH，易知直线l1，l2的斜率存在且均不为0，又由于l1⊥l2，可得k AB·k CD＝36yGyH＝－1，即y G y H＝－36，所以S△PGH＝12|PG|·|PH|＝12·1＋1k2AB|y G| ·1＋1k2CD|y H|＝182＋1k2AB＋1k2CD≥182＋2|k AB k CD|＝182＋2＝36，当且仅当|k AB|＝|k CD|＝1时，等号成立，故△PGH面积的最小值为36. 途径3 换元引参结合解决问题的需要，根据题目条件引入适当的参数或相应的参数方程，巧妙转化相应的解析几何问题，避开复杂的运算.例3 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 证明法一设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ<2π)，则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2cos θ，b 2sin θ.|AP |＝|OA |⇔AQ ⊥OP ⇔k AQ ×k ＝－1. 又A (－a ，0)，所以k AQ ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak AQ cos θ＝2ak AQ . 2ak AQ ＝b 2＋a 2k 2AQ sin(θ－α)， tan θ＝ak AQb，从而可得|2ak AQ |≤b 2＋a 2k 2AQ <a 1＋k 2AQ ，解得|k AQ |<33，故|k |＝1|k AQ |> 3.法二依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0).由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.①由|AP |＝|OA |及A (－a ，0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a1＋k 2，代入①，得(1＋k 2)·4a 2（1＋k 2）2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.法三依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0).联立⎩⎨⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1，消去y 0并整理，得x 20＝a 2b2k 2a 2＋b 2.① 由|AP |＝|OA |，A (－a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.又a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.训练1 (1)(2022·杭州质检)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B. 3C.32D.62(2)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点(1，－2)，经过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，A 在x 轴的上方，Q (－1，0)，若以QF 为直径的圆经过点B ，则|AF |－|BF |＝( ) A.23B.2 5 C.2 D.4答案 (1)D (2)D解析 (1)由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得 ⎩⎨⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝2，所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62.(2)由于抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点(1，－2)，则有4＝2p ，解得p ＝2，设直线l 的倾斜角为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，根据焦半径公式，可得|AF |＝21－cos α，|BF |＝21＋cos α，由于以QF 为直径的圆经过点B ，则有BQ ⊥BF ，在Rt△QBF 中，|BF |＝2cos α，则有|BF |＝21＋cos α＝2cos α，即1－cos 2α＝cos α，所以|AF |－|BF |＝21－cos α－21＋cos α＝4cos α1－cos 2α＝4cos αcos α＝4，故选D. 类型二优化运算之二级结论的应用圆锥曲线中有很多的二级结论，应用这些结论能够迅速、准确地解题. 应用1 椭圆中二级结论的应用例4 (1)A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，M 是椭圆上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为－49，则椭圆C 的离心率为( )A.23B.33C.23D.53(2)已知椭圆方程为x 25＋y 2＝1，右焦点为F ，上顶点为B .直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P .若MP ∥BF ，则直线l 方程为________.答案 (1)D (2)x －y ＋6＝0解析 (1)椭圆上不同于A ，B 的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－b 2a 2，∴－b 2a 2＝－49，∴b 2a 2＝49，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a2＝1－49＝53. (2)设点M (x 0，y 0)为椭圆x 25＋y 2＝1上一点.由过点M 与椭圆相切的结论，可设l ：x 0x 5＋y 0y ＝1，在直线MN 的方程中，令x ＝0，可得y ＝1y 0，由题意可知y 0>0，即点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，1y 0. 直线BF 的斜率为k BF ＝－b c ＝－12，所以，直线PN 的方程为y ＝2x ＋1y 0.在直线PN 的方程中，令y ＝0，可得x ＝－12y 0，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12y 0，0.因为MP ∥BF ，则k MP ＝k BF ，即y 0x 0＋12y 0＝2y 202x 0y 0＋1＝－12，整理可得(x 0＋5y 0)2＝0，所以x 0＝－5y 0.又因为x 205＋y 20＝1，所以6y 20＝1.因为y 0>0，故y 0＝66，x 0＝－566，所以直线l 的方程为－66x ＋66y ＝1，即x －y ＋6＝0. 训练2 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)(2022·金华模拟)已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，当∠F 1PF 2＝π3时，S △F 1PF 2＝43；当线段PF 1的中点落到y 轴上时，tan∠F 1PF 2＝43，则椭圆的标准方程为( )A.x216＋x212＝1 B.x216＋y29＝1C.x225＋y212＝1 D.x225＋y29＝1答案(1)D (2)A解析(1)由题意知c＝3，即a2－b2＝9，AB的中点记为P(1，－1)，由k AB·k OP＝－b2 a2，则(－1)×－1－01－3＝－b2a2，∴a2＝2b2，又a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9，∴E的方程为x218＋y29＝1.(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，当∠F1PF2＝π3时，由题意知S△F1PF2＝b2tanθ2，即43＝b2tan π6，所以b2＝12.当线段PF1的中点落到y轴上时，又O为F1F2的中点，所以PF2∥y轴，即PF2⊥x轴.由tan∠F1PF2＝43，得|F1F2||PF2|＝43，即n ＝3c 2，则m ＝52c ，且n ＝b 2a ＝12a.所以联立⎩⎪⎨⎪⎧3c 2＋5c 2＝2a ，3c 2＝12a ，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝2，所以椭圆标准方程为x 216＋y 212＝1.应用2 双曲线中二级结论的应用例5 (1)已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( ) A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 (2)已知P (1，1)是双曲线外一点，过P 引双曲线x 2－y 22＝1的两条切线PA ，PB ，A ，B为切点，求直线AB 的方程为________. 答案 (1)B (2)2x －y －2＝0解析 (1)由题意可知k AB ＝－15－0－12－3＝1，k MO ＝－15－0－12－0＝54，由双曲线中点弦性质得k MO ·k AB ＝b 2a 2，即54＝b 2a2，又9＝a 2＋b 2，联立解得a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.(2)设切点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则PA ：x 1x －y 1y 2＝1，PB ：x 2x －y 2y 2＝1，又点P (1，1)代入得x 1－12y 1＝1，x 2－12y 2＝1，∴点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在直线x －12y ＝1上，∴过直线AB 的方程为x －12y ＝1，即2x －y －2＝0.训练3 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，实轴的两个端点为A ，B ，点P 为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线PA 与PB 的斜率之积为________.(2)已知P 是椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)和双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的一个交点，F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，e 1，e 2分别为椭圆和双曲线的离心率，若∠F 1PF 2＝π3，则e 1·e 2的最小值为________. 答案 (1)3 (2)32解析 (1)由题意知c a ＝2，即c 2a 2＝4，∴c 2＝4a 2，∴a 2＋b 2＝4a 2，∴b 2＝3a 2，∴k PA ·k PB ＝b 2a2＝3.(2)因为点P 为椭圆和双曲线的公共点，F 1，F 2是两曲线的公共焦点，则由焦点三角形的面积公式得S △PF 1F 2＝b 21tan π6＝b 22tanπ6，化简得b 21＝3b 22，即a 21－c 2＝3(c 2－a 22)，等式两边同除c 2，得1e 21－1＝3－3e 22，所以4＝1e 21＋3e 22≥23e 1·e 2，解得e 1·e 2≥32，所以e 1·e 2的最小值为32.应用3 抛物线中二级结论的应用例6 (1)(2022·泰州调研)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 焦点，过点F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，直线l 2与C 相交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10(2)已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若BA →＝4BF →，则△AOB 的面积为( ) A.833 B.433C.823 D.423答案 (1)A (2)B解析 (1)如图，设直线l 1的倾斜角为θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则直线l 2的倾斜角为π2＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知 |AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2θ，|DE |＝2p sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝4cos 2θ， ∴|AB |＋|DE |＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ≥4⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ＋cos 2θ22＝16，当且仅当sin 2θ＝cos 2θ，即sin θ＝cos θ，即θ＝π4时取“＝”.(2)由题意知|AF ||BF |＝3，设l 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p1＋cos θ，∴1＋cos θ1－cos θ＝3，cos θ＝12，sin θ＝32， S ＝p 22sin θ＝43＝433. 训练4 (1)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为26，则|AB |＝( ) A.24 B.8 C.12 D.16(2)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，且|MF|＝2|NF|，则直线l的斜率为( )A.±2B.±2 2C.±22D.±24答案(1)A (2)B解析(1)由题意知p＝2，S△AOB＝p22sin θ＝26，∴sin θ＝16，∴|AB|＝2psin2θ＝24.(2)由抛物线的焦点弦的性质知1|MF|＋1|NF|＝2p＝1，又|MF|＝2|NF|，解得|NF|＝32，|MF|＝3，∴|MN|＝92，设直线l的倾斜角为θ，∴k＝tan θ，又|MN|＝2psin2θ，∴4sin2θ＝92，∴sin2θ＝89，∴cos2θ＝19，∴tan2θ＝8，∴tan θ＝±22，故k＝±2 2.一、基本技能练1.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.334 B.938C.6332D.94 答案 D解析抛物线C ：y 2＝3x 中，2p ＝3，p ＝32，故S △OAB ＝p 22sin θ＝942sin 30°＝94.2.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在椭圆C 上，且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 答案 B解析由周角定理得k PA 1·k PA 2＝－b 2a 2＝－34，又k PA 2∈[－2，－1]， ∴k PA 1＝－34k PA 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.3.已知斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，△OFM 的面积等于3，则k ＝( ) A.14B.13C.12D.263答案 B解析设AB的中点M(x0，y0)，由中点弦的性质得k＝py(y0≠0).由抛物线方程知p＝2，所以k＝2y0，另焦点F(1，0)，又S△OFM＝3，可知12×1×y0＝3，所以y0＝6，再代入k＝2y＝13.4.椭圆x216＋y24＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是( )A.3B.11C.22D.10 答案 D解析设椭圆x216＋y24＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，则点P到直线x＋2y－2＝0的距离为d＝|4cos θ＋4sin θ－2|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－25，所以d max＝|－42－2|5＝10，故选D.5.已知点A(0，－5)，B(2，0)，点P为函数y＝21＋x2图象上的一点，则|PA|＋|PB|的最小值为( ) A.1＋25B.7 C.3 D.不存在答案 B解析由y ＝21＋x 2，得y 24－x 2＝1(y ＞0).设点A ′(0，5)，即点A ′(0，5)，A (0，－5)为双曲线y 24－x 2＝1的上、下焦点.由双曲线的定义得|PA |－|PA ′|＝4，则|PA |＋|PB |＝4＋|PA ′|＋|PB |≥4＋|BA ′|＝7，当且仅当B ，P ，A ′共线时取等号，故选B.6.(2022·丽水调研)已知椭圆Г：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Г相交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，则k ＝( ) A.1 B.2 C.3D. 2 答案 D解析依题意a ＝2b ，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，因为AF →＝3FB →，所以λ＝3，设直线的倾斜角为α，则e ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1（λ＋1）cos α 得32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－1（3＋1）cos α，|cos α|＝33，又k >0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos α＝33，所以k ＝tan α＝ 2. 7.抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过焦点F 且倾斜角为π6的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则抛物线的方程为________. 答案y 2＝2x 解析∵|AB |＝2psin 2θ＝2psin 2π6＝8p ＝8，∴p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x .8.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为椭圆：x 22＋y 2＝1内一定点，经过点P 引一条弦，使此弦被点P 平分，则此弦所在的直线方程为________. 答案 2x ＋4y －3＝0解析直线与椭圆交于A ，B ，P 为AB 中点.由k AB ·k OP ＝－b 2a 2得k AB ×1＝－12，即k AB ＝－12，则直线方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0.9.(2022·南京模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为2a 2，则双曲线的离心率为________. 答案 3解析如图.设双曲线的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，因为以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F (c ，0)，所以S △AF ′F ＝S △ABF ＝2a 2且∠F ′AF ＝∠θ＝π2，根据双曲线焦点三角形面积公式，得S △AF ′F ＝b 2tanθ2.所以2a 2＝b 2，即b 2a2＝2，e ＝1＋b 2a2＝ 3. 10.(2022·武汉调研)已知双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)与C 2：y 2a 22－x 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有相同的渐近线，若C 1的离心率为2，则C 2的离心率为________. 答案233解析设双曲线C 1，C 2的半焦距分别为c 1，c 2，因为C 1的离心率为2，所以C 1的渐近线方程为y ＝±b 1a 1x ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫c 1a 12－1x ＝±22－1x ＝±3x ，所以C 2的渐近线方程为y ＝±a2b 2x ＝±3x ，所以a 2b 2＝3，所以C 2的离心率为c 22a 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＝233.11.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l ：y ＝kx ＋a ，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与y 轴交于点P ，O 为坐标原点.(1)若k ＝1，且N 为线段MP 的中点，求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆长轴的一个端点为Q (2，0)，直线QM ，QN 与y 轴分别交于A ，B 两点，当PA →·PB →＝1时，求椭圆C 的方程.解 (1)由题意知直线l ：y ＝x ＋a 与x 轴交于点(－a ，0)， ∴点M 为椭圆C 的左顶点，即M (－a ，0). 设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1得14＋a 24b 2＝1，即b 2a 2＝13，则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝23，∴e ＝63，即椭圆C 的离心率e ＝63. (2)由题意得a ＝2，∴椭圆C ：b 2x 2＋4y 2＝4b 2(b >0)，联立⎩⎨⎧b 2x 2＋4y 2＝4b 2，y ＝kx ＋2，消去y 得(4k 2＋b 2)x 2＋16kx ＋16－4b 2＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16b 2（4k 2＋b 2－4）>0，x M＋x N＝－16k 4k 2＋b 2，x M ·x N ＝16－4b24k 2＋b2，∵直线QM ：y ＝y M x M －2(x －2)，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2y M x M －2，PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y M ＋2x M －42－x M . ∵y M ＝kx M ＋2， ∴y M －2＝kx M ，即PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2（k ＋1）x M 2－x M ，同理PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2（k ＋1）x N 2－x N ， ∴PA →·PB →＝4（k ＋1）2x M x Nx M x N －2（x M ＋x N ）＋4＝4－b 2＝1，即b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和. 解 (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2<|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1).(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为零，设直线AB 的方程为y－t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x 2－y 216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 12x －⎝⎛⎭⎪⎫t －k 122－16＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )⎝ ⎛⎭⎪⎫x A >12，x B>12，由题意知16－k 21≠0，则x A x B ＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1⎝⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21，所以|TA |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A －12＝1＋k 21⎝⎛⎭⎪⎫x A －12，|TB |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12，则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)⎝⎛⎭⎪⎫x A －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x A x B －12（x A ＋x B ）＋14＝(1＋k 21)⎣⎢⎡－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21－12·⎦⎥⎤2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21＋14＝（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16. 同理得|TP |·|TQ |＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16.因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16，所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0. 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0. 二、创新拓展练13.(2022·广东四校联考)倾斜角为π3的直线经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且AF →＝λFB →(λ≥5)，则双曲线C 的离心率的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43C.(1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，2答案 D解析 tan π3>b a ⇒b a <3⇒b 2<3a 2⇒c 2－a 2<3a 2⇒c 2<4a 2，∴c 2a 2<4，即e <2；|e cos θ|＝|λ－1||λ＋1|⇒e 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1λ＋1＝λ－1λ＋1＝1－2λ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1，即23≤e 2<1，故43≤e <2.14.(多选)(2022·海南调研)已知斜率为3的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AB |＝8，则以下结论正确的是( ) A.1|AF |＋1|BF |＝1 B.|AF |＝6C.|BD |＝2|BF |D.F 为AD 中点答案 BCD解析法一如图，过点B 作x ＝－p 2的垂线，垂足为B ′，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的斜率为3，则直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，得12x 2－20px ＋3p 2＝0. 解得x A ＝3p 2，x B ＝p6，由|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝8p3＝8，得p ＝3.所以抛物线方程为y2＝6x.则|AF|＝x A＋p2＝2p＝6，故B正确；所以|BF|＝8－|AF|＝2，|BD|＝|BB′|cos 60°＝|BF|cos 60°＝4，∴|BD|＝2|BF|，故C正确；所以|AF|＝|DF|＝6，则F为AD中点，故D正确；而1|AF|＋1|BF|＝23，故A错误.法二设直线AB的倾斜角为θ，利用抛物线的焦点弦的性质，由|AB|＝2psin2θ＝8，则p＝3，|AF|＝p1－cos θ＝6，|BF|＝p1＋cos θ＝2，1 |AF|＋1|BF|＝2p＝23，在Rt△DBB′中，cos θ＝|BB′||BD|，所以|BD|＝4，|DF|＝|BF|＋|BD|＝6，因此F为AD中点.故选BCD.15.已知A，B是抛物线y2＝4x上的两点，F是焦点，直线AF，BF的倾斜角互补，记AF，AB的斜率分别为k1，k2，则1k22－1k21＝________.答案 1解析F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的对称性，且两直线的倾斜角互补，所以(x 2，－y 2)在直线AF 上，直线AF ：y ＝k 1(x －1)，代入y 2＝4x ，化简可得k 21x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21＝0，根据韦达定理，可得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21，x 1x 2＝1，又k 2＝y 2－y 1x 2－x 1＝4x 2－4x 1x 2－x 1＝2x 2＋x 1，所以k 22＝4x 1＋x 2＋2x 1x 2＝42k 21＋4k 21＋2＝k 21k 21＋1，故1k 22－1k 21＝1.16.已知P 是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上一动点，过点P 作抛物线x 2＝8y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 斜率的最大值为________. 答案34解析由题意可知，PA ，PB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2，切点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设P (m ，n )，过点P 的抛物线的切线为y ＝k (x －m )＋n ，联立⎩⎨⎧y ＝k （x －m ）＋n ，x 2＝8y ，得x 2－8kx ＋8km －8n ＝0，因为Δ＝64k 2－32km ＋32n ＝0，即2k 2－km ＋n ＝0，所以k1＋k2＝m2，k1k2＝n2，又由x2＝8y得y′＝x 4，所以x1＝4k1，y1＝x218＝2k21，x 2＝4k2，y2＝x228＝2k22，所以k AB＝y2－y1x2－x1＝2k22－2k214k2－4k1＝k2＋k12＝m4，因为点P(m，n)满足(x－2)2＋(y＋2)2＝1，所以1≤m≤3，因此14≤m4≤34，即直线AB斜率的最大值为3 4 .17.已知点A为圆B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一点，定点C的坐标为(2，0)，线段AC的垂直平分线交AB于点M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若动直线l与圆O：x2＋y2＝83相切，且与点M的轨迹交于点E，F，求证：以EF为直径的圆恒过坐标原点.(1)解圆B的圆心为B(－2，0)，半径r＝42，|BC|＝4. 连接MC，由已知得|MC|＝|MA|，∵|MB |＋|MC |＝|MB |＋|MA |＝|BA |＝r ＝42>|BC |，∴由椭圆的定义知：点M 的轨迹是中心在原点，以B ，C 为焦点，长轴长为42的椭圆，即a ＝22，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4， ∴点M 的轨迹方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明当直线EF 的斜率不存在时，直线EF 的方程为x ＝±83， E ，F 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫83，83，⎝⎛⎭⎪⎫83，－83或⎝⎛⎭⎪⎫－83，83，⎝⎛⎭⎪⎫－83，－83， OE →·OF →＝0.当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为y ＝kx ＋m ， ∵EF 与圆O ：x 2＋y 2＝83相切，∴|m |1＋k2＝83，即3m 2＝8k 2＋8. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∴OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，(*)联立⎩⎨⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， ∴x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2，代入(*)式得OE→·OF→＝(1＋k2)·2m2－81＋2k2－4k2m21＋2k2＋m2＝3m2－8k2－81＋2k2，又∵3m2＝8k2＋8，∴OE→·OF→＝0，综上，以EF为直径的圆恒过定点O.31 / 31。

漫谈解析几何大题的四大优化策略

解题篇经典题突破方法高考数学2021年4月壇琰鉛料JT灯天販曲回兀尤连英咯V-■浙江省湖州中学盛耀建解析几何大题，是每年高考的必考大题，虽然常考，且题型也较为固定，但其依然是挡在考生面前的几座大山之一，得分率较低。

那么如何破解这一难题，推翻这座大山呢？笔者认为，除了需要我们同学总结一些常见的题型，还需要掌握一些特殊的技巧，笔者就此整理了解析几何大题解题时的四大常见优化策略，供同学们复习备考时参考。

策略一：同构式“同构式”侧重于“同构”二字，顾名思义，结构相同。

具体举例如下：捌（如图1,已知抛物线E：；/=2的:（力＞0）过点Q（1,2）,F为其焦点，过F且不垂直于工轴的直线I交抛物线E于A,B两点，动点P满足图1AFAB的垂心为原点O。

（¥，%），又因为。

为厶PAB的垂心，从而B（rr2，夕2），联立｛,消去工整理得==4jc,y2—4：ty—4=0,则<》1+%=4左,设P（鼻。

，13》2=—4。

%）,则PA=yi\——■>y0—yi），ub—PA•06=0,代入化简得+3^03^2+3= 0,同理亍'式+》0夕1+3=0,所以J/19y2是方程亍夕2+30的两根，由韦达定理知4y必+兀―土j,夕0=—gS=—312皿2=厂=_43^o3i?所以动点P在定直线皿口=—3上。

S=—3,（1）求抛物线E的标准方程；（2）求证：动点P在定直线勿上，并求的最小值。

~2I AB I d、d.s”==生=13严+4| SgB^\AB\d2込|2d解析：（1）由题意，将Q（l,2）代入b= 2”:，得22=20*0=2,所以抛物线E的标准方程为b=4sQ#9y+y N2◎，当且仅当t=±号。

其中d19d2分别为点P和点Q到直线AB的距离。

攀时取等（2）设Z：H=£jy-|-l（£HO）,A（rci，;yi）,评注：第（2）问的解答关键在于“％,；2Vi—V?所以k AB=yl y2,将①②代入得k AB=工1—S/2今，即直线AB的斜率为定值今。

机械结构的几何形状分析与优化设计

机械结构的几何形状分析与优化设计在机械工程领域中，机械结构的几何形状是设计过程中至关重要的一部分。

通过对机械结构的几何形状进行分析和优化设计，可以提高机械结构的性能和可靠性，降低成本和能源消耗。

本文将探讨机械结构的几何形状分析与优化设计的方法和技术。

一、几何形状分析的方法机械结构的几何形状分析是指对机械结构的形状进行测量、分析和描述的过程。

几何形状分析的方法主要包括三维扫描、数学建模和计算机辅助设计等。

三维扫描是一种常用的几何形状分析方法。

通过使用激光扫描仪或相机等设备，可以将机械结构的几何形状转化为数字化的三维模型。

这样可以方便地进行形状分析和比较不同结构之间的差异。

数学建模是另一种常用的几何形状分析方法。

通过使用数学工具和方法，可以将机械结构的几何形状抽象为数学模型。

这样可以方便地进行形状分析和计算，例如计算机辅助设计中的参数化建模和有限元分析等。

计算机辅助设计是一种集成了数学建模和计算机技术的几何形状分析方法。

通过使用计算机软件和工具，可以方便地进行几何形状的分析、比较和优化设计。

例如，使用CAD软件可以进行几何形状的绘制和编辑，使用CAE软件可以进行几何形状的有限元分析和优化设计。

二、几何形状优化设计的原则机械结构的几何形状优化设计是指通过改变机械结构的几何形状，以达到设计要求和优化目标的过程。

几何形状优化设计的原则主要包括形状参数的选择、优化目标的确定和优化算法的选择等。

形状参数的选择是几何形状优化设计的关键。

形状参数是指机械结构的几何形状中可以改变的参数，例如长度、宽度、高度等。

在进行几何形状优化设计时，需要选择适当的形状参数，并确定其变化范围和步长等。

这样可以保证优化设计的灵活性和有效性。

优化目标的确定是几何形状优化设计的关键。

优化目标是指在几何形状优化设计中需要达到的设计要求和优化目标，例如降低结构的重量、提高结构的刚度、减小结构的应力等。

在进行几何形状优化设计时，需要明确优化目标，并确定其权重和约束条件等。

几何问题的建模与优化

几何问题的建模与优化在我们的学习生涯中，几何问题就像一个个神秘的城堡，等待着我们去探索和征服。

从小学的简单图形认识，到高中复杂的立体几何，每一步都充满了挑战和乐趣。

还记得我上初中的时候，有一次数学老师在课堂上讲三角形的内角和。

老师拿着一个纸质的三角形，让我们分别测量三个角的度数，然后相加。

那时候，我和同桌都特别认真，拿着量角器小心翼翼地测量，结果发现总和总是 180 度。

这看似简单的实验，却让我对几何产生了浓厚的兴趣。

说到几何问题的建模，这就像是给几何图形穿上了一件量身定制的衣服。

比如说，在解决一个关于长方形面积的问题时，我们可以把这个长方形想象成一块土地，长和宽就是土地的两条边。

要计算这块土地能种多少庄稼，就得先算出它的面积。

通过建立这样的模型，原本抽象的数学问题一下子变得生动具体起来。

再比如，高中数学里的圆锥曲线。

椭圆、双曲线、抛物线，这些名字听起来就让人觉得有点头疼。

但如果我们把它们想象成生活中的一些场景，比如卫星的运行轨道是椭圆，手电筒发出的光形成的是抛物线，是不是就觉得亲切多了？然后通过建立数学模型，用方程来描述它们的性质，就能更好地理解和解决相关的问题。

优化在几何问题中也起着至关重要的作用。

就像我们盖房子，不仅要把房子盖起来，还要盖得漂亮、实用。

解决几何问题也是一样，要找到最优的解决方案。

比如说，在一个几何图形中，要找到一条最短的路径。

这时候，我们就可以运用一些定理和方法来进行优化。

比如两点之间线段最短，或者利用对称的性质来找到最短路径。

还有在立体几何中，计算一个几何体的体积或者表面积。

我们可以通过巧妙地分割或者补形，来简化计算过程，达到优化的目的。

在小学阶段，孩子们刚刚接触几何，可能只是认识一些简单的图形，像正方形、圆形、三角形。

这时候，老师会通过让孩子们动手剪纸、拼图等方式，让他们直观地感受图形的特点。

比如，在学习正方形和长方形的区别时，孩子们会亲手折一折、比一比，发现正方形的四条边都相等，而长方形只有对边相等。

等几何分析优化方法

等几何分析优化方法等几何分析优化方法：等几何分析概述等几何分析(IGA)是新型的有限元理论。

它通常采用等参分析思想，其计算域模型为二维情况下的平面NURBS曲面或三维情况下的三变量NURBS参数体；计算单元为节点区间构建的NURBS曲面单元或NURBS体单元；形参数为NURBS基函数，拟求解的未知变量为控制顶点。

等几何分析方法是基于有限元分析方法的等参单元思想，将计算机辅助几何设计(CAGD)中用于表达几何模型的非均匀有理B样条(NURBS)的基函数作为形参数，实现了计算机辅助设计(CAD)和计算机辅助工程(CAE)的无缝结合。

等几何分析可以精确地表述模型的几何特征，精度更高。

在网格细化上，等几何分析不仅拥有通用的h-细化策略和p-细化策略，同时还拥有一种独有的 k-细化策略，细化精度更高，细化速度更快。

从优化的角度看，设计与仿真实现了集成，可以根据仿真分析后的结果直接对设计结构进行几何修改，提高了结构设计优化的效率。

特点由于NURBS基函数可以构造任意高阶连续的近似函数，克服了有限元分析方法通常仅有C^0连续性的弊端，使等几何分析方法可以方便地求解薄板壳等高阶问题。

目前等几何分析方法已成功用于固体、流体、电磁、振动和裂纹扩散等模型的分析，并展现出其相对有限元分析方法的很大优势，如：无需进行几何模型转换，单元细分简便且不损失几何精度以及便于求解高阶连续问题等在实现计算机辅助设计（CAD）和计算机辅助工程（CAE）结合的同时，等几何分析方法也自然在结构优化中拥有了独到的优势。

它可直接将几何模型的NURBS控制点作为优化对象，并根据优化后的控制点坐标和权值简便精确地得到优化后的形状，而且优化后的边界是光滑连续的NURBS曲线。

等几何分析方法的几何模型均采用参数表示，其网格的划分和细化与经典有限元不同，仅需要在参数域上进行自然划分或插点细分，避免了对分析网格模型直接操作，省去了经典有限元中专门划分网格的过程，加快了分析周期。