运筹学第9章 目标规划
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课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验
第九章
目标规划
管
理
运
筹
学
1
§1 目标规划问题举例
例1．企业生产 • 不同企业的生产目标是不同的。多数企业追求最大的经济效益。 但随着环境问题的日益突出，可持续发展已经成为全社会所必须 考虑的问题。因此，企业生产就不能再如以往那样只考虑企业利 润，必须承担起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、公众形 象等多个方面。兼顾好这几者关系，企业才可能保持长期的发展。 例2．商务活动 • 企业在进行盈亏平衡预算时，不能只集中在一种产品上，因为某 一种产品的投入和产出仅仅是企业所有投入和产出的一部分。因 此，需要用多产品的盈亏分析来解决具有多个盈亏平衡点的决策 问题（多产品的盈亏平衡点往往是不一致的）。
管 理 运 筹 学
4
显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是 限制风险，一是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的
优先权。
假设第一个目标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确 保收益）大，这意味着求解过程中必须首先满足第一个目标，然
后在此基础上再尽量满足第二个目标。
• 建立模型：
设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。
i 1
两目标(多目标)规划
• 以课程最少为目标， 不管学分多少。 • 以学分最多为目标， 不管课程多少。
管 理 运
Min { Z , W }
多目标优化的处理方法：化成单目标优化。
最优解如上，6门课 程，总学分21 。 最优解显然是选修所 有9门课程 。
筹 学
23
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
2000
(810,1476) 1000 d1+＝0 d1+>0 d2->0 0 1000 2000
d2-=0
20x1＋50x2≤90000
x1 3000 4000 5000
图3 图解法步骤3
管
理
运
筹
学
12
目标规划的这种求解方法可以表述如下： 1．确定解的可行区域。 2．对优先权最高的目标求解，如果找不到能满足该目标的解， 则寻找最接近该目标的解。 3．对优先权次之的目标进行求解。注意：必须保证优先权高的 目标不变。 4. 重复第3步，直至所有优先权的目标求解完。
管
理
运
筹
学
13
四、目标规划模型的标准化 例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简
便，把它们用一个模型来表达，如下：
Min P1（d1+）+P2（d2-） s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700
3x1+4x2-d2++d2-=10000
管
理
运
筹
学
18
§4 加权目标规划
• 加权目标规划是另一种解决多目标决策问题的方法，其基 本方法是通过量化的方法分配给每个目标的偏离的严重程 度一个罚数权重，然后建立总的目标函数，该目标函数表 示的目标是要使每个目标函数与各自目标的加权偏差之和 最小，假设所有单个的目标函数及约束条件都符合线性规 划的要求，那么，整个问题都可以描述为一个线性规划的 问题。 • 如果在例7中我们对每周总耗费的人力资源超过680工时或 低于600工时的每工时罚数权重定为7；每周利润低于70000 元时，每元的罚数权重为5；每周产品A产量低于200件时每 件罚数权重为2，而每周产品B产量低于120件时每件罚数权 重为4。
管 理 运 筹 学
3
§2
ห้องสมุดไป่ตู้
目标规划的图解法
例6．一位投资商有一笔资金准备购买股票。资金总额为90000元，目前可 选的股票有A和B两种（可以同时投资于两种股票）。其价格以及年收 益率和风险系数如表1：
股票
A B
价格（元）
20 50
年收益（元） ／年 3
4
风险系数
0.5 0.2
从上表可知，A股票的收益率为（3／20）×100％＝15％，股票B 的收益率为4／50×100％＝8％，A的收益率比B大，但同时A的风险也 比B大。这也符合高风险高收益的规律。 试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于700，且投资收 益不低于10000元。
管
理
运
筹
学
5
一、约束条件
首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。 再来考虑风险约束：总风险不能超过700。投资的总风险为 0.5x1＋0.2x2。
引入两个变量d1+和d1-,建立等式如下：
0.5x1 +0.2x2=700+d1+-d1其中，d1+表示总风险高于700的部分，d1-表示总风险少于700的 部分，d1+≥0。 目标规划中把d1+、d1-这样的变量称为偏差变量。偏差变量的作 用是允许约束条件不被精确满足。
目标是满足风险不超过700。分配给第一个目标较高的优先权P1,
分配给第二个目标较低的优先权P2。 针对每一个优先权，应当建立一个单一目标的线性规划模型。 首先建立具有最高优先权的目标的线性规划模型，求解；然后再 按照优先权逐渐降低的顺序分别建立单一目标的线性规划模型，
方法是在原来模型的基础上修改目标函数，并把原来模型求解所
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验
管
增加约束
9
xi 6，
i 1
以学分最多为目标求解。
最优解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为0；总 学分由21增至22。
学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
管 理 运 筹 学
20
例2 选课策略
课号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
课名
微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验
学分
5 4 4 3 4 3 2 2 3
所属类别
数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
决策变量
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
管
理
运
筹
学
22
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？
课程最少
Min Z
学分最多
Max
9
xi
W 5 x1 4 x 2 4 x 3 3 x 4 4 x 5 3 x 6 2 x 7 2 x8 3 x9
也不能超过680工时；
对应P2有一个目标：每周的利润超过70000元；
对应P3有两个目标：每周产品A和B的产量分别不低于200和
120件。
管
理
运
筹
学
16
采用简化模式，最终得到目标线性规划如下： Min P1(d1+)+ P1(d2－)+P2(d3-)+ P3(d4-)+ P3(2d5-)
s.t.
2x1+3x2-d1++d1-=680 对应第1个目标
管 理 运 筹 学
9
x2
4000
3000
0.5x1 +0.2x2=700
2000
1000
20x1＋50x2≤90000
0
1000
2000
3000
4000
5000
x1
图2 图解法步骤2
管
理
运
筹
学
10
2．针对优先权次高的目标建立线性规划 优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。
建立线性规划如下：
2x1+3x2-d2++d2-=600
对应第2个目标
250x1+125x2-d3-+d3+＝70000 对应第3个目标 x1-d4++d4-=200 x2-d5++d5-=120 对应第4个目标 对应第5个目标
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0
理 运
1 2 3
4 5 6 7 8 9
注意：最优解不唯一！
可将x9 =1 易为x6 =1 LINDO无法告诉优化 问题的解是否唯一。
筹 学
24
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y 1 Z 2W 0 . 7 Z 0 . 3W
管 理 运 筹 学
6
把等式转换，可得到 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700。
再来考虑年收入:
年收入=3x1+4x2
引入变量d2+和d2-，分别表示年收入超过与低于10000的数量。
于是，第2个目标可以表示为 3x1+4x2-d2++d2-=10000。
管
理
运
筹
学
7
二、有优先权的目标函数 本问题中第一个目标的优先权比第二个目标大。即最重要的
先修课要求
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程
应用统计 微积分；线性代数
要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
管 理 运 筹 学
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0-1规划模型
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 所属类别 数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
管
理
运
筹
学
19
• 则其目标函数化为： min7d1++7d2-+5d3-+2d4-+4d5这就变成了一个普通的单一目标的线性规划问题 min7d1++7d2-+5d3-+2d4-+4d5-
s.t.
2x1+3x2-d1++d1-=680 2x1+3x2-d2-+d2+=680 250x1+125x2-d3-+d3+=70000 x1-d4++d4-=200 x2-d5++d5-=120 x1,x2,d1+,d1-,d2-,d2+, d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0 。
200和120件，因为B产品比A产品更重要，不妨假设B完成最低产
量120件的重要性是A完成200件的重要性的1倍。 试求如何安排生产？
管 理 运 筹 学
15
解： 本问题中有3个不同优先权的目标，不妨用P1 、P2 、P3 表示 从高至低的优先权。 对应P1有两个目标：每周总耗费人力资源不能低于600工时,
管 理 运 筹 学
17
使用运筹学软件求解可得： x1=250；x2=60；d1+=0；d1-=0；d2+=80；d2-=0；d3+=0；d3-=0； d4+=50；d4-=0；d5+=0；d5-=60，目标函数d4-+2d5- =120。 可见，目标1、目标3和目标4达到了，但目标2、目标5都有
一些偏差。
得的目标最优值作为一个新的约束条件加入到当前模型中，并求 解。
管 理 运 筹 学
8
三、图解法 1．针对优先权最高的目标建立线性规划
建立线性规划模型如下：
Min d1+
s.t.
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-≥0
Min d2s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700
3x1+4x2-d2++d2-=10000
d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
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x2
4000
3000 0.5x1 +0.2x2=700 3x1+4x2=10000
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
管
理
运
筹
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§3 复杂情况下的目标规划
例7．一工艺品厂商手工生产某两种工艺品A、B，已知生产一件产 品A需要耗费人力2工时，生产一件产品B需要耗费人力3工时。A、
B产品的单位利润分别为250元和125元。为了最大效率地利用人
力资源，确定生产的首要任务是保证人员高负荷生产，要求每周 总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限； 次要任务是要求每周的利润超过70000元；在前两个任务的前提 下，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不低于
管
理
运
筹
学
2
例3．投资 • 企业投资时不仅仅要考虑收益率，还要考虑风险。一般地，风险 大的投资其收益率更高。因此，企业管理者只有在对收益率和风 险承受水平有明确的期望值时，才能得到满意的决策。 例4．裁员 • 同样的，企业裁员时要考虑很多可能彼此矛盾的因素。裁员的首 要目的是压缩人员开支，但在人人自危的同时员工的忠诚度就很 难保证，此外，员工的心理压力、工作压力等都会增加，可能产 生负面影响。 例5．营销 • 营销方案的策划和执行存在多个目标。既希望能达到立竿见影的 效果，又希望营销的成本控制在某一个范围内。此外，营销活动 的深入程度也决定了营销效果的好坏和持续时间。
第九章
目标规划
管
理
运
筹
学
1
§1 目标规划问题举例
例1．企业生产 • 不同企业的生产目标是不同的。多数企业追求最大的经济效益。 但随着环境问题的日益突出，可持续发展已经成为全社会所必须 考虑的问题。因此，企业生产就不能再如以往那样只考虑企业利 润，必须承担起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、公众形 象等多个方面。兼顾好这几者关系，企业才可能保持长期的发展。 例2．商务活动 • 企业在进行盈亏平衡预算时，不能只集中在一种产品上，因为某 一种产品的投入和产出仅仅是企业所有投入和产出的一部分。因 此，需要用多产品的盈亏分析来解决具有多个盈亏平衡点的决策 问题（多产品的盈亏平衡点往往是不一致的）。
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显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是 限制风险，一是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的
优先权。
假设第一个目标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确 保收益）大，这意味着求解过程中必须首先满足第一个目标，然
后在此基础上再尽量满足第二个目标。
• 建立模型：
设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。
i 1
两目标(多目标)规划
• 以课程最少为目标， 不管学分多少。 • 以学分最多为目标， 不管课程多少。
管 理 运
Min { Z , W }
多目标优化的处理方法：化成单目标优化。
最优解如上，6门课 程，总学分21 。 最优解显然是选修所 有9门课程 。
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多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
2000
(810,1476) 1000 d1+＝0 d1+>0 d2->0 0 1000 2000
d2-=0
20x1＋50x2≤90000
x1 3000 4000 5000
图3 图解法步骤3
管
理
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目标规划的这种求解方法可以表述如下： 1．确定解的可行区域。 2．对优先权最高的目标求解，如果找不到能满足该目标的解， 则寻找最接近该目标的解。 3．对优先权次之的目标进行求解。注意：必须保证优先权高的 目标不变。 4. 重复第3步，直至所有优先权的目标求解完。
管
理
运
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13
四、目标规划模型的标准化 例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简
便，把它们用一个模型来表达，如下：
Min P1（d1+）+P2（d2-） s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700
3x1+4x2-d2++d2-=10000
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§4 加权目标规划
• 加权目标规划是另一种解决多目标决策问题的方法，其基 本方法是通过量化的方法分配给每个目标的偏离的严重程 度一个罚数权重，然后建立总的目标函数，该目标函数表 示的目标是要使每个目标函数与各自目标的加权偏差之和 最小，假设所有单个的目标函数及约束条件都符合线性规 划的要求，那么，整个问题都可以描述为一个线性规划的 问题。 • 如果在例7中我们对每周总耗费的人力资源超过680工时或 低于600工时的每工时罚数权重定为7；每周利润低于70000 元时，每元的罚数权重为5；每周产品A产量低于200件时每 件罚数权重为2，而每周产品B产量低于120件时每件罚数权 重为4。
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§2
ห้องสมุดไป่ตู้
目标规划的图解法
例6．一位投资商有一笔资金准备购买股票。资金总额为90000元，目前可 选的股票有A和B两种（可以同时投资于两种股票）。其价格以及年收 益率和风险系数如表1：
股票
A B
价格（元）
20 50
年收益（元） ／年 3
4
风险系数
0.5 0.2
从上表可知，A股票的收益率为（3／20）×100％＝15％，股票B 的收益率为4／50×100％＝8％，A的收益率比B大，但同时A的风险也 比B大。这也符合高风险高收益的规律。 试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于700，且投资收 益不低于10000元。
管
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一、约束条件
首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。 再来考虑风险约束：总风险不能超过700。投资的总风险为 0.5x1＋0.2x2。
引入两个变量d1+和d1-,建立等式如下：
0.5x1 +0.2x2=700+d1+-d1其中，d1+表示总风险高于700的部分，d1-表示总风险少于700的 部分，d1+≥0。 目标规划中把d1+、d1-这样的变量称为偏差变量。偏差变量的作 用是允许约束条件不被精确满足。
目标是满足风险不超过700。分配给第一个目标较高的优先权P1,
分配给第二个目标较低的优先权P2。 针对每一个优先权，应当建立一个单一目标的线性规划模型。 首先建立具有最高优先权的目标的线性规划模型，求解；然后再 按照优先权逐渐降低的顺序分别建立单一目标的线性规划模型，
方法是在原来模型的基础上修改目标函数，并把原来模型求解所
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验
管
增加约束
9
xi 6，
i 1
以学分最多为目标求解。
最优解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为0；总 学分由21增至22。
学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
管 理 运 筹 学
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例2 选课策略
课号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
课名
微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验
学分
5 4 4 3 4 3 2 2 3
所属类别
数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
决策变量
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
管
理
运
筹
学
22
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？
课程最少
Min Z
学分最多
Max
9
xi
W 5 x1 4 x 2 4 x 3 3 x 4 4 x 5 3 x 6 2 x 7 2 x8 3 x9
也不能超过680工时；
对应P2有一个目标：每周的利润超过70000元；
对应P3有两个目标：每周产品A和B的产量分别不低于200和
120件。
管
理
运
筹
学
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采用简化模式，最终得到目标线性规划如下： Min P1(d1+)+ P1(d2－)+P2(d3-)+ P3(d4-)+ P3(2d5-)
s.t.
2x1+3x2-d1++d1-=680 对应第1个目标
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x2
4000
3000
0.5x1 +0.2x2=700
2000
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20x1＋50x2≤90000
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3000
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图2 图解法步骤2
管
理
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2．针对优先权次高的目标建立线性规划 优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。
建立线性规划如下：
2x1+3x2-d2++d2-=600
对应第2个目标
250x1+125x2-d3-+d3+＝70000 对应第3个目标 x1-d4++d4-=200 x2-d5++d5-=120 对应第4个目标 对应第5个目标
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0
理 运
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4 5 6 7 8 9
注意：最优解不唯一！
可将x9 =1 易为x6 =1 LINDO无法告诉优化 问题的解是否唯一。
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多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y 1 Z 2W 0 . 7 Z 0 . 3W
管 理 运 筹 学
6
把等式转换，可得到 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700。
再来考虑年收入:
年收入=3x1+4x2
引入变量d2+和d2-，分别表示年收入超过与低于10000的数量。
于是，第2个目标可以表示为 3x1+4x2-d2++d2-=10000。
管
理
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二、有优先权的目标函数 本问题中第一个目标的优先权比第二个目标大。即最重要的
先修课要求
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程
应用统计 微积分；线性代数
要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
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0-1规划模型
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 所属类别 数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
管
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• 则其目标函数化为： min7d1++7d2-+5d3-+2d4-+4d5这就变成了一个普通的单一目标的线性规划问题 min7d1++7d2-+5d3-+2d4-+4d5-
s.t.
2x1+3x2-d1++d1-=680 2x1+3x2-d2-+d2+=680 250x1+125x2-d3-+d3+=70000 x1-d4++d4-=200 x2-d5++d5-=120 x1,x2,d1+,d1-,d2-,d2+, d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0 。
200和120件，因为B产品比A产品更重要，不妨假设B完成最低产
量120件的重要性是A完成200件的重要性的1倍。 试求如何安排生产？
管 理 运 筹 学
15
解： 本问题中有3个不同优先权的目标，不妨用P1 、P2 、P3 表示 从高至低的优先权。 对应P1有两个目标：每周总耗费人力资源不能低于600工时,
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使用运筹学软件求解可得： x1=250；x2=60；d1+=0；d1-=0；d2+=80；d2-=0；d3+=0；d3-=0； d4+=50；d4-=0；d5+=0；d5-=60，目标函数d4-+2d5- =120。 可见，目标1、目标3和目标4达到了，但目标2、目标5都有
一些偏差。
得的目标最优值作为一个新的约束条件加入到当前模型中，并求 解。
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三、图解法 1．针对优先权最高的目标建立线性规划
建立线性规划模型如下：
Min d1+
s.t.
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-≥0
Min d2s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700
3x1+4x2-d2++d2-=10000
d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
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x2
4000
3000 0.5x1 +0.2x2=700 3x1+4x2=10000
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
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§3 复杂情况下的目标规划
例7．一工艺品厂商手工生产某两种工艺品A、B，已知生产一件产 品A需要耗费人力2工时，生产一件产品B需要耗费人力3工时。A、
B产品的单位利润分别为250元和125元。为了最大效率地利用人
力资源，确定生产的首要任务是保证人员高负荷生产，要求每周 总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限； 次要任务是要求每周的利润超过70000元；在前两个任务的前提 下，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不低于
管
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筹
学
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例3．投资 • 企业投资时不仅仅要考虑收益率，还要考虑风险。一般地，风险 大的投资其收益率更高。因此，企业管理者只有在对收益率和风 险承受水平有明确的期望值时，才能得到满意的决策。 例4．裁员 • 同样的，企业裁员时要考虑很多可能彼此矛盾的因素。裁员的首 要目的是压缩人员开支，但在人人自危的同时员工的忠诚度就很 难保证，此外，员工的心理压力、工作压力等都会增加，可能产 生负面影响。 例5．营销 • 营销方案的策划和执行存在多个目标。既希望能达到立竿见影的 效果，又希望营销的成本控制在某一个范围内。此外，营销活动 的深入程度也决定了营销效果的好坏和持续时间。