2017年数学竞赛初中决赛

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2017年全国初中数学联合竞赛(初二决赛)试题参考答案及评分标准.docx

2017 年全国初中数学联合竞赛（初二决赛）试题参考答案及评分标准明：卷，依据本分准. 和填空只 7 分和 0 分两档；解答，格按照本分准定的分档次分,不要再增加其他中档次. 如果考生的解答方法和本解答不同 , 只要思路合理 , 步正确 ,在卷参照本分准划分的档次, 予相的分数 .一、 (本分 42 分，每小7 分 )1、 C2、D3、 A4、 B5、 C6、 B二、填空（本分28 分，每小7 分）7、 238、 75°9、13或填）10、 1625(0.52三、（本共三小，第11 20分，第12、 13 各 25 分，分 70分）11. 已知关于x的方程x21 a 有且有两个解，求数 a 的取范.解：由已知必有 a0 ，由原方程得：x21a（ 1）；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分若 a1， x 21 a ，此方程（1）有两解，原方程也有两解；⋯⋯10 分若 0a1，此方程（1）的解： x 3 a ， x3a ， x 1 a ， x 1 a ，要使原方程只有两解，四个解中必有两个解相等 . 若x 3 a 3 a ，得 a0 ，此x 1a1 a ，故原方程有两解；若 x3a1a，得 a1（舍去），若 x 3a1a ，得 a1，此方程有三个解，不符合要求；然3a1a， 3 a 1 a 。

故此 a0原方程有两解 .上， a 0 或 a 1原方程有两解.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20 分12. 如 , 已知等腰直角三角形ABC中， B 90 ,D BC的中点， E 段 AC上一点，且EDC ADB .求BE ED的.BD解：点 C 作 BC 的垂交 DE 的延于点F， AF. 易△ ABD ≌△ FCD.∴AD=FD. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分易四形 ABCF 是正方形，∴ AB=AF.⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分易△ ABE ≌△ AFE ，∴ FE=BE. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分-1-∴ AD=FD=DE+EF= BE +ED.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20 分∴ BE ED AD 5. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯25 分BD BD13.从的自然数1， 2，⋯， 2017 中可以取出n个不同的数，使所取出的n 个不同的数中任意三个数之和都能被21 整除．求n的最大．解： a 、b、 c 、d是所取出的任意四个数．由意有a b c21m ，a b d21n ，其中，m、n正整数．所以，c d 21( m n) ．上式表明，所取出的数中任意两数之差是21的倍数，即所取的每个数除以21 所得的余数相同．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分个余数 k ，于是，a21a1 k ， b21b1k ， c 21c1 k ，其中， a1、 b1、c1是整数，0k2110 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a b c21(a1b1c1 ) 3k ．因a b c 能被21整除，所以，3k能被 21整除，即 k能被 7 整除．因此，k =0，7或14．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 分当 k0 ，可取21， 42， 63，⋯， 2016 共 96 个数，符合意；当 k7 ，可取7，28， 49，⋯， 2002 共 96 个数，符合意；当 k14 ，可取14， 35， 56，⋯， 2009 共 96 个数，符合意⋯⋯⋯⋯⋯20 分上所述， n 的最大是96．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯25 分-2-。

2017年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题参考答案及

在 Rt △ EAD 中，有 422 (98 x)2 x2 ，解得 x 58 .
2017 年全国初中数学联合竞赛试题（初二年级）参考答案及评分标准第 2 页（共 5 页）
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1．使得等式 1 1 a 3 a 成立的实数 a 的值为_______．【答】 8 . 由所给等式可得 (1 1 a)3 a2 .令 x 1 a ，则 x 0 ，且 a x2 1，于是有 (1 x)3 (x2 1)2 ，
4．已知正整数 a,b, c 满足 a2 6b 3c 9 0 ， 6a b2 c 0 ，则 a2 b2 c2 ＝（）
A. 424．【答】C.
B. 430．
C. 441．
D. 460．
由已知等式消去 c 整理得 (a 9)2 3(b 1)2 75 ，所以 3(b 1)2 75 ，又 b 为正整数，解得1 b 6 .
2
2
Байду номын сангаас
3
A
D
F
所以梯形的面积为 1 (1 4) 4 2 10 2 .
2
3
3
E
6．如图，梯形 ABCD 中， AD // BC , A 90 ，点 E 在 AB 上，若 AE 42 ，
BE 28， BC 70 ， DCE 45 ，则 DE ＝
（）
B
C
A. 56．
B. 58．
C.60．
D. 62．
为 A. 4．【答】B.
B．3．
C．2．
D．1．
（）
若 (a,b, c) 为好数组，则 abc 2(a b c) 6c ，所以 ab 6 .显然， a 只能为 1 或 2.

2017年全国初中数学联赛试题-含详细解析

2017年全国初中数学联合竞赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数．第一试(A)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1. 已知实数a b c ，，满足2133903972a b c a b c ++=++= ，，则32b ca b+=+ ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．1− 2. 已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，有以下三个结论：(1) (2)以a 2，b 2，c 2为边长的三角形一定存在；(3)以|a －b |＋1，|b －c |＋1，|c －a |＋1为边长的三角形一定存在．其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33. 若正整数a ，b ，c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(a ，b ，c )为好数组．那么，好数组的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44. 设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180︒，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，则DOOB＝( ) A ．109 B ．87 C ．65 D ．435. 设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB的延长线上，满足∠BAF ＝∠CAE ．已知BC ＝15，BF ＝6，BD ＝3，则AE ＝( ) A ．43 B ．213 C ．214 D ．2156. 对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 200＝( )A ．1917B ．1927C ．1937D ．1947二、填空题(本题满分28分，每小题7分)7.成立的实数a 的值为______．8. 如图，平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝72︒，AF ⊥BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE ＝2AB ，则∠AED ＝______．9. 设m ，n 是正整数，且m ＞n ．若9m 与9n 的末两位数字相同，则m －n 的最小值为____．10. 若实数x ，y 满足x 3＋y 3＋3xy ＝1，则x 2＋ y 2的最小值为______．第一试(B)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (c ≠0)的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数y ＝a 3x 2＋b 3x ＋c 3的图象与x 轴的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定 2．题目与(A )卷第1题相同． 3．题目与(A )卷第3题相同．4．已知正整数a ，b ，c 满足a 2－6b －3c ＋9＝0，－6a ＋b 2＋c ＝0，则a 2＋b 2＋c 2＝( ) A ．424． B ．430． C ．441． D ．460．5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，DOOB＝( )A ．43B ．65C ．87D ．1096．题目与(A )卷第5题相同．二、填空题(本题满分28分，每小题7分) 1．题目与(A )卷第1题相同．2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，D ，E 分别为线段BC ，OA 的中点，∠ACB ＝7∠OED ，∠ABC ＝5∠OED ，则∠OED ＝______． 3．题目与(A )卷第3题相同． 4．题目与(A )卷第4题相同．第二试(A)一、(本题满分20分)已知实数x ，y 满足x ＋ y ＝3，1x ＋y 2＋1x 2＋y ＝12，求x 5＋y 5的值．二、(本题满分25分)如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠BAC ＝45︒，E 是∠BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF ⊥AB ．已知AF ＝1，BF ＝5，求△ABC 的面积．三、(本题满分25分)求所有的正整数数对(a ，b )，使得a 3＝49×3b ＋8．第二试(B)一、(本题满分20分)已知实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，a ＋b ＋c ＝16，a 2＋b 2＋c 2＋14abc ＝，求c 的值．二、(本题满分25分)求所有的正整数m ，使得22m －1－2m ＋1是完全平方数．三、(本题满分25分)如图，O 为四边形ABCD 内一点，∠OAD ＝∠OCB ，OA ⊥OD ，OB ⊥OC ．求证：AB 2＋CD 2＝AD 2＋BC 2．7。

2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）

2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab??＝（）A.2．B.1．C.0．D.1?．【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90abbc，3(2)(3)72abbc，解得218ab??，318bc??，所以32bcab1.2．已知△ABC的三边长分别是,,abc，有以下三个结论：（1）以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以222,,abc为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1abbcca为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设abc??，则有bca??.（1）因为bca??，所以2bcbca，即22()bca??（），即bca??，故以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4abc为边长可以构成三角形，但以2224,9,16abc为边长的三角形不存在；（3）因为abc??，所以||11,||11,||11ababbcbccaac，故三条边中||1ca??大于或等于其余两边，而||1||111abbcabbc（）（）（）（）111||1acacca=，故以||1ab??，||1bc??，||1ca??为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,abc满足abc??且2()abcabc，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(,,)abc为好数组，则2()6abcabcc，所以6ab?.显然，a只能为1或2.若a＝2，由6ab?可得2b?或3，2b?时可得4c?，3b?时可得52c?（不是整数）；若a＝1，则2(1)bcbc，于是可得(2)(2)6bc，可求得(,,)abc ＝（1，3，8）或（1，4，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.109．B.87．C.65．D.43．【答】A.过B作//BEAD，交AC的延长线于点E，则180ABEBAD ACB??，所以△ABC∽△AEB，所以ACBCABEB?，所以631855ABBCEBAC.再由//BEAD，得4101895DOADOBBE.5．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC?于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAFCAE.已知15BC?，6BF?，3BD?，则AE＝（）A.43．B.213．C.214．D.215．【答】B.如图，因为BAFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即90FAEBAC.又因为ADBC?，故2ADDEDFDBDC.而639DFBFBD，15312DCBCBD，所以29312ADDE，所以6AD?，4DE?.从而222264213AEADDE.6．对于正整数n，设na是最接近n的整数，则1232001111aaaa（）A.1917．B.1927．C.1937．D.1947．【答】A.对于任意自然数k，2211()24kkk不是整数，所以，对于正整数n，12n?一定不是整数.设m是最接近n的整数，则1||2mn??，1m?.易知：当1m?时，1||2mn2211()()mnm??221144mmnmm.于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足221mmnmm时，m是最接近n的整数，即nam?.所以，使得na＝m的正整数n的个数为2m.注意到2213131822001414210，因此，12200,,,aaa?中，有：2个1，4个2，6个3，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）EOCBADCBFDE8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147aaaa.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．使得等式311aa成立的实数a的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(11)aa.令1xa??，则0x?，且21ax??，于是有322(1)(1)xx，整理后因式分解得2(3)(1)0xxx，解得10x?，23x?，31x??（舍去），所以1a??或8a?.验证可知：1a??是原方程的增根，8a?是原方程的根.所以，8a?.2．如图，平行四边形ABCD中，72ABC，AFBC?于点F，AF交BD于点E，若2DEAB?，则AED?＝_______．【答】66?.取DE的中点M，在Rt△ADE中，有12AMEMDEAB.设AED，则1802AME，18ABM.又ABMAMB，所以180218，解得66.3．设,mn是正整数，且mn?.若9m与9n的末两位数字相同，则mn?的最小值为．【答】10.由题意知，999(91)mnnmn是100的倍数，所以91mn??是100的倍数，所以9mn?的末两位数字是01，显然，mn?是偶数，设2mnt??（t是正整数），则29981mntt.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t的最小值为5，从而可得mn?的最小值为10.4．若实数,xy满足3331xyxy，则22xy?的最小值为．【答】12.因为333322031()(1)333xyxyxyxyxyxy22(1)[()()(1)(1)]3(1)xyxyxyxyxy2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）MEFCBDA22(1)(1)xyxyxyxy2221(1)[()(1)(1)]2xyxyxy，所以1xy或1xy??.若1xy，则22xy?＝2.若1xy??，则22222111[()()][1()]222xyxyxyxy，当且仅当12xy??时等号成立.所以，22xy?的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)yaxbxcc的图象与x轴有唯一交点，则二次函数3233yaxbxc的图象与x轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数2yaxbxc的图象与x轴有唯一交点，所以2140bac，所以240bac??.故二次函数3233yaxbxc的判别式323363623211()4(4)()1616bacbacbb61516b?0?，所以，二次函数3233yaxbxc的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1题相同.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4．已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc??＝（）A.424．B.430．C.441．D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得22(9)3(1)75ab，所以23(1)75b??，又b为正整数，所以16b??.若b＝1，则2(9)75a??，无正整数解；若b＝2，则2(9)72a??，无正整数解；若b＝3，则2(9)63a??，无正整数解；若b＝4，则2(9)48a??，无正整数解；若b＝5，则2(9)27a??，无正整数解；若b＝6，则2(9)0a??，解得9a?，此时18c?.2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）因此，9a?，b＝6，18c?，故222abc＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.43．B.65．C.87．D.109．【答】D.解答过程与（A）卷第4题相同.6．题目和解答与（A）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．题目和解答与（A）卷第1题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，,DE分别为线段,BCOA的中点，7ACBOED，5ABCOED，则OED?＝_________.【答】10?.如图，设OEDx??，则5ABCx??，7ACBx??，DOC??18012BACx，10AOCx??，所以1802AODx，180(1802)ODExxx，所以1122ODOEOAOC，所以60DOC，从而可得10x??.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,xy满足3xy??，221112xyxy，求55xy?的值.解由221112xyxy可得2233222()xyxyxyxyxy.设xyt?，则222()292xyxyxyt，332()[()3]3(93)xyxyxyxyt，代入上式可得22(392)3(93)tttt，解得1t?或3t?.……………………10分当3t?时，3xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2330mm的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当1t?时，1xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2310mm的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123xyxyxyxyxyttt.……………………20分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共7页）DEOBAC二、（本题满分25分）如图，△ABC中，ABAC?，45BAC，E 是BAC?的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB?.已知1AF?，5BF?，求△ABC的面积.解在FB上取点D，使FD＝AF，连接ED并延长，交△ABC的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD知△AED是等腰三角形，所以∠AED＝1802??∠EAD＝∠BAC，……………………10分所以??AGBC?，所以??ACBG?，所以AC＝BG (15)分又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD ＝5－1＝4，……………………20分△ABC的AB边上的高sin4522hAC.所以，△ABC的面积116226222SABh (25)分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)ab，使得34938ba.解显然，4938b??为奇数，所以a为奇数.又因为33493849385ba，所以5a?.……………………5分由34938ba可得38493ba，即22(2)(24)73baaa.……………………10分设2(2,24)aaad，则d为奇数.注意到224(2)(4)12aaaa，所以|12d，所以d＝1或3.……………………15分若d＝1，则有22 27, 243,b aaa或22 23, 247, ba aa均无正整数解.……………………20分若d＝3，则有221237,243,baaa?或12223,2437,baaa解得11a?，3b?.所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25分第二试（B）一、（本题满分20分）已知实数,,abc满足abc??，16abc，22211284abcabc，求c的值.解设abx??，aby?，依题意有2212(16)(16)1284xyxyx，整理得21(8)(8)8xyx，所以8x?或8(8)yx??.……………………10分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共7页）FEABCD（1）若8x?，则8ab??，此时c＝8.（2）若8(8)yx??，即8(8)abab，则(8)(8)0ab，所以8a?或8b?.当8a?时，结合abc??可得24abc，与16abc矛盾.当8b?时，结合abc??及16abc可得0a?，8c?.综合可知：8c?.……………………20分二、（本题满分25分）求所有的正整数m，使得21221mm 是完全平方数.解当m＝1时，212211mm是完全平方数.……………………5分当1m?时，设212221mmn（n为正整数）.注意到2112112122212(2)221(21)(2)mmmmmm，故可得12122(21)(2)mmn，……………………10分所以22212112(21)(21)(21)mmmmnnn.……………………15分设121mxn，121myn，则xy?，222mxy??，所以,xy均为2的方幂.……………………20分又22myx被4除余数为2，所以，只可能2x?，2my?，故22222mm，解得3m?.综上可知：满足条件的正整数m有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分25分）如图，O为四边形ABCD内一点，OADOCB，OAOD?，OBOC?.求证：2222ABCDADBC.证明由题设条件可知90AODBOC，又OADOCB，所以△AOD∽△COB，……………………5分所以ODAOOBCO?，从而OCAOOBOD?.……………………10分又AOCAOBBOCAOBAODDOB，所以△AOC∽△DOB，所以OACODB.……………………15分设AC和BD交于点P，则90APDAOD，所以ACDB?，……………………20分所以222222222222()()()()ABCDAPPBPDPCAPPDPBPCADBC .……………………25分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共7页）PDAO CB。

【试题】2017全国初中数学联赛初二卷

【关键字】试题2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数满足，，则的值为（）.A. 2B. 1C. 0D.2.已知实数满足，，则的值为（）.A. 125B. 120C. 100D. 813.若正整数满足且，则称为好数组.那么好数组的个数为（）.A. 4B. 3C. 2D. 14.已知正整数满足，，则的值为（）.A. 424B. 430C. 441D. 4605.梯形ABCD中，AD∥BC，，，，，则梯形的面积为（）.A. B. C. D.6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，点E在AB上，若，，，，则的值为（）.A. 56B. 58C. 60D. 62二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1.使得等式成立的实数的值为________.2.已知△ABC的三个内角满足.用表示中的最小者，则的最大值为________.3.设是两个互质的正整数，且为质数.则的值为________.4.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20 分）设是两个不同的两位数，且是由交换个位数字和十位数字所得，如果是完全平方数，求的值.二、（本题满分25 分）如图，△ABC中，D为BC的中点，平分，平分，，，P为AD与EF的交点.证明：.三、（本题满分25 分）已知是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参照答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数满足，，则的值为（）.A. 2B. 1C. 0D.答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把，看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为，，解得，，所以.2.已知实数满足，，则的值为（）.A. 125B. 120C. 100D. 81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设，，，则，，，由.则.3.若正整数满足且，则称为好数组.那么好数组的个数为（）.A. 4B. 3C. 2D. 1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过且的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证.解析：若为好数组，则，即，显然或.若，则，即，可得或，共个好数组.若，则或，可得；，不是整数舍去，共个好数组.共个好数组.4.已知正整数满足，，则的值为（）.A. 424B. 430C. 441D. 460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去整理后，通过是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得，则，即.当时，均无与之对应的正整数；当时，，符合要求，此时，代入验证满足原方程.因此，，，，则.5.梯形ABCD中，AD∥BC，，，，，则梯形的面积为（）.A. B. C. D.答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则，则△ABE是等腰三角形，，，经计算可得.所以梯形ABCD的面积为.6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，点E在AB上，若，，，，则的值为（）.A. 56B. 58C. 60D. 62答案：B对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt△EAD中去，利用勾股定理求解.解析：作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，将△CDF绕点C逆时针旋转至△CGB，则ABCF 为正方形，可得△ECG≌△ECD，.设，则，.在Rt△EAD中，有，解得.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1.使得等式成立的实数的值为________.答案：8对应讲次：所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得.令，则，代入整理可得，解得，舍负，即或，验证可得.2.已知△ABC的三个内角满足.用表示中的最小者，则的最大值为________.答案：对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况.解析：，，又当时，可以取到.则的最大值为.3.设是两个互质的正整数，且为质数.则的值为________.答案：7对应讲次：所属知识点：数论思路：因为是质数，只能拆成1和p，另一方面通过、a、b两两互质来拆分的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为互质，所以、a、b两两互质，因为质数，所以可得，，不是质数舍；可得，，，符合题意.则.4.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.答案：34对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为，考虑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分20 分）设是两个不同的两位数，且是由交换个位数字和十位数字所得，如果是完全平方数，求的值.答案：对应讲次：所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数设为，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.解析：设，则，由不同得，. ………5分由是完全平方数，则，，可得，………10分也是完全平方数，所以或. ………15分若，则，；若，则没有正整数解.因此，，. ………20分二、（本题满分25 分）如图，△ABC中，D为BC的中点，平分，平分，，，P为AD与EF的交点.证明：.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为、都在△DEF中，所以想办法推出其性质，比较容易得出，此时若能得出，则自然可以得到结论.解析：由平分，平分，可得. ………5分由得BE∥DF，则. ………10分又，，则△BED≌△DFC，. ………15分得四边形BDFE是平行四边形，，. ………20分又△EDF是直角三角形，. ………25分三、（本题满分25 分）已知是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值.答案：3对应讲次：所属知识点：数论思路：通过是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到，可以通过分母有理化来实现分离，再利用互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.解析：，由是有理数，可得.………10分. ………15分不妨设，若，，因为，则，取等号当且仅当时.………20分若，因为，则.所以的最小值为3，当，，时. ………25分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

2017年全国初中数学联赛初二试题及参考答案(详解版)

2017年全国初中数学联合竞赛试题（初二）第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b++的值为（） A .2 B . 1 C . 0 D .1- 2.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1110135a b c ++=+++，则()()()222135a b c +++++的值为（）A . 125B . 120C . 100D . 813.若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(),,a b c 为好数组.那么好数组的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 14.已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222a b c ++的值为（） A .424 B . 430 C . 441 D . 4605.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AB =，4BC =，2CD =，1AD =，则梯形的面积为（） ABC. D.6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，点E 在AB 上，若42AE =，28BE =，70BC =，45DCE ∠=︒，则DE 的值为（）A . 56B . 58C . 60D . 62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.=a 的值为________.8.已知ABC 的三个内角满足100A B C <<<︒.用θ表示100,,C C B B A ︒---中的最小者，则θ的最大值为________.9.设,a b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分 20 分）设,A B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果22A B -是完全平方数，求A 的值.二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，BE DE ⊥，CF DF ⊥，P 为AD 与EF 的交点.证明：2EF PD =.三、（本题满分 25 分）已知,,a b c 是不全相等的正整数，求222a b c a b c ++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b++的值为（） A .2 B . 1 C . 0 D .1- 【答案】B【思路】因为所求分式的特点可以想到把2a b +，3b c +看成一个整体变量求解方程. 【解析】已知等式可变形为()()223390a b b c +++=，()()32372a b b c +++=，解得218a b +=，318b c +=，所以312b ca b+=+. 2.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1110135a b c ++=+++，则()()()222135a b c +++++的值为（）A . 125B . 120C . 100D . 81 【答案】C 【思路】换元法【解析】设1x a =+，3y b =+，5z c =+，则10x y z ++=，1110x y z++=， 0xy xz yz ∴++=，由()()22222100x y z x y z xy xz yz ++=++-++=.则()()()222135100a b c +++++=.3.若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(),,a b c 为好数组.那么好数组的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 1 【答案】B【思路】先通过a b c ≤≤且()2abc a b c =++的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证.【解析】若(),,a b c 为好数组，则()26abc a b c c =++≤，即6ab ≤，显然1a =或2. 若1a =，则()21bc b c =++，即()()226b c --=，可得()(),,1,3,8a b c =或()1,4,5，共2个好数组.若2a =，则2b =或3，可得2,4b c ==；53,2b c ==，不是整数舍去，共1个好数组. 共3个好数组()()()(),,1,3,8,1,4,5,2,2,4a b c =.4.已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222a b c ++的值为（） A .424 B . 430 C . 441 D . 460 【答案】C【思路】由已知等式消去c 整理后，通过,a b 是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.【解析】联立方程可得()()2293175a b -+-=，则()23175b -≤，即16b ≤≤. 当1,2,3,4,5b =时，均无与之对应的正整数a ；当6b =时，9a =，符合要求，此时18c =，代入验证满足原方程. 因此，9a =，6b =，18c =，则222441a b c ++=.5.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AB =，4BC =，2CD =，1AD =，则梯形的面积为（） ABC. D.【答案】A【思路】通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.【解析】作AE ∥DC ，AH ⊥BC ，则ADCE 是平行四边形，则3BE BC CE BC AD AB =-=-==，则ABE 是等腰三角形，3BE AB ==，2AE =，经计算可得AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()1142⨯+. 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，点E 在AB 上，若42AE =，28BE =，70BC =，45DCE ∠=︒，则DE 的值为（）A . 56B . 58C . 60D . 62【答案】B【思路】补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.【解析】作CF △AD ，交AD 的延长线于点F ，将CDF 绕点C 逆时针旋转90︒至CGB ，则ABCF 为正方形，可得ECG △ECD ，EG ED ∴=. 设DE x =，则28DF BG x ==-，98AD x =-. 在RtEAD 中，有()2224298x x +-=，解得58x =.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 7.=a 的值为________. 【答案】8【思路】通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.【解析】易得(321a =.令x ，则0x ≥，代入整理可得()()2310x x x -+=，解得1230,3,1x x x ===-，舍负，即1a =-或8，验证可得8a =.8.已知△ABC 的三个内角满足100A B C <<<︒.用θ表示100,,C C B B A ︒---中的最小者，则θ的最大值为________. 【答案】20︒【思路】一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况.【解析】100C θ≤︒-，C B θ≤-，B A θ≤-()()()131002206C C B B A θ∴≤︒-+-+-=︒⎡⎤⎣⎦ 又当40,60,80A B C =︒=︒=︒时，20θ=︒可以取到. 则θ的最大值为20︒.9.设,a b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.【答案】7【思路】因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a b +、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.【解析】因为,a b 互质，所以a b +、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得1a b ==，4p =，不是质数舍； 381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得7a =，1b =，7p =，符合题意. 则7p =.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 【答案】34【思路】考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.【解析】设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34. 由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设,A B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果22A B -是完全平方数，求A 的值.【思路】对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a b +，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.【解析】设()101,9,,A a b a b a b N =+≤≤∈，则10B b a =+，由,A B 不同得a b ≠，()()()()22221010911A B a b b a a b a b -=+-+=⨯⨯+-.由22A B -是完全平方数，则a b >，()()11|a b a b +-，可得11a b +=，a b -也是完全平方数，所以1a b -=或4.若1a b -=，则6a =，5b =；若4a b -=，则没有正整数解. 因此6a =，5b =，65A =.二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，BE DE ⊥，CF DF ⊥，P 为AD 与EF 的交点.证明：2EF PD =.【思路】因为EF 、PD 都在DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出90EDF ∠=︒，此时若能得出EP PD =，则自然可以得到结论.【解析】由DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，可得90EDF ∠=︒. 由BE DE ⊥得BE △DF ，则EBD FDC ∠=∠.又BD DC =，90BED DFC ∠=∠=︒，则BED △DFC ，BE DF =. 得四边形BDFE 是平行四边形，PED EDB EDP ∠=∠=∠，EP PD =. 又△EDF 是直角三角形，2EF PD ∴=.三、（本题满分 25 分）已知,,a b c 是不全相等的正整数，求222a b c a b c ++++的最小值.【思路】通过,,a b c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用,,a b c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b c b c +--+-==--可得2b ac =.()()22222a c ba b c a c b a b c a c b+-++==+-++++.不妨设a c <，若1a =，2c b =，因为a b ≠，则()113a c b b b +-=+-≥，取等号当且仅当2b =时.若2a ≥，因为1c b ≠≠，则()1243a c b a b b a +-=+-≥+≥>.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当1a =，2b =，4c =时.。

2017年全国初中数学联赛

2017年全国初中数学联赛（初二决赛）试卷（3月26日上午8：45---11：15）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。

将你选择的答案的代号填在题后的括号内。

每小题选对得7分；不选或错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、六位朋友一起去吃饭，实行AA 制，即大家均摊费用。

因为小王忘了带钱，所以其他人每人多付了5元钱，则这顿饭共花费（）A.90元B.120元C.150元D.180元x-m ＜02、若关于x 的不等式组 9-2x ＜1，的整数解共有5个，则实数m 的取值范围为（）A.8≤m ＜9B.8＜m ≤9C.9≤m ＜ 10D.9＜m ≤103、如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上的动点，将△EFB 沿EF 所在直线折叠得到△EFB ′，连接DB ′，则DB ′的最小值为（） A.10-1 B.3 C.13-1 D.24、已知三角形的三条边长为a ，b ，13，且a ，b 为整数，a ＜b ＜13，则（a ，b)的组数共有（）A.26组B.30组C.36组 D49组5、已知△ABC 中，AB=210，BC=6，CA=2,点M 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D.则BD= （） A.1 B.313 C.13136 D.13 6、已知非零实数x 、y 、z 满足x 2+20171+y =y 2+20171+z =z 2+20171+x ，则zx yz xy z y x ++++222的值为（）A.1或3B.1或-3C.-1或3D.-1或-3二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上。

7、已知a=321+，b=321-，则2a 2-5ab+2b 2的值为 . 8、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于M ，且AB=AC ，AB ⊥AC ，BC=BD ，那么∠AMB 的度数为 .9、从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数为偶数的概率为 .10、如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=10，点D 、E 在线段BC 上，且CD=2，BE=5，点P ，Q 分别是线段AC 、AB 上的动点，则四边形PQED 周长的最小值为 .11、已知关于x 的方程12--x =a 有且仅有两个解，求实数a 的取值范围.四、解答题（本题满分25分）12、如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠B=90°，D 为BC 的中点，E 为线段AC 上一点，且∠EDC=∠ADB.求BDED BE +的值.13、从连续的自然数1，2，……，2017中可以取出n个不同的数，使所取的这n个不同的数中任意三个数之和都能被21整除.求正整数n的最大值.。

2017年全国初中数学联合竞赛试题含答案

2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3b+c＝（）a +2bA. 2．B. 1．C. 0．D.-1．【答】B.已知等式可变形为 2( a+ 2b) + 3(3b+c ) = 90 ， 3( a+ 2b) + (3b+c ) = 72 ，解得a+2b=18，3b+c=18 ，所以3b+c=1.a +2b2．已知△ABC的三边长分别是a,b,c，有以下三个结论：（1）以a,b,c为边长的三角形一定存在；（2）以 a 2, b 2, c2为边长的三角形一定存在；（3）以 | a-b | +1,| b-c | +1,| c-a | +1 为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设 a ≥ b ≥ c ，则有 b + c > a .（1）因为 b + c > a ，所以 b + c +222b +c > a ，故以a,b,c为bc > a ，即( b + c ) >（ a），即边长的三角形一定存在；（2）以 a =2, b =3, c =4为边长可以构成三角形，但以 a 2= 4, b2= 9, c2=16 为边长的三角形不存在；（3）因为 a ≥ b ≥ c ，所以| a - b |+1= a - b +1,| b - c |+1= b - c +1,| c - a |+1= a - c +1，故三条边中| c - a |+1大于或等于其余两边，而（| a-b | +1）+（| b-c | +1）=（a-b+ 1）+（b-c+1）=a-c+ 1 + 1 >a -c+ 1 =| c-a | +1 ，故以 | a-b | +1 ， | b-c | +1 ， | c-a | +1 为边长的三角形一定存在.3．若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若( a, b, c) 为好数组，则abc= 2( a+b+c ) ≤ 6c，所以ab≤6.显然，a只能为1或2.若a ＝2，由ab≤6可得b=2或3，b=2时可得c=4，b=3时可得c=52（不是整数）；若a ＝1，则bc=2(1+b+c)，于是可得(b-2)(c-2)=6，可求得(a,b,c)＝（1，3，8）或（1，4，5）.综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 ∠BAD + ∠ACB = 180︒，且 BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ， AB = 6 ，则 DO ＝（）OB10 8 64A.．B.．C.．D.．D9 7 5 3E【答】A.C过 B 作 BE // AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 ∠ABE = 180︒ - ∠BAD= ∠ACB ，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以AC = BC ，所以4O3AB EBAB ⋅ BC6 ⨯318BEB = = = .A6AC 5 5再由 BE // AD ，得 DO = AD = 4 = 10 .BEOB 18 955．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在 CB 的延长线上，满足 ∠BAF = ∠CAE .已知 BC =15 ， BF = 6 ， BD = 3 ，则 AE ＝（）AA. 4 3 ．B. 2 13 ．C. 2 14 ．D. 2 15 ．【答】B.FBDEC如图，因为 ∠BAF = ∠CAE ，所以 ∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ，即 6 3∠FAE = ∠BAC = 90︒ .又因为 AD ⊥ BC ，故 AD 2 = DE ⋅ DF = DB ⋅ DC .而 DF = BF + BD = 6 + 3 = 9 ，DC = BC - BD = 15 - 3 =12 ，所以 AD 2 = DE ⋅ 9 = 3 ⋅ 12 ，所以 AD = 6 ，DE= 4 . 从而 AE = AD 2 + DE 2 = 62 + 42 = 213 .6．对于正整数 n ，设 a 是最接近的整数，则 1 + 1 + 1 + +1 = （ n）na 1 a 2 a 3a200A. 191 ．B. 192 ．C. 193 ．D. 194 ．777 7 【答】A.对于任意自然数 k ， ( k +1 )2 = k 2 + k + 1不是整数，所以，对于正整数 n ，- 1 一定不是整数.n24 2的整数，则| m - |< 1 ， m ≥1.设 m 是最接近 nn2易知：当 m ≥1时，| m - |< 1 ⇔ ( m - 1 ) 2 < n < ( m + 1 )2⇔ m 2 - m + 1 < n < m 2 + m + 1 .n 2 2 24 4 于是可知：对确定的正整数 m ，当正整数 n 满足 m 2 - m + 1 ≤ n ≤ m 2+ m 时，m 是最接近的整数，n 即 a n = m .所以，使得 a n ＝ m 的正整数 n 的个数为 2m .注意到132 + 13 = 182 < 200 < 14 2 + 14 = 210 ，因此， a , a , ,8 个 4，……，26 个 13，18 个 14.所以1+1+1+ +1= 2 ⨯1+ 4 ⨯1+ 6 ⨯1+ + 26 ⨯1+ 18⨯1=191.a a a a12313147 123200二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．使得等式 1 + 1+a=3a 成立的实数 a 的值为_______．【答】 8 .由所给等式可得 (1 + 1 +a )3=a2.令 x =1+a，则 x ≥0，且a=x2-1，于是有(1+ x )3=( x2-1)2，整理后因式分解得x ( x -3)( x +1)2=0，解得 x= 0 ，x= 3 ，x= -1 （舍去），所以a= -1或a=8.123验证可知： a = -1是原方程的增根， a =8是原方程的根.所以， a =8.2．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=72︒，AF⊥BC于点F， AFM交 BD 于点 E ，若 DE =2AB ，则∠AED ＝_______．【答】 66︒.BE 取 DE 的中点 M ，在Rt△ ADE中，有 AM = EM =1DE = AB .2设∠AED =α，则∠AME =180︒ -2α，∠ABM =α-18︒.又∠ABM = ∠AMB ，所以180︒ -2α=α-18︒，解得α=66︒.3．设m,n是正整数，且m>n.若9m与9n的末两位数字相同，则m-n的最小值为．【答】10.由题意知，9m- 9n= 9n⋅ (9m-n-1) 是100的倍数，所以9m-n-1是100的倍数，所以9m-n的末两位数字是 01，显然，m-n是偶数，设m-n=2t（t是正整数），则9m-n=92t=81t .计算可知： 812的末两位数字是61， 813的末两位数字是41， 814的末两位数字是21， 815的末两位数字是 01.所以 t 的最小值为5，从而可得 m - n 的最小值为10.4．若实数 x, y 满足 x 3+ y 3+3 xy =1，则 x 2+ y2的最小值为．1【答】2 .因为0= x 3+ y 3+3 xy -1=( x + y )3+(-1)3-3 x 2 y -3 xy 2+3xy=( x+y- 1)( x2+y2-xy+x+y+1) =12(x+y-1)[(x-y)2+(x+1)2+(y+1)2]，所以 x = y = -1或x+y=1.若x = y = -1，则 x 2+ y2＝2.若x + y =1，则x2+y2=12[(x+y)2+(x-y)2]=12[1+(x-y)2]≥12，当且仅当x=y=12时等号成立.所以， x 2+ y2的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与 x 轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象与 x 轴有唯一交点，所以∆1=b2-4ac=0，所以b2=4ac≠0.故二次函数 y = a 3 x 2+ b3 x + c3的判别式∆2=(b3)2-4a3c3=b6-161(4ac)3=b6-161(b2)3=1615b6>0 ，所以，二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2＝（）A. 424．B. 430．C. 441．D. 460．【答】C.由已知等式消去 c 整理得( a -9)2+3(b -1)2=75，所以3(b -1)2≤75，又b为正整数，所以1≤b≤6.若b ＝1，则( a -9)2=75，无正整数解；若b ＝2，则( a -9)2=72，无正整数解；若b ＝3，则( a -9)2=63，无正整数解；若b ＝4，则( a -9)2=48，无正整数解；若b ＝5，则( a -9)2=27，无正整数解；若b ＝6，则( a -9)2=0，解得a=9，此时c=18.因此， a =9，b＝6， c =18，故a2+b2+c2=＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若∠BAD+ ∠ACB=180︒，且BC=3，AD=4，AC =5， AB =6，则DO＝（）OBA.4．B.6．C.8．D.10．3579【答】D.解答过程与（A）卷第 4 题相同.6．题目和解答与（A）卷第 5 题相同.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.2 ．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠ACB=7∠OED，∠ABC =5∠OED ，则∠OED ＝_________.A 【答】10︒.如图，设∠OED = x ，则∠A B =C5，x ∠ACB =7x ，∠DOC= ∠BAC =180︒ -12x ，∠AOC =10x ，所以∠AOD =180︒ -2x ，∠ODE =180︒ - x -(180︒ -2 x)= x ，所以OD=OE=1OA =1OC ，所22B 以∠DOC =60︒，从而可得 x =10︒.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4.题目和解答与（A）卷第 4 题相同.EODC第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数 x, y 满足x+y=3，1+1=1，求 x 5+ y5的值. x+ y 2x 2+ y2解由1+1=1可得 2( x+y+x2+ y 2)= x 3+ y 3+ x 2 y 2+ xy . x + y 2x 2+ y2设xy = t ，则 x 2+ y 2=( x + y )2-2xy =9-2t ， x 3+ y 3=( x + y )[( x + y )2-3 xy ]=3(9-3t )，代入上式可得 2(3 + 9 - 2t ) = 3(9 - 3t ) +t2+t，解得t=1或t=3.……………………10分当 t =3时，xy=3，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+3=0的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当 t =1时，xy=1，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+1=0的两实数根，符合题意.此时x 5+ y 5=( x 2+ y 2)( x 3+ y 3)-( x + y ) x 2 y 2=(9-2t )⋅[3(9-3t )]-3t 2=123.……………………20分二（、本题满分 25 分）如图，△ ABC 中，AB > AC ，∠BAC = 45︒ ，E 是 ∠BAC的外角平分线与 △ ABC 的外接圆的交点，点 F 在 AB 上且 EF ⊥ AB . 已知 AF =1， BF = 5，求△ ABC 的面积.解在 FB 上取点 D ，使 FD ＝AF ，连接 ED 并延长，交△ ABC 的外接圆于点 G.由 EF ⊥AD ，AF ＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以∠AED ＝180︒ - 2 ∠EAD ＝∠BAC ， ……………………10 分EAFDCGB……………………15 分所以 AG = BC ，所以 AC = BG ，所以 AC ＝BG. 又∠BGE ＝∠BAE ＝∠ADE ＝∠BDG ，所以 BG ＝BD ，所以 AC ＝BD ＝5－1＝4， ……………………20 分△ ABC 的 AB 边上的高 h = AC sin 45︒ = 2 2 .所以，△ ABC 的面积 S = 1 ⋅ AB ⋅ h = 1 ⨯ 6 ⨯ 2 = 6 .2 2 ……………………25 分22三、（本题满分 25 分）求所有的正整数数对 ( a , b ) ，使得 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 . 解显然， 49 ⨯ 3b +8 为奇数，所以 a 为奇数.又因为 a 3 = 49 ⨯ 3b + 8 ≥ 49 ⨯ 3 + 8 > 53 ，所以 a > 5 .……………………5 分由 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 可得 a 3 - 8 = 49 ⨯3b ，即 ( a - 2)( a 2 + 2a + 4) = 7 2 ⨯3b . ……………………10 分设 ( a - 2, a 2 + 2a + 4) = d ，则 d 为奇数.注意到 a 2 + 2a + 4 = ( a - 2)( a + 4) +12 ，所以 d | 12 ，所以 d＝1 或 3. ……………………15 分⎧a - 2 = 7 2,⎧a - 2 = 3b,均无正整数解.……………………20 分若 d ＝1，则有 ⎨a 2 + 2 a + 4 或 ⎨a 2 + 2 a + 4 = 7 2 ⎪ = 3b ,⎪ , ⎩⎩⎧a - 2 = 3 ⨯7 2, ⎧a - 2 = 3b -1,解得 a =11， b = 3 . 若 d ＝3，则有 ⎨ 2 + 2 a + 4 b -1或 ⎨ 2 + 2 a + 4 = 3 ⨯7 2 ⎪ a = 3 , ⎪ a ,⎩⎩所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25 分第二试（B ）一、（本题满分 20 分）已知实数 a , b , c 满足 a ≤ b ≤ c ， a + b + c =16 ， a 2 + b 2 + c 2 +14 abc =128 ，求 c 的值.解设 a + b = x ， ab = y ，依题意有 x 2 - 2 y + (16 - x ) 2 +14 y (16 - x ) =128 ，整理得( x - 8) 2 = 1y ( x -8) ，8所以 x = 8 或 y = 8( x -8) .……………………10 分（1）若 x =8，则 a + b =8，此时 c ＝8.（2）若 y =8( x -8)，即 ab =8( a + b -8)，则( a -8)(b -8)=0，所以a=8或b=8.当a =8时，结合 a ≤ b ≤ c 可得 a + b + c ≥24，与 a + b + c =16矛盾.当b =8时，结合 a ≤ b ≤ c 及 a + b + c =16可得 a =0， c =8.综合可知： c =8.……………………20分二、（本题满分 25 分）求所有的正整数m，使得22m-1-2m+1是完全平方数.解当 m ＝1时，22m-1-2m+1=1是完全平方数.……………………5分当 m >1时，设22m-1-2m+1=n2（ n 为正整数）.注意到 22m-1- 2m+ 1 = 2 ⋅ (2m-1 ) 2- 2 ⋅ 2 m-1+ 1 = (2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2，故可得(2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2=n2，……………………10分所以 22m-2=n2- (2m-1- 1) 2= ( n+ 2 m-1- 1)( n- 2 m-1+1) .……………………15分设 x = n -2m-1+1， y = n +2m-1-1，则x<y， xy =22m-2，所以x,y均为2的方幂.……………………20分又 y - x =2m-2被4除余数为2，所以，只可能x=2， y =2m，故2⨯2m=22m-2，解得m=3.综上可知：满足条件的正整数 m 有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分 25 分）如图，O为四边形ABCD内一点，∠OAD= ∠OCB，DOA ⊥ OD ， OB ⊥ OC .求证：AB2+CD2=AD2+BC2.AOP 证明由题设条件可知∠AOD = ∠BOC =90︒，又∠OAD =∠OCB，所以△ AOD ∽△ COB ，……………………5分OD AO OC AOB所以OB=CO，从而OB=OD .……………………10分C 又∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = ∠AOB + ∠AOD = ∠DOB ，所以△ AOC ∽ △ DOB ，所以∠OAC = ∠ODB .……………………15分设AC 和BD交于点P，则∠APD = ∠AOD =90︒，所以 AC ⊥ DB ，……………………20分所以 AB 2+ CD 2=( AP 2+ PB 2)+( PD 2+ PC 2)=( AP 2+ PD 2)+( PB 2+ PC 2)= AD 2+ BC2.……………………25分。

2017全国初中数学联赛初一试题及答案

省市县（区）学校姓名考号（密封装订线内不要答题）得分评卷人得分评卷人）题答要不内线订装封密（）题答要不内线订装封密（90745154100,,=∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x y x 则道做错道设做对10.已知： a =1×2+2×3+3×4+!+99×100， b =2×4+3×5+4×6+!+100×102则b a −=_________.【解析】： −15147a −b =−3×2−3×3−3×4−!−3×100=−3×(2+3+!+100) −3×99×51=−1514711.小华为了备战2017年全国初中数学联赛，做了100道模拟选择题，估分时把对的20%估为错的,把错的20%估为对的,这样得到74道是正确的,那么小华真正做对道.【解析】： 12.若 a ,b ,c ,d 都是自然数，满足 a 3=b 2,c 4=d 3，且 a −d =33，则 b −c =______.【解析】4849或335设 a 3=b 2=p 6,c 4=d 3=q 12，所以 a =p 2,d =q 4.所以 33=p 2−q 4=(p −q 2)(p +q 2)，得 p +q 2=33,p −q 2=1或 p +q 2=11,p −q 2=3所以 p =17,q =4或 p =7,q =2,所以 b −c =p 3−q 3=4849或 335.三、解答题（本题满分20分）如图，一个九宫格内有八个正方形滑块，分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 现在滑动九宫格中的滑块，例如：依次将滑块 2下移一格，滑块 1右移一格，滑块 8上移 1格，滑块 2左移一格，可以得到图2.图1 图2图3 图4（1）是否可以经过若干次滑动，使得图1变为图3的情形？若可以，请指出操作方法；若不能，说明理由.（2）是否可以经过若干次滑动，使得图1变为图4的情形？若可以，请指出操作方法；若不能，说明理由.【解析】：（1）可以，先将滑块8移至空白处，其它滑块从7至1依次顺时针滑动一格，再重复一次该操作得到下图.再将8上移一格.即可得到图2.……………………（10分）（2）不能将某个滑块移入中间空格处，然后移动外围的7个滑块，再将中间的滑块移至外围。

2017年全国初中数学竞赛试题及答案

“《数学周报》杯”2017年全国初中数学竞赛（天津赛区）试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）（1）设x =(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1（C ）﹣1（D ）2【答】C ．解：由已知得2310x x ++=，于是2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-（2）已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则222x y z ++的最小值为( ).（A ）111（B ）0 （C ）5 （D ）5411【答】D ．解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，，可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125xy z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411．（3）若1x >，0y >，且满足3yy xxy x x y==，，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2（C ）92（D ）112【答】C ．解：由题设可知1y yx -=，于是 341y y x yx x -==，所以411y -=．故12y =，从而4=x ．于是92x y +=．（4）设333311111232011S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答】A ．解：当2 3 2011k =，，，，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭．于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．（5）点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定【答】C ．解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）（6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 .【答】31．解：由勾股定理,得 12)1(222+=-+=b b b a ．因为b 是整数，2011<b ，所以2a 第（5）题是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即2223 5 63，，，．因此a 一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .【答】16．解：在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6），（2，5），（2，5），（3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是61366=.（8）若y =a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 【答】32．解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+ 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=．（9）如图，双曲线xy 2=（x ＞0）与矩形OABC 的边CB ， BA 分别交于点E ，F ，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 .【答】32．解：如图，设点B 的坐标为a b （,）,则点F 的坐标为2b a （，）.因为点F 在双曲线2y x=上，所以 4.ab = 又点E 在双曲线上，且纵坐标为b ，所以点E 的坐标为2(,)b b.于是11212222221312.22OEF OEC FBEOFBC S S S S b b b a b a b b ab ∆∆∆=--=+-⨯⨯-⨯⨯-=+-=梯形（）（）（）（10）如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .【答】84．解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ① 又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故12()a b ab +=． ②由①②得 2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）（11）已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得 ()()11a a αβαβ+=-++=，， ………………………………5分两式相加，得2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，第（10）题第（9）题所以，2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，………………………………10分解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29. ………………………………………………20分（12）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠90=︒BDQ ．…………5分故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，. ……………………………………………………10分又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. ………………………………………………15分所以点P 为CH 的中点. ………………………………………………20分（13）如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. （Ⅰ）求证：∠ABP =∠ABQ ；（Ⅱ）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.解：（Ⅰ）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是，222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- …………5分又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ .故∠ABP =∠ABQ . …………………………………………………………10分（Ⅱ）解法一设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（Ⅰ）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以 AC 2-，AD =2. 因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PC ACDQ AD=，即a b ．所以a b +=．由（Ⅰ）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以32ab a b =+=，于是，可求得2==a b将b =代入223y x =，得到点Q ，12）. …………………15分再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得=k所以直线PQ 的函数解析式为1y x =+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为1y x =+，或1y =+. ………………20分解法二设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（Ⅰ）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x =将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由（Ⅰ），得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若Q x =代入上式得P x = 从而2()3P Q k x x =+=.同理，若Q x =可得2P x =-从而2()3P Q k x x =+.所以，直线PQ 的函数解析式为1y =+，或1y x =+. ………………………………………20分（14）已知0122011i a i >=，，　，　，　，且122011a a a <<<，证明：122011a a a ，，，中一定存在两个数i j a a i j <，（），使得(1)(1)2010i j j i a a a a ++-<．证明：令20101 2 20111i ix i a ==+，，，，， ……………………………………5分则20112010102010x x x <<<<<. …………………………………10分故一定存在1≤k ≤2017，使得11k k x x +-<，从而120102010111k k a a +-<++． …………………………………15分即 11(1)(1)2010k k k k a a a a ++++-<． …………………………………………20分。

2017年全国初中数学竞赛试题参考答案(1)

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为 A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里•不填、多填或错填得零分)1 •在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从 10解：因为4和9的最小公倍数为36, 19+ 36 = 55,所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.故选C . 2.已知 m h 一2，n =1 - . 2，且 (7m 2 -14ma)(3n 2 -6n - 7) =8，贝U a 的值等于()(A )— 5 ( B ) 5 ( C )— 9 (D ) 9答：C .解：由已知可得 m 2-2m=1，n 2 -2n =1 .又2 2(7m -14m a)(3n _6n _7) =8，所以 7 • a 3-7 =8，解得a = -9 .故选C .3. Rt △ ABC 的三个顶点A , B , C 均在抛物线y = x 2 上,并且斜边AB 平行于x 轴.若斜边上的高为h ，则()(A ) h ：：1 ( B ) h =1(C ) 1 ：： h 2( D ) h 2答：B .解:设点A 的坐标为(a,a 2)，点C 的坐标为(c,c 2) ( c £ a )，则点B 的坐标为(-a,a 2)，由勾股定理，得2 /、2 / 2 2、2AC 二(c -a) (c -a )，千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是(19千米处第一次同时经过这两 ).(A ) 36答：C .(D) 90(B ) 37 (C ) 552( 、2 / 2 2、2BC 二(c a) (c-a ),2 2 2AC BC 二 AB ,由于a 2 c 2，所以a 2 -c 2 =1，故斜边AB 上高h = a 2 -c 2 = 1 .故选B . 4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了 34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A ） 2004 （B ） 2005（C ） 2006（D ） 2007答：B .解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°.于是，剪过k 次后，可得（k + 1）个多边形，这些多边形的内角和为（k + 1）x 360°.因为这（k + 1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34X （ 62- 2）x 180° =34x 60x 180°，其余多边形有（k + 1）- 34= k — 33 （个），而这些多边形的内角和不少于（k — 33）x 180°.所以(k + 1)x 360°> 34x 60x 180° + ( k — 33)x 180 解得 k > 2005.当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1 个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了 58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形.再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到 33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪 58刀，便得到33个六十二边形和33x 58个三角形.于是共剪了所以/ 2 2 x 2(a -c )二 a 2 - c 258 + 33+ 33x 58= 2005 （刀）.故选B.5. 如图，正方形ABCD内接于。

2017年全国初中数学联赛初二卷和详解

2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-12.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.813.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.14.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.4605.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.C. D.6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7.=a的值为________.8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b是两个互质的正整数，且38abpa b=+为质数.则p的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.C. D.答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得AH =所以梯形ABCD 的面积为()1142⨯+=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.=a 的值为________.答案：8 对应讲次：所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得(321a =.令x ，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次：所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次：所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5；若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°.………5分由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC. ………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值.答案：3 对应讲次：所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b cb c +--+-==--b 2=ac. …10分()()22222a c ba b c a c b a b c a c b +-++==+-++++.………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分。

2017年杨浦区初中数学竞赛获奖名单

9
68
二等奖
2
吉翔
男
兰生复旦
9
68
二等奖
3
许馨月
女
兰生复旦
9
68
二等奖
4
陶思博
男
兰生复旦
9
68
二等奖
5
张赟喆
男
兰生复旦
9
66
二等奖
6
张真歌
女
杨浦实验
9
66
二等奖
7
伍俊霖
男
兰生复旦
9
66
二等奖
8
王金典
男
兰生复旦
9
65
二等奖
9
李远
男
存志学校
9
65
二等奖
10
诸皓庭
男
兰生复旦
9
65
二等奖
11
楼修逸
男
上外双语
女
复旦二附中
9
46
三等奖
28
刘雨晖
男
兰生复旦
9
45
三等奖
29
貟易
男
兰生复旦
9
45
三等奖
30
刘仕轩
男
上外双语
9
45
三等奖
31
习宇飞
男
上外双语
9
44
三等奖
32
袁田
男
兰生复旦
9
44
三等奖
33
陆嘉骐
男
杨浦实验
9
44
三等奖
34
孙彬焱
男
兰生复旦
9
43
三等奖
35
关帅
男

2008—2017年全国初中数学竞赛试题含答案

“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x ，y 满足：4x 4－2x 2＝3，y 4＋y 2＝3，则4x4＋y 4的值为（）（A ）7 （B ）1＋132（C ）7＋132（D ）52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）（A ）512（B ）49（C ）1736（D ）123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有（）（A ）6条（B ）8条（C ）10条（D ）124．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）（A ）52a （B ）1（C ）32（D ）a5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *（a *x ）＝－14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是_______．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟． 8．如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为______．9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为______．10．关于x ，y 的方程x 2＋y 2＝208(x －y )的所有正整数解为________．三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交FMD BA于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．简答：一．选择题 ACBBD ；二．填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9.163； 10. x ＝48， x ＝160，y ＝32； y ＝32．三．解答题：11. （1）k ＝2b －b 22(b ＋3)，b ＞ 2；（2）当 b ＝2＋10， k ＝－1时，△OAB 面积的最小值为7＋210； 12. 存在满足题设条件的质数p ，q . 当p ＝2，q ＝5时，方程2x 2－5x ＋ 2＝0 的两根为 x 1＝12， x 2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三角形. △ABC 的边 a ＝6，b ＝4，c ＝5，且∠A ＝2∠B ，证明略. 14. n 的最小值是5，证明略．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -++-=，则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为22(3)0b a b +-=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（）．（A）（B（C ）1 （D ）2【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BCAB AC=，即11aa a =+，所以， 210a a --=．由0a >，解得a =． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16.5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（）．（A ）2组（B ）3组（C ）4组（D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为 22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.577≈．于是 2y0 1 4 9 16 ∆11610988534显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、（第4题）图1 图2后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kxky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EFA 中，90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EFA ，AH AF AF AE=.而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．（第7题）又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．【答】6027．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以EF BFAC BC =，即 201520x x-=，解得607x =．所以60227CE x ==．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）（第9题）（第10题）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+=221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 22-≤t ≤22+所以，t 的取值范围为2t ≤2+⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在22-≤t ≤22+2t =-时,2min 3211162(21)2224c -=--+=. ………………20分12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<，所以0110k =，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CDDF BE AB=⋅．同理可得 CEEG AD AB=⋅．………………10分又因为tan AD BEACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅，于是可得 DF EG =． ………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分（第13A 题）连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E 四点共圆，故CED ABC ∠=∠．又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n ii a a a a b n +++-=-．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j i i j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若20 10a b b c==，，则a bb c ++的值为（）．（A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011解：D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++．代数式变形，同除b2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是（）．（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++=的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．方程思想，未达定理；要解一元二次不等式3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23BC =422-CD ＝2，则AD 边的长为（）．（A ）6（B ）64（C ）64+ （D ）622+ 解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AE 6CF ＝22DF ＝6于是 EF ＝4＋6．过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD 222(46)(6)(224)=++=+226+（第3题）（第3题）勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ （取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．高斯函数；找规律。

2017年全国初中数学联合竞赛决赛(初三第1试B卷)

2017年全国初中数学联合竞赛决赛（初三）试题第一试（B ）（3月26日上午8﹕30——9﹕30）（本试两个大题共10个小题，全卷满分70分.）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知二次函数2y ax bx c =++(0)c ≠的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数3233y a x b x c =++的图象与x 轴的交点个数为（）A.0B.1C.2D.不确定2.已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b c a b ++＝（） A.2 B.1 C.0 D.1-3.若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且2()abc a b c =++，则称(,,)a b c 为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1 B2 C3D4 4.已知正整数,,a b c 满足226390,60,a b c a b c --+=-++=则222a b c ++=（）A.424B.430C.441D.4605.设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若180BAD ACB ∠+∠=︒，且3BC =，4AD =，5AC =，6AB =，则DO OB＝（） A.43 B.65 C.87 D.1096设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD BC ⊥于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上，满足BAF CAE ∠=∠.已知15BC =，6BF =，3BD =，则AE ＝（）A. B. C. D.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）（本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.）1.=成立的实数a 的值为_______2.设O 为锐角三角形ABC 的外心，,D E 分别为线段,BC OA 的中点，7,ACB OED ∠=∠5,ABC OED ∠=∠则OED ∠=_______3.设,m n 是正整数，且m n >.若9m 与9n的末两位数字相同，则m n -的最小值为4若实数,x y 满足3331x y xy ++=，则22x y +的最小值为_______第二试（B ）（3月26日上午9﹕50——11﹕20）考生注意：本试共三个大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分.一、（本题满分20分）已知实数,,a b c 满足a b c ≤≤，16a b c ++=，22211284a b c abc +++=，求c 的值.二、（本题满分25分）求所有的正整数m ，使得21221m m --+是完全平方数.三、（本题满分25分）如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ∠=∠，OA OD ⊥，OB OC ⊥.求证：2222AB CD AD BC +=+.B。