矩阵的性质证明及其应用
初等矩阵及其性质
证明二：初等矩阵不改变向量间的线性关系
要点一
总结词
要点二
详细描述
初等矩阵不会改变向量间的线性关系，即对于任意向量组 ，经过初等变换后，向量间的线性关系不变。
初等矩阵由单位矩阵通过行变换或列变换得到，这些变换 都不会改变向量间的线性关系。因此，对于任意向量组， 经过初等变换后，向量间的线性关系不变。
证明三：初等矩阵的行列式值不为零
总结词
初等矩阵的行列式值不为零，即对于任意一 个初等矩阵，其行列式值不为零。
详细描述
初等矩阵由单位矩阵通过行变换或列变换得 到，这些变换都不会改变矩阵的行列式值。 因此，对于任意一个初等矩阵，其行列式值
用
矩阵的逆
通过初等矩阵的变换，可以求得一个可逆矩阵的逆矩阵，从而进行矩阵运算。
线性变换
在研究线性变换时，可以利用初等矩阵的变换，将线性变换表示为矩阵的形式，便于分析和理解。
04
初等矩阵的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
通过初等矩阵的行变换，将线性方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵，从而求解线性方程 组。
证明一：初等矩阵是可逆的
总结词
详细描述
初等矩阵是可逆矩阵，即存在一个可逆矩阵， 使得初等矩阵与单位矩阵通过一系列的行变 换或列变换相互转化。
初等矩阵由单位矩阵通过互换两行或两列、 将某一行或某一列乘以非零常数以及将某一 行或某一列乘以另一行或另一列的非零倍数 得到。由于这些变换都是可逆的，因此初等 矩阵也是可逆的。
实例三：求矩阵的逆矩阵
总结词
利用初等矩阵的行变换性质，通过行变 换将可逆矩阵化为单位矩阵，从而求出 其逆矩阵。
VS
详细描述
对于可逆矩阵，可以通过初等矩阵的行变 换将其化为单位矩阵。在行变换过程中， 原矩阵左边的矩阵即为所求的逆矩阵。这 种方法称为高斯消元法，适用于求解可逆 矩阵的逆矩阵。
正定矩阵证明题
正定矩阵证明题摘要：一、正定矩阵的定义和性质1.正定矩阵的定义2.正定矩阵的性质二、正定矩阵的证明方法1.行列式方法2.二次型方法三、正定矩阵的应用1.最小二乘问题2.线性回归问题四、结论正文：正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
本文将从正定矩阵的定义和性质出发，介绍正定矩阵的证明方法，并探讨正定矩阵在最小二乘问题和线性回归问题中的应用。
一、正定矩阵的定义和性质1.正定矩阵的定义设A 是一个n 阶方阵，如果对于任意非零向量x，都有x^T * A *x >= 0，那么我们就称A 为正定矩阵。
其中，x^T 表示x 的转置。
2.正定矩阵的性质正定矩阵有以下几个重要的性质：（1）正定矩阵的行列式大于0。
（2）正定矩阵的每一个特征值都大于0。
（3）正定矩阵的逆矩阵是正定矩阵。
（4）正定矩阵的转置是正定矩阵。
二、正定矩阵的证明方法1.行列式方法根据正定矩阵的定义，我们可以得到：对于任意非零向量x，都有x^T * A * x >= 0。
如果我们取x 为单位向量，那么这个不等式就变成了x^T * A * x >= 1。
这时，我们可以用行列式的性质来证明A 是正定的。
2.二次型方法正定矩阵的另一个重要性质是它的每一个特征值都大于0。
我们可以通过二次型来证明这个性质。
设A 的特征值是λ，那么我们有(A - λI) * x = 0，其中I 是单位矩阵。
将x 表示成x = (A - λI)^-1 * b，其中b 是非零向量，那么我们可以得到λ = b^T * A * b / b^T * b。
由于b 是非零向量，所以b^T * b > 0，因此λ > 0。
三、正定矩阵的应用1.最小二乘问题在线性代数中，最小二乘问题是一个重要的研究领域。
正定矩阵在最小二乘问题中有着广泛的应用。
设y = Ax + e，其中y 是观测值，x 是待求解的参数，e 是误差向量。
如果A 是正定的，那么我们可以用最小二乘法来求解x。
正定矩阵和半正定矩阵的性质及应用
摘要本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用.关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值ABSTRACTThis paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given.Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value目录第1章正定矩阵和半正定矩阵的定义及性质 (1)1.1. 相关概念 (1)1.2. 正定矩阵和半正定矩阵的等价命题 (2)1.2.1. 正定矩阵的等价命题 (2)1.2.2 半正定矩阵的等价命题 (6)1.3. 正定矩阵和半正定矩阵的性质 (8)1.3.1. 正定矩阵的性质 (8)1.3.2. 半正定矩阵的性质 (13)第2章正定矩阵和半正定矩阵的判定方法 (15)2.1. 定义法 (15)2.2. 主子式法 (15)2.4. 与单位矩阵E合同法 (18)第3章定矩阵和半正定矩阵的应用 (20)3.1. 在不等式问题中的应用 (20)3.2. 在多元函数极值问题中的应用 (21)参考文献 (25)致谢 (26)第1章 正定矩阵和半正定矩阵的定义及性质1.1. 相关概念定义1[1] 设a ij (i =1，2，⋯，n ，i ≤j)都是实常数，则关于n 个实变量x 1，x 2，⋯，x n 的二次齐次多项式函数f(x 1，x 2，⋯，x n )=a 11x 12+a 22x 22+⋯+a nn x n 2+2a 12x 1x 2+2a 12x 1x 3+⋯+2a n−1，n x n−1x n ，称为n 元实二次型.[9]定义2[1] 实二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )为正定的，如果对于一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c n 都有f(c 1，c 2，⋯，c n )>0，如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )<0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为负定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≥0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半正定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≤0,那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半负定的.如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么称为不定的.[1]定义3[1] 若实数域上的n 元二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij nj=1ni=1x i x j =X T AX是正定（半正定）二次型，则A 被称为正定（半正定）矩阵，其中A =(a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋮⋮⋱⋮a n1a n2⋯a nn )，X =(x 1x 2⋮x n) 定义4[1] 子式|a 11a 12⋯a 1i a 21a 22⋯a 2i ⋮⋮⋱⋮a i1a i2⋯a ii|，，，，，，，，，0)00()(11121>==∑∑==ki kj k j i ij k k c c f c c a c c c f 称为矩阵A =(a ij )的i 阶顺序主子式i =1，2，⋯，n.1.2. 正定矩阵和半正定矩阵的等价命题1.2.1.正定矩阵的等价命题定理1[9] A 是n 阶实对称矩阵，则下列叙述等价： (1) A 是正定矩阵.(2) A 的所有顺序主子式全大于零. (3) A 的特征值全大于零. (4) 存在正定矩阵B ，使得A =B 2. (5) A 合同于E .(6) A 的一切主子式全大于零. (7) A 的一切主子矩阵都是正定矩阵.(8) 对任意的实列满秩矩阵C n×m ,都有C T AC 为正定矩阵.(9) 任意实可逆矩阵T ,都有T T AT 为正定矩阵. (10) 存在秩为n 的m ×n 实矩阵C 使A =C T C . (11) A =P T P ，P 是n 阶可逆矩阵.(12) A =R T R ，R 是n 阶主对角元素全大于零的上三角形矩阵.A =U T U ，U 是n 阶主对角元素全大于零的下三角形矩阵.[9]证明(1)⇒(2)设二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i nj=1n i=1x j 是正定的.对于每个k ，1≤k ≤n ，设f k =(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i n j=1n i=1x j以下证明f k 是一个正定二次型，对于任意一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c k ，有)13(因此f k(x1，x2，⋯，x n)是正定的.由性质1可得，f k所对应的矩阵行列式|a11⋯a1n ⋮⋱⋮a k1⋯a kk|>0，k=1，2，⋯，n.从而A的各阶顺序主子式都大于零.(1)⇒(3)用反证法，若A的特征根λ1，λ2，⋯，λn不都大于零.不妨设λ1≤0，取A的属于λi的单位特征向量β≠0，就有βT Aβ=λ1≤0，这与A为正定矩阵相矛盾，所以A的特征值全大于零。
正定矩阵的性质及其应用_____
正定矩阵的性质及其应用姓名： 学号： 指导教师：摘 要；矩阵是数学中的一个重要基本概念，是代数学中的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类特殊的矩阵，固然有它与其它矩阵不同的性质和应用。
本文主要是给出了正定矩阵的若干等价条件，对正定矩阵的一些重要性质进行了归纳整合并给出部分性质的证明过程，最后给出了正定矩阵在不等式证明问题、多元函数极值问题、最优化的凸规划问题以及解线性方程组问题中的应用。
关键词：矩阵；正定矩阵；性质；应用The Properties of Positive Definite Matrix and Its Applications Abstract:Matrix is one of the important basic concepts and it is one of the main research object in math . Positive definite matrix is a kind of special matrix, no doubt it has its properties and applications different from other matrix. This paper states some equivalent conditions on how to determine a positive definite matrix, integrates some important properties, then puts forward several applications of the positive definite matrices on inequation problems, multiple function extreme problems, the optimization of convex programming problem and solving linear equations.Key Words: matrix; positive definite matrix; property; application1. 引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具实用价值、应用广泛的数学理论。
正定矩阵及其应用
正定矩阵及其应用一、简介正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、判定方法以及应用等方面进行详细介绍。
二、定义正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有x^T Ax > 0，其中A为n阶实对称矩阵，x为n维列向量，x^T为x的转置。
三、性质1. 正定矩阵的特征值均大于0。
2. 正定矩阵的行列式大于0。
3. 正定矩阵是可逆矩阵，且其逆仍然是正定矩阵。
4. 正定矩阵可以进行Cholesky分解。
四、判定方法1. Sylvester判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的各个主子式均大于0时，A为正定矩阵。
2. 特征值判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的所有特征值均大于0时，A为正定矩阵。
3. 等价判据：对于n维向量b和n*n实对称矩阵A，当且仅当对于任意非零向量x，都有b^T x > 0和x^T Ax > 0时，A为正定矩阵。
五、应用1. 矩阵分解：正定矩阵可以进行Cholesky分解，即将正定矩阵表示为一个下三角矩阵和其转置的乘积。
这种分解可以用于求解线性方程组、矩阵求逆以及随机向量生成等问题。
2. 优化问题：正定矩阵可以用于求解最小二乘问题、线性规划问题以及二次规划问题等。
其中，最小二乘问题可以通过正定矩阵的Cholesky分解来求解。
3. 特征值计算：正定矩阵的特征值均大于0，因此可以用于计算特征值和特征向量。
在信号处理、图像处理以及物理学中都有广泛应用。
4. 概率论：正定矩阵在多元高斯分布中具有重要作用。
多元高斯分布的协方差矩阵是一个正定矩阵，它描述了不同变量之间的相关性和方差。
六、总结本文介绍了正定矩阵的定义、性质、判定方法以及应用等方面。
正定矩阵在数学和工程领域中都有广泛的应用，特别是在矩阵分解、优化问题、特征值计算以及概率论等方面具有重要作用。
矩阵的性质与运算
矩阵的性质与运算矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从矩阵的基本性质入手，探讨矩阵的运算规则及其应用。
一、矩阵的基本性质矩阵是由数个数按照一定规则排列成的二维数组。
我们一般用大写字母表示矩阵，比如A、B等，矩阵的元素用小写字母表示，如a11、a12等。
1. 矩阵的阶：一个矩阵A有m行n列，我们称其为m×n阶矩阵，记作A(m,n)。
2. 矩阵的相等：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等，即A(i,j) = B(i,j)。
3. 矩阵的转置：将矩阵A的行与列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
其中转置矩阵的元素满足(A^T)(i,j) = A(j,i)。
二、矩阵的运算规则矩阵的运算包括矩阵的加法、减法和数乘运算。
下面我们将详细介绍这些运算。
1. 矩阵的加法：若矩阵A和B的阶数相同，即A(m,n)和B(m,n)，则定义矩阵的加法为A+B = (a(i,j) + b(i,j))。
其中加法满足交换律和结合律。
2. 矩阵的减法：与矩阵的加法相对应，矩阵的减法定义为A-B = (a(i,j) - b(i,j))。
同样地，减法也满足交换律和结合律。
3. 矩阵的数乘：若矩阵A有m行n列，k是一个实数，我们可以定义矩阵A的数乘kA为kA = (k * a(i,j))。
数乘也满足结合律和分配律。
4. 矩阵的乘法：若矩阵A是一个m×n阶矩阵，矩阵B是一个n×p 阶矩阵，则定义矩阵的乘法为C = AB，其中C是一个m×p阶矩阵，C 的元素满足C(i,j) = Σa(i,k)b(k,j)。
三、矩阵运算的应用矩阵的运算在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们通过几个具体的例子来说明矩阵运算的应用。
1. 线性方程组的求解：对于一个m个方程、n个未知数的线性方程组，可以用矩阵的表示形式AX = B来求解，其中A是一个m×n阶系数矩阵，X是一个n×1阶未知数矩阵，B是一个m×1阶列向量。
矩阵的基本性质与变换
矩阵的基本性质与变换矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在各个工程领域和科学研究中都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的基本性质及其在数学变换中的应用。
一、矩阵的基本性质矩阵是由数字排成的矩形阵列，其中的数字称为元素。
矩阵由m行和n列组成，记作m×n的矩阵。
矩阵中的元素通常用小写字母表示，如a、b、c等。
以下是矩阵的一些基本性质：1. 矩阵的加法与减法对于两个相同维度的矩阵A和B，可以进行矩阵的加法和减法运算。
加法运算定义如下：A + B = C，其中C的每个元素等于A与B对应元素之和。
减法运算的定义与加法类似。
2. 矩阵的乘法矩阵乘法是一种矩阵之间的运算。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积记作AB，得到的结果是一个m×p的矩阵C。
C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是指交换矩阵的行与列，得到的新矩阵记作A^T。
即A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
4. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
只有方阵才存在逆矩阵。
二、矩阵的变换矩阵不仅可以进行基本的加法、减法和乘法运算，还可以用来进行各种数学变换，包括线性变换和仿射变换。
1. 线性变换线性变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，线性变换的计算公式为y=Ax。
矩阵A定义了向量x在变换过程中的缩放、旋转和剪切等操作。
2. 仿射变换仿射变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，仿射变换的计算公式为y=Ax+b，其中b是一个常向量。
仿射变换可以进行平移、旋转、缩放和错切等操作。
正定矩阵的性质和判定方法及应用
正定矩阵的性质和判定方法及应用正定矩阵在数学和应用中有着重要的地位和作用。
本文将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及它们在实际应用中的应用。
一、正定矩阵的性质：1.所有的特征值都大于0：对于一个n阶矩阵A，如果其特征值全部大于0，则A是正定矩阵。
2.所有的主子式大于0：对于一个n阶矩阵A，如果它的所有k阶主子式都大于0，则A是正定矩阵。
其中，k为1到n的整数。
3.正定矩阵是满秩矩阵：正定矩阵的秩等于其阶数。
4.正定矩阵的转置也是正定矩阵：如果矩阵A是正定的，则其转置矩阵A^T也是正定的。
5.正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵：如果矩阵A是正定的，则其逆矩阵A^(-1)也是正定的。
二、正定矩阵的判定方法：1.使用特征值判定法：对于一个n阶矩阵A，计算其特征值λ1,λ2,...,λn，如果所有的特征值都大于0，则A是正定矩阵。
2.使用主子式判定法：对于一个n阶矩阵A，计算它的所有k阶主子式，如果所有的主子式都大于0，则A是正定矩阵。
3.使用矩阵的正定性矩阵判定法：一个n阶矩阵A是正定矩阵，当且仅当存在一个n阶可逆矩阵B，使得B^T*A*B是一个对角矩阵，且对角元素都大于0。
三、正定矩阵在应用中的应用：1.优化问题：正定矩阵在最优化问题中起着重要的作用。
例如，梯度下降法求解最小二乘问题中，需要对函数的海森矩阵进行判断是否为正定矩阵。
2.协方差矩阵：在统计学中，协方差矩阵是刻画多维随机变量之间关系的重要工具。
协方差矩阵是对称、半正定的。
3.特征向量的选择：在图像处理和模式识别等领域中，需要对数据进行降维处理，正定矩阵可以用于选择特征向量，帮助提取出最具有代表性的特征。
4.线性代数中的理论证明：正定矩阵在线性代数中有广泛的应用，用于证明各种定理，如线性变换的范数、二次表单的分类等。
总结起来，正定矩阵是一类非常重要的矩阵，在数学和应用中有着广泛的应用。
它具有许多有用的性质和判定方法，可以应用于优化问题、协方差矩阵、特征选择和线性代数等领域。
相似矩阵的性质及应用毕业论文
相似矩阵的性质及应用毕业论文一.相似矩阵的定义定义：设A 、B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得B=1-X AX ，就说A 相似于B ，记做B A ~.二.相似矩阵的重要性质性质1 数域P 上的n 阶方阵的相似关系是一个等价关系.证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E 是可逆矩阵，且A=1-E AE ，故任何方阵A 与A 相似.2〉（对称性） 设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆方阵C ，使得B=1-C AC ，由此可得A=CB 1-C =11)(--C B 1-C ，显然可逆，所以B 与A 相似.3〉（传递性）设A 与B 相似，B 与C 相似，即存在数域P 上的n 阶可逆方阵P 、Q ，使B=1-P AP ，C=1-Q BQ ，则 C=BQ=1-Q 1-P APQ=1)(-PQ A （PQ ），从而A 与C 相似.〈证毕〉 性质2 相似矩阵有相同的行列式.证明：设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得B=1-C AC ，两边取行列式得：｜B ｜=｜1-C AC ｜=｜1-C ｜｜A ｜｜C ｜=｜A ｜｜1-C C ｜=｜A ｜.从而相似矩阵有相同的行列式. 〈证毕〉 下面先介绍两个引理引理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上m ×s 矩阵，于是秩（AB ）≤min[秩（A ），秩（B ）] (1)即乘积的秩不超过各因子的秩.证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB ）≤秩（A ），同时，秩（AB ）≤秩（B ）.现在来分别证明这两个不等式.设A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm n n m m a a a a a a a a a 212222111211，B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ms m m s s b b b b b b b b b212222111211令1B ，2B ，…，m B 表示B 的行向量，1C ，2C ，…n C ，表示AB 行向量.由计算可知，i C 的第j 个分量和m im i i B a B a B a +++ 2211的第j 个分量都等于kj mk ikb a∑=1，因而i C =m im i i B a B a B a +++ 2111 （i=1，2，…n ）.即矩阵AB 的行向量组n C C C ,,,21 可经B 的行向量组线性表出.所以AB 的秩不能超过B 的秩，也即, 秩（AB ）≤秩（B ）.同样，令m A A A ,,21 表示A 的列向量，s D D D ,,21表示AB 的列向量，由计算可知i D =11A b i +22A b i +…+m mi A b （i=1，2，…，s ）.这个式子表明，矩阵AB 的列向量可以经矩阵A 的列向量组表出，前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，秩（AB ）≤秩（A ）. <证毕>引理2:A 是一个s ×n 矩阵,如果P 是个s ×s 可逆矩阵,Q 是n ×n 可逆矩阵,那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）.证明:令 B=PA,由引理1知秩（B ）≤秩（A ）； 但是由A=1-P B,又由秩（A ）≤秩（B ）,所以秩（A ）=秩（B ）=秩（PA ）.同理可证, 秩（A ）=秩（AQ ）.从而, 秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）. 〈证毕〉 性质3 相似矩阵有相同秩.证明:设A,B 相似即存在数域P 上的可逆矩阵C,使得 B=1-C AC , 由引理2可知秩（B ）=秩（1-C AC ）=秩（AC ）=秩（A ）. 〈证毕>性质4 相似矩阵或同时可逆或同时不可逆.证明:设A 与B 相似,由性质3可知B A = .若A 可逆,即0≠A ,从而0≠B 故B 可逆； 若A 不可逆,即0=A ,从而0=B ,故B 不可逆. 〈证毕〉性质5 若A 与B 相似,则n A 相似于n B .(n 为正整数)证明:由于A 与B 相似,即存在数域P 上的可逆矩阵X,使得AX X B 1-=,从而X A X AX X AX X AX X n n 1111----=•••个,即 n A 相似于n B . 〈证毕〉性质6 设A 相似于B,)(x f 为任一多项式,则)(A f 相似于)(B f . 证明:设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 于是Ea B a Ba B a B f E a A a A a A a A f n n nn n n n n 01110111)()(++++=++++=----由于A 相似于B,由性质5可知k A 相似于k B ,(k 为任意正整数) ,即存在可逆矩阵X,使得X A X B K k 1-=,因此)()()(01110111111011111B f Ea B a B a B a E a AX X a X A X a X A X a X E a A a A a A a X X x f X n n nn n n n n n n n n =++++=++++=++++=-----------这就是说)(A f 相似于)(B f . 〈证毕〉性质7 相似矩阵有相同的特征多项式.证明：设A 相似于B ，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得AC C B 1-=， 则AE C C A E C A E CACC EC C AC C C C AC C E B E -=-=-=-=-=-=--------λλλλλλλ1111111由此可见，B 与A 有相同的特征多项式. 〈证毕〉 性质8：相似矩阵有相同的迹.证明：设A 相似于B 。
正定矩阵的性质及应用论文
正定矩阵的性质及应用论文正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。
在本篇论文中，将详细介绍正定矩阵的性质以及其在实际应用中的一些重要应用。
首先，我们来了解一下正定矩阵的定义。
对于一个n阶矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有x^T*A*x > 0，那么这个矩阵就是正定矩阵。
也就是说，正定矩阵对于任意非零向量x，都将其映射到一个大于零的数。
因此，正定矩阵是一个非常重要的概念。
下面，我们来介绍一下正定矩阵的性质。
1. 正定矩阵的特征值都是正数。
这是正定矩阵的一个重要性质，它决定了正定矩阵的行列式大于0。
2. 正定矩阵的行列式大于0。
这是由于根据性质1，正定矩阵的特征值都是正数，因此其行列式大于0。
3. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
这是因为对于任意非零向量x，有x^T*A*x > 0，那么x^T*A^(-1)*x = (A^(-1)*x)^T*A*(A^(-1)*x) > 0。
4. 正定矩阵可以通过Cholesky分解进行分解。
Cholesky分解是将正定矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置的乘积。
5. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
这是因为对于任意非零向量x，有x^T*A*x > 0，那么x^T*A^(-1)*x = (A^(-1)*x)^T*A*(A^(-1)*x) > 0。
现在，让我们来了解一些正定矩阵在实际应用中的一些重要应用。
1. 在数学和物理建模中，正定矩阵常常被用来描述能量、势能、距离等非负量。
例如，在分子动力学模拟中，正定矩阵可以用来描述原子之间的势能，从而模拟分子在空间中的运动。
2. 在机器学习中，正定矩阵也有重要的应用。
在支持向量机（SVM）中，正定矩阵被用来构建二次规划问题的对偶问题，从而实现机器学习模型的训练。
3. 在优化问题中，正定矩阵也经常被用来描述目标函数的二次项。
例如在最小二乘法中，正定矩阵被用来描述模型的误差项，从而求出最优的模型参数。
关于正定矩阵的性质及应用的研究
，得证。
性质3 、 是正定矩阵，则 证明： 、 是正定矩阵，所以
是实对称矩阵。
对任意的 维列向量 ，
，
，其中 ，因 是任意的，所以
也是正定矩阵。
，
，有
学术研讨 135
，
，所以，
也是正定矩阵，得证。
性质4 是正定矩阵，则
、 、 也是正定矩
阵。
证明： 是正定矩阵，故
，，
， 是实对称矩阵。
若 是 的特征值，则 是 的特征值。由
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◇朔州师范高等专科学校 董改芳
关于正定矩阵的性质及应用的研究
2019 年 第 6 期
正定矩阵是高等代数矩阵理论中非常重要的内容，本文给出了正定矩阵的一些性 质和判定方法，并在实例中得到了正定矩阵的一些应用。
二次齐次多项式在数学的其它分支、物理以及力学中常常用到，是一类非常重要的多
项式。二次型是数域上的二次齐次多项式，在讨论二次型时，我们把二次型
采用钛酸四丁酯和四氯化钛为钛源可以将TiO2负载在玄武岩纤维 表面，但结合XRD分析，负载型的TiO2可能呈高度分散状态或 者无定形态存在。
4 结论 本文分别以钛酸四丁酯和四氯化钛为钛源，采用湿法化学 发在玄武岩纤维表面负载一层TiO2，采用X射线衍射仪和金相分 析仪对TiO2的负载情况进行初步的探索。实验结果表明，TiO2在 玄武岩纤维表面负载均匀，并且以无定形或者高分散状态存 在。
【参考文献】 [1] 胡显奇, 申屠年. 连续玄武岩纤维在军工及民用领域的应 用[J]. 高科技纤维与应用, 2005, 30(6): 7-13 [2] 曹海琳, 郎海军, 孟松鹤. 连续玄武岩纤维结构与性能试 验研究[J]. 高科技纤维与应用, 2007, 32(5): 8-13 [3] 姚勇, 徐鹏, 刘静, 等. 国内外玄武岩纤维耐腐蚀性能对比 研究[J]. 合成纤维工业, 2015, 38(5): 9 [4] Sim J, Park C. Characteristics of basalt fiber as a strengthening material for concrete structures[J]. Composites Part B: Engineering, 2005, 36(6): 504-512 [5] 王广健, 尚德库, 胡琳娜, 等. 玄武岩纤维的表面修饰及生 态环境复合过滤材料的制备与性能研究[J]. 复合材料学报, 2004, 21(1): 38-44 [6] 董丽茜, 陈进富, 郭春梅,等. 玄武岩纤维在环保领域的应 用研究现状及展望[J]. 当代化工, 2018(2) [7] 余娟, 周蓉, 邢建民. 耐高温针刺毡脱硝催化剂负载预处 理工艺探讨[J]. 山东纺织科技, 2018, 59(2): 1-5 [8] 耐高温玄武岩覆膜滤料的制备与性能的研究[D]. 浙江理 工大学, 2013 [9] 强降解VOC纳米TiO2光催化剂的制备及机理研究[D]. 华 中科技大学, 2015 基 金 项目：1、国家级大学生创新创业训练计划项目 （201810649050）；2、乐山师范学院引进教师科研启动项目 （Z16024）；3、乐山市科技重点研究项目（17GZD051）。 通讯作者：徐要辉，男，工学博士，乐山师范学院讲师， 主要从事功能材料的研究。
矩阵运算性质及其应用
第一讲 矩阵运算性质及其应用矩阵是数学中的一个重要容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不一样的.一 矩阵的概念及其运算方法首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法.定义1 由m n ⨯个数字ij a 〔1,2,,i m =，1,2,,j n =〕排成的m 行n 列的数表，称为一个m 行n 列矩阵，简称为m n ⨯型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并用大写字母表示，即111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭位于矩阵A 的第i 行第j 列的数字ij a ，称为A 的(,)i j 元素，简称(,)i j 元.以ij a 为(,)i j 元的矩阵可简记作()ij a .m n ⨯型矩阵A 也记作m n A ⨯或m nA ⨯.m n =时，n n ⨯型矩阵A 也称为n 阶矩阵，记作n A .两个矩阵的行数相等，列数也一样时，称为同型矩阵.两个矩阵A 与B 是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A 与B相等，记作A B =.有一些矩阵的元素分布比拟特殊，我们用专门规定的记号来表示，如 零矩阵O ，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E 〔也记作I 〕，它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵.对角矩阵()1212diag ,,,=n n λλλλλλ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭〔与行列式中一样，不写出的元素就是0〕.下面，我们来复习矩阵的10个运算方法.定义2 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相加、减的条件是：A 与B 同型，即m s =且n t =. ②A 与B相加的和记作A B +，A 与B 相减的差记作A B -.运算方法规定为111112121121212222221122+++⎛⎫ ⎪+++ ⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b111112121121212222221122---⎛⎫ ⎪--- ⎪-= ⎪⎪---⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b根据定义，矩阵的加减就是对应位置上数字的加减.例如23342334575710517067++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1233132(3)2543244234212112211213-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义3数k 与矩阵()ij m n A a ⨯=相乘的积记作()=kA Ak .运算方法规定为()⨯=ij m nkA ka例如23452535410152053105(3)51501550-⨯-⨯-⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪--⨯--⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义4 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相乘的条件是：n s =. ②A 与B相乘的积记作AB .运算方法规定为AB 的(,)i j 元1122=+++i j i j in nj a b a b a b即A 的第i 行各元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和为AB 的(,)i j 元.例如312322314772⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭233(2)(2)72133(2)(2)134(2)7711437(2)⨯+⨯-+-⨯⨯+⨯+-⨯-⎛⎫= ⎪⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯-⎝⎭1415441-⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义5 设矩阵A 为m n ⨯型，①A 能乘方的条件是：m n =即A 为方阵. ②k 为非负整数，A 的k 次幂记作k A .运算方法规定为1,0,1,2-=⎧⎪==⎨⎪≥⎩kk E k A A k A A k ，例如32232323313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭232323()313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1332331031⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 3536361⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义6 将矩阵A 的行与列互换，得到的矩阵，称为A 的转置.记作'A 或T A ，即111212122212⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n m m mn a a a a a a A a a a 时，112111222212⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭m m nnmn a a a a a a A a a a例如345123⎛⎫= ⎪⎝⎭A 时，314253⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭A定义7 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可取行列式的条件是：m n =即A 为方阵. ②A 的行列式即=ijA a .例如341200111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 时，21341412002(1)611111+==⨯-=--A注：矩阵A 与行列式A 是完全不同的对象.矩阵A 是一数表，不是数，而行列式A 就是数.记号上，矩阵只能用圆括号或方括号，而行列式一定要用一对平行线.定义8 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 能取伴随的条件是：A 为方阵且2m n =≥. ②A 的伴随记作*A ，并称为A 的伴随矩阵. 运算方法规定为1121112222*12⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n n nnnn A A A A A A A A A A即在A 中将每个元素换成它的代数余子式后，再转置.例如*-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a b d b c d c a *123005111264200241-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭222312131213323332332223*111213212311131113212223313331332123313233212211121112313231322122⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 定义9 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可逆的条件是：A 为方阵且0A ≠. ②A 的逆记作1-A ，并称1-A为A 的逆矩阵运算方法规定为2=≥m n 时，1*1-=A A A；1==m n 时，即一阶方阵的逆111111()-=a a .当方阵A 可逆的条件不满足，即0A =时，常说A 不可逆或A 是奇异矩阵。
深入了解矩阵的性质及计算方法
04 矩阵的应用
在线性方程组中的应用
在线性方程组中的应用：矩阵可以表示线性方程组，通过矩阵运算可以求解线性方程组
根据矩阵的特殊性质选择计算方法，如对角矩阵可以使用特征值分解
结合实际应用场景选择计算方法，如机器学习算法中常用奇异值分解
利用矩阵的性质简化计算
利用矩阵的行简化计算 利用矩阵的列简化计算 利用矩阵的转置简化计算 利用矩阵的逆简化计算
利用计算机软件进行矩阵运算
Python：通过NumPy库进 行矩阵运算，功能丰富
Octave：与MATL AB类似， 可以进行矩阵运算的开源软 件
MATL AB：一款强大的数学 计算软件，支持矩阵运算
R：统计计算软件，也支持 矩阵运算
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性质：特征值和特征向量具有一些重要的性质，如相似矩阵具有相同的特征多项式和特 征值，矩阵可对角化的充分必要条件是其所有特征值都是实数等。
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应用：特征值和特征向量在许多领域都有广泛的应用，如数值分析、控制理论、信号处 理等。
矩阵的秩
定义：矩阵的秩是其行向量组或列向量组的最大线性无关组的个数
矩阵的性质及计算方 法
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目录 /目录
01
矩阵的基本性 质
02
特殊类型的矩 阵
03
矩阵的计算方 法
04
矩阵的应用
05
矩阵的运算技 巧
幂等矩阵的性质及其应用
幂等矩阵的性质及其应用0 引言幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。
在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。
但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。
因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。
本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。
1 主要结果首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。
定义1：若n阶方阵a满足a2=a，则称a为幂等矩阵。
下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。
定理1：幂等矩阵a的特征值只能是0或者1。
证明：设a为任意一个幂等矩阵。
由a2=a，可得λ2=λ其中λ为a的特征值。
于是有λ=1或0，命题得证。
推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。
证明：设a为一可逆的幂等矩阵。
由a2=a可得a2a-1=aa-1即a=e。
此时有λe-e=0即λ=1其中，λ为a的特征值。
命题得证。
定理2：任意的幂等矩阵a都相似于对角阵，即存在可逆阵p，使得：p-1ap=e■ 00 0，其中r=r（a）。
证明：a为任意幂等矩阵，j为其jordan标准型，即存在可逆矩阵p，使得p-1ap=j=■，其中ji=■。
由此可得j 2=j。
于是有，ji 2=ji。
此时，ji只能为数量矩阵λ■e。
又因为a2=a，所以λ■=0或1，且r=r（a）。
命题得证。
定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。
证明：（i）a为一n阶幂等矩阵。
？琢为其特征值1对应的特征向量。
则有，a？琢=？琢。
由此可得？琢属于a的值域。
反之，对于任意一个a的值域中的向量？琢，总能找到一个向量β，使得aβ=？琢，于是有a？琢=a2β=β，即？琢=β。
综上可知，幂等矩阵的特征值为1的特征子空间与其值域等价。
（ii）a为一n阶幂等矩阵。
x为其特征值0对应的特征向量，则有ax=0，即a特征值0对应的特征向量都属于a的核。
正定矩阵的性质及应用
正定矩阵的性质及应用摘要： 正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。
矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。
把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了.关键字： 正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值.研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用．一、正定矩阵的定义定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵.定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量),,,(21n x x x f X =都有0>'A X X ，正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵.注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定.二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别.二．正定矩阵的一些性质1.正定矩阵的充分必要条（1）n 元实二次型),,,(21n x x x f 正定⇔它的惯性指数为n . 证：设二次型),,,(21n x x x f 经过非退化矩阵实线性替换成标准=),,,(21n x x x f 2222211n n y d y d y d +++ （1）由“非退化线性替换保持正定性不变”可知),,,(21n x x x f 正定当且仅当2222211n n y d y d y d +++ 是正定的？？由二次型2222211n n y d y d y d +++ 正定当且仅当i d 0>.n i ，， 2,1=.因此二次型正惯性指数为n .（2）一个是对称矩阵A 正定⇔A 与E 合同.既∃可逆矩阵C ，使得C C A '=. 在证明此条件之前先给出一个定义及两个定理：定义：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成221221r p p z z z z ---+++称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.定理：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成规范形，且规范形是唯一的.以下就是上述从要条件的证明：证:正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为22221n y y y +++ （2）因此（2）式的矩阵为单位矩阵E .所以一个是对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (3) 实二次型AX X x x ax x x f T j i n i nj ijn ==∑∑==1121),,,( 正定⇔A 的顺序主子式全大于零.证：必要性：设二次型j i n i nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,(是正定的.对于每个k ，n k ≤≤1，令j i k i kj ij k k x x a x x f ∑∑===111),,(我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数k c c ,,1 ，有0)0,0,,,(),,(1111>==∑∑== k j i k i kj ij k k c c f c c a c c f因此),,(1k k x x f 是正定的.由上面的推论，k f 的矩阵的行列式n k a a a a kkk k ,,101111=>，这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零. 充分性：对n 作数学归纳法当1=n 时,21111)(x a x f =由条件011>a ,显然有)(1x f 是正定的.假设充分性的论断对于1-n 元二次型已经成立，现在来证n 元的情形.令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n a a ,1,1 α于是矩阵A 可以分块写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=nn a A A αα1既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 级矩阵G 使11-='n E G A G这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵，令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001G C ，于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'='-nn n nn a G G E G a A G AC C αααα1111100100再令⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=-10-12αG EC n 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-=''--1010111-n 2112ααααG E a G G E G E C AC C C n nn n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-=-ααG G a E nn n 001 令21C C C = , 则a G G a nn =''-αα，于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡='a AC C 11 再取行列式 ， a A C =2，由条件，0>A .因此0>a .显然有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a a a 111111111 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型 ),,,(21n x x x f 是正定的.(4) 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的主子式全大于零. 证：必要性:对A 的任一k 阶主子式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 2122212k 12111存在某个排列矩阵P ，使AP P '的k 阶顺序主子式为k A ,因为0>A ，所以02>='='P A P A P AP P由矩阵充要条件(3)知0>k A .充分性：由A 的主子式全大于零知： A 的顺序主子式全大于零.再由充要条件（3）知“充分性”成立.（5） 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的特征值全大于零.证:必要性：由于对称矩阵A 是正定矩阵.因为∃一个正交矩阵T ,使AT T '成对角型的对角线上的元素均为正值.又由对角线的元素又为A 的所有特征值. 因此A 的特征值均为正数.充分性：当对称矩阵A 的特征根都为正数时，对角型矩阵AT T '对角线上的元素均为正数.因为AT T '为正定矩阵，又由于T 为正交阵.所以A 是正定阵.（6）A 、B 是是对称矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A C 00正定⇔A 、B 均正定.证：必要性：A 、B 因为是对称矩阵.所以C 是实对称矩阵.又因为C 是正定的由充分必要条件（4）知：A 、B 均为正定的充分性：因为A 、B 是正定. 所以∃正交矩阵P 、Q 使得AP P '、BQ Q '为对角阵.所以C 可经合同变换化为对角型，且对角线上的元素为A 、B 的特征值且都大于零.所以C 正定. 2.性质：设矩阵A 为n 阶实方阵，则下列命题等价. <1>A 是正定矩阵. <2>1-A 是正定矩阵.<3>A '是正定矩阵. <4>A A '+是正定矩阵.<5>对任意n 阶可逆矩阵P ,AP P '是正定矩阵.<6>A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.证：<1>⇒<2> 若A 是正定的，则存在实可逆矩阵C ，使C C A '=，因为)()(1111'='=----C C C C A又因为C 可逆，于是1-C也是是可逆矩阵所以1-A 也是正定矩阵.⇒<3> 因为A 是正定矩阵，于是存在可逆C 使C C A '=，则C C C C C C A '='''=''='))(()(所以A '是正定矩阵.⇒<4> 因为A 是正定矩阵，于是A A '=，则A A A 2='+.又因为∀nC X ∈都有0>'A X X ，所以02>'A X X ，即0)2(>'X A X所以A 2正定矩阵，因此A A '+就是正定矩阵.⇒<5> 因为A 是正定矩阵，所以∀nC X ∈使得 0>'A X X .令PY X =, 则有nC X ∈为任意的，则Y 为任意的.因此0>''APY P Y因此AP P '为正定矩阵.⇒<6> 设n n ij a A ⨯=)(是正定的，A 的任意k 级主子式对应的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 212221212111设A 与k A 的二次型分别为AY Y '和AX X '，对任意=0X 0),,(21≠'n i i i b b b 取),,,(210n c c c Y =≠0,其中=k c 12,(,,0k n b k i i i =⎧⎨⎩)，其它 n k ，，21= 由A 正定知0>'A Y Y ，故0>'A X X 既AX X '是正定的.因此k A 正定，所以A 的各阶主子矩阵是正定矩阵. 还可以由上面的充分必要条件（4）知A 的各阶主子式都大于零可以推得A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.以上给出了正定矩阵的一些充分必要条件及性质，以下我们就来探讨一以下正定矩阵在一些方面的应用.三．正定矩阵的应用（1）从二次型理论的起源，既从化二次型曲线和二次型曲面为标准形的问题入手, 我们发现二次型理论对二次型理论对二次型曲线和二次型曲线的方程的化简有着重要的意义. 例1.利用直角坐标变换化简如下二次曲面的方程,032682223222=++--+++z y x xy z y x 其中)1,3,4(),,,(--='='B z y x X⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200021013A 解：作平移变换：),,(,321ααααα='-=Y X 则有03)(2)()(=+-'+-'-αααY B Y A Y即0322=+'-'+'+'-'-'αααααB Y B A AY A Y AY Y 令32+'-'=αααβB A又因为A A AY A Y =''=',αα，所以0)(2=+'--'βαY B A AY Y适当的选取，α使B A =α,由秩=A 秩A 3=,知：B A =α(线性方程组）有唯一解：211321===ααα，由B A ',,α可得29-=β，又由于A 是实可逆矩阵，所以存在正交矩阵T ,使得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='321λλλAT T 使得25-525523,21=+==λλλ，， 为A 的特征根作正交线性替换)(,321Z Z Z Z TZ Y '''='=，，，则 23222123322221125-52552Z Z Z Z Z Z AY Y '+'++'='+'+'='λλλ 即原方程可化简为02552552232221='-+'++'Z Z Z （2）用正定二次型的理论来判定多元函数极值存在的充分必要条件是很方便的.定义1.设n 元函数),,,()(21n x x x X f =在n n R x x x X ∈'=),,(,21 的某个领域内有一阶，二阶连续函数偏导数，记)(),()(21X f x fx f x f X f n∇∂∂∂∂∂∂=∇，，， 称为函数)(X f 在点)(21'=n x x x X ，，， 处的梯度，或记为)(x gradf .定义2. 设n 元函数)(x f 对各自变量具有二阶连续偏导数，则矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212111)( 称作是)(x f 在n P 点的黑塞矩阵.)(X H 是由)(x f 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶方阵是对称矩阵.定理1.（极值的必要条件） 设n 元函数)(x f 其中)(21n x x x X ，，， =的对各自变量具有一阶连续偏导数，n n R x x x X ∈=),,,(002010 是)(x f 的一个驻点，则)(x f 在)002010n x x x x ，，，（ =取得极值的必要条件是0)()(r n210x x x fx f x f x adf g ='∂∂∂∂∂∂=，，， 定理 2.（极值的充分条件） 设函数)(x f 在点的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数，且0))()()(()(n02010=∂∂∂∂∂∂=∇x x f x x f x x f x f ，，， 则： （1）当)(0x H 为正定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极小值. (2) 当)(0x H 为负定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极大值. (3) 当)(0x H 为不定矩阵时，)(0x f 不是)(x f 的极值.例2.求函数321212221321212),,(x x x x x x x x x f ++++=的极值. 解：因为22,122,123331221211+=∂∂+=∂∂+=∂∂x x f x x x f x x x f又因为0,0,0321=∂∂=∂∂=∂∂x f x f x f 得驻点)1,144,24(,)1,0,0(10'--='=X X .)(x f 得各二阶偏导数为：2,0,2,2,12,623231222*********12=∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂x fx x f x f x x f x x f x x f 得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122126)(1x X H在0X 点处，又得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122120)(0X H , 而)(0X H 的顺序主子式 0152det ,0144212120det ,0det 321<-=<-===H H H故)(0X H 不定，0X 不是极值点，在点1X 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2020212212144)(1X H而)(1X H 的顺序主子式02802020212212144det 014421212144det ,0144det 321>==>==>=H H H ，故)(1X H 为正定矩阵. )1,144,24(1'--=X 为极小值点.极小值6913)1,144,24()(1-=--=f x f例3.正定矩阵与柯西不等式 我们学过柯西不等式的表达式为∑∑∑===≤ni i ni ini i i y x y x 022.同时，也可将其用内积的形式来表示为βαβα≤⋅.设矩阵()ij a A =是一个n 阶正定矩阵，对任意向量()321,,,x x x =α，()321,,,y y y =β，我们定义∑∑===⋅n i nj jiij yx a 00βα,从中我们可以看出这是n 维向量的内积.相反，我们可以得出，对于n维向量的任意一种内积，一定存在一个n 阶正定矩阵()ij a A =使得对任意向量α和β可以∑∑===⋅n i nj j i ij y x a 00βα来定义.因此，给定了一个n 阶正定矩阵，在n 维向量间就可以由这个矩阵定义一个内积，从而可以得到如下相应柯西不等式：∑∑∑∑====≤ni j i ijn i n j jiij ni ji ij y y ax x a yx a 000证明：不等式32212322213221232221132332213322112)(2y y y y y y y x x x x x x x y x y x y x y x y x y x y x --++--++≤----++对所有的321,,x x x 和321,,y y y 均成立.证：有题意可得βα⋅是由矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=210121012A 所定义的，则可以得到矩阵A 的顺序主子式 04210121012,032112,02>=---->=--> 因此矩阵A 是正定矩阵，所以该不等式是由正定矩阵A 所确定的内积产生的柯西不等式，既不等式成立.从该例题中也可将不等式推广为：∑∑∑∑∑∑=-=+=-=+=-=++--≤+-ni n i i i in i n i i i i n i n i i i i iii y y yxx x y x yx y x 1111211112111112)(2其中*N n ∈,),,2,1(,n i y x i i =是任意实数.四．结束语本文针对正定矩阵有了深刻的理解.本文探讨了矩阵的各类性质及在不等式、多元函数极值问题中的应用.作为在矩阵中占有特殊地位的正定矩阵，其应用的范围也更加广泛，但由于本人目前能力有限，待做深入研究.参考文献：1.王萼芳、石生明，高等代数[M].北京：高等代数出版社.2003.205-236.2.董可荣、包芳勋，矩阵思想的形成与发展[J].自然辩证法通讯。
幂零矩阵性质及应用
幂零矩阵性质及应用性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。
证明：⇒ A Q 为幂零矩阵 k Z +∴∃∈ .0k s tA =令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα∃≠= 由引理7知，0kλ为k A 的特征值 00.k k s t A ββλβ∴∃≠= 从而有0k λ=0即有00λ=又有0kA =，知00kkA A A ==⇒= 00λ∴=为A 的特征值。
由0λ的任意性知，A 的特征值为0。
⇐A Q 的特征值全为0A ∴的特征多项式为()nf E A λλλ=-=由引理2知，()0nf A A == 所以A 为幂零矩阵。
得证 性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +∀∈=。
证明：⇒A Q 为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即120n λλλ====L由引理7，知 kA 的特征值为120k k k n λλλ====L从而有 120k k k kn trA λλλ=+++=L⇐由已知，120k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++=L (1.1)令12,,,t λλλL L 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =L L由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩L L L L L L (1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为又(1,2,)ii t λ=L L 互不相同且不为0，0B ∴≠从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)i n i t ==L L即A 没有非零的特征值A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证性质3：若A 为幂零矩阵则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得其中11i i i J λλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O O O 阶数为(1,2,,)in i s =L由引理4，知(1,2,,)i i s λ=L 为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2,,)i i s λ==L 即J 的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i nni i J E J i s -===g L12,,,s J J J L L 为幂零矩阵 得证性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A Q 为幂零矩阵，k Z +∴∃∈ .0k s t A =00kk A A A ∴==⇒= A 一定不可逆由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====L 由引理7，得,A E E A +-的特征值分别为且有1211nn A E λλλ'''+===g L g即1,1A E E A +=-= 得证性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令12,,,n λλλL L 为A 的特征值 若A 退化，则有 0A =由引理7，得 120n A λλλ==gL L g ∴至少存在0i λ=0为A 的特征值又由引理7，得110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾 得证A 为非退化性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵。
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解 我们根据伴随矩阵的性质 ,可得
，所以 ，
再结合伴随矩阵的相关定理 ,可以得到
,
所以, .
例11 已知方阵 ，且方阵 ，求它的逆矩阵 .
解 由题意我们可以得到 ，所以可以判断 存在,
又因为
，
即原矩阵 .
例2 假设有矩阵 ，并且已知它的伴随矩阵 ，并且 ，求出矩阵 .
解 根据题目条件 ，
我们可以得到
，
所以有 是可逆的，所以有
又因为 ，而 ,
所以可以得到 ，所以有
所以矩阵 .
4.2 根据伴随矩阵求逆矩阵
例3 设有矩阵 ，且 ,求 .
解 根据矩阵的性质 , ，
5.2 启示
本文通过探讨伴随矩阵的相关性质以及应用，更加说明了伴随矩阵在数学研究中占有非常重要的地位,如果我们可以将伴随矩阵更多的运用于高等数学中矩阵问题，以及在线性代数中运用的更加广泛，那么将更到的扩展伴随矩阵的运用范围，使得其对于我们的数学研究更加有利.
5.3 局限性
对于伴随矩阵相关的性质以及性质的应用，在高等代数中只是浅谈，以至于许多伴随矩阵的相关问题未能得到解决，本文针对伴随矩阵的相关性质进行了扩展，并且进行了相应的应用，但是伴随矩阵的性质还有许多未能得到很好的应用，伴随矩阵在矩阵问题中作为一个重要的工具出现，使得矩阵问题能够更加快速的解决，但是有关伴随矩阵自身的一些性质以及其应用还是比较缺乏，还需要去更深入的研究发现.
3 伴随矩阵的性质及证明
3.1 伴随矩阵的性质
性质1： ，（ 是 阶单位矩阵）.
性质2：
性质3：设 为 阶矩阵，则有 .
性质4：设 是 阶矩阵,则有 .
性质5： 可逆，当且仅当 可逆，如果 可逆，则 .
性质6： ,其中 都是 阶可逆矩阵 .
性质7：设 为常数， .
性质8：若 是正定的，则 也是正定的.
5.4 努力方向
本文在已有的知识水平上对伴随矩阵的性质及其应用进行了一定的讨论，例如：运用伴随矩阵来推导原矩阵、利用伴随矩阵来进行矩阵的求逆、求伴随矩阵逆、伴随矩阵它的一些性质的直接运用等，但是，伴随矩阵它的性质的运用还有一定的局限性，有一部分领域中还未涉及到伴随矩阵它的性质的应用，还无法对它的应用进行推广，还不能合理的运用伴随矩阵的一些性质使得运算进行的更加简便，对于这些问题，都还需要今后不断的努力，从而获取更有用的成果.
所以我们可以得到 .
性质3：设 为 阶矩阵，则有
证明：①当 时，换句话说也就是 中含有 阶非零子式 ，并且 中有非零元素存在，从而 ，根据定理可以得到 ，也就是 ，
∴有 ，
根据 可得 ,
②当 时，这时 阶矩阵 中含有的所有 阶子式全部等于 ，也就是 是零矩阵，故 .
③当 时，矩阵 是可逆的，根据定理，我们可得到 ，也就可得到 .
关键词：伴随矩阵；性质；证明；应用
Proof of the properties of the adjoint matrix and its application
Abstract:The adjoint matrix possesses many properties of the original matrix. The adjoint matrix plays an important role in university mathematics, higher algebra and linear algebra. The adjoint matrix is a very important tool for solving algebra and solves the matrix problem. It also has a very important position. In this paper, the partial correlation properties of the adjoint matrix of n-order square matrix are further discussed, and relevant proofs are given. Finally, the adjoint matrix and properties are discussed in detail through examples.The application of the adjoint matrix and its properties in the solution of several mathematical problems and the breadth of its application.
Key words: adjoint matrix; property; proof; application
1 引言
阶方阵的伴随矩阵在矩阵的运算中起着十分重要的作用，目前，在历年的研究生考试当中，对于一些考生来说高等代数这门课程的成绩常常关系着考研的成功与否，而矩阵在高等代数中又占有重要地位，伴随矩阵是解决矩阵问题的一个十分重要的工具，更是缺少不了，之前在高等代数中我们已经学习了矩阵的相关性质，对于矩阵的这些性质，它是否也能运用到伴随矩阵当中来，伴随矩阵是否还具有它自身的一些性质呢，并且那些性质是否能够得到运用呢，在本文中将探讨伴随矩阵自身的一些性质以及运用.
，
所以可得
，
又因为
所以可以求得
例8 设有 阶矩阵 ，并且 是可逆矩阵， 对应的伴随矩阵分别是 ，有分块矩阵 ，请证明式子 .
证明如下：由于
所以 .
例9 设有三阶矩阵 ，已知 ，求 .
分析：本题可有两种解题方法：第一种，我们将其化为 的形式来进行计算，第二种，我们将它化为 的形式来进行计算，为了更好的体现伴随矩阵的性质，我采用化为 的形式来进行计算.
伴随矩阵的性质证明及其应用
摘 要
伴随矩阵拥有了原矩阵的很多性质，伴随矩阵在大学数学、高等代数、线性代数当中都具有着重要的作用，伴随矩阵是用于解决代数学中的一个十分重要的工具，并且在解决矩阵问题中也具有十分重要的地位，在这篇文章中对n阶方阵的伴随矩阵的部分相关性质进行了进一步的讨论，并且给出了相关的证明，最后，通过实例详细探讨了伴随矩阵及性质的应用，体现了伴随矩阵及性质在若干数学问题求解中的重要性和应用的广泛性.
分析：在矩阵中，我们可以根据矩阵的定义来推导出矩阵的伴随矩阵，但是在本题当中，如果我们利用伴随矩阵来反推出原矩阵，这种方法较为复杂，并且容易出错，所以在此题中，我们利用相应的公式来推导出原矩阵.
解 因为 ,所以我们根据伴随矩阵的性质 ，
此时 ，所以 ，
，
我们又根据 ，对矩阵进行行的初等变换有
2.2 国内研究现状的评价
现今，国内外对于伴随矩阵的性质以及应用研究颇多，但是在针对伴随矩阵的本身的一些定义以及性质还不够全面，我们还可以在伴随矩阵和原矩阵之间拥有的关系，以及伴随矩阵本身具有的一些性质以及应用这部分问题进行研究探讨.
2.3 提出的问题
伴随矩阵是矩阵解决矩阵问题的一个重要的工具，在高等代数中我们已经知道矩阵本身拥有众多的性质，对于伴随矩阵来说，它是否能够具有矩阵的所有性质以及应用还可以进行进一步的研究，本文在针对伴随矩阵自身的性质以及应用展开了进一步的讨论.
所以我们可以得到
.
例4 已知一个矩阵的逆矩阵，且矩阵的逆矩阵 ，求出它的伴随矩阵 ，且它的逆矩阵 .
解 根据公式 ，所以有
,
根据题意我们可以得到 ，
.
4.3 伴随矩阵的秩的相关题型
例5 设有4阶方阵 ，并且它的秩等于2，求出伴随矩阵 的秩为多少.
分析：在此题中我们有两种解题方式，第一种直接利用伴随矩阵的基本性质 来解决，第二种，我们根据题意可知 ，有 的所有的三阶子式都全部为零，所以 ，所以 .
2 文献综述
2.1 国内研究现状
伴随矩阵是用于解决代数学中的一个十分重要的工具，伴随矩阵在解决矩阵问题中也是具有十分重要的地位，正因为它的重要性，历年来，国人对其进行了颇多的研究，并且还得出了很多重要的成果，比如：宝鸡文理学院数学系教授杨闻起在学术论文中讨论了伴随矩阵在正定、半正定、对称、反对称、正交和相似以及特征值等方面中的性质，并且王航平根据伴随矩阵的定义以及部分的性质，讨论了伴随矩阵在运算上面的性质，特别是研究了乘积矩阵中伴随矩阵的性质，并且还提出了自伴随矩阵的定义和它的性质，归纳出来伴随矩阵拥有的较强的继承性，郑茂玉探讨了原矩阵和伴随矩阵之间具有的关系，提出了部分伴随矩阵的性质，并且将伴随矩阵推广到了 重，还有我国徐淳宇研究了伴随矩阵 重的定义以及相关性质，并且取得了一定的成果，我国贾关娥也在文献中定义了 阶伴随矩阵，而且初步研究了它的相关性质，我国还有许多文献都探讨了伴随矩阵的相关性质.
注：
性质4：设 是 阶矩阵,则有 .
证明：因为 是可逆的，所以 ，因此我们根据性质1有 ,所以 ,
所以有
.
性质5： 可逆，当且仅当 可逆，如果 可逆，则
.
证明：由定理我们可得 ，从而有 ,
又因为 可逆，所以 ,
又因为 ,即变形可得
,
所以有 ⋯ ①
同理：根据 阶矩阵与伴随矩阵 的关系，
性质9：假设 可逆，则 .
3.2 伴随矩阵性质的证明
定理： 阶矩阵 是可逆的充分必要条件为 是非退化，即 ,并且有
.
推论： 是 阶单位矩阵.
性质1： ，（ 是 阶单位矩阵） .
性质2： .
证明：假设 ，那么我们可以求得 ，
所以我们可以有
又因为 ,所以我们可以得到 ,
解 由题意可知 ，
根据公式 中 ，
所以可得 .
4.4 伴随矩阵的性质的应用
例6设有三阶矩阵 ，并且 是三阶矩阵的伴随矩阵，已知 ，那么求式子 的值.
解 根据伴随矩阵的性质