14种布拉维格子及堆积方式
14种布拉维格子和球体紧密堆积
实验一14种布拉维格子和球体紧密堆积一、实验目的加深对14种布拉维格子和球体紧密堆积原理的理解。
二、基本原理1、布拉维格子只在单位平行六面体的八个角顶上分布有结点的空间格子，称为原始格子（Primitive lattice，符号P），在单位平行六面体的体中心还有一个结点时，则构成体心格子（Body-centered lattice,，符号I）。
如果在某一对面的中心上各有一个结点时，称为单面心格子（One-face-centered lattice）（001）面上有心的格子为底心格子或称为C心格子（End-centered , Based-centered lattice or C-centered lattice，符号C）当（100）面或（010）面上有心是，分别称为A心格子（A-centered lattice，符号A）和B心格子（B-centered lattice，符号B）如果在所有的三对面的中心都有结点时，称为面心格子或全面心格子（Face-centered lattice or All-faced-centered lattice，符号F）。
符合对称特点和选择原则的格子共有7种类型，共计14种不同形式的空间格子，即通常所称的14种布拉维格子（The fourteen Bravais space lattices），如下图所示。
布拉维格子是空间格子的基本组成单位，只要知道了格子形式和单位平行六面体参数后，就能确定整个空间格子的一切特征。
2、球体紧密堆积原子核离子都具有一定的有效半径，可以看作是具有一定大小的球体。
金属晶体和离子晶体中的金属键和离子键没有方向性和饱和性，因此金属原子之间或离子之间相互结合，再形式上可以看作是球体间的相互堆积。
由于晶体具有最小的内能性，原子核离子相互结合时，彼此间的引力和斥力达到平衡状态，相当于要求球体间做紧密堆积。
最紧密堆积的方式有两种，一种是六方最紧密堆积（Cubic closest packing，缩写为CCP），最紧密排列层平行于{0001}，可以用ABABAB……顺序来表示，如下图所示：另一种是立方最紧密堆积（Hexagonal closest packing，缩写为HCP），最紧密排列层平行于{111}，可以用ABCABCABC……顺序表示，如下图所示：自然铜、自然金、自然铂等矿物的晶体结构属于立方最紧密堆积方式。
第一章结晶学基础-1.3.1十四种布拉维点阵_6.14ZSQ
材料科学基础第1 章1.3.1 十四种布拉维点阵十四种布拉维点阵一、单位平行六面体的选取二、十四种布拉维点阵三、晶胞空间点阵的划分 空间点阵是一个由无限多结点在三维空间作有规则排列的图形。
整个空间点阵就被这些平行线分割成多个紧紧地排列在一起的平行六面体有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）单位平行六面体的 选取原则 3.大小原则体积最小 1 对称性原则应能反映空间点阵对称性 2 角度原则 直角关系尽可能多4 对称性规定夹角不为直角 结点间距最小的行列做棱，夹角最接近直角的平行六面体二维平面点阵的划分(A)具有L44P的平面点阵；(B)具有L22P的平面点阵单位平行六面体在空间点阵中，选取出来的能够符合这几条原则的平行六面体称为单位平行六面体；可以用三条互不平行的棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ来描述，如下图所示。
点阵常数棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ的大小称为点阵常数。
晶体的点阵常数十四种布拉维点阵（格子）简单（原始）点阵（格子）(P) 结点分布在角顶，每个点阵包含一个结点体心点阵（格子）（I）结点分布在角顶和体心，每个点阵包含二个结点十四种布拉维点阵（格子）面心点阵（格子）(F) 结点分布在角顶和面心，每个点阵包含四个结点单面心点阵（格子）(A/B/C) 结点分布在角顶和一对面心，每个点阵包含2个结点根据布拉维推导，从一切晶体结构中抽象出来的空间点阵，按上述原则来选取平行六面体，只能有14种类型，称为14种布拉维点阵。
十四种空间点阵正交P(简单) C(底心) I(体心) F(面心) 点阵常数 a ≠ b ≠ cα= β= γ= 90°立方简单立方(P) 体心立方（I）面心立方（F）点阵常数 a =b =cα= β= γ= 90°如图立方为什么没有底心呢？假如有底心，将破坏立方的3L 4的对称性，只有1L 4。
立方三方（R ） 90120≠<====γβαc b a 点阵常数：六方（H ）12090===≠=γβαcb a 点阵常数： 四方（P ） 四方（I ）90===≠=γβαc b a 点阵常数：四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少”的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。
晶体结构知识
晶体结构
1.拉伐格子
布拉伐格子指的是多个点在空间格子的排列组合，任何晶体的宏观对称型都可以归结为其原子分布所对应的布拉伐格子的对称性。
三维空间的布拉伐格子总共有十四种，详见下表
2.晶系与布拉伐格子及空间点群的关系
晶系布拉伐格子所属点群
三斜晶系简单三斜C1, C i
单斜晶系简单单斜底心单斜C2 C s C2h
正交晶系简单正交底心正交体心正交面心正交D2 C2v D2h
三角晶系三角C3 C3i D3 C3v D3d
四方晶系简单四方体心四方C4 C4h D4 C4v D4h S4 D2d 六角晶系六角C6 C6h D6 C3v D6h C3h D2h 立方晶系简单立方体心立方面心立方T T h T d O O h
3.单质的晶体结构
单质的晶体结构
名称英文名称代号晶格类型晶系金属铜结构 metallic copper structure A1型面心立方晶格立方晶系
金属钠结构 metallic sodium structure A2型体心立方晶格立方晶系
金属镁结构 metallic magnesium structure A3型六方密排晶格六方晶系
金刚石结构 diamond structure A4型立方晶系
石墨结构graphite structure A9型六方晶系4.化合物的晶体结构。
布拉菲点阵
关于奥古斯特·布拉菲及布拉菲点阵浅析奥古斯特·布拉菲（August Bravais，1811—1863），法国物理学家，于1845年推导出了三维晶体原子排列的所有14种点阵结构，首次将群的概念应用到物理学，为固体物理学做出了重大贡献。
这是非常有意义的结论，为了纪念他，后人称这14种点阵为布拉菲点阵。
除此之外，布拉菲还对磁性、极光、气象、植物地理学、天文学和水文学等方面进行过研究。
图1 奥古斯特·布拉菲在几何学以及晶体学中，布拉菲晶格（又译布拉菲点阵）是为了纪念奥古斯特·布拉维在固态物理学的贡献命名的。
法国晶体学家布拉菲（A.Bravais）于1850年用数学群论的方法推导出空间点阵只能有十四种: 简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单正交、底心正交、体心正交、面心正交、简单六方、简单菱方、简单四方、体心四方、简单立方、体心立方、面心立方。
根据其对称特点，它们分别属于七个晶系。
空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。
这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。
空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。
当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。
在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如下图所示：其选取方式有，1．固体物理选法：在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。
如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征。
2．晶体学选法：由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则：①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。
对称性和布拉维格子的分类
群论作为数学的分支，是处理有一定对称性 的物理体系的有力工具，可以简化复杂的计算， 也可以预言物理过程的发展趋势，还可以对体 系的许多性质作出定性的了解。 群及其表示理论是物理系研究生的一门重要 基础课，对于本科生不作要求。因此，我们不 打算在这里讲过多的群论的知识。只是简单介 绍一下，让大家对群的概念有一个认识。 一、群的知识简介 1. 群的定义 ts)或操 作的集合，常用符号 G 来表示。
Ai Aj Ak , i j or i j
2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E E G, EAi Ai E Ai 3). 存在逆元素 Ai G, Ai1 Ai Ai1 Ai1 Ai E
4). 满足组合定则
( Ai Aj ) Ak Ai ( Aj Ak )
因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行. 由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 A的 位臵。同样 A处原来也必定有一个格点
显然n=1,相当于不动操作(元素)E, n=2,3,4,6的转轴分别称为二度、三度、四度、 六度转轴
晶体的对称性定律的证明
B
A
如图,A为格点,B为离A最近 a a 的格点之一,则与 AB 平行的 格点之间的距离一定是 AB a B A 的整数倍。 如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该 操作将使B格点转到B’ 位臵,则由于转动对称操作 不改变格子,在 B’ 处必定原来就有一个格点。
在晶体的几何对称性的研究中，每一个能 使晶体复原的对称操作，都满足上述群中的 元素的要求，由这些元素(或操作)所构成的 群叫对称性群(symmetry group),包括点群 (point group)和空间群(space group)
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动) 熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫 (Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单 格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作， 提出了空间群的概念,并证明只有230种独立 的空间群。 1850年布拉维由此证明只有14种 三维布拉维点阵
2.2.4 晶体的14种Bravais格子简介
a b c， 90 0
格点有两种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；
其二，除顶点外，还分布于面心（0，1/2，1/2）和（1，1/2，1/2）
或（1/2，0，1/2）和（1/2，1，1/2）
有 两种 Bravais 格子：分
别称为简单单斜Bravais格子、底心单斜Bravais格子
背景音乐：
5°六方（Hexagonal）晶系或六角晶系
Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c， 90 0 ， 120 0 有 格点的分布方式只有一种：分布于惯用元胞的八个顶点上 一种Bravais格子，称为简单六方
Bravais格子 Pearson 记法 hP， 平行六面体元胞不能显示出点对 称性，常选用正六方棱柱体作为
背景音乐：
4°四方(Tetragonal) 晶系或正方晶系或四角晶系 Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c， 90 0
格点有两种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；
有 其二，除顶点外，还分布于体心 两种Bravais格子，分别称
为简单四方Bravais格子和体心四方Bravais格子 Pearson 记法 tP 和tI，惯用元胞分别如图2.2.2－1中的（h）图和(i)图所示
Pearson 记法 mP、mA 或 mB ，惯用元胞分别如图 2.2.2－1中的（b）图、(c)图所
示。
背景音乐：
背景音乐：
3°斜方晶系或正交（Orthorhombic）晶系
Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c， 900
格点有四种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点 上；其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外，还分 布于两个面心（0，1/2，1/2）和（1，1/2，1/2）或面心（1/2， 0，1/2）和（1/2，1，1/2）或面心（1/2，1/2，0）和（1/2， 1/2，1）；其四，除顶点外，还分布于六个面心 四种 有
!七大晶系十四种布喇菲格子
晶系
晶胞基矢的 特性
布喇菲 格子
所属点群
三斜晶系
简单三斜
单斜晶系
简单单斜 底心单斜
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
正交晶系 三角晶系
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
三角
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
四方晶系 六角晶系 立方晶系
简单四方 体心四方
六角
简单立方 体心立方 面心立方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
9) 简单四方（四角） 10) 体心四方（四角）
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
11) 六角
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
12) 简立方 13) 体心立方 14) 面心立方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
七大晶系的布喇菲格子、晶胞和所属点群
立方 三角
四方
正交
三斜
按晶胞个点分布特点分为14种布喇菲原胞 1) 简单三斜
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
2) 简单单斜 3) 底心单斜
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
4) 简单正交 5) 底心正交 6) 体心正交 7) 面心正交
01_07_晶格的对称性 —— —— 晶体结构
底心立方？=简单四方
底心四方=简单四方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
体心四方与面心四方等价
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
§1.7 晶格的对称性
—— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的只有14种布喇菲格子 —— 分为7个晶系
—— 晶胞的三个基矢
沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
十四种布拉菲格子
就目前所知，晶体多达20000多种以上，它们的几何 就目前所知，晶体多达 多种以上， 多种以上 外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比， 外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比，足以让所有 的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、 的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、形状各异的晶 体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的， 体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的，描述晶 体微观结构周期性特征的Bravais格子总共只有十四种不 格子总共只有十四种不 体微观结构周期性特征的 格子总共只有十四种 同的类型。 同的类型。
Pearson记法 →
hR
7°立方(Cubic) 晶系 立方(Cubic) Bravais格子之惯用元胞的几何特征为： Bravais格子之惯用元胞的几何特征为： 格子之惯用元胞的几何特征为
a = b = c，α = β = γ = 90 0
格点有三种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上； 格点有三种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上； 其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外，还分布于六 其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外， Bravais格子 简单立方Bravais格子、 个面心 有 三种Bravais格子，分别称为简单立方Bravais格子、 → 三种Bravais格子，分别称为简单立方Bravais格子 体心立方Bravais格子和面心立方Bravais格子 体心立方Bravais格子和面心立方Bravais格子 Bravais格子 Bravais cP、 cP Pearson记法 → 、
cI和cF，惯用元胞分别如图1.2.6－ 中的（ cI和cF，惯用元胞分别如图1.2.6－1中的（l）图、(m)图和（n） 1.2.6 (m)图 图所示 背景音乐： 背景音乐：
布拉维晶格在三维平面上的七大晶系14种晶格
布拉维晶格在三维平面上有七大晶系，14种晶格分别为三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、四方晶系、立方晶系、三方晶系、六角晶系。
依照简单、体心、面心及底心一、等轴晶系（立方晶系）等轴晶系的三个轴长度一样，且相互垂直，对称性最强。
这个晶系的晶体通俗地说就是方块状、几何球状，从不同的角度看高低宽窄差不多。
如正方体、八面体、四面体、菱形十二面体等，它们的相对晶面和相邻晶面都相似，这种晶体的横截面和竖截面一样。
此晶系的矿物有黄铁矿、萤石、闪锌矿、石榴石，方铅矿等。
请看这种晶系的几种常见晶体的理论形态：等轴晶系的三个晶轴(x轴y轴z轴)一样长,互相垂直常见的等轴晶系的晶体模型图等轴晶系的各种宝石金刚石晶体翠榴石黄铁矿萤石八面体和立方体的聚形的方铅矿二、四方晶系四方晶系的三个晶轴相互垂直，其中两个水平轴（x轴、y轴）长度一样，但z轴的长度可长可短。
通俗地说，四方晶系的晶体大都是四棱的柱状体，（晶体横截面为正方形，但有时四个角会发育成小柱面，称“复四方”），有的是长柱体，有的是短柱体。
再，四方晶系四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都一样，但和顶端不对称（不同形）；所有主晶面交角都是九十度交角。
请看模型图：四方晶系的晶体如果z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（x、y）发育大于竖轴z轴，那么该晶体就是四方板状常见的一些四方晶系的晶体模型符山石的晶体锡石的长柱状晶体（顶端另有斜生的小晶体）。
请注意看柱体的棱角发育成窄小晶面，此种晶体又叫“复四方”——四个主柱面，四个小柱面这是短柱状锆石，柱体几乎不发育。
象个四方双锥体或假八面体三、三方晶系和六方晶系三方晶系和六方晶系有许多相似之处，一些矿物专著和科普书刊往往将二者合并在一起，或干脆就称晶体有六大晶系。
与前面讲的五个晶系最大的不同是三方/六方晶系的晶轴有四根，即一根竖直轴（z轴）三根水平横轴（x、y、u轴）。
竖轴与三根横轴的交角皆为90度垂直，三根横轴间的夹角为120度（六方晶系为60度，也可说成三横轴前端交角120度。
布拉维格子的名词解释
布拉维格子的名词解释布拉维格子是固体中一种特殊的晶体结构，由于其独特的构造和性质，在物理学领域中被广泛研究和应用。
本文将对布拉维格子进行详细的解释和探讨。
布拉维格子的概念最早由瑞士物理学家勃拉维（Bravais）提出，他将晶体结构的排列方式进行了系统地分类和命名。
在布拉维格子中，晶体的原胞（最小重复单位）无限重复堆积而成，形成了整体具有周期性的结构。
布拉维格子的基本单位可以是点、线或面，其分类依据是基元（基本单位）的对称性。
布拉维格子的分类有14种，分别为简单立方格子、面心立方格子、体心立方格子、六方密堆积格子、多面体格子等。
这些不同类型的布拉维格子由于原胞中基元的排列不同，因而具有不同的对称性和性质。
在布拉维格子的研究中，晶格常数是一个重要的参数，它表示了格子中基元之间的距离。
晶格常数决定了布拉维格子的结构和性质，不同的晶格常数对应着不同的晶体特征。
更进一步地，布拉维格子的点阵常数是指晶体中相邻的两个基元之间距离的最小值，它是晶格常数的一个函数。
布拉维格子的性质和应用涵盖了多个领域。
在材料科学中，人们通过研究和改变布拉维格子的结构，可以获得具有特殊功能和性能的材料。
例如，面心立方格子具有良好的可塑性和导电性，因此广泛应用于金属制品的生产中。
而六方密堆积格子被广泛应用于光纤和半导体等领域，其特殊的结构使得其具有优异的机械和光学性能。
在纳米科技领域，布拉维格子也发挥着重要的作用。
纳米颗粒可以通过控制布拉维格子的大小和形状来调控其物理和化学性质。
这对于设计和制造高性能的纳米材料尤为重要，因为纳米尺度的材料往往具有与其宏观尺度不同的独特性质。
不仅如此，布拉维格子还在凝聚态物理、量子力学和电子结构等领域起到了关键作用。
通过对布拉维格子的研究，物理学家们可以深入理解材料的电子结构和输运行为，从而发现新的物理现象和规律。
总而言之，布拉维格子作为晶体结构的基本单位，其独特的结构和对称性赋予了物质一些特殊的性质。
材料化学3空间点阵与布拉维格子
尽管前面一直用一个平行六面 体来描述空间点阵，但是必须 记住的是，空间点阵是一个无
限大的三维空间图形。
三维空间点阵是由一些按照一定 规律排列的几何点 (结点) 所构成的一 个阵列。
在空间点阵中，分布在同一直线上的结点构成一 个行列。很显然，任意两个结点就可以决定一个 行列。行列中两个相邻的结点间的距离称为结点 间距。连接分布在同一平面内的结点即构成一个 面网，而连接分布在三维空间内的结点就构成了 空间点阵。
在从这个结构抽象出 点阵的过程中，把由 这两种原子组成的一 个基元抽象为一个点
如果我们把这个空间点 阵还原为晶体结构的话， 点阵中的每一个结点都 将转换为由两个原子组 成的一个基元。
再来看看六方最紧密堆积的情况
首先，这一结构中所有的圆球都是一样的， 也就是说微粒的种类是一样的。 顶点处的圆球和六面体内的圆球是不等同微 粒：种类虽然相同，但所处环境不同。
对称中心 对称面 旋转轴 倒转轴 (有时也称为象转轴)
❖ 对称中心是一个假想的几何 点，其对应的对称操作是对于 这个点的倒反 (反演)。
❖ 通过对称中心作任意直线， 在此直线上位于对称中心两侧 等距离的两点是性质完全相同 的对应点。
❖ 在晶体中，如果存在有对称 中心，则对称中心肯定位于晶 体的几何中心。
现实生活中的几个对称的例子
吊扇中的叶片以转子中心线为对称轴，三个叶片 之间可以围绕这个对称轴每旋转120重复一次。
对称操作：绕对称轴旋转一定的角度 对称要素：旋转轴
现实生活中的几个对称的例子
对称变换：镜子的反映 (注意这是一个 虚拟操作)
对称要素：镜子构成的对称面
在晶体内部结构中 (以及在相应抽象出来的空间点阵 中) 可能存在的对称要素以及相应可以进行的宏观对 称操作主要有以下几类：
1.2对称性和布拉维格子的分类
见黄昆书30页
20面体的 对称性
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其构成原子的 长程有序，而不是平移对称性，具有 5 次对称性的 准晶体（Quasicrystal）就是属于原子有严格的位置 有序，而无平移对称性的晶体。它的图像可从二维 Penrose拼图中得 到理解。实际是一
种准周期结构，是 介于周期晶体和非 晶玻璃之间的一种 新的物质形态—— 准晶态 。
1.2
对称性和布拉维格子的分类
一. 对称性的概念 二. 晶体中允许的对称操作 三. 晶体宏观对称性的表述：点群 四. 七个晶系和14种晶体点阵 五. 晶体的微观对称性：空间群 六. 点群对称性和晶体的物理性质
除去晶体点阵外，晶体的结构还能够用什么样 的语言方便地描述?
一.对称性的概念：
一个物体（或图形）具有对称性，是指该物 体（或图形）是由两个或两个以上的部分组成， 经过一定的空间操作（线性变换），各部分调换 位置之后整个物体（或图形）保持不变的性质。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对 称操作。即：操作前后物体任意两点间的距离保 持不变的操作。 点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动 的操作。有限大小的物体，只能有点对称操作。 对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。
其中 Aij 为正交矩阵 从解析几何知道，符合正交 变换的是：绕固定轴的转动 (Rotation about an axis) 绕 z 轴旋转θ 角
a11 s r Ai j a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
sin cos 0 0 0 1
通过仔细分析可知正四面体允许的对称操作只有 24个；正六角拄的对称操作也只有24个，它们都没有 立方体的对称性高。
晶体结构(2)
NaCl型离子晶体:
所属晶系: 立方; 点阵: 立方F; 结构基元及每个晶胞中结构基元 的数目: NaCl, 4个; Na和Cl离子的配位数都是6；
离子的分数坐标:
1 1 1 1 1 1 A为(0,0,0), ( , ,0), ( ,0, ), (0, , ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 B为( , , ), ( ,0,0), (0, ,0), (0,0, ) 2 2 2 2 2 2
称元素是4个3重旋转轴, 六方晶胞的特征对
称元素是1个6重旋转轴等。
根据特征对称元素及数目的不同，可将
晶胞分为7类，正好对应着7类不同的形状, 也就是7个晶系。见下图。
a a a
a a a
c
c a a
120o
a
a
立方
三方
六方
四方
c
c
a
c b
a b
b
a
正交
单斜
三斜
这7个晶系分为3个晶族，即高级晶族，指立 方晶系；中级晶系，包括六方、四方和三方3个 晶系；低级晶系，包括正交、单斜和三斜3个晶 系。 立方晶系有立方简单点阵P (立方P ) 、立方 体心点阵I (立方I ) 、立方面心点阵F (立方F );四 方晶系只有四方简单点阵P (四方P ) 、四方体心 点阵I (四方I ); 正交晶系有正交P 、正交I 、正交 F 、正交C (或侧心A和B); 单斜晶系有单斜P 、 单斜C ; 三方、六方、三斜都只有素格子。
平面正当格子 空间正当格子
(2)正当格子: 按选择的向量可将平面点阵划分成平面格子。 如果在划分平面格子时, 根据尽量使①平面格子 对称性高;②含点阵点少。这样得到格子称为正 当单位(或格子)。平面正当格子只有四种形状五 种形式, 即正方形格子、矩形格子、矩形带心格 子、六方格子和平行四边形格子。如下图：
布拉维格子
定义
晶体的基本性质和外形规律特征的根本原因在于它内部的空间格子构造，在理想晶体中，其内部质点均按照格子构造规律排列。
平行六面体是空间格子的最小单位，整个晶体结构可视为平行六面体（即晶胞）在三维空间平行的、毫无间隙的重复堆砌而成。
晶体的空间格子可分为以下四种类型
1、原始格子（P）：结点分布于平行六面体的八个角顶上。
2、底心格子：结点分布于平行六面体的角顶及某一对面的中心。
其中又可细分为三种类型：
①、C心格子（C）：结点分布于平行六面体的角顶和平行（001）一对平面的中心；
②、A心格子（A）：结点分布于平行六面体的角顶和平行（100）一对平面的中心；
③、B心格子（B）：结点分布于平行六面体的角顶和平行（010）一对平面的中心。
一般情况下所谓底心格子即为C心格子，对A心或B心格子，能转换成C心格子时，应尽可能地予以转换。
3、体心格子（I）：结点分布于平行六面体的角顶和体中心。
4、面心格子（F）：结点分布于平行六面体的角顶和三对面的中心。
十四格子
按晶系的不同，空间格子具以下十四种类别：
晶系原始格子（P）底心格子（C）体心格子（I）面心格子（F）
三斜三斜原始C=I I=F
F=P
单斜单斜原始单斜底心I=F
F=C
斜方斜方原始斜方底心斜方体心
斜方面心
四方四方原始C=P四方体心
F=I
三方三方原始与本晶系对称不符I=F
F=P
六方六方原始与本晶系对称不符与空间格子的条件不符与空间格子的条件不符
等轴等轴原始与本晶系对称不符等轴体心等轴面心。
布拉维晶格在三维平面上的七大晶系14种晶格
布拉维晶格在三维平面上有七大晶系，14种晶格分别为三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、四方晶系、立方晶系、三方晶系、六角晶系。
依照简单、体心、面心及底心一、等轴晶系（立方晶系）等轴晶系的三个轴长度一样，且相互垂直，对称性最强。
这个晶系的晶体通俗地说就是方块状、几何球状，从不同的角度看高低宽窄差不多。
如正方体、八面体、四面体、菱形十二面体等，它们的相对晶面和相邻晶面都相似，这种晶体的横截面和竖截面一样。
此晶系的矿物有黄铁矿、萤石、闪锌矿、石榴石，方铅矿等。
请看这种晶系的几种常见晶体的理论形态：等轴晶系的三个晶轴(x轴y轴z轴)一样长,互相垂直常见的等轴晶系的晶体模型图等轴晶系的各种宝石金刚石晶体翠榴石黄铁矿萤石八面体和立方体的聚形的方铅矿二、四方晶系四方晶系的三个晶轴相互垂直，其中两个水平轴（x轴、y轴）长度一样，但z轴的长度可长可短。
通俗地说，四方晶系的晶体大都是四棱的柱状体，（晶体横截面为正方形，但有时四个角会发育成小柱面，称“复四方”），有的是长柱体，有的是短柱体。
再，四方晶系四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都一样，但和顶端不对称（不同形）；所有主晶面交角都是九十度交角。
请看模型图：四方晶系的晶体如果z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（x、y）发育大于竖轴z轴，那么该晶体就是四方板状常见的一些四方晶系的晶体模型符山石的晶体锡石的长柱状晶体（顶端另有斜生的小晶体）。
请注意看柱体的棱角发育成窄小晶面，此种晶体又叫“复四方”——四个主柱面，四个小柱面这是短柱状锆石，柱体几乎不发育。
象个四方双锥体或假八面体三、三方晶系和六方晶系三方晶系和六方晶系有许多相似之处，一些矿物专著和科普书刊往往将二者合并在一起，或干脆就称晶体有六大晶系。
与前面讲的五个晶系最大的不同是三方/六方晶系的晶轴有四根，即一根竖直轴（z轴）三根水平横轴（x、y、u轴）。
竖轴与三根横轴的交角皆为90度垂直，三根横轴间的夹角为120度（六方晶系为60度，也可说成三横轴前端交角120度。
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图2-5
常见配位多面体示意图
（a）三角体
（b）四面体
（c）八面体 （d）立方体
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空隙结论
• 有n个等径球体作六方紧密堆积，必定有 n个八面体空隙、2n个四面体空隙； • 六方和面心立方紧密堆积有同样的结论 。 • 空隙率：
• 六方和面心立方紧密堆堆积的空隙率相 同，均为25.95%。 • 每个球体同时与12个球体直接相邻。
法国学者A.布拉菲根据晶体结构的最高 点群对称和平移群（所有平移轴的组合） 对称及以上原则，将所有晶体结构的空间 点阵划分成十四种类型的空间格子，称14 种空间格子或布拉菲格子
简单三斜
C=P I=P
简单单斜
I=C
F=C
底心单斜
F=P
简单正交
底心正交
体心正交
面心正交
简单六方
C、I、F 不符六 方对称
三方：I=P
P代表原始格子，三方菱面体格子用专门的符号R表示，I表示体心格子，C代表底心 格子，F代表面心格子。
三方：F=P
P代表原始格子，三方菱面体格子用专门的符号R表示，I表示体心格 子，C代表底心格子，F代表面心格子。
2. 球体紧密堆积
• 原子和离子都具有一定的有效半径，可 以看作是具有一定大小的球体。金属晶 体和离子晶体中的金属键和离子键没有 方向性和饱和性，因此金属原子之间或 离子之间的相互结合，在形式上可看成 是球体间的相互堆积。由于晶体具有最 小的内能性，原子和离子相互结合时， 彼此间的引力和斥力达到平衡状态，相 当于方最紧密堆积（Cubic closest packing， 缩写为CCP），最紧密排列层平行于 {0001}，可以用ABABAB……顺序来表 示（图2-3-2）。另一种是立方最紧密堆 积（Hexagonal closest packing，缩写为 HCP），最紧密排列层平行于{111}，可 以用ABCABCABC……顺序来表示（图 2-3-3）。自然铜、自然金、自然铂等矿 物的晶体结构属立方最紧密堆积方式， 而锇铱矿以及金属锌等晶体的结构属六 方最紧密堆积方式。
2.3 14种布拉维格子和球体 紧密堆积
2.3.1 实验目的
• 加深对14种布拉维格子和球体紧密堆积 原理的理解。
2.3.2 基本原理
1. 布拉维格子 只在单位平行六面体的八个角顶上分布有 结点的空间格子，称为原始格子 （Primitive lattice,符号P），在单位平行 六面体的体中心还有一个结点时，则构 成体心格子（Body-centered lattice，符 号I）。
2.3.4 思考题
• 1. 什么是布拉维格子？试指出14种布拉 维格子的特征。 • 2. 等大球体的紧密堆积有几种形式？并 指出相应的空隙情况。
2.3.3 实验内容
• 1.制作14种布拉维格子并认识其特征。 • 2.观察等大球体紧密堆积模型，搞清其配 位关系及其中的八面体和四面体两种空 隙的分布，找出面心立方紧密堆积的 ABCABC……密堆方向及紧密堆积的 ABAB……密堆方向。
• 3.动手试制面心立方密堆、六方密堆的模 型，并制作四面体空隙和八面体空隙， 以及认识球数与空隙的关系。 • 4.用大小不等的球练习制作不等大球体的 密堆，了解大球的堆积方式和小球的填 充形式。
单斜：I=C
P代表原始格子，三方菱面体格子用专门的符号R表示，I表示体心格子，C代表底心 格子，F代表面心格子。
四方：C=P
P代表原始格子，三方菱面体格子用专门的符号R表示，I表示体心格子，C代表底心 格子，F代表面心格子。
四方：F=I
P代表原始格子，三方菱面体格子用专门的符号R表示，I表示体心格子，C代表底心 格子，F代表面心格子。
• 如果在某一对面的中心各有一个结点时， 称为单面心格子（One-face-centered lattice），(001)面上有心的格子为底心格 子或称C心格子（End-centered lattice, Base-centered lattice or C-centered lattice，符号C），当(100)面或(010)面上 有心时，分别称为A心格子(A-centered lattice，符号A)和B心格子（B-centered lattice，符号B）。如果在所有三对面的 中心都有结点时，称为面心格子或全面 心格子（Face-centered lattice or Allface-centered lattice，符号F）。
符合对称特点和选择原则的格子共有7 种类型，共计14种不同型式的空间格子， 即通常所称的十四种布拉维格子（the fourteen Bravais space lattices），如图2-31所示。布拉维格子是空间格子的基本组成 单位，只要知道了格子形式和单位平行六 面体参数后，就能够确定整个空间格子的 一切特征。
在等大球体的最紧密堆积中，球体间 的空隙视空隙周围球体的分布情况有两种： 四面体空隙（Tetrahedral void）和八面体 空隙（Octahedral void）。
晶胞
任何晶体都对应一种布拉菲格子 ，因此任何晶体都可划分出与此种布 拉菲格子平行六面体相对应的部分， 这一部分晶体就称为晶胞。 晶胞是能够反映晶体结构特征的最小 单位。 由一组具体的晶胞参数 —晶体常数来 表征（ a 、 b 、 c ， α(b∧c) 、 β(a∧c) 、 γ(a∧b)）， 例如：NaCl晶体的晶胞，对应的是立 方 面 心 格 子 ， a=b=c=0.5628nm ， α=β=γ=90°。许许多多该晶胞在三维 空间无间隙的排列就构成了 NaCl晶体 。
三方菱面体
C:与本晶系 对称不符
I=P F=P
简单四方
C=P
体心四方
F=I
简单立方
体心立方
C：与本晶系对称不符
面心立方
三斜：F=P
P代表原始格子，三方菱面体格子用专门的符号R表示，I表示体心格子，C代表底心 格子，F代表面心格子。
单斜：C=P
P代表原始格子，三方菱面体格子用专门的符号R表示，I表示体心格子，C代表底心 格子，F代表面心格子。