线性规划教学设计

线性规划教学设计

教学目标●掌握如何利用二元一次不等式及不等式组表示平面区域；掌握线性约束条件等基本概念；掌握利用图形解决线性规划问题的方法,并能应用这个方法解

决简单的实际问题.

●培养学生画图能力和解决实际问题的能力.

重点难点●重点是会利用二元一次方程表示平面区域来解决问题

●难点是如何把实际问题转化为线性规划问题,并解决.

●疑点是怎样的实际问题的最优解可用线性规划来解决.

教学过程

●引入新课我们知道,二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域,从这里开始,我们来研究它的应用.

●引导设问画出下列不等式组表示的平面区域

x-4y≤-3

3x+5y≤25

x≥1

○学生活动学生利用上节课的知识很容易就可以画出来.

●引导设问设z=2x+y，式中变量x,y满足上列条件,求z的最值(图像略).

▲教师引导 z=2x+y中,假如z是常数,那么它表示一条直线.这道题实际上就是求x+2y的变化范围.那怎样才能表示出它的范围呢?

○学生活动学生应该能用图形的方法看出正确答案.

▲教师讲述点(0,0)不在这个三角形区域内,(图可由大屏幕上给出)点(0,0)在直线L

:2x+y=0上.作一组和之平行的直线L:2x+y=t, t∈R.可知,当L在

L

的右上方时,直线L上的点(x,y)满足2x+y>0.

即当t>0,而且L往右平移时,t随之增大,在经过不等式组表示的平面区域内

的点且平行于L的直线中,以经过点A(5,2)的直线L

1

对应的t最大,以经过点

B(1,1)的直线L

2

对应的t最小,所以

Z

max =12; Z

min

=3.

▲教师讲述在上述问题中,不等式组是一组对变量x,y的约束条件,这组

约束条件都是关于x,y的一次不等式,所以又称为线性约束条件.z=2x+y是欲达到最小值或最大值所涉及的变量x,y的解析式,叫做目标函数.由于z=2x+y又是x,y的一次解析式,所以又叫做线性约束函数.上述问题就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题.

线性约束条件除了用一次不等式表示外,有时也用一次方程表示.一般地,求线性目标函数在约束条件下的最大值和最小值的问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,他们都叫做这个问题的最优解.

●引导设问例一: 解下列线性规划问题:求z=2x+y的最小值和最大值,使式中的x,y满足约束条件

y≤x

x+y≤1

y≥-1

同学们根据上面的题的解决方法来解决这道题.用刚才学习的定义来说明,并写出解决此类问题的具体解决步骤.

○学生活动在老师的提示下,按照前一个题的解决过程,快速的解决此问题,并可以给出解决步骤.

▲教师讲述解:先作出可行域来(图像略),再求得可行域所确定三角形的三个顶点A(0.5,0.5), B(-1,-1), C(2,-1).

作出直线L0:2x+y=0,再将直线L0平移,当L0的平行线L1过B点时,可使z=2x+y达到最小值,当L0的平行线L2过C点时,可使z=2x+y达到最大值.

所以,Z min=2×(-1)+(-1)=-3, Z max=2×2+(-1)=3.

●课堂练习课后练习第一题.解下列线性规划问题:

(1).求z=2x+y的最大值,使式中的x,y满足约束条件

y≤x

x+y≤1

y≥-1

(2).求z=3x+5y的最大值和最小值,使式中的x,y满足约束条件

5x+3y ≤15

y ≤x+1

x-5y ≤3

▲教师说明 我们上面解决的问题可以说是纯粹的问题,和具体的生产实际没有什么联系.而生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.下面我们来解决一道这类应用题.

●提出问题 例二: 要将两种大小不同的钢板截成A,B,C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:

类型 A 规格 B 规格 规格

钢板

第一种钢板 2 1 1

第二种钢板 1

2 3

今需要A,B,C 三种规格的成品分别为15,18,27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少.

▲教师说明 解决此类问题的第一步是列出不等式组作出可行域;第二步是找出最优解对应的点;第三步是求最值.

○学生活动 据解决问题的步骤慢慢的,有次序的解决此类问题.

▲教师讲述 解:设需截第一种钢板x 张,第二种钢板y 张,则

2x+y ≥15 x+2y ≥18

x+3y ≥27

x ≥0

y ≥0

作出可行域(图像略).

目标函数为 z=x+y.

作出在一组平行线x+y=t (t 为常数)中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线,此直线经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A(

539,518).直线方程为x+y=557.由于518和5

39都不是整数,而最优解(x,y)中,x,y 必须是整数,所以,可行域

内点(5

39,518)不是最优解. 经过可行域内的整点(横,纵坐标都是整数的点)且与原点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.

答: 要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种,第一种截法是截第一种钢板3张,第二种钢板9张; 第二种截法是截第一种钢板4张,第二种钢板8张. 两种方法都最少要截两种钢板共12张.

▲注意问题 要讲清楚如何找整点.

●课堂练习 课后练习第二题

课堂总结

▲作业 P 65 2.(1);3.

▲总结归纳 解线性规划应用题的步骤

1).审题;

2).列出目标函数和线性约束条件;

3).作图,找出可行域;

4).找最优解;

5).回答实际问题.