有限元基本方程推导
有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
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第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
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二维问题有限元
平面应变问 题应力应变 关系
2、二维问题最小势能原理
对于线弹性问题，结构的应变能为 1 V x x y y xy xy dV 2 V 1 t T T dV dA 2 V 2 A 外力势能为：
根据叉积的几何意义，可知：
2 r12 r13 (x 2 x1 )(y3 y1 ) (x 3 x1 )(y 2 y1 ) k 1 x1 (x 2 x1 )(y3 y1 ) (x 3 x1 )(y 2 y1 ) 1 x 2 1 x3 y1 y2 y3
x x y 0 xy
0 y
y u x v
T
1 1 x 0 x E1 1 0 y y 2 1 (1 1 ) 1 1 z xy 0 0 2
xy (1 ) 2 xy xy xy G E yz (1 ) 2 yz yz yz G E zx (1 ) 2 zx zx zx G E
(3)物理关系 (a)平面应力问题
考虑力矩的平衡，可得： 上式整理后，可得：
x yx Fx 0 x y x y xy F 0 0 y x y 0 y
xy yx
y x f x 0 y f x y 0
平面应力问 题应力应变 关系
E1 E ; 1 2 1
D
1
x 1 0 x E 1 0 y y 1 (1 2) 1 2 xy xy 0 0 2
有限元方法
§7. 两点边值问题的有限元方法
本节以两点边值问题为例，并从Ritz法和Galerkin法两 种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程.
7.1 基于Ritz法的有限元方程 7.2 基于Galerkin法的有限元方程
这样，我们就得到了单元有限元特征式的一般表示形式：
K(i)u(i) F(i)
第二步：总体合成.总体合成就是将单元上的有限元特征 式进行累加，合成为总体有限元方程. 这一过程实际上是将 单元有限元特征式中的系数矩阵（称为单元刚度矩阵）逐个 累加，合成为总体系数矩阵（称为总刚度矩阵）；同时将右 端单元荷载向量逐个累加，合成为总荷载向量，从而得到关 于的线性代数方程组．为此，记
于是有 u(i) (ui1,ui)TB (i)u
从而式(7.16)右端第一个和式为
1 nu iT K iu i 1 nu T [ ( B i) T K iB i] u 1 u T K u ，
2 i 1
2 i 1
2
其中
（未标明的元素均为0）这就是总刚度矩阵． 对式(7.16)右端第二个和式，有
其中，p x C 1 a , b , p 0 , q C a , b , q 0 , f C a , b
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3
1. 写出Ritz形式的变分问题
与边值问题(7.1)、(7.2)等价的变分问题是：
求
u*
H
1，使
E
其中，
Ju*m uH in1 EJu J u 1 a u ,u f,u
u j
便得到确定 u1,u2,
,un的线性代数方程组
有限元法的基本原理
第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。
经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。
从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。
它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。
通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。
在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。
尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。
通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。
2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。
3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。
4）有限元的收敛性和误差估计。
由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。
另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。
§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。
2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。
第二章 有限元分析基本理论
第二章 有限元分析基本理论有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。
单元内的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。
这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量(自由度)。
根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。
有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。
如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。
如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。
2.1 有限元分析的基本概念和计算步骤首先以求解连续梁为例，引出结构有限元分析的一些基本概念和计算步骤。
如图2-1，连续梁承受集中力矩作用。
将结构离散为三个节点，两个单元。
结构中的节点编号为1、2、32.1.1单元分析在有限元分析过程中，第一步是进行结构离散，并对离散单元进行分析，分析的目的是得到单元节点的力与位移的关系。
单元分析的方法有直接法和能量法，本节采用直接法。
从连续梁中取出一个典型单元e ，左边为节点i ，右边为节点j 。
将节点选择在支承点处，单元两端只产生转角位移e i θ、ej θ，顺时针转动为正。
独立的单元杆端内力为弯矩i m 、j m ，顺时针为正。
记：{}e j i eu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=θθ为单元e 的节点位移向量；{}ej i em m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=为单元e 的杆端力向量。
根据结构力学位移法可得如下平衡方程：⎪⎭⎪⎬⎫+=+=e j e e i e e j ej e e i e e i k k m k k m θθθθ22211211 (2-1)式中：ee e e ee i k k i k k 2412212211====，lEIi e =，EI 、l 分别为单元e 的抗弯刚度和长度。
c3d8有限元单元方程推导过程
有限元单元方程推导过程1.引言有限元分析是一种数值计算方法，用于求解结构力学、流体动力学等领域的物理问题。
在有限元分析中，有限元单元是构成整个有限元模型的基本单元，通过推导有限元单元的方程，可以实现对结构或系统的精确分析和计算。
本文将从有限元方法的基本原理出发，详细介绍有限元单元方程的推导过程。
2.有限元方法基本原理有限元方法是将连续的物理问题离散化，转化为有限个代表性元素的集合，通过对每个元素施加适当的边界条件和力学方程，最终得到整个系统的解。
有限元方法通过有限元单元之间的相互作用，从而模拟整个系统的行为。
3.有限元单元的概念有限元单元是有限元模型中最小的离散单元，它是对实际的结构或系统进行离散化的结果。
不同的物理问题和结构，可以采用不同类型的有限元单元进行离散化，如梁单元、壳单元、板单元等。
4.有限元单元方程的一般形式有限元单元方程的一般形式可以表示为：\[K_{e}U_{e}=F_{e}\]其中\(K_{e}\)为有限元单元的刚度矩阵，\(U_{e}\)为有限元单元的位移矢量，\(F_{e}\)为有限元单元的荷载矢量。
5.有限元单元方程推导的基本步骤有限元单元方程的推导主要包括以下几个基本步骤：5.1 单元刚度矩阵的推导首先需要根据有限元单元的几何形状和材料性质，推导出单元刚度矩阵。
单元刚度矩阵可以通过对单元内部的应变能量或者应力-应变关系进行积分得到。
5.2 单元位移矢量的表示在推导单元方程过程中，需要选择合适的位移矢量表示方式，可以采用基函数展开的方法，将位移矢量表示为一组未知系数乘以基函数的线性组合形式。
5.3 单元荷载矢量的求解单元荷载矢量是由外部施加的荷载和边界条件共同决定的，在推导单元方程的过程中需要将这些荷载转化为局部坐标系下的形式，并利用位移矢量的表示方式，将荷载矢量表达为位移矢量和未知系数的线性组合。
5.4 单元方程的组装需要将单元刚度矩阵、位移矢量和荷载矢量组装成完整的单元方程，可以通过坐标变换或者有限元单元之间的关系对单元方程进行组装。
第8章有限元法基础——二维热传导问题分析
x
k S T T cos d
x
h S T T T cos d f
h S T cos d h S
T
T
T f cos d
h S
T
T cos d
(e)
在x方向的传导矩阵为
0 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0
总 结
（1）双线性单元的传导矩阵为
2 2 1 1 k x w 2 2 1 1 k y l (e) K 6l 1 1 2 2 6w 1 1 2 2
2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2
x方向的传导分量，y方向的传导分量；
如果边界单元通过热对流有热量损失，传导 矩阵有如下附加项： 2 0 0 1 0 0 0 0 hl jm 0 2 1 0 hlni 0 0 0 0 (e) (e) K K 6 0 0 0 0 6 0 1 2 0 1 0 0 2 0 0 0 0
K
0 hl jm 0 6 0 0
K
(e)
2 hlni 0 6 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 2
h S T sin d 在y方向的传导矩阵为
T
K
(e)
2 hlij 1 6 0 0
0 hlmn 0 6 0 0
1 2 0 0
0 0 0 0
2
T
2
令 C1 k x， C2 ky ， C3 q 。上式变为如下形式：
S
A
T
T T d T (C1 2 )dA S (C2 2 )dA S C3 dA 0 A A y dx
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
传热问题的基本方程有限元分析
u t
u
kx
u x
u x
ky
u y
u )dV y
Q udV
V
q q0 ud
未知变量：
DISP u u
未知变量定义微分方程弱形式中 的变量
材料参数：
MATE ek ec q 1.0 1.0 0.0 kx(ky) ρc q
材料参数行对应微分方程弱形式 中的变量(考虑各向同性材料，各
在heatxy.fde给出单元的待求未知量，涉及到的材料参数，单元的形函数表达式，刚度 矩阵表达式和载荷表达式，以及为描述刚度矩阵和载荷向量而自定义的函数。 以下给出微分方程描述文件中与微分方程弱形式对应的部分(详细的解析见《有限元分析基础 和应用》中相关章节)：
微分方程弱形式：
V
(c
有限元计算模型
•施加材料属性：
在condition窗口中为a场(温度)和b场(热流)分别施加材料属性和边界条件，该模型只有一种 材料，材料赋值如下图所示：
a场面材料添加
•施加边界条件：
b场面材料添加
模型内壁保持0℃，外壁与外界发生对流交换(由边界条件文件来实现，在gid中通过赋边界材 料来实现)，边界赋值如下图所示：
ky
u y
u y
单元质量矩阵：
mass %1 ec*vol
c u u t
单元刚度矩阵对应微分方程弱形式 中的左端第二项
单元质量项对应微分方程弱形式中 的左端第一项，其中的ec表示密度
ρ与比热容c的乘积
单元载荷向量： load = +[u]*q*vol
向热传导系数相同即kx=ky=ek)
单元刚度矩阵：
dist = +[gu_i;gu_i]*ek*vol (其中gu是一向量，其分量为vect gu gux guy gu的表达式在该fde中对应：
有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.6四结点四边形等参元,2.7八结点曲线四边形等参元,2.8问题补充)
存在的。换句话说，为了使上述等参元能保持较好的精度，整体坐标系下所划分的任意四边形单元必须是
凸四边形，即任意内角都不能大于180°。四边形也不能太歪斜，否则会影响其精度。
利用雅可比的逆矩阵，即可求出整体坐标系下形函数的偏导数：
⎧∂Ni ⎫
⎧∂Ni ⎫
⎪ ⎪ ⎨
∂x
⎪
⎪
⎪ ⎬
=
[J
]−1
⎪ ⎨
∂ξ
⎪ ⎪ ⎬
i=i,j,m,p
为了实现上述结点坐标之间的变换，可利用母元的形函数，得出(ξ,η)和(x,y)之间的坐标变换式。
图形变换具有如下性质: 1. 母元中的坐标线对应于等参元的直线； 2. 四结点正方形母元对应于四个结点可以任意布置的直边四边形等参元； 3. 变换式(2-6-1)能保证相邻等参元的边界位移彼此协调。
《有限元》讲义
2.6 四结点四边形单元
(The four-node quadrilateral element)
前面介绍了四结点的矩形单元 其位移函数:
U = α1 + α 2 x + α3 y + α 4 xy V = α5 + α 6 x + α 7 y + α8 xy
为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化， 比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本 节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。
对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性 的（因边界不与x,y轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协 调元），而使收敛性受到影响。可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体 坐标中的四边形（图a）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。
第三讲 温度场的有限元分析
2T 2T 2 0 2 x y
T ( x, y ) f ( x, y )
平面稳态温度场的有限元法
• 2、平面稳态温度场的泛函 第二类边界条件平面稳态温度场
T 2 T 2 k J [T ( x, y )] [( ) ( ) ]dxdy qTds y 2 x 1
边界面上的热流密度q[w/m2]为已知
2T 2T 2 0 2 x y
T k n
q 0
1
平面稳态温度场的有限元法
• 2、平面稳态温度场的泛函 第三类边界条件平面稳态温度场
k T 2 T 2 1 2 J [T ( x, y )] [( ) ( ) ]dxdy ( T TaT )ds 2 x y 2 1
n
第三类边界条件： 给出物体周围介质温度以及物 体表面与周围介质的换热系数 T ＝ T w T f n
• 上述三类边界条件中，以第三类边界条件最为常 见。
传热基本原理
h,
h
温度场基本方程推导
• 一般三维问题，物体各点 的温度是坐标和时间变化 的，即
q q z z dz z
传热基本原理
• 上述偏微分方程式是传热学理论中的最 基本公式，适合于包括铸造、焊接、热 处理过程在内的所有热传导问题的数学 描述，但在对具体热场进行求解时，除 了上述偏微分方程外，还要根据具体问 题给出导热体的初始条件与边界条件。
传热基本原理
对具体热场用上述微分方程进行求解时，需要根据具体问 题给出导热体的初始条件与边界条件。
回顾第二讲
什么是插值函数、形函数？ 什么是应变矩阵、应力矩阵？ 什么是单元刚度矩阵？ 什么是整体刚度矩阵？ 有限元基本步骤？
固体力学有限元分析
f u f v f wdV T u T v T wd
V V xx xx yy yy z zz zz yz yz xz xz xy x y x y z
xy
dV
边界条件： 第一类边界条件:
u u0
v v0
w w 0
第二类边界条件： Tx f1 第三类边界条件： Tx f1 (u, v, w)
Ty f 2
Ty f 2 (u, v, w)
Tz f 3
Tz f3 (u, v, w)
有限元分析
运用迦辽金有限元法求位移，由上面的平衡方程可得：
xy yy yz xx xy xz ( f x ) u ( f y ) v x y z x y z 0 V yz ( xz zz f z ) wdV x y z
其中σu、σv、σw表示三个方向的虚位移。 对上式进行分部积分化为弱形式可得：
xx xx
f x u f y v f z wdV Tx u Ty v Tz wd
V
对于弹性体的应力，采用最小二乘法，由线弹性问题的本构方程可以得到如下的弱形式：
dV
V
V
D dV
线弹性问题属于固体力学中基础的学科分支，在ELAB1.0有限元软件中以公式库的形式提
供给大家，因此可以采用【公式库-固体力学-线弹性】直接生成的方式生成程序代码，
下面通过一个算例用ELAB1.0公式库来实现。
工程背景
三维工字形部件线弹性体，如下图所示，底面为边长为8m的正方体，上下两部分高度为2m，中间部 分高度为10m。该部件的弹性模量为1.0e10N/m2，泊松比为0.3，地面边界固定，上表面施加100N的均布 力载荷，分析该部件的位移、应力以及变形情况。
(完整版)有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。
有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。
在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组⎛A 1(u )⎫ ⎪A (u )= A 2(u )⎪=0（在Ω内）（2-1） M ⎪⎝⎭域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件⎛B 1(u )⎫ ⎪B (u )= B 2(u )⎪=0（在Γ内）（2-2）M ⎪⎝⎭要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：A (φ)=∂∂φ∂∂φ(k )+(k )+q =0（在Ω内）（2-3）∂x ∂x ∂y ∂y⎧φ-φ=0⎪B(φ)=⎨∂φ-q=0⎪k⎩∂n （在Γφ上）（在Γq上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/μ）；φ和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界Γ的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。