矩阵的性质证明及其应用
伴随矩阵的性质证明及其应用
摘 要
伴随矩阵拥有了原矩阵的很多性质，伴随矩阵在大学数学、高等代数、线性代数当中都具有着重要的作用，伴随矩阵是用于解决代数学中的一个十分重要的工具，并且在解决矩阵问题中也具有十分重要的地位，在这篇文章中对n阶方阵的伴随矩阵的部分相关性质进行了进一步的讨论，并且给出了相关的证明，最后，通过实例详细探讨了伴随矩阵及性质的应用，体现了伴随矩阵及性质在若干数学问题求解中的重要性和应用的广泛性.
关键词：伴随矩阵；性质；证明；应用
?
Proof of the properties of the adjoint matrix and its application
Abstract:The adjoint matrix possesses many properties of the original matrix. The adjoint matrix plays an important role in university mathematics, higher algebra and linear algebra. The adjoint matrix is a very important tool for solving algebra and solves the matrix problem. It also has a very important position. In this paper, the partial correlation properties of the adjoint matrix of n-order square matrix are further discussed, and relevant proofs are given. Finally, the adjoint matrix and properties are discussed in detail through examples.The application of the adjoint matrix and its properties in the solution of several mathematical problems and the breadth of its application.
Key words: adjoint matrix; property; proof; application
1 引言
阶方阵的伴随矩阵在矩阵的运算中起着十分重要的作用，目前，在历年的研究生考试当中，对于一些考生来说高等代数这门课程的成绩常常关系着考研的成功与否，而矩阵在高等代数中又占有重要地位，伴随矩阵是解决矩阵问题的一个十分重要的工具，更是缺少不了，之前在高等代数中我们已经学习了矩阵的相关性质，对于矩阵的这些性质，它是否也能运用到伴随矩阵当中来，伴随矩阵是否还具有它自身的一些性质呢，并且那些性质是否能够得到运用呢，在本文中将探讨伴随矩阵自身的一些性质以及运用.
2 文献综述
2.1 国内研究现状
伴随矩阵是用于解决代数学中的一个十分重要的工具，伴随矩阵在解决矩阵问题中也是具有十分重要的地位，正因为它的重要性，历年来，国人对其进行了颇多的研究，并且还得出了很多重要的成果，比如：宝鸡文理学院数学系教授杨闻起在学术论文中讨论了伴随矩阵在正定、半正定、对称、反对称、正交和相似以及特征值等方面中的性质，并且王航平根据伴随矩阵的定义以及部分的性质，讨论了伴随矩阵在运算上面的性质，特别是研究了乘积矩阵中伴随矩阵的性质，并且还提出了自伴随矩阵的定义和它的性质，归纳出来伴随矩阵拥有的较强的继承性，郑茂玉探讨了原矩阵和伴随矩
阵之间具有的关系，提出了部分伴随矩阵的性质，并且将伴随矩阵推广到了 重，还有我国徐淳宇研究了伴随矩阵 重的定义以及相关性质，并且取得了一定的成果，我国贾关娥也在文献中定义了 阶伴随矩阵，而且初步研究了它的相关性质，我国还有许多文献都探讨了伴随矩阵的相关性质.
2.2 国内研究现状的评价
现今，国内外对于伴随矩阵的性质以及应用研究颇多，但是在针对伴随矩阵的本身的一些定义以及性质还不够全面，我们还可以在伴随矩阵和原矩阵之间拥有的关系，以及伴随矩阵本身具有的一些性质以及应用这部分问题进行研究探讨.
2.3 提出的问题
伴随矩阵是矩阵解决矩阵问题的一个重要的工具，在高等代数中我们已经知道矩阵本身拥有众多的性质，对于伴随矩阵来说，它是否能够具有矩阵的所有性质以及应用还可以进行进一步的研究，本文在针对伴随矩阵自身的性质以及应用展开了进一步的讨论.
3 伴随矩阵的性质及证明
3.1 伴随矩阵的性质
性质1： ，（ 是 阶单位矩阵）.
性质2：
性质3：设 为 阶矩阵，则有 .
性质4：设 是 阶矩阵,则有 .
性质5： 可逆，当且仅当 可逆，如果 可逆，则 .
性质6： ,其中 都是 阶可逆矩阵 .
性质7：设 为常数， .
性质8：若 是正定的，则 也是正定的.
性质9：假设 可逆，则 .
3.2 伴随矩阵性质的证明
定理： 阶矩阵 是可逆的充分必要条件为 是非退化，即 ,并且有
.
推论： 是 阶单位矩阵.
性质1： ，（ 是 阶单位矩阵） .
性质2： .
证明：假设 ，那么我们可以求得 ，
所以我们可以有
又因为 ,所以我们可以得到 ,
所以我们可以得到 .
性质3：设 为 阶矩阵，则有
证明：①当 时，换句话说也就是 中含有 阶非零子式 ，并且 中有非零元素存在，从而 ，根据定理可以得到 ，也就是 ，
∴有 ，
根据 可得 ,
②当 时，这时 阶矩阵 中含有的所有 阶子式全部等于 ，也就是 是零矩阵，故 .
③当 时，矩阵 是可逆的，根据定理，我们可得到 ，也就可得到 .
注：
性质4：设 是 阶矩阵,则有 .
证明：因为 是可逆的，所以 ，因此我们根据性质1有 ,所以 ,
所以有
.
性质5： 可逆，当且仅当 可逆，如果 可逆，则
.
证明：由定理我们可得 ，从而有 ,
又因为 可逆，所以 ,
又因为 ,即变形可得
,
所以有 ? ①
同理：根据 阶矩阵与伴随矩阵 的关系，
我们可以得到
,且 ,
所以
在左右两边同时乘 有
所以有 ②
因为①为 ②为
所以①=②即 .
性质6： ,其中 都是 阶可逆矩阵.
证明：根据 都是 阶的可逆矩阵,
所以有 ，可变形为
,
根据若 可逆，则 ,
所以有
所以可以证
明出 .
性质7：设 为常数， .
证明：根据已有的公式 ，
我们可以有 ,
所以我们可以得到
既有 .
性质8：若 是正定的，则 也是正定的.
性质9：假设 可逆，则
证明：根据题意我们可以得到,
因为 可逆，所以有 ,
根据公式 ，所以有 ,
同理 ,
又因为
所以可得
所以有
4 伴随矩阵的相关应用
4.1 根据伴随矩阵推导原矩阵
例1 假设有矩阵 ，且矩阵 的伴随矩阵 ，求矩阵 .
分析：在矩阵中，我们可以根据矩阵的定义来推导出矩阵的伴随矩阵，但是在本题当中，如果我们利用伴随矩阵来反推出原矩阵，这种方法较为复杂，并且容易出错，所以在此题中，我们利用相应的公式来推导出原矩阵.
解 因为 ,所以我们根据伴随矩阵的性质 ，
此时 ，所以 ，
，
我们又根据 ，对矩阵进行行的初等变换有
，
即原矩阵 .
例2 假设有矩阵 ，并且已知它的伴随矩阵 ，并且 ，求出矩阵 .
解 根据题目条件 ，
我们可以得到
，
所以有 是可逆的，所以有
又因为 ，而 ,
所以可以得到 ，所以有
所以矩阵 .
4.2 根据伴随矩阵求逆矩阵
例3 设有矩阵 ，且 ,求 .
解 根据矩阵的性质 , ，
所以我们可以得到
.
例4 已知一个矩阵的逆矩阵，且矩阵的逆矩阵 ，求出它的伴随矩阵 ，且它的逆矩阵 .
解 根据公式 ，所以有
,
根据题意我们可以得到 ，
.
4.3 伴随矩阵的秩的相关题型
例5 设有4阶方阵 ，并且它的秩等于2，求出伴随矩阵 的秩为多少.
分析：在此题中我们有两种解题方式，第一种直接利用伴随矩阵的基本性质 来解决，第二种，我们根据题意可知 ，有 的所有的三阶子式都全部为零，所以 ，所以 .
解 由题意可知 ，
根据公式 中 ，
所以可得 .
4.4 伴随矩阵的性质的应用
例6设有三阶矩阵 ，并且 是三阶矩阵的伴随矩阵，已知 ，那么求式子 的值.
解 根据伴随矩阵的性质
,
所以我们可以得到
.
例7 设有矩阵 ，并且矩阵 满足式子 ，求出矩阵 .
解 根据题意，因为 ,所以在式子的两边同时乘以 ,所以有
，
所以可得
，
又因为
所以可以求得
例8 设有 阶矩阵 ，并且 是可逆矩阵， 对应的伴随矩阵分别是 ，有分块矩阵 ，请证明式子 .
证明如下：由于
所以 .
例9 设有三阶矩阵 ，已知 ，求 .
分析：本题可有两种解题方法：第一种，我们将其化为 的形式来进行计算，第二种，我们将它化为 的形式来进行计算，为了更好的体现伴随矩阵的性质，我采用化为 的形式来进行计算.
解 我们利用公式
， ，
所以可以有
.
例10 设有4阶方阵 ，已知它的伴随矩阵的行列式 ，求
解 我们根据伴随矩阵的性
质 ,可得
，所以 ，
再结合伴随矩阵的相关定理 ,可以得到
,
所以, .
例11 已知方阵 ，且方阵 ，求它的逆矩阵 .
解 由题意我们可以得到 ，所以可以判断 存在,
又因为
, , ,
, , ,
, , ,
所以可求得
,
.
5 总结
5.1 主要发现
本文通过分析伴随矩阵的一些性质及其在各方面的应用，比如：已知伴随矩阵求原矩阵、伴随矩阵秩的相关应用、根据伴随矩阵求逆矩阵等,以及部分伴随矩阵性质的证明，对伴随矩阵的性质以及各方面的应用进行了探讨，拓展了伴随矩阵在代数学中的应用，使得学生在遇到有关伴随矩阵的问题时不至于手足无措，从而更加体现了伴随矩阵在数学问题中的重要性.
5.2 启示
本文通过探讨伴随矩阵的相关性质以及应用，更加说明了伴随矩阵在数学研究中占有非常重要的地位,如果我们可以将伴随矩阵更多的运用于高等数学中矩阵问题，以及在线性代数中运用的更加广泛，那么将更到的扩展伴随矩阵的运用范围，使得其对于我们的数学研究更加有利.
5.3 局限性
对于伴随矩阵相关的性质以及性质的应用，在高等代数中只是浅谈，以至于许多伴随矩阵的相关问题未能得到解决，本文针对伴随矩阵的相关性质进行了扩展，并且进行了相应的应用，但是伴随矩阵的性质还有许多未能得到很好的应用，伴随矩阵在矩阵问题中作为一个重要的工具出现，使得矩阵问题能够更加快速的解决，但是有关伴随矩阵自身的一些性质以及其应用还是比较缺乏，还需要去更深入的研究发现.
5.4 努力方向
本文在已有的知识水平上对伴随矩阵的性质及其应用进行了一定的讨论，例如：运用伴随矩阵来推导原矩阵、利用伴随矩阵来进行矩阵的求逆、求伴随矩阵逆、伴随矩阵它的一些性质的直接运用等，但是，伴随矩阵它的性质的运用还有一定的局限性，有一部分领域中还未涉及到伴随矩阵它的性质的应用，还无法对它的应用进行推广，还不能合理的运用伴随矩阵的一些性质使得运算进行的更加简便，对于这些问题，都还需要今后不断的努力，从而获取更有用的成果.