长沙市九年级上学期数学开学考试试卷
湖南省长沙市雅礼实验中学2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题
湖南省长沙市雅礼实验中学2022-2023学年九年级上学期开
学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
．．
．．
．舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约
A．2
=+
9．一次函数y ax b
图象可能是（）
．．．．
二、填空题
15．如图，在ABC 中，D ，E 分别为4AB =，7BC =，则EF 的长为
16．如图所示，已知二次函数y =点C ，对称轴为直线1x =．直线点在x 轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①③()x ax b a b +≤+；请写出所有正确选项的序号
三、解答题17．计算：()
(
1
2022
1231-⎛⎫
-+⨯ ⎪⎝⎭
-
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
0,4-，求出此时△AFP面积的最大值；
(2)如图1，当点F的坐标为()
(3)如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出
所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．。
湖南省长沙市九年级上学期数学开学试卷
湖南省长沙市九年级上学期数学开学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（每题3分，共30分） (共10题；共30分)1. （3分）(2017·锦州) ﹣的绝对值是（）A .B . ﹣C .D .2. （3分） (2019八上·南安期中) 下列式子中，正确的是（）A .B .C .D .3. （3分） (2020八下·富平期末) 若分式的值为0.则（）A .B .C .D .4. （3分）(2014·崇左) 在2014年5月崇左市教育局举行的“经典诗朗诵”演讲比赛中，有11名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中的一名学生想知道自己能否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的（）A . 众数B . 中位数C . 平均数D . 方差5. （3分）如图，平行四边形ABCD中，经过两对角线交点O的直线分别交BC于点E，交AD于点F. 若BC=7，CD=5，OE=2，则四边形ABEF的周长等于（）.A . 14B . 15C . 16D . 无法确定6. （3分）方程mx2-3x=x2-mx+2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为（）A . ｍ≠０B . ｍ≠１C . ｍ≠－１D . ｍ≠±１7. （3分）某商品进价是200元，标价是300元，要使该商品利润为20％，则该商品销售应按（）A . 7折B . 8折C . 9折D . 6折8. （3分）(2017·临沭模拟) 位于第一象限的点E在反比例函数y= 的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点．若EO=EF，△EOF的面积等于2，则k=（）A . 4B . 2C . 1D . ﹣29. （3分）如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC与BD相交于点E，下列结论中错误的是（）A . ∠DAE=∠CBEB . △DEA≌△CEBC . CE=DAD . △EAB是等腰三角形10. （3分）已知点P（x，y）满足y=，则经过点P的反比例函数的图像经过（）A . 第一、二象限B . 第三、四象限C . 第一、三象限D . 第二、四象限二、选择题（每题4分，共24分） (共6题；共24分)11. （4分）(2018·天河模拟) 分解因式：x2＋3x＝________.12. （4分） (2015七下·农安期中) 一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°．则∠BFD的度数是________．13. （4分） (2016九上·越秀期末) 若函数，当时，函数值y随自变量x的增大而减少，则m的取值范围是________．14. （4分）(2017·河北模拟) 计算：﹣2﹣1+ ﹣|﹣2|=________．15. （4分） (2019八下·乌鲁木齐期中) 连结矩形四边中点所得四边形是________.16. （4分） (2020八上·柯桥开学考) 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝________.三、解答题（本题有7小题，共66分） (共7题；共64分)17. （6分） (2019八下·绍兴期中) 计算：（1）（2）．18. （8分） (2016八上·兰州期中) 正方形的边长为2，建立合适的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．19. （8.0分） (2018·夷陵模拟) 学生小明、小华为了解本校八年级学生每周上网的时间，各自进行了抽样调查．小明调查了八年级信息技术兴趣小组中40名学生每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为2.5h；小华从全体320名八年级学生名单中随机抽取了40名学生，调查了他们每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为1.2h．小明与小华整理各自样本数据，如表所示．时间段（h/周）小明抽样人数小华抽样人数0～16221～210102～31663～482（每组可含最低值，不含最高值）请根据上述信息，回答下列问题：（1）你认为哪位学生抽取的样本具有代表性？________．估计该校全体八年级学生平均每周上网时间为________h；（2）在具有代表性的样本中，中位数所在的时间段是________h/周；（3）专家建议每周上网2h以上（含2h）的同学应适当减少上网的时间，根据具有代表性的样本估计，该校全体八年级学生中有多少名学生应适当减少上网的时间？20. （10分）(2020·温州模拟) 已知：如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.求证：BF＝DE21. （10分） (2019九上·上街期末) 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点.（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小.22. （12分）(2019·盐城) 如图所示・二次函数的图像与一次函数的图像交于A、B两点，点B在点A的右側，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0.（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.23. （10分）(2019·花都模拟) 已知：正方形ABCD，∠EAF＝45°．（1）如图1，当点E、F分别在边BC、CD上，连接EF，求证：EF＝BE+DF；童威同学是这样思考的，请你和他一起完成如下解答：证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，所以△ADF≌△ABG．（2）如图2，点M、N分别在边AB、CD上，且BN＝DM．当点E、F分别在BM、DN上，连接EF，探究三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，当点E、F分别在对角线BD、边CD上．若FC＝2，则BE的长为________．参考答案一、选择题（每题3分，共30分） (共10题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、选择题（每题4分，共24分） (共6题；共24分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题（本题有7小题，共66分） (共7题；共64分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、第11 页共11 页。
2021-2022学年湖南省长沙市某校九年级(上)开学数学试卷祥细答案与解析
2021-2022学年湖南省长沙市某校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1. 下列方程一定是一元二次方程的是( )−1=0 B.5x2−6y−3=0A.3x2+2xC.ax2+bx+c=0D.3x2−2x−1=02. 某班六名同学体能测试成绩（分）如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是（）A.众数是80B.方差是25C.平均数是80D.中位数是753. 菱形的两条对角线的长分别为60cm和80cm，那么边长是（）A.60cmB.50cmC.40cmD.80cm4. 如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是(−1, 0)，点C的坐标是(2, 4)，则BD的长是( )A.6B.5C.3√3D.4√25. 如图，在▱ABCD中，AD＝12，AB＝8，AE平分∠BAD，交BC边于点E，则CE的长为（）A.8B.6C.4D.26. 如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF＝25∘，则∠AED的度数为（）A.60∘B.65∘C.70∘D.75∘7. 二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b(a≠0)的图象大致是( )A. B.C. D.8. 若顺次连接对角线互相垂直的四边形ABCD四边的中点，得到的图形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形9. 若m是方程x2−2x−1＝0的根，则1+m−12m2的值为（）A.12B.1 C.32D.210. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A.255分B.84分C.84.5分D.86分11. 已知A(x1, y1)，B(x2, y2)是二次函数图象上y＝ax2−2ax+a−c(a≠0)的两点，若x1≠x2且y1＝y2，则当自变量x的值取x1+x2时，函数值为（）A.−cB.cC.−a+cD.a−c12. 已知二次函数y＝−x2+mx+m（m为常数），当−2≤x≤4时，y的最大值是15，则m的值是（）A.−19或315B.6或315或−10C.−19或6D.6或315或−19二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）已知函数关系式：y=√x−1，则自变量x的取值范围是________．已知x1，x2是方程x2+x−1＝0的两根，则x2x1+x1x2=________．将直线y＝2x+1平移后经过点(5, 1)，则平移后的直线解析式为________．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为( )A.x(x+1)=1056B.x(x−1)=1056C.x(x+1)=1056×2D.x(x−1)=1056×2如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−12, 0)，对称轴为直线x=1，下列5个结论：①abc<0；②a−2b+4c=0；③2a+b>0；④2c−3b<0；⑤a+b≤m(am+b)．其中正确的结论为________．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）已知一个二次函数的图象经过点A(−1， 0)，B(3， 0)和C(0， −3)三点．(1)求此二次函数的解析式；(2)求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标．解一元二次方程：（1）x2+4x+1＝0（配方法）；（2）用公式法解方程：2x2+3x−1＝0．某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是________，中位数是________．（2）求这10名学生的平均成绩．（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)若四边形DEBF是菱形，则需增加的一个条件是________．试说明理由．(3)在(2)的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求该种植户每年投资的增长率；（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=12S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（万件）的函数关系式为y1={80(0≤x≤1)−x+81(1<x≤6)若在国外销售，平均每件产品的利润为71元．（1）求该公司每年的国内和国外销售的总利润w（万元）与国内销售量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围．（2）该公司每年的国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出2m(5≤m≤10)元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出m元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求m的值．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是________三角形；（2）若抛物线y＝−x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y＝−x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．（4）若抛物线y＝−x2+4mx−8m+4与直线y＝3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2021-2022学年湖南省长沙市某校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1.【答案】D【考点】一元二次方程的定义【解析】利用与一元二次方程定义进行分析即可．【解答】解：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程；−1=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；A，含有分式，3x2+2xB，含有2个未知数，5x2−6y−3=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；C，当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；D，3x2−2x−1=0是一元二次方程，故此选项符合题意.故选D.2.【答案】D【考点】方差众数算术平均数中位数【解析】根据众数，方差、平均数，中位数的概念逐项分析即可．【解答】A、80出现的次数最多，所以众数是80，正确，不符合题意；B、方差是：1×[3×(80−80)2+(90−80)2+2×(80−75)2]＝25，正确，不符合6题意；C、平均数是(80+90+75+75+80+80)÷6＝80，正确，不符合题意；D、把数据按大小排列，中间两个数都为80，80，所以中位数是80，错误，符合题意．3.【答案】B【考点】菱形的性质【解析】由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，∴该菱形的边长为√302+402=50(cm).故选B.4.【答案】B【考点】求坐标系中两点间的距离矩形的性质【解析】利用矩形的性质求得线段AC的长即可求得BD的长．【解答】解：∵点A的坐标是(−1, 0)，点C的坐标是(2, 4)，∴线段AC=√(4−0)2+(2+1)2=5，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝5.故选B.5.【答案】C【考点】平行四边形的性质【解析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝12，AD // BC，得出∠DAE＝∠BEA，证出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出CE的长．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝12，AD // BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB＝8，∴CE＝BC−BE＝4．6.【答案】C【考点】正方形的性质【解析】先证明△ABE≅△ADE，得到∠ADE＝∠ABE＝90∘−25∘＝65∘，在△ADE中利用三角形内角和180∘可求∠AED度数．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90∘，DC＝DA，∠ADE＝∠CDE＝45∘．又DE＝DE，∴△ADE≅△CDE(SAS)．∴∠DAE＝∠DCE＝90∘−25∘＝65∘．∴∠AED＝180∘−45∘−65∘＝70∘．7.【答案】D【考点】二次函数的图象一次函数图象与系数的关系【解析】可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】<0，b<0，解：由二次函数图象，得出a<0，−b2aA、根据一次函数图象，得a>0，b>0，故A错误；B、根据一次函数图象，得a<0，b>0，故B错误；C、根据一次函数图象，得a>0，b<0，故C错误；D、根据一次函数图象，得a<0，b<0，故D正确.故选D.8.【答案】B【考点】平行四边形的判定矩形的判定正方形的判定菱形的判定中点四边形【解析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90∘，则这个四边形为矩形．【解答】如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴EF // AC，GH // AC，EH // BD，FG // BD（三角形的中位线平行于第三边），∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵AC⊥BD，EF // AC，EH // BD，∴∠EMO＝∠ENO＝90∘，∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴∠MEN＝90∘，∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．9.【答案】A【考点】一元二次方程的解【解析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．【解答】∵m是方程x2−2x−1＝0的根，∴m2−2m−1＝0，∴m2−2m＝1，∴1+m−12m2＝1−12(m2−2m)＝1−12=12，10.【答案】D【考点】加权平均数【解析】此题暂无解析【解答】解：∵85×2+80×3+90×52+3+5=86,∴ 小王的成绩为86分.故选D.11.【答案】D【考点】二次函数图象与系数的关系二次函数图象上点的坐标特征【解析】先求出抛物线的对称轴为直线x＝1，则可判断A(x1, y1)和B(x2, y2)关于直线x＝1对称，所以x2−1＝1−x1，即x1+x2＝2，然后计算自变量为2对应的函数值即可．【解答】抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a=1，∵x1≠x2且y1＝y2，∴A(x1, y1)和B(x2, y2)关于直线x＝1对称，∴x2−1＝1−x1，∴x1+x2＝2，当x＝2时，y＝ax2−2ax+a−c＝4a−4a+a−c＝a−c．12.【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的最值【解析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值，从而可以解答本题．【解答】∵二次函数y＝−x2+mx+m＝−(x−m2)2+m24+m，∴抛物线的对称轴为x=m2，∴当m2<−2时，即m<−4，∵当−2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝−2时，−(−2)2−2m+m＝15，得m＝−19；当−2≤m2≤4时，即−4≤m≤8时，∵当−2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x=m2时，m24+m＝15，得m1＝−10（舍去），m2＝6；当m2>4时，即m>8，∵当−2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝4时，−42+4m+m＝15，得m=315（舍去）；由上可得，m的值是−19或6；二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）【答案】x≥1【考点】函数自变量的取值范围【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】根据题意得，x−1≥0，解得x≥1．【答案】−3【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝−1，x1x2＝−1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【解答】根据题意得x1+x2＝−1，x1x2＝−1，所以x2x1+x1x2=x22+x12x1x2=(x1+x2)2−2x2x1x1x2=1+2−1=−3．【答案】y＝2x−9【考点】一次函数图象与几何变换【解析】直接利用一次函数平移的性质假设出解析式进而得出答案．【解答】设平移后的解析式为：y＝2x+b，∵将直线y＝2x+1平移后经过点(5, 1)，∴1＝10+b，解得：b＝−9，故平移后的直线解析式为：y＝2x−9．【答案】B【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x−1)张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x(x−1)张，即可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出(x−1)张.又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x(x−1)=1056．故选B.【答案】√262【考点】勾股定理【解析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】根据勾股定理，AB=√12+52=√26，BC=√22+22=2√2，AC=√32+33=3√2，∵AC2+BC2＝AB2＝26，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴CD=12AB=12×√26=√262．【答案】②⑤【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系【解析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c<0，故abc>0，故①错误，不符合题意；②将点(−12, 0)代入函数表达式得：a−2b+4c=0，故②正确，符合题意；③函数的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，故2a+b=0，故③错误，不符合题意；④由②③得：a−2b+4c=0，b=−2a，则c=−5a4，故2c−3b=7a2>0，故④错误，不符合题意；⑤当x=1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m(am+b)+c，故⑤正确，符合题意. 故答案为：②⑤.三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）【答案】解：(1)设二次函数解析式为y=a(x+1)(x−3)，∵抛物线过点C(0， −3)，∴−3=a(0+1)(0−3)，解得：a=1，∴y=(x+1)(x−3)，∴二次函数的解析式y=x2−2x−3.(2)由y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1， −4)．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数的性质(1)根据A 与B 的坐标设出抛物线的解析式，把C 坐标代入确定出即可；(2)把解析式化成顶点式即可求得．【解答】解：(1)设二次函数解析式为y =a(x +1)(x −3)，∵ 抛物线过点C(0， −3)，∴ −3=a(0+1)(0−3)，解得：a =1，∴ y =(x +1)(x −3)，∴ 二次函数的解析式y =x 2−2x −3；(2)由y =x 2−2x −3=(x −1)2−4，∴ 对称轴是直线x =1，顶点坐标是(1， −4)．【答案】∵ x 2+4x +1＝0，∴ x 2+4x +4＝3，∴ (x +2)2＝3，∴ x +2＝±√3，∴ x 1＝−2+√3，x 2＝−2−√3；∵ a ＝2，b ＝3，c ＝−1，∴ △＝32−4×2×(−1)＝17>0，则x =−3±√174． ∴ x 1=−3+√174，x 2=−3−√174．【考点】解一元二次方程-配方法解一元二次方程-公式法【解析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】∵ x 2+4x +1＝0，∴ x 2+4x +4＝3，∴ (x +2)2＝3，∴ x +2＝±√3，∴ x 1＝−2+√3，x 2＝−2−√3；∵ a ＝2，b ＝3，c ＝−1，∴ △＝32−4×2×(−1)＝17>0，则x =−3±√174． ∴ x 1=−3+√174，x 2=−3−√174．7环,7环这10名学生的平均成绩为7.5环全年级500名学生中有100名是优秀射手【考点】众数中位数加权平均数用样本估计总体【解析】（1）根据众数、中位数的意义将10名学生的射击成绩排序后找出第5、6位两个数的平均数即为中位数，出现次数最多的数是众数．（2）根据平均数的计算方法进行计算即可，（3）样本估计总体，用样本中优秀人数的所占的百分比估计总体中优秀的百分比，用总人数乘以这个百分比即可．【解答】射击成绩出现次数最多的是7环，共出现5次，因此众数是7环，射击成绩从小到大排列后处在第5、6位的数都是7环，因此中位数是7环，故答案为：7环，7环．6+7×5+8×2+9×210=7.5环，答：这10名学生的平均成绩为7.5环．500×210=100人，答：全年级500名学生中有100名是优秀射手．【答案】(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ DF//BE,∴ ∠OFD=∠BEO，∠FDO=∠EBO.∵ 点O是对角线BD的中点，∴ OB=OD.在△DOF和△BOE中，{∠OFD=∠OEB,∠FDO=∠EBO, OD=OB,∴ △DOF≅△BOE(AAS)，∴ OE=OF，∴ 四边形DEBF是平行四边形.DE=BE或EF⊥BD(3)解：∵ AB=8，AD=6，∴ BD=√AD2+AB2=10.∵ 由(2)知四边形DEBF是菱形，∴ OB=OD=5，BD⊥EF，OE=OF，设BE=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2，∴x2=(8−x)2+62，解得x=254，即BE=254，∴ OE=√BE2−OB2=154，∴ EF=2OE=152.【考点】全等三角形的性质与判定矩形的性质菱形的判定菱形的性质平行四边形的判定勾股定理【解析】(1)根据已知条件及矩形ABCD的性质，判定△DOF≅△BOE，从而证明OE=OF，再由OB=OD即可得到四边形DEBF是平行四边形；(2)由(1)可知四边形DEBF是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到答案；(3)首先根据已知条件和勾股定理求得BD=10，再根据(2)的条件可知OB=OD=5，BD⊥EF，OE=OF，设BE=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△ABE中，由勾股定理得到方程，解方程求出BE，进一步根据勾股定理及菱形的性质即可得到EF的长. 【解答】(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ DF//BE,∴ ∠OFD=∠BEO，∠FDO=∠EBO.∵ 点O是对角线BD的中点，∴ OB=OD.在△DOF和△BOE中，{∠OFD=∠OEB,∠FDO=∠EBO, OD=OB,∴ △DOF≅△BOE(AAS)，∴ OE=OF，∴ 四边形DEBF是平行四边形.(2)解：DE=BE或EF⊥BD.理由：由(1)知四边形DEBF是平行四边形. ∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴ 当EF⊥BD时，四边形DEBF是菱形；∵邻边相等的平行四边形也是菱形，∴当DE=BE时，四边形DEBF是菱形. 故答案为：DE=BE或EF⊥BD.(3)解：∵ AB=8，AD=6，∴ BD=√AD2+AB2=10.∵ 由(2)知四边形DEBF是菱形，∴ OB=OD=5，BD⊥EF，OE=OF，设BE=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2，∴x2=(8−x)2+62，解得x=254，即BE=254，∴ OE=√BE2−OB2=154，∴ EF=2OE=152.【答案】设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为20(1+x)万元，2018年种植投资为20(1+x)2万元，根题意得：20+20(1+x)+20(1+x)2＝95，解得：x＝−3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．∴该种植户每年投资的增长率为50%；2019年该种植户投资额为：20(1+50%)3＝67.5（万元）．【考点】一元二次方程的应用【解析】（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x．根据题意2017年种植投资为20(1+x)万元，2018年种植投资为20(1+x)2万元．根据题意得方程求解；（2）用种植户每年投资的增长率即可预测2019年该种植户投资额．【解答】设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为20(1+x)万元，2018年种植投资为20(1+x)2万元，根题意得：20+20(1+x)+20(1+x)2＝95，解得：x＝−3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．∴该种植户每年投资的增长率为50%；2019年该种植户投资额为：20(1+50%)3＝67.5（万元）．【答案】令x＝0得：y＝4，∴B(0, 4)．∴OB＝4令y＝0得：0=−43x+4，解得：x＝3，∴A(3, 0)．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB=√OA2+OB2=5．∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C(8, 0)．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即(x+4)2＝x2+82，解得：x＝6，∴D(0, −6)．存在，理由如下：∵S△PAB=12S△OCD，∴S△PAB=12×12×6×8＝12．∵点P在y轴上，S△PAB＝12，∴12BP⋅OA＝12，即12×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为(0, 12)或(0, −4)．【考点】一次函数图象与几何变换【解析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB 的长，（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D(0, −6)．（3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P 的坐标．【解答】令x＝0得：y＝4，∴B(0, 4)．∴OB＝4令y＝0得：0=−43x+4，解得：x＝3，∴A(3, 0)．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB=√OA2+OB2=5．∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C(8, 0)．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即(x+4)2＝x2+82，解得：x＝6，∴D(0, −6)．存在，理由如下：∵S△PAB=12S△OCD，∴S△PAB=12×12×6×8＝12．∵点P在y轴上，S△PAB＝12，∴12BP⋅OA＝12，即12×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为(0, 12)或(0, −4)．【答案】w＝y1⋅x+71(6−x)={80x+426−71x(0≤x≤1)−x2+81x+426−71x(1<x≤6)={9x+426(0≤x≤1)−x2+10x+426(1<x≤6)∴w={9x+426(0≤x≤1)−x2+10x+426(1<x≤6)由（1）知，当x＝1时，9x+426的最大值为435；当1<x≤6时，−x2+10x+426的最大值为x＝5时的值，即451，451>435∴当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．∵该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件∴该公司每年在国内销售的件数x的范围为：0≤x≤1则总利润w＝(80−2m)x+(71−m)(6−x)＝(9−m)x+426−6m显然当10≥m≥9时，w的值小于393，当5≤m<9时，9−m>0，当x＝1时，令w＝(9−m)×1+426−6m＝393解得m＝6，当x＝0时，令w＝426−6m＝393，解得m＝5.5∵从国内销售的每件产品中捐出2m(5≤m≤10)元给希望工程∴x＝0不符合题意．∴m＝6时国内国外销售的最大总利润为393万元．【考点】二次函数的应用【解析】（1）由利润等于每件的利润乘以件数，代入分段函数解析式，化简可得解；（2）结合（1）分别计算分段利润函数的最大值，最后得出最大值即可；（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件则该公司每年在国内销售的件数x的范围为：0≤x≤1则总利润w＝(80−2m)x+(71−m)(6−x)＝(9−m)x+426−6m按照x值的范围代入，结合最大利润为393万元，可分析求得．【解答】w＝y1⋅x+71(6−x)={80x+426−71x(0≤x≤1)−x2+81x+426−71x(1<x≤6)={9x+426(0≤x≤1)−x2+10x+426(1<x≤6)∴w={9x+426(0≤x≤1)−x2+10x+426(1<x≤6)由（1）知，当x＝1时，9x+426的最大值为435；当1<x≤6时，−x2+10x+426的最大值为x＝5时的值，即451，451>435∴当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．∵ 该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件 ∴ 该公司每年在国内销售的件数x 的范围为：0≤x ≤1则总利润w ＝(80−2m)x +(71−m)(6−x)＝(9−m)x +426−6m 显然当10≥m ≥9时，w 的值小于393，当5≤m <9时，9−m >0，当x ＝1时，令w ＝(9−m)×1+426−6m ＝393 解得m ＝6，当x ＝0时，令w ＝426−6m ＝393，解得m ＝5.5∵ 从国内销售的每件产品中捐出2m(5≤m ≤10)元给希望工程∴ x ＝0不符合题意．∴ m ＝6时国内国外销售的最大总利润为393万元．【答案】等腰当抛物线y ＝−x 2+bx(b >0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形， 该抛物线的顶点( b 2, b 24)，满足b 2=b 24(b >0)．则b ＝2．存在．如图，作△OCD 与△OAB 关于原点O 中心对称，则四边形ABCD 为平行四边形． 当OA ＝OB 时，平行四边形ABCD 是矩形，又∵ AO ＝AB ，∴ △OAB 为等边三角形．∴ ∠AOB ＝60∘，作AE ⊥OB ，垂足为E ，∴ AE ＝OEtan∠AOB =√3OE ．∴ b ′24=√3×b ′2(b >0)．∴ b′＝2 √3．∴ A( √3, 3)，B(2√3, 0)．∴ C(−√3, −3)，D(−2√3, 0)．设过点O 、C 、D 的抛物线为y ＝mx 2+nx ，则{12m −2√3n =03m −√3n =−3， 解得 {m =1n =2√3， 故所求抛物线的表达式为y ＝x 2+2√3x ．由−x 2+4mx −8m +4＝3，x =4m±√16m 2−4(8m−1)2=2m ±√4m 2−8m +1，当x 为整数时，须 4m 2−8m +1为完全平方数，设 4m 2−8m +1＝n 2 （n 是整数）整理得：(2m −2)2−n 2＝3，即 (2m −2+n)(2m −2−n)＝3两个整数的积为3，∴ {2m −2+n =12m −2−n =3 或{2m −2+n =32m −2−n =1 或{2m −2+n =−12m −2−n =−3或{2m −2+n =−32m −2−n =−1解得：{m =2n =−1 或{m =2n =1 或{m =0n =1 或{m =0n =−1， 综上，得：m ＝2或m ＝0；根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长，当m＝2时，抛物线方程为y＝−x2+8x−12＝−(x−4)2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；当m＝0时，抛物线方程为y＝−x2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；∴抛物线与直线y＝3交点的横坐标均为整数时m＝2或m＝0．【考点】二次函数综合题【解析】（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b>0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值．（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA＝OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．（4）联立两个函数的解析式，通过所得方程先求出这个方程的两个根，然后通过这两个根都是整数确定m的整数值．【解答】如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA＝AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．故答案为：等腰．当抛物线y＝−x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点( b2, b24)，满足b2=b24(b>0)．则b＝2．存在．如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形，又∵AO＝AB，∴△OAB为等边三角形．∴∠AOB＝60∘，作AE⊥OB，垂足为E，∴ AE ＝OEtan∠AOB =√3OE ．∴ b ′24=√3×b ′2(b >0)．∴ b′＝2 √3．∴ A( √3, 3)，B(2√3, 0)．∴ C(−√3, −3)，D(−2√3, 0)．设过点O 、C 、D 的抛物线为y ＝mx 2+nx ，则{12m −2√3n =03m −√3n =−3， 解得 {m =1n =2√3， 故所求抛物线的表达式为y ＝x 2+2√3x ．由−x 2+4mx −8m +4＝3，x =4m±√16m 2−4(8m−1)2=2m ±√4m 2−8m +1，当x 为整数时，须 4m 2−8m +1为完全平方数，设 4m 2−8m +1＝n 2 （n 是整数）整理得：(2m −2)2−n 2＝3，即 (2m −2+n)(2m −2−n)＝3两个整数的积为3，∴ {2m −2+n =12m −2−n =3 或{2m −2+n =32m −2−n =1 或{2m −2+n =−12m −2−n =−3或{2m −2+n =−32m −2−n =−1解得：{m =2n =−1 或{m =2n =1 或{m =0n =1 或{m =0n =−1， 综上，得：m ＝2或m ＝0；根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长， 当m ＝2时，抛物线方程为y ＝−x 2+8x −12＝−(x −4)2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；当m ＝0时，抛物线方程为y ＝−x 2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长； ∴ 抛物线与直线y ＝3交点的横坐标均为整数时m ＝2或m ＝0．。
长沙名校九年级入学考试数学试卷
九年级入学考试数学试卷一、单项选择题（共12分）1.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为（）A．1B．√22C．√3D．√332.如图，在三角形ABC中D，E分别是AB和AC上的点，且DE平行BC，AE 比EC=5/2,D E=10，则BC的长为（）。
A．16B．14C．12D．113.一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3D．x1＝0，x2＝34.已知反比例函数y=kx(k≠0)，当x<0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx−k的图象经过（）。
A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第一，三，四象限D．第二，三，四象限5.如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈二、填空题（共24分）(x<0)图象上的点，过点A6.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=kx作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为（）。
|与（tanB−√3）2互为相反数，则∠C的度数7.已知△ABC，若有|sinA−12是。
8.将抛物线y＝﹣x2向右平移一个单位，所得函数解析式为。
9.把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是。
10．两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是。
三、解答题（共20分）11.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD ＝21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动（到A点不停），动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒一个单位长的速度向点B 运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）。
湖南省长沙市湘郡未来实验学校2022-2023学年九年级上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市湘郡未来实验学校2022-2023学年九年级上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．关于x 的方程2440kx x -+=有实数根，k 的取值范围是（）A ．1k <且0k ≠B ．1k <C ．1k ≤且0k ≠D ．1k ≤3．某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x ，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为（）．A ．()22981268-=x B ．()22981268+=x C ．()29812268-=x D ．()22981268-=x 4．下列说法不正确．．．的是（）A ．点(1,2)A -在第二象限B ．点(2,3)P --到y 轴的距离为2C ．若点(1,2)A a a --在x 轴上，则1a =D ．点(3,2)A -关于原点的对称点A '的坐标是(3,2)-5．将二次函数2(1)2y x =+-的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（）A ．2(1)5y x =--B ．2(1)1y x =-+C ．2(3)1y x =++D ．2(3)5y x =+-6．如果二次函数2y ax c =+的图象如图所示，那么一次函数y ax c =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，点E 从点A 出发沿AB 向点B 运动，移动到点B 停止，延长EO 交CD 于点F ，则四边形AECF 形状的变化依次为（）A ．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C ．平行四边形→正方形→菱形→矩形D ．平行四边形→菱形→正方形→矩形8．如图， ABC 中，∠B =35°，∠BAC =70°，将 ABC 绕点A 旋转逆时针旋转α度（0180α<<）后得到 ADE ，点E 恰好落在BC 上，则α=（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．不能确定9．如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若ACB ∠＝36°，则∠OAB ＝（）A ．18°B ．54°C ．36°D ．72°二、填空题三、解答题19．已知y 与2x +成正比例，且当1x =时，y =-6．(1)求y 与x 之间的函数解析式；(2)若点()P n 4，在这个函数的图像上，求n 的值．20．解一元二次方程：(1)22410x x --=；(2)()()1310x x x -+-=．21．学生的心理健康教育一直是学校的重要工作，为了了解学生的心理健康状况，某校进行了心理健康情况调查，现从八、九年级各随机抽取了20名学生的调查结果（满分为100分，分数用x 表示，共分成四组：A ：x ＜85，B ：85≤x ＜90，C ：90≤x ＜95，D ：95≤x ≤100）进行整理、描述和分析，当分数不低于85分说明心理健康，下面给出部分信息．八年级随机抽取了20名学生的分数是：72，80，81，82，86，88，90，90，91，92，92，92，93，93，95，95，96，96，97，99．九年级随机抽取了20名学生的分数中，A 、B 两组数据个数相等，B 、C 两组的数据是：86，88，88，89，91，91，91，92，92，93．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AB=2，BC=4，求AE的长．23．某商家购进了A，B两种类型的冬奥吉祥物纪念品，已知型纪念品的价钱一样，2套A(1)求A，B两种类型纪念品的进价；(1)求证：AE DE⊥；(1)求抛物线的解析式，且直接写出点A 、点B 的坐标；(2)若点G 是抛物线的对称轴上一动点，且使AG CG +最小，则G 点坐标为：(3)在直线x t =（第一象限部分）上找一点P ，使得以点P 、点B 、点F 为顶点的三角形与OBC △全等，请你直接写出点P 的坐标；(4)点M 是射线AC 上一点，点N 为平面上一点，是否存在这样的点M ，使得以点点A 、点M 、点N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．26．在y 关于x 的函数中，对于实数a ，b ，当a x b ≤≤且3b a =+时，函数max y ，最小值min y ，设max min h y y =-，则称h 为y 的“极差函数”(此函数为数)；特别的，当max min h y y =-为一个常数(与a 无关)时，称y 有“极差常函数(1)判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“⨯”．2(y x =①______)；22(y x =-+②______)；2(y x =③______)．(2)y 关于x 的一次函数y px q =+，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有。
2025届湖南省长沙市名校九年级数学第一学期开学复习检测模拟试题【含答案】
2025届湖南省长沙市名校九年级数学第一学期开学复习检测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在中，点、分别是、的中点，如果，那么的长为（）．A ．4B ．5C ．6D ．72、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB =10BC =，,E F 分别在边,BC AD 上，BE DF =.将ABE ∆，CDF ∆分别沿着,AE CF 翻折后得到AGE ∆、CHF ∆.若AG 分别平分EAD ∠，则GH 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．73、（4分）下列事件中必然事件有（）①当x 是非负实数时，≥0；②打开数学课本时刚好翻到第12页；③13个人中至少有2人的生日是同一个月；④在一个只装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、（4分）在平面直角坐标系中，点M （﹣2，1）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、（4分）如图所示，由已知条件推出结论错误的是（）A ．由∠1＝∠5，可以推出AB ∥CD B ．由AD ∥BC ，可以推出∠4＝∠8C ．由∠2＝∠6，可以推出AD ∥BC D ．由AD ∥BC ，可以推出∠3＝∠76、（4分）下列根式是最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．7、（4分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A ．1，1B ．4，5，6C ．6，8，11D ．5，12，158、（4分）若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则常数c 的值是()A ．6B ．9C ．24D ．36二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）若分式11x x -+的值为零，则x 的值为_____．10、（4分）如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF ；④S 正方形ABCD =2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．11、（4分）如图，四边形OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线y 1＝1k x 和y 2＝2k x 的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，则有以下的结论：①12k AM CN k =②阴影部分面积是12（k 1﹣k 2）③当∠AOC ＝90°时，|k 1|＝|k 2|；④若四边形OABC 是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称．其中正确的结论是_____．12、（4分）若关于x 的分式方程32ax x --＝32x -+2有正整数解，则符合条件的非负整数a 的值为_____．13、（4分）如图，在宽为10m ，长为30m 的矩形地块上修建两条同样宽为1m 的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据计算，耕地的面积为m 1．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）化简：（1）22241---÷+a a a a a ；（2）22221(1)121a a a a a a +-÷++--+．15、（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝﹣x 的图象与反比例函数y ＝k x （x ＜0）的图象相交于点A （﹣4，m ）．（1）求反比例函数y ＝k x 的解析式；（2）若点P 在x 轴上，AP ＝5，直接写出点P 的坐标．16、（8分）在Rt ABC 中，90ACB ∠︒＝，30A ＝∠︒，点D 是AB 的中点，DE BC ⊥，垂足为E ，连接CD ．（1）如图1，DE 与BC 的数量关系是__________.（2）如图2，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE BF BP 、、三者之间的数量关系，并证明你的结论；17、（10分）计算（1）﹣（2）（）2﹣．18、（10分）（1）分解因式：3322816a b a b ab -+-；（2）化简：22142a a a -+-+.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，以顶点C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交CB ，CA 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线CP 交AB 于点D ，若3AD =，12BC =，则DBC S △的值是__________．20、（4分）已知一次函数y kx b =+经过(1,2)-，且与y 轴交点的纵坐标为4，则它的解析式为______.21、（4分）分式||55x x -+的值为1．则x 的值为_____．22、（4分）点A （1，3）_____（填“在”、或“不在”）直线y ＝﹣x +2上．23、（4分）如图在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，4AB =，BCD ∆为等边三角形，点E 为BCD ∆围成的区域(包括各边)内的一点，过点E 作//EM AB ，交直线AC 于点M ，作//EN AC ，交直线AB 于点N ，则平行线EM 与AB 间距离的最大值为_________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）小聪从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后，又走到文具店去买笔，然后走回家，如图是小聪离家的距离y （单位：km ）与时间x （单位：min ）的图象。
湖南省长沙市华益中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题
湖南省 长沙市华益中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题一、单选题1．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg 左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）A ．5310-⨯B ．4310-⨯C ．40.310-⨯D ．50.310-⨯ 2．学校食堂有10元、12元、15元三种价位的午餐供学生选择（每人购一份），某天午餐销售情况如图所示，则当天学生购买午餐的平均费用是（ ）A ．10.8元B ．11.8元C ．12.6元D ．13.6元 3．四边形ABCD 中，A C ∠=∠，B D ∠=∠，则下列结论不一定正确的是（ ） A ．A B ∠=∠B ．AD BC ∥ C ．AB CD = D ．对角线互相平分4．一次函数()23y k x =-+，函数值y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k < C ．2k > D ．2k < 5．关于x 的一元二次方程240x x k +-=有两个相等的实数根，则k 的值为（ ） A ．4- B ．4 C ．0 D ．166．新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本为12.8 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为x ，则根据题意所列方程正确的是（ ） A ．()213112.8x -=B ．()213112.8x -=C ．()212.8113x -=D ．()213112.8x +=7．如图，在ABC V 中，30B ∠=︒，分别以点B ，C 为圆心，以大于12BC 长为半径画弧，交于点M ，N ，作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，则ADC ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒8．如图，DE 为ABC V 的中位线，ABC ∠的角平分线交DE 于点F ，若210EF BC ==，，则AB 的长为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．99．下列图象中，当0ab >时，函数2y ax =与y ax b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、解答题10．已知二次函数212y x bx =-+与212y x bx =-的图像均过点()4,0A 和坐标原点O ，这两个函数在04x ≤≤时形成的封闭图像如图所示，P 为线段OA 的中点，过点P 且与x 轴不重合的直线与封闭图像交于B ，C 两点．给出下列结论：①2b =；②PB PC =；③以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形可以为正方形；④若点B 的横坐标为1，点Q 在y 轴上（Q ，B ，C 三点不共线），则BCQ △周长的最小值为5其中，所有正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、填空题11．分式方程322x x=-的解为． 12．如图，正方形ABCD 的面积为4，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，AD 的中点，则四边形EFGH 的面积为．13．已知方程220x x k -+=的一个根为2-，则方程的另一个根为．14．自由落体的公式为s=12gt 2（g 为重力加速度，g=9.8m/s 2）．若物体下落的高度s 为78.4m ，则下落的时间t 是s ．15．如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,60,10,O ADC AC E ∠=︒=是AD 的中点，则OE 的长是．16．如图，一次函数y kx b =-与一次函数y mx n =-+的图象相交于点()2,3A ，则关于,x y 的方程组kx y b mx y n -=⎧⎨+=⎩的解为．四、解答题17．计算：12022012(1)( 3.14)2π-+-+- 18．解下列方程：(1)2210x x --=；(2)()()3121x x x -=-19．已知直线124y x =-与x 轴交于点M ，直线25y x =-与x 轴交于点N ；(1)点M 的坐标为____________；(2)两直线交点A 坐标为____________；点N 的坐标为____________；(3)AMN V 的面积为____________．20．科学是当今社会发展的核心动力．为了响应国家对科普科幻的创作和发展的号召，某校组织了大科幻作品征集活动，并随机抽取该校部分班级，对每班征集到的作品数量进行统计后，将统计数绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息，解答下列问题：(1)表中m 的值为______，所抽取班级征集到的作品数量的众数为______件，中位数为______件；(2)请计算所抽取班级征集到的作品数量的平均数；(3)若该校共有90个班级，请你估计该校征集到的作品总数量．21．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，OAB △是等边三角形．(1)证明：平行四边形ABCD 是矩形；(2)若4AB =，求AD 的长．22．关于x 的一元二次方程222(1)20x m x m -+++=．(1)若方程总有两个实数根，求m 的取值范围；(2)在（1）的条件下，若两个实数根1x ，2x 满足1212x x x x +=，求m 的值．23．“健康湖南，云动潇湘”，为迎接2023年全民健身线上运动会，某中学计划购进一批篮球和排球．若购买3个篮球和1个排球共需360元；若购买5个篮球和3个排球共需680元．(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元？(2)该学校计划购进篮球和排球共100个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用．24．定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做和谐四边形，这条对角线叫做和谐对角线，[概念理解]（1）下列图形中，属于和谐四边形的是____________．A ．平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形C ．对角线相等的四边形[性质探讨]；（2）和谐四边形的性质：在和谐四边形中，和谐对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明和谐四边形的性质，即：如图1，已知：四边形ABCD 是和谐四边形，和谐对角线AC 与对角线BD 交于点,O ABC V 与ADC △的面积相等．求证：BO DO =．[探究应用]；（3）①如图2，已知四边形ABCD 是和谐四边形，和谐对角线AC 与对角线BD 交于点,2E AC CE BC -=．求证：2BCE DAC ∠=∠；②如图3，已知直线122y x =+与抛物线27142y x x =--+交于A B 、两点，点C 在y 轴负半轴上，满足,CB CA CB CA =⊥，点D 在第一象限且位于抛物线上，若四边形ACBD 是和谐四边形，求点D 的横坐标．25．已知点()()()1122,,,M m m A x y B x y -、、都在二次函数2y x =的图象上，其中120,m x m x <<<．(1)求m 的值；(2)若直线AB 经过点()1,3-，且AMB V 的面积为3，求直线AB 的解析式；(3)当12x x x ≤≤时，记二次函数2y x =的最大值为P ，最小值为Q ，若213x x -=，求P Q -的取值．。
2025届湖南省长沙市名校九上数学开学经典模拟试题【含答案】
2025届湖南省长沙市名校九上数学开学经典模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）某科普小组有5名成员，身高（单位：cm ）分别为：160，165，170，163，172，把身高160cm 的成员替换成一位165cm 的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（）A ．平均数变小，方差变小B ．平均数变大，方差变大C ．平均数变大，方差不变D ．平均数变大，方差变小2、（4分）如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，若30ACB ∠=︒，6AB =，则AC 等于()A ．8B ．10C ．12D ．183、（4分）下列二次根式中属于最简二次根式的是()A B C D ．4、（4分）如图所示，直角三角形ABO 的周长为100，在其内部有个小直角三角形周长之和为（）A ．90B ．100C ．110D ．1205、（4分）11k +-有意义，则一次函数11y k x k =-++（）（）的图象可能是A ．B ．C ．D ．6、（4分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知120AOD ︒∠=，2AB =，则AC 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．87、（4分）如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（）A ．24B ．18C ．12D ．98、（4分）荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到荆州观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整）．根据图中信息，下列结论错误的是（）A ．本次抽样调查的样本容量是5000B ．扇形图中的m 为10%C ．样本中选择公共交通出行的有2500人D ．若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有25万人二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC =AB 在x 轴上，点C 在y 轴正半轴上，点A 的坐标为()2,0.则直角边BC 所在直线的解析式为__________．10、（4分）如图，直线y =mx 与双曲线y =x k 交于A 、B 两点，D 为x 轴上一点，连接BD 交y 轴与点C ，若C （0，-2）恰好为BD 中点，且△ABD 的面积为6，则B 点坐标为__________.11、（4分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE=________．12、（4分）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝1．分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 1．则S 1﹣S 2+S 3+S 1等于_____．13、（4分）在平面直角坐标系中，点()43P ,-到坐标原点O 的距离是______.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D,（1）求证：BE ＝CF ；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．15、（8分）如图，⊿ABC 是直角三角形，且90ABC ∠=,四边形BCDE 是平行四边形,E 为AC 的中点，BD 平分ABC ∠,点F 在AB 上，且BF BC =.求证：DF AE=16、（8分）如图，点A （1，0），点B 在y 轴正半轴上，直线AB 与直线l ：y =362x -相交于点C ，直线l 与x 轴交于点D ，AB .（1）求点D 坐标；（2）求直线AB 的函数解析式；（3）求△ADC 的面积.17、（10分）某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，这两种商品的进价、售价如表所示：进价（元/件）售价（元/件）甲种商品1520乙种商品2535设购进甲种商品x （179x ≤≤，且x 为整数）件，售完此两种商品总利润为y 元．（1）该商场计划最多投入1500元用于购进这两种商品共80件，求至少购进甲种商品多少件？（2）求y 与x 的函数关系式；（3）若售完这些商品，商场可获得的最大利润是__________元．18、（10分）已知在边长为4的菱形ABCD 中，∠EBF =∠A =60°，（1）如图①，当点E 、F 分别在线段AD 、DC 上，①判断△EBF 的形状，并说明理由；②若四边形ABFD 的面积为DE 的长；（2）如图②，当点E 、F 分别在线段AD 、DC 的延长线上，BE 与DC 交于点O ，设△BOF 的面积为S 1，△EOD 的面积为S 2，则S 1-S 2的值是否为定值，如果是，请求出定值：如果不是，请说明理由．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，直线1y x =+与y 轴交于点1A ，依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、……正方形n n n n 1A B C C -，使得点12A A 、、…，n A 在直线1x +上，点12n C ,C ,,C 在x 轴上，则点2019B 的坐标是________20、（4分）当x ＝2018时，22111x x x x ----的值为____．21、（4分）平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=6，BC=8，若△AOB 是等腰三角形，则平行四边形ABCD 的面积等于_______________________.22、（4分）若实数a 、b 满足a ＋b ＝5，a 2b ＋ab 2＝－10，则ab 的值是_______．23、（4分）某学校八年级3班有50名同学，30名男生的平均身高为170,20cm 名女生的平均身高160cm ，则全班学生的平均身高是__________cm ．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 分别落在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点C 在第一象限，BC 与x 轴平行．已知BC =2，△ABC 的面积为1．（1）求点C 的坐标．（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，△ABC 旋转到△A 1B 1C 的位置，求经过点B 1的反比例函数关系式．25、（10分）八年级（3）班同学为了解2020年某小区家庭1月份天然气使用情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理：月均用气量x （3m ）频数（户）频率0＜x ≤1040.0810＜x ≤20a 0.1220＜x ≤30160.3230＜x ≤4012b 40＜x ≤50100.2050＜x ≤6020.04（1）求出a，b的值，并把频数分布直方图补充完整；（2）求月均用气量不超过303m的家庭数占被调查家庭总数的百分比；（3）若该小区有600户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用气量超过403m的家庭大约有多少户？26、（12分）计算：（1）（3.14﹣π）0+（﹣12）﹣2﹣2×2﹣1（2）（2a2+ab﹣2b2）（﹣12 ab）参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D 【解析】根据平均数、中位数的意义、方差的意义，可得答案．【详解】解：原数据的平均数为15×（160+165+175+163+172）=166（cm ），方差为15×[（160-166）2+（165-166）2+（170-166）2+（163-166）2+（172-166）2]=19.6（cm 2），新数据的平均数为15×（165+165+170+163+172）=167（cm ），方差为15×[2×（165-167）2+（170-167）2+（163-167）2+（172-167）2]=11.6（cm 2），所以平均数变大，方差变小，故选D ．本题考查了方差，利用平均数、中位数和方差的定义是解题关键2、C 【解析】先根据矩形的性质得出90ABC ∠=︒，再利用直角三角形的性质即可得．【详解】四边形ABCD 是矩形90ABC ∴∠=︒在Rt ABC 中，30ACB ∠=︒，6AB =则212AC AB ==故选：C ．本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题关键．3、D【解析】解：A =A 错误；B ，不是最简二次根式，故B 错误；C ，根号内含有分母，不是最简二次根式，故C 错误；D 是最简二次根式，故D 正确．故选D ．4、B 【解析】过小直角三角形的直角定点作AO ，BO 的平行线，则四边形DEFG 和四边形EFOH 是矩形．∴DE=GF ，DG=EF=OH ，∴小直角三角形的与AO 平行的边的和等于AO ，与BO 平行的边的和等于BO ．∴小直角三角形的周长等于直角△ABC 的周长．∴这n 个小直角三角形的周长为1．故选B ．5、A 【解析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到k-1＞0，解k ＞1，则1-k ＜0，然后根据一次函数与系数的关系可判断一次函数的位置，从而可对各选项进行判断．【详解】解：根据题意得k-1＞0，解k ＞1，因为k-1＞0，1+k>0，所以一次函数图象在一、二、三象限．故选：A ．本题考查一次函数与系数的关系：对于y=kx+b ，当b ＞0时，（0，b ）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当b ＜0时，（0，b ）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．当k ＞0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；k ＞0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限；k ＜0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；k ＜0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限．6、B【解析】根据矩形性质推出AO=OB，求出∠AOB=60°，得出等边三角形AOB，求出AO，即可求出答案．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∴AO=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO=OB=AB=2，∴AC=2AO=4，故选B．本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AO的长和得出AC=2AO．7、A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.8、D【解析】【分析】结合条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答．【详解】A、本次抽样调查的样本容量是200040%=5000，正确；B 、扇形图中的m 为10%，正确；C 、样本中选择公共交通出行的有5000×50%=2500人，正确；D 、若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%=20万人，错误，故选D ．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，熟悉样本、用样本估计总体等知识是解题的关键，另外注意学会分析图表．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、y=12x+1【解析】根据题意可得△AOC 与△COB 相似，根据对应边成比例即可得到BO 的长，利用待定系数法故可求解．【详解】∵A （2，0）∴AO=2，在Rt △AOC 中，4=，∴C （0，1）∵90ACB ∠=︒∴90ACO BCO ∠+∠=︒，又90ACO CAO ∠+∠=︒∴BCO CAO ∠=∠，又90AOC COB ∠=∠=︒∴△AOC ∽△COB ∴AO CO CO BO =,即244BO =∴BO=8∴B （-8，0）设直线BC 的解析式为y=kx+b把B （-8，0），C （0，1）代入得084k bb=-+⎧⎨=⎩解得124k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴边BC 所在直线的解析式为y=12x+1故答案为：y=12x+1．此题主要考查相似三角形的性质与判定及一次函数解析式的求解，解题的关键是熟知待定系数法的应用．10、（32，-4）【解析】设点B 坐标为(a ，b)，由点C （0，-2）是BD 中点可得b=-4，D （-a ，0），根据反比例函数的对称性质可得A （-a ，4），根据A 、D 两点坐标可得AD ⊥x 轴，根据△ABD 的面积公式列方程可求出a 值，即可得点B 坐标.【详解】设点B 坐标为(a ，b)，∵点C （0，-2）是BD 中点，点D 在x 轴上，∴b=-4，D （-a ，0），∵直线y=mx 与双曲线y=x k 交于A 、B 两点，∴A （-a ，4），∴AD ⊥x 轴，AD=4，∵△ABD 的面积为6，∴S △ABD =12AD×2a=6∴a=32，∴点B 坐标为（32，-4）本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象是以原点为对称中心的双曲线，根据反比例函数的对称性表示出A 点坐标是解题关键.11、125.【解析】直接利用菱形的性质得出BO=3，CO=4，AC ⊥BD ，进而利用勾股定理以及直角三角形面积求法得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OB=OD=12BD=3，OA=OC=12AC=4，在Rt △OBC 中，∵OB=3，OC=4，∴，∵OE ⊥BC ，∴12OE•BC=12OB•OC ，∴OE=3412=55 ．12、2【解析】过F 作AM 的垂线交AM 于D ，通过证明S 2＝S Rt △ABC ；S 3＝S Rt △AQF ＝S Rt △ABC ；S 1＝S Rt △ABC ，进而即可求解．【详解】解：过F 作AM 的垂线交AM 于D ，可证明Rt △ADF ≌Rt △ABC ，Rt △DFK ≌Rt △CAT ，所以S 2＝S Rt △ABC ．由Rt △DFK ≌Rt △CAT 可进一步证得：Rt △FPT ≌Rt △EMK ，∴S 3＝S△FPT ，又可证得Rt △AQF ≌Rt △ACB ，∴S 1+S 3＝S Rt △AQF ＝S Rt △ABC ．易证Rt △ABC ≌Rt △EBN ，∴S 1＝S Rt △ABC ，∴S 1﹣S 2+S 3+S 1＝（S 1+S 3）﹣S 2+S 1＝S Rt △ABC ﹣S Rt △ABC +S Rt △ABC ＝2﹣2+2＝2，故答案是：2．本题考查正方形的性质及三角形全等的判定与性质，根据已知条件证得S 2＝S Rt △ABC ，S 3＝S Rt △AQF ＝S Rt △ABC ，S 1＝S Rt △ABC 是解决问题的关键．13、5【解析】根据勾股定理解答即可．【详解】点P 到原点O 5．故答案为：5此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出距离．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）证明见解析（2）-1【解析】（1）先由旋转的性质得AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ，即∠EAB=∠FAC ，利用AB=AC 可得AE=AF ，得出△ACF ≌△ABE ，从而得出BE=CF ；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC ∥DE ，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE ，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE 为等腰直角三角形，所以BE=BD=BE ﹣DE 求解．【详解】（1）∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ，即∠EAB=∠FAC ，在△ACF 和△ABE 中，AC ABCAF BAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF ≌△ABE ∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE 为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC ∥DE ，∴∠AEB=∠ABE ，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE 为等腰直角三角形，∴，∴BD=BE ﹣1-．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．15、证明见解析.【解析】分析：延长DE 交AB 于点G ，连接AD ．构建全等三角形△AED ≌△DFB （SAS ），则由该全等三角形的对应边相等证得结论.详解：证明：延长DE 交AB 于点G ，连接AD ．∵四边形BCDE 是平行四边形，∴ED ∥BC ，ED=BC ．∵点E 是AC 的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG ，DG ⊥AB ．∴AD=BD ，∴∠BAD=∠ABD ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC ，∴BF=DE ．∴在△AED 与△DFB 中，AD BD ADE DBF ED FB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AED ≌△DFB （SAS ），∴AE=DF ，即DF=AE.点睛：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．16、（1）点D 坐标为（4，0）；（2）s=﹣1x +1；（1）92【解析】【分析】(1)设y=0,可求D 的坐标；（2）由勾股定理求出OB ，再用待定系数法求函数解析式；（1）根据三角形面积公式：S △ABC =1AD CM 2⨯，可得.【详解】解;（1）当y=0时，3x 602-=，得x=4，∴点D 坐标为（4，0）．（2）在△AOB 中，∠AOB=90°∴3=，∴B 坐标为（0，1），∴直线AB 经过（1，0），（0，1），设直线AB 解析式s=kt+b ，∴03k b b +=⎧⎨=⎩解得33k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为s=﹣1x+1．（1）如图,由33362y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩得23x y =⎧⎨=-⎩∴点C 坐标为（2，-1）作CM ⊥x 轴，垂足为M ，则点M 坐标为（2，0）∴CM=0-（-1）=1AD=4-1=1．∴S △ABC =119AD CM 33222⨯=⨯⨯=.【点睛】本题考核知识点：一次函数.解题关键点：熟记一次函数的性质.17、（1）50件；（2）5800y x =-+；（3）795【解析】（1）根据表格中的数据和题意列不等式，根据179x ≤≤且x 为整数即可求出x 的取值范围得到答案；（2）根据题意和表格中的数据即可得到函数关系式；（3）根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质即可求出答案.【详解】（1）由题意得15x+25（80-x ）1500≤，解得x 50≥，∵179x ≤≤，且x 为整数，∴5079x ≤≤，且x 为整数，∴至少购进甲种商品50件；（2）由题意得(2015)(3525)(80)5800y x x x =-+--=-+，∴y 与x 的函数关系式是5800y x =-+；（3）∵5800y x =-+，179x ≤≤，且x 为整数，∴当x=1时，y 有最大值，此时y 最大值=795，故答案为：795.此题考查一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，一次函数的性质求函数的最大值，正确理解题意列不等式或函数解决问题是解题的关键.18、（1）①△EBF 是等边三角形，见解析；②DE =1；（2）S 1-S 2的值是定值，S 1-S 2=．【解析】（1）①△EBF 是等边三角形．连接BD ，证明△ABE ≌△DBF （ASA ）即可解决问题．②如图1中，作BH ⊥AD 于H ．求出△ABE 的面积，利用三角形的面积公式求出AE 即可解决问题．（2）如图2中，结论：S 1-S 2的值是定值．想办法证明：S 1-S 2=S △BCD 即可．【详解】解：（1）①△EBF 是等边三角形．理由如下：如图1中，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB ，∵∠ADB=60°，∴△ADB 是等边三角形，△BDC 是等边三角形，∴AB=BD ，∠ABD=∠A=∠BDC=60°，∵∠ABD=∠EBF=60°，∴∠ABE=∠DBF ，在△ABE 和△DBF 中，A BDF AB BD ABE DBF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE ≌△DBF （ASA ），∴BE=BF ，∵∠EBF=60°，∴△EBF 是等边三角形．②如图1中，作BH ⊥AD 于H ．在Rt △ABH 中，，∴S △ABD =12，∵S 四边形ABFD ∴S △BDF =S ，∴12AE ⋅∴AE=3，∴DE=AD=AE=1．（2）如图2中，结论：S 1-S 2的值是定值．理由：∵△BDC ，△EBF 都是等边三角形，∴BD=BC ，∠DBC=∠EBF=60°，BE=BF ，∴∠DBE=∠CBF ，∴△DBE ≌△CBF （SAS ），∴S △BDE =S △BCF ，∴S 1-S 2=S △BDE +S △BOC -S △DOE =S △DOE +S △BOD +S △BOC -S △DOE =S △BCD =4×42故S 1-S 2的值是定值．本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（22019-1，22018）【解析】先求出直线y=x+1与y 轴的交点坐标即可得出A 1的坐标，故可得出OA 1的长，根据四边形A 1B 1C 1O 是正方形即可得出B 1的坐标，再把B 1的横坐标代入直线y=x+1即可得出A 1的坐标，同理可得出B 2，B 3的坐标，可以得到规律：B n （2n -1，2n-1），据此即可求解点B 2019的坐标．【详解】解：∵令x=0，则y=1，∴A 1（0，1），∴OA 1=1．∵四边形A 1B 1C 1O 是正方形，∴A 1B 1=1，∴B 1（1，1）．∵当x=1时，y=1+1=2，∴B 2（3，2）；同理可得，B 3（7，4）；∴B 1的纵坐标是：1=20，B 1的横坐标是：1=21-1，∴B 2的纵坐标是：2=21，B 2的横坐标是：3=22-1，∴B3的纵坐标是：4=22，B3的横坐标是：7=23-1，∴B n的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1，则B n（2n-1，2n-1），∴点B2019的坐标是（22019-1，22018）．故答案为：（22019-1，22018）．本题考查一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质和坐标的变化规律．此题难度较大，注意正确得到点的坐标的规律是解题关键．20、1．【解析】先通分，再化简，最后代值即可得出结论．【详解】∵x＝2018，∴22111x xx x----＝22111 x xx x -+--＝2211 x x x-+-＝2 (1)1 xx--＝x﹣1＝2018﹣1＝1，故答案为：1．此题主要考查了分式的加减，找出最简公分母是解本题的关键．21、1或【解析】分三种情形分别讨论求解即可解决问题；【详解】情形1：如图当OA=OB 时，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC=2OA ，BD=2OB ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的面积=1．情形2：当AB=AO=OC=6时，作AH ⊥BC 于H ．设HC=x ．∵AH 2=AB 2-BH 2=AC 2-CH 2，∴62-（x-8）2=122-x 2，∴x=434，∴AH=4，∴四边形ABCD 的面积=8×4．情形3：当AB=OB 时，四边形ABCD 的面积与情形2相同．综上所述，四边形ABCD 的面积为1或．故答案为1或2．本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.22、－1【解析】先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可．【详解】解：a+b=5时，原式=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-1．故答案为：-1.本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键，也是难点．23、166【解析】只要运用求平均数公式：12n x n x x x ++⋯+=即可求得全班学生的平均身高．【详解】全班学生的平均身高是：()301702016016650x cm ⨯+⨯==．故答案为：1．本题考查的是样本平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）C （2，1）；（2）经过点B 1的反比例函数为y =6x ．【解析】（1）过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，BC 与x 轴平行可知CD ⊥BC ，ABC 1S BC CD 12∆=⋅=即可求出CD 的长，进而得出C 点坐标；（2）由图形旋转的性质得出CB 1的长，进而可得出B 1的坐标，设经过点B 1（2，3）的反比例函数为k y x =，把B 1的坐标代入即可得出k 的值，从而得出反比例函数的解析式．【详解】解：（1）作CD ⊥x 轴于D ．∵BC 与x 轴平行，∴S △ABC =12BC•CD ，∵BC=2，S △ABC =1，∴CD=1，∴C （2，1）；（2）∵由旋转的性质可知CB 1=CB=2，∴B 1（2，3）．设经过点B 1（2，3）的反比例函数为k y x =，∴3=2k ，解得k=6，∴经过点B 1的反比例函数为y=6x ．本题考查的是反比例函数综合题，涉及到图形旋转的性质及三角形的面积公式、用待定系数法求反比例函数的解析式，涉及面较广，难度适中．25、（1）6，0.24，图见解析；（2）52%；（3）1．【解析】（1）先求出随机调查的家庭总户数，再根据“频数=频率⨯总数”可求出a 的值，根据“频率=频数÷总数”可求出b 的值，然后补全频数分布直方图即可；（2）根据总户数和频数分布表中“月均用气量不超过330m 的家庭数”即可得；（3）先求出“小区月均用气量超过340m 的家庭”的占比，再乘以600即可得．【详解】（1）随机调查的家庭总户数为40.0850÷=（户）则0.12506a =⨯=12500.24b =÷=补全频率分布直方图如下所示：（2）月均用气量不超过330m 的家庭数为461626++=（户）则26100%52%50⨯=答：月均用气量不超过303m 的家庭数占被调查家庭总数的百分比为52%；（3）小区月均用气量超过340m 的家庭占比为(0.200.04)100%24%+⨯=则60024%144⨯=（户）答：该小区月均用气量超过403m 的家庭大约有1户．本题考查了频数分布表和频数分布直方图，掌握理解频数分布表和频数分布直方图是解题关键．26、(1)2；（2）−a 1b−12a 2b 2+ab 1．【解析】（1）根据0次幂和负整数指数幂，即可解答．（2）根据单项式乘以多项式，即可解答．【详解】（1）（1.12﹣π）0+（﹣12）﹣2﹣2×2﹣1=1+2-2×12=1+2-1=2．（2）（2a 2+ab-2b 2）（-12ab ）=−a1b−12a2b2+ab1．本题考查了单项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记单项式乘以多项式的法则．。
长沙市重点中学2024年数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】
长沙市重点中学2024年数学九年级第一学期开学统考试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）方程2(2)3(2)x x -=-的解是A ．5x =B ．2x =C ．5x =或2x =D ．1x =或2x =2、（4分）已知正比例函数()0y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y x k =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．3、（4分）下列命题正确的是（）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．一组邻边相等的矩形是正方形4、（4分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2017秒时点P 的坐标是()A ．(2016，0)B ．(2017，1)C ．(2017，－1)D ．(2018，0)5、（4分）如图所示,在▱ABCD 中,分别以AB ,AD 为边向外作等边△ABE ,△ADF ,延长CB 交AE 于点G ,点G 在点A ,E 之间,连接CG ,CF ,则下列结论不一定正确的是()学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………A ．△CDF ≌△EBCB ．∠CDF=∠EAFC ．CG ⊥AED ．△ECF 是等边三角形6、（4分）如图，函数y kx b =+与y mx n =+的图象交于点()P 1,2，那么关于x ，y 的方程组y kx b y mx n =+⎧=+⎨⎩的解是()A ．{x 1y 2==B ．{x 2y 1==C ．{x 2y 3==D ．{x 1y 3==7、（4分）若代数式有意义，则实数x 的取值范围是A ．B ．C ．D ．且8、（4分）一次函数y=5x-4的图象经过().A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）用一块长80cm ，宽60cm 的纸板，在四个角截去四个相同的小正方形，然后做成一个底面积为1500cm 2的无盖长方体纸盒，则截去的小正方形的边长为___________.10、（4分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x -6x+8=0的解，则此三角形的第三边长是_____11、（4分）已知：4432y x +=+-，则x y =______.12、（4分）已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．13、（4分）某市出租车的收费标准如下：起步价5元，即3千米以内（含3千米）收费5元，超过3千米的部分，每千米收费2元．（不足1千米按1千米计算）求车费y （元）与行程x （千米）的关系式________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）解分式方程：（1）321x x =-；（2）22424x x x +---＝1；15、（8分）八年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名八年级学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：（1）在这次评价中，一共抽查了多少名学生？（2）求扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数；（3）请将条形统计图补充完整.16、（8分）(1)因式分解：(2)解不等式组：并把解集在数轴上表示出来.17、（10分）如图，在△ABC 中，C 90∠=．请用尺规在AC 上作点P ，使点P 到A 、B学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………的距离相等.(保留作图痕迹，不写作法和证明)18、（10分）甲、乙两名射击选示在10次射击训练中的成绩统计图（部分）如图所示：根据以上信息，请解答下面的问题；选手A 平均数中位数众数方差甲a 88c 乙7.5b 6和9 2.65（1）补全甲选手10次成绩频数分布图．（2）a ＝，b ＝，c ＝．（3）教练根据两名选手手的10次成绩，决定选甲选手参加射击比赛，教练的理由是什么？（至少从两个不同角度说明理由）．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）在平面直角坐标系xOy 中，正方形111A B C O 、2221A B C B 、3332A B C B ，…，按图所示的方式放置.点1A 、2A 、3A ，…和点1B 、2B 、3B ，…分别在直线y kx b =+和x 轴上.已知()11,1C -，273,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点3A 的坐标是______.20、（4分）小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的通话次数的频率是_____．21、（4分）平面直角坐标系中，A 、O 两点的坐标分别为（2，0），（0，0），点P 在正比例函数y ＝x （x ＞0）图象上运动，则满足△PAO 为等腰三角形的P 点的坐标为_____．22、（4分）当a _____________23、（4分）某个“清凉小屋”自动售货机出售、、A B C 三种饮料.、、A B C 三种饮料的单价分别是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶.工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A 饮料的数量（单位：瓶）是B 饮料数量的2倍，B 饮料的数量（单位：瓶）是C 饮料数量的2倍.某个周六，、、A B C 三种饮料的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，60%，50%，且全部售出.但是由于软件bug ，发生了一起错单（即消费者按某种饮料1瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了403元.则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收入是__________元.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）已知：y ＝y 1﹣y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例，且x ＝1时，y ＝3；x ＝﹣1时y ＝1．(1)求y 关于x 的函数关系式．(2)求x ＝﹣12时，y 的值．25、（10分）画出函数y=2x-1的图象.26、（12分）为了增强学生的身体素质，某校坚持长年的全员体育锻炼，并定期进行体能测试，下面是将某班学生的立定跳远成绩（精确到0.01m ），进行整理后，分成5组，画了的频率分布直方图的部分，已知：从左到右4个小组的频率分别是：0.05，0.15，0.30，0.35，第五小组的频数是1．（1）该班参加测试的人数是多少？（2）补全频率分布直方图．（3）若该成绩在2.00m （含2.00）的为合格，问该班成绩合格率是多少？参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．【详解】解：（x-2）2=3（x-2），（x-2）2-3（x-2）=0，（x-2）（x-2-3）=0，x-2=0，x-2-3=0，x 1=2，x 2=1．故选C．本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．2、B 【解析】根据自正比例函数的性质得到k<0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k 的图象经过第一、三象限，且与y 轴的负半轴相交．【详解】解：正比例函()0y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，0k ∴<，一次函数y x k =+的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y x k =+的图象经过第一、三象限，且与y 轴的负半轴相交．故选：B ．本题考查正比例函数的性质和一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质和一次函数的图象.3、D【解析】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故A选项错误；B、对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形，故B选项错误；C、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故C选项错误．D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确．故选：D．本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊四边形的特点．4、B【解析】试题解析：以时间为点P的下标．观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，-1），P4（4，0），P5（5，1），…，∴P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，-1）．∵2017=504×4+1，∴第2017秒时，点P的坐标为（2017，1）．故选B.5、C【解析】A.在平行四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，∵△ABE、△ADF都是等边三角形，∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，∴DF=BC，CD=BC，∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，∴∠CDF=∠EBC，在△CDF和△EBC中，DF=BC,∠CDF=∠EBC,CD=EB,∴△CDF≌△EBC（SAS），故A正确；B.在平行四边形ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，∴∠CDF=∠EAF，故B正确；C..当CG⊥AE时，∵△ABE是等边三角形，∴∠ABG=30°，∴∠ABC=180°-30°=150°，∵∠ABC=150°无法求出，故C错误；D.同理可证△CDF≌△EAF，∴EF=CF，∵△CDF≌△EBC，∴CE=CF，∴EC=CF=EF，∴△ECF是等边三角形，故D正确；故选C.点睛：本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．6、A【解析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．【详解】解：根据题意可得方程组y kx by mx n=+⎧⎨=+⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩．故选：A．本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．7、D【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且x≠1。
湖南省长沙市岳麓区湖南师大附中博才实验中学2022-2023学年九年级上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市岳麓区湖南师大附中博才实验中学2022-2023学年九年级上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．43二、填空题14．若实数a，b是方程24x-15．若等腰三角形的一边长为两个根，则m的值为．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=在边AB上，且BD=14AB，则三、解答题17．解方程：(1)()213x +=；(2)2540x x -+=18．如图，ABCD Y 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△OAB 是等边三角形，AB=4．(1)求证：ABCD Y 是矩形；(2)求AD 的长．19．已知二次函数的图象以(14)A -，为顶点，且过点(25)B -，．（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与x 轴的交点坐标．20．为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：根据以上信息，解答下列问题(1)这个班共有男生________人，共有女生________人；(2)求初二1班女生体育成绩的众数是________，男生体育成绩的中位数是________；(1)求证：AE=AF；(2)过点F作FN⊥FC交BD的延长线于点AM⊥EF；(3)在（2）的条件下，如果EF=623．“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：销售单价x（元/千克）12日销售量y（千克）220180(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形。
湖南长沙名校初三数学入学考试卷(4套)
湖南师大附中博才实验中学九年级入学考试试题卷·数学满分：120 分时量：120 分钟一．选择题（共12 小题36 分）1. 如图，A，B，C，D 是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是（）A．点A2. 下列计算正确的是（B．点B）C．点C D．点DA．a2•a3＝a6B．a8÷a2＝a4C．a2+a2＝2a2D．（a+3）2＝a2+93.如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2 的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°第3 题图第8 题图第9 题图第10 题图4.不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5.若一次函数y=（k﹣2）x+1 的函数值y 随x 的增大而增大，则（）A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜06.下列整数中，与10﹣最接近的是（）A．4 B．5 C．6 D．77.对于y = 2( x - 3)2 + 2 的图象，下列叙述正确的是（）A．顶点坐标为（﹣3，2）B．开口向下C．当x≥3时，y 随x 的增大而增大D．对称轴是直线x＝﹣38.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为18m 的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A 处的仰角为30°．则教学楼的高度是（）A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m9.如图，直线l1：y＝x+6与直线l2：y＝﹣x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣210.一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．（+1）π11.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2 C．D．12.如图，正方形ABCD 中，AB＝6，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折得到△FDE，延长EF 交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5第11 题图第12 题图第16 题图第17 题图二．填空题（共6 小题18 分）13.使得式子有意义的x 的取值范围是.14.把多项式a3﹣6a2b+9ab2 分解因式的结果是15.已知实数m ，n 是方程x2 - 7x + 2 = 0 的两不等实根，则1+1=. m n16.如图，在正六边形ABCDEF 中，AC＝2 ，则它的边长是17.如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．18.如图，菱形ABCD 中，AB＝2，∠A＝120°，点E、F 分别在边AB、AD 上且AE＝DF，则△AEF 面积的最大值为．三．解答题（共8 小题）19.计算：﹣14+(-3)-2+3tan30°﹣1 2 - 320.先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．21.湖南师大附中组织集团校内七、八、九年级学生参加“12KM”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1 和如图2 两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是度．八年级参赛作文篇数对应的百分比是．（2）请补全条形统计图．（3）经过评审，全集团校内有4 篇作文荣获特等奖，其中一篇来自九年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校报上，请利用画树状图或列表的方法求出九年级特等奖作文被选登在校报上的概率．22.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AC 为⊙O 的直径，D 为的中点，过点D 作DE∥AC，交BC 的延长线于点E．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 的半径为5，AB＝8，求CE 的长．23.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10 元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）15 20 30 …y（袋）25 20 10 …（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？24.如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接DE ，过顶点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ．（1）求证：DG BC =DF BG ；（2）连接CF ，求∠CFB 的大小；（3）作点C 关于直线DE 的对称点H ，连接CH ，FH ．猜想线段DF ，BF ，CH 之间的数量关系并加以证明．25. 已知抛物线 y = ax 2- 2ax - 3a （ a > 0 ）与 x 轴交于 A 、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，过点 A 的直线 y = kx + b 与 y 轴交于点 D ，与抛物线交于点 E（1） 若 k = 3 且点 C 与点 D 关于 x 轴对称，求 a 的值 （2） 若a = 4 且∠DAB = 1 ∠CBA ，求直线 y = kx + b 的解析式32（3） 若点 E 在第一象限，问：是否存在直线 y = kx + b ，使得 ∆ABE 与 ∆ABC 相似？若存在，请求出直线 y = kx + b 的解析式，若不存在，请说明理由26. 我们规定：只有一组对角为直角的四边形称之为“伪矩形”.(1) 如图 1，已知四边形 ABCD 为“伪矩形”，且∠ABC = 90︒，证明:A,B,C,D 四点在同一个圆上； (2) 在（1）问情况下，分别延长 AD 至 E ，CD 至 F 使得 ED =AD,FD =CD ,连接 AF,EF,CE,得到四边形 ACEF, 如图 2 ， 当 BD 平分 ∠ABC 时， 判断四边形 ACEF 为何种特殊四边形？ 请说明理由. 若AB =3,BD =7,求 BC 的长；(3) 已知四边形 ABCD 为“伪矩形”，且∠ABC = 90︒ ， AC ⊥ BD 于 O ，以 O 为坐标原点，直线 AC 作 x 轴，直线 BD 作 y 轴，建立如图 3 平面直角坐标系，已知二次函数 y = ax 2+ bx + c 经过 A,B,C 三点，P 为二次函数图象上 A ，B 之间的一个动点，记∆AOB 的面积为 S 1 , ∆COD 的面积为 S 2 , ∆ABP 的面积为 S 3 ,且满足以下两个条件：① S 1 = 4S 2 ,② S 3 的最大值为 4,求此二次函数的解析式.图 1 图 2 图 32。
长沙市九年级上册开学考数学试卷及答案
长沙市九年级上册开学考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．在以下数据75，80，85，90，80中，众数和中位数分别是( )A ．75，80B ．80，80C ．80，85D ．85，902．将一块长方形桌布铺在长为3m ，宽为2m 的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度设桌布下垂的长度为xm ，则所列的方程是( ) A ．(23)(22)232x x ++=⨯⨯ B ．2(3)(2)32x x ++=⨯ C ．(3)(2)232x x ++=⨯⨯ D ．2(23)22)32x x ++=⨯3．在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是20.35S =甲，20.15S =乙，20.25S =丙，20.27S =丁，这4人中成绩发挥最稳定的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．关于x 的一元二次方程2620x x k ++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．92k B ．92k C ．92k <D ．92k >5．下列命题是真命题的是( )A ．对角线相等的平行四边形是矩形B ．菱形的对角线相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．四边都相等的四边形是矩形6．如图，已知矩形ABCD ，3AB =，4BC =，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，点F 、G 分别为AD 、AE 的中点，则(FG = )A ．52B C ．2 D ．27．在函数y 中，自变量x 的取值范围是( ) A ．0x B ．0x >且3x ≠ C ．0x 且3x ≠ D ．0x >8．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别是(0,3)、(4,0)-，则原点到直线AB 的距离是( )A ．2B ．2.4C ．2.5D ．39．爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y （米)与爷爷离开公园的时间x （分)之间的函数关系是( )A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(,0)m ，则代数式22019m m -+的值为( ) A ．2018B ．2019C ．2020D ．202111．已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是()A ．该图象的顶点坐标为(1,4)a -B ．该图象在x 轴上截得的线段的长为4C ．若该图象经过点(2,5)-，则一定经过点(4,5)D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(3,0)A -，其对称轴为直线1x =-，有下列结论： ①0abc <；②20a b c -->；③关于x 的方程2()ax b m x c m +-+=有两个不相等的实数根； ④若1(5,)P y -，2(,)Q m y 是抛物线上两点，且12y y >，则实数m 的取值范围是53m -<<． 其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．已知m 、n 是关于x 的方程2210x x +-=的两个不相等的实数根，则m n += ． 14．当直线(22)3y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是 ． 15．一次函数23y x =+的图象与x 轴的交点坐标是 ．16．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF 分别与AB 、DC 相交于E 、F 两点，若10AC =，4BD =，则图中阴影部分的面积等于 ．17．给出一组数据10，12，10，x ，8，若这组数据的众数和平均数相等，则中位数为 ． 18．二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为1x =．若关于x 的一元二次方程220(x bx t t +-=为实数）在-1<x<4的范围内有解，则t 的取值范围是 ．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：2018|22|()(31)2-+--+-．20．（6分）为了调查学生每天零花钱情况，对我校初二学年某班50名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图．（1）直接写出这50名同学零花钱数据的众数是 ；中位数是 ． （2）求这50名同学零花钱的平均数．（3）该校共有学生3100人，请你根据该班的零花钱情况，估计这个中学学生每天的零花钱不小于30元的人数．21．（8分）已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当21x -<时，y 的取值范围为 ；22．（8分）如图，在ABCD中，AD AB∠，交BC于点E，过点E作//>，AE平分BADEF AB交AD于点F．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，120∠=︒，求AE的大小．EBA23．（9分）为响应国家全民阅读的号召，望月湖区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；（2）已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2019至2020年图书借阅总量的增长率不低于2017至2019年的年平均增长率，那么2020年的人均借阅量比2019年增长a，a的值至少是多少？%24．（9分）某手机专营店，第一期进了甲种手机50部．售后统计，甲种手机的平均利润是160元/部．调研发现：甲种手机每增加1部，平均利润减少2元/部；该店计划第二期进货甲种手机比第一期增加x部，（1）第二期甲种手机售完后的利润为8400元，那么甲种手机比第一期要增加多少部？（2）当x取何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润W最大，最大利润是多少？25．（10分）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y（个)与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y（个)与销售单价x（元（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为个，此时，获得日销售利润是．（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．26．（10分）细图．抛物线214y x bx c =-++与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，直线AB 的解忻式是132y x =-+，点C 是第一象限内抛物线上的一点，过点C 作x 轴的眶线交直线AB 于点D ．过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点F ，以CD ，CF 邻边作矩形CDEF ．设矩形CDEF 的周长为L ，点C 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）写出矩形CDEF 的周长L 与m 的函数关系式； （3）当m 为何值时，CE DF ⊥？参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（2017秋•青龙县期末）在以下数据75，80，85，90，80中，众数和中位数分别是( )A ．75，80B ．80，80C ．80，85D ．85，90 【考点】4W ：中位数；5W ：众数 【专题】542：统计的应用【分析】根据众数、中位数的定义即可判断；【解答】解：数据75，80，80，85，90中，众数是80，中位数是80， 故选：B ．【点评】本题考查众数、中位数的定义，解题的关键是记住众数．中位数的定义，属于中考常考题型． 2．（2019•北海一模）将一块长方形桌布铺在长为3m ，宽为2m 的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度设桌布下垂的长度为xm ，则所列的方程是( ) A ．(23)(22)232x x ++=⨯⨯ B ．2(3)(2)32x x ++=⨯ C ．(3)(2)232x x ++=⨯⨯ D ．2(23)22)32x x ++=⨯ 【考点】AC ：由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】523：一元二次方程及应用【分析】设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为xm ，则用含x 的代数式表示桌布的长为(32)x m +，宽为(22)x m +，依题意得(23)(22)232x x ++=⨯⨯．【解答】解：设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为xm ，则桌布的长为(32)x m +，宽为(22)x m +， 依题意得(23)(22)232x x ++=⨯⨯，【点评】考查了一元二次方程的应用，此题选择未知数非常关键，设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度，即可表示桌布的长与宽． 3．（2015•乌鲁木齐）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是20.35S =甲，20.15S =乙，20.25S =丙，20.27S =丁，这4人中成绩发挥最稳定的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【考点】7W ：方差【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断出这4人中成绩发挥最稳定的是哪个即可．【解答】解：20.35S =甲，20.15S =乙，20.25S =丙，20.27S =丁， 2222S S S S ∴<<<乙丙丁甲，∴这4人中成绩发挥最稳定的是乙．故选：B ．【点评】此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练在我，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 4．（2017秋•青龙县期末）关于x 的一元二次方程2620x x k ++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．92kB ．92kC ．92k <D ．92k >【考点】AA ：根的判别式 【专题】1：常规题型【分析】根据判别式的意义得到△26420k =-⨯>，然后解不等式即可．【解答】解：关于x 的一元二次方程2620x x k ++=有两个不相等的实数根， ∴△240b ac =->，即26420k -⨯>，解得92k <，故选：C ．【点评】此题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式△24b ac =-：当△0>，方程有两个不相等的实数根；当△0=，方程有两个相等的实数根；当△0<，方程没有实数根． 5．（2019秋•岳麓区校级月考）下列命题是真命题的是( )A ．对角线相等的平行四边形是矩形B ．菱形的对角线相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．四边都相等的四边形是矩形 【考点】1O ：命题与定理【专题】67：推理能力；556：矩形 菱形 正方形【分析】根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的性质，正方形的判定方法进行判断． 【解答】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意； B 、菱形的对角线互相垂直，故不符合题意；C 、对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形，故不符合题意；D 、四边都相等的四边形是菱形，故不符合题意；【点评】本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项． 6．（2019•鄂州模拟）如图，已知矩形ABCD ，3AB =，4BC =，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，点F 、G 分别为AD 、AE 的中点，则(FG = )A ．52B C ．2D 【考点】LB ：矩形的性质；KX ：三角形中位线定理 【专题】556：矩形 菱形 正方形【分析】由矩形的性质和角平分线的性质可得3AB BE ==，可得1EC =，由勾股定理可求DE =，由三角形中位线定理可求GF 的长． 【解答】解：连接DE ，四边形ABCD 是矩形3AB CD ∴==，4AD BC ==，//AD BC DAE AEB ∴∠=∠ AE 平分BAD ∠ DAE BAE ∴∠=∠ BAE AEB ∴∠=∠ 3AB BE ∴==1EC BC BE ∴=-=DE ∴=点F 、G 分别为AD 、AE 的中点，FG ∴故选：B ．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线的定理，求EC 的长度是本题的关键．7．（2019•永春县模拟）在函数y =中，自变量x 的取值范围是( ) A ．0xB ．0x >且3x ≠C ．0x 且3x ≠D ．0x >【考点】4E ：函数自变量的取值范围【专题】538：用函数的观点看方程（组)或不等式【解答】解：根据题意得：0x 且30x -≠， 解得：0x 且3x ≠．故选：C ．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 8．（2019•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别是(0,3)、(4,0)-，则原点到直线AB 的距离是( )A ．2B ．2.4C ．2.5D ．3 【考点】8F ：一次函数图象上点的坐标特征【专题】531：平面直角坐标系；533：一次函数及其应用【分析】由AOB ∆是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将O 到AB 的距离转化为直角三角形OAB 斜边上的高求解；【解答】解：点A 、B 的坐标分别是(0,3)、(4,0)-， 3OA ∴=，4OB =， 5AB ∴=，AOB ∆是直角三角形， O ∴到AB 的距离为341255⨯=； 故选：B ．【点评】本题考查坐标平面内点的特征；将将O 到AB 的距离转化为直角三角形OAB 斜边上的高是解题的关键； 9．（2019•资阳）爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y （米)与爷爷离开公园的时间x （分)之间的函数关系是( )A ．B ．C ．D ．【考点】6E ：函数的图象 【专题】532：函数及其图象 【分析】由题意，爷爷在公园回家，则当0x =时，900y =；从公园回家一共用了45分钟，则当45x =时，0y =；【解答】解：由题意，爷爷在公园回家，则当0x =时，900y =； 从公园回家一共用了20101545++=分钟，则当45x =时，0y =； 结合选项可知答案B ．【点评】本题考查函数图象；能够从题中获取信息，分析运动时间与距离之间的关系是解题的关键． 10．（2019•邵阳三模）已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(,0)m ，则代数式22019m m -+的值为( )A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点 【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】把(,0)m 代入21y x x =--得21m m -=，然后利用整体代入的方法计算22019m m -+的值． 【解答】解：把(,0)m 代入21y x x =--得210m m --=， 所以21m m -=，所以22019120192020m m -+=+=． 故选：C ．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．11．（2019秋•岳麓区校级月考）已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )A ．该图象的顶点坐标为(1,4)a -B ．该图象在x 轴上截得的线段的长为4C ．若该图象经过点(2,5)-，则一定经过点(4,5)D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大【考点】5H ：二次函数图象上点的坐标特征；HA ：抛物线与x 轴的交点；4H ：二次函数图象与系数的关系【专题】67：推理能力；535：二次函数图象及其性质 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】解：2(23)y a x x =-- (3)(1)a x x =-+ 令0y =，3x ∴=或1x =-，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)与(1,0)-，∴图象在x 轴上截得的线段的长为4，故B 成立； ∴抛物线的对称轴为：1x =，令1x =代入223y ax ax a =--，234y a a a a ∴=--=-，∴顶点坐标为(1,4)a -，故A 成立；由于点(2,5)-与(4,5)关于直线1x =对称，∴若该图象经过点(2,5)-，则一定经过点(4,5)，故C 成立；当1x >，0a >时，y 随着x 的增大而增大，当1x >，0a <时，y 随着x 的增大而减少，故D 不一定成立；故选：D ．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．12．（2019•红桥区二模）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(3,0)A -，其对称轴为直线1x =-，有下列结论： ①0abc <；②20a b c -->；③关于x 的方程2()ax b m x c m +-+=有两个不相等的实数根；④若1(5,)P y -，2(,)Q m y 是抛物线上两点，且12y y >，则实数m 的取值范围是53m -<<． 其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【考点】4H ：二次函数图象与系数的关系；5H ：二次函数图象上点的坐标特征；AA ：根的判别式；HA ：抛物线与x 轴的交点【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】由图象和已知可得0a >，0c <，2b a =，3c a =-； ①0abc <；②22650a b c a a a a --=-+=>；③2()ax b m x c m +-+=，可化为2(2)30ax a m x a m +---=，则△222(2)4(3)160a m a a m a m =-++=+>； ④与P 点y 值相等的点为1(7,)y ，12y y >时有57m -<<； 【解答】解：有图可知0a >，0c <， 对称轴为1x =-， 12bx a∴=-=-， 20b a ∴=>；①0abc <，正确； ②2y ax bx c =++的图象经过点(3,0)A -， 930a b c ∴-+=，30a c ∴+=，即3c a =-，223y ax ax a ∴=+-，②正确；③2()ax b m x c m +-+=，可化为2(2)3ax a m x a m +--=，2(2)30ax a m x a m ∴+---=，△222(2)4(3)160a m a a m a m =-++=+>，∴关于x 的方程2()ax b m x c m +-+=有两个不相等的实数根；③正确；④1(5,)P y -，2(,)Q m y 是抛物线上两点，且12y y >，1x ∴=-是对称轴，∴与P 点y 值相等的点为1(7,)y ，12y y >，57m ∴-<<；④错误；故选：C ．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式进行求解是关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（2019•惠山区二模）已知m 、n 是关于x 的方程2210x x +-=的两个不相等的实数根，则m n += 2- ．【考点】AB ：根与系数的关系【专题】523：一元二次方程及应用【分析】由根与系数的关系求解即可．【解答】解：m 、n 是关于x 的方程2210x x +-=的两个不相等的实数根，2m n ∴+=-．故答案为2-．【点评】本题考查了根与系数的关系：1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a+=-，12c x x a=． 14．（2019•潍坊）当直线(22)3y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是 13k << ． 【考点】7F ：一次函数图象与系数的关系【专题】533：一次函数及其应用【分析】根据一次函数y kx b =+，0k <，0b <时图象经过第二、三、四象限，可得220k -<，30k -<，即可求解；【解答】解：(22)3y k x k =-+-经过第二、三、四象限，220k ∴-<，30k -<，1k ∴>，3k <，13k ∴<<；故答案为13k <<；【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y kx b =+，k 与b 对函数图象的影响是解题的关键．15．（2019•宁波二模）一次函数23y x =+的图象与x 轴的交点坐标是 3(2-，0) ． 【考点】8F ：一次函数图象上点的坐标特征【专题】533：一次函数及其应用【分析】令一次函数解析式中0y =，则可得出关于x 的一元一次方程，解方程得出x 值，从而得出一次函数图象与x 轴的交点坐标．【解答】解：令23y x =+中0y =，则230x +=， 解得：32x =-． ∴一次函数23y x =-+的图象与x 轴的交点坐标为3(2-，0)． 故答案为：3(2-，0)． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，令一次函数解析式中y （或)0x =，求出x （或)y 值是关键．16．（2019•渝中区二模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF 分别与AB 、DC 相交于E 、F 两点，若10AC =，4BD =，则图中阴影部分的面积等于 5 ．【考点】8L ：菱形的性质；KD ：全等三角形的判定与性质【专题】553：图形的全等；35：转化思想；556：矩形 菱形 正方形【分析】根据菱形的性质可证出CFO AEO ∆≅∆，可将阴影部分面积转化为AOB ∆的面积，根据菱形的面积公式计算即可． 【解答】解：四边形ADCB 为菱形，OC OA ∴=，//AB CD ，FCO OAE ∠=∠，FOC AOE ∠=∠，()CFO AEO ASA ∆≅∆，CFO AOE S S ∆∆∴=，CFO EBO AOB S S S ∆∆∆∴+=，1111045444AOB ABCD S S AC BD ∆∴==⨯=⨯⨯=， 故答案为：5．【点评】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为AOB ∆的面积为解题关键．17．（2019•南昌模拟）给出一组数据10，12，10，x ，8，若这组数据的众数和平均数相等，则中位数为 10 ．【考点】4W ：中位数；5W ：众数；1W ：算术平均数【专题】542：统计的应用【分析】根据题意先确定x 的值，再根据定义求解．【解答】解：当8x =时，有两个众数，而平均数只有一个，不合题意舍去．当众数为10，根据题意得1012108105x ++++=， 解得10x =，将这组数据从小到大的顺序排列8，10，10，10，12，处于中间位置的是10，所以这组数据的中位数是10．故答案为：10．【点评】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，解题时需要理解题意，分类讨论．18．（2019•江汉区模拟）二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为1x =．若关于x 的一元二次方程220(x bx t t +-=为实数）在14x -<的范围内有解，则t 的取值范围是 0.54t - ．【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点；3H ：二次函数的性质【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】一元二次方程220(x bx t t +-=为实数）在14x -<的范围内有解，即直线2y t =与二次函数2y x bx =+，在这个范围内由交点，则：2y t =在顶点和4x =时之间时，两个函数有交点，即可求解． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线12b x =-=，解得2b =-， ∴抛物线解析式为22y x x =-，顶点坐标为(1,1)-，当1x =-时，3y =，当4x =时，8y =，一元二次方程220(x bx t t +-=为实数）在14x -<的范围内有解，∴直线2y t =与二次函数2y x bx =+在14x -<范围内有交点，128t ∴-，0.54t ∴-．故答案为：0.54t -．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．题目关键是把一元二次方程220x bx t +-=转化为直线2y t =与二次函数2y x bx =+的交点．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）（20192012|()1)2--+． 【考点】6E ：零指数幂；2C ：实数的运算；6F ：负整数指数幂【专题】11：计算题；511：实数【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式2411=+=．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）（2018春•松北区期末）为了调查学生每天零花钱情况，对我校初二学年某班50名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图．（1）直接写出这50名同学零花钱数据的众数是 20元 ；中位数是 ．（2）求这50名同学零花钱的平均数．（3）该校共有学生3100人，请你根据该班的零花钱情况，估计这个中学学生每天的零花钱不小于30元的人数．【考点】5V ：用样本估计总体；2W ：加权平均数；4W ：中位数；5W ：众数【专题】54：统计与概率【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；（2）根据统计图中的数据可以求得这50名同学零花钱的平均数；（3）根据题意可以求得这个中学学生每天的零花钱不小于30元的人数．【解答】解：（1）由统计图可得，这50名同学零花钱数据的众数是20元，中位数是20元，故答案为：20元，20元；（2）56101520193085021850x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元)， 答：这50名同学零花钱的平均数是18元； （3）82310062050+⨯=（人)， 答：这个中学学生每天的零花钱不小于30元的有620人．【点评】本题考查众数、用样本估计总体、加权平均数、中位数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（8分）（2018秋•亭湖区校级期末）已知二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当21x -<时，y 的取值范围为 40y - ；（3）将该二次函数图象向上平移 个单位长度后恰好过点(2,0)-．【考点】8H ：待定系数法求二次函数解析式；3H ：二次函数的性质；6H ：二次函数图象与几何变换【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】（1）设顶点式2(1)4y a x =+-，然后把(1,0)代入得求出a 即可；（2）计算自变量为2-、1对应的函数值，然后利用函数图象写出对应的函数值的范围；（3）设二次函数图象向上平移(0)k k >个单位长度后恰好过点(2,0)-．设平移后抛物线解析式可设为2(1)4y x k =+-+，然后把(2,0)-代入求出k 即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(1)4y a x =+-，把(1,0)代入得440a -=，解得1a =，所以抛物线的解析式为2(1)4y x =+-；（2）当2x =-时，2(21)43y =-+-=-；当1x =时，0y =；所以当21x -<时，y 的取值范围为40y -；（3）设二次函数图象向上平移(0)k k >个单位长度后恰好过点(2,0)-．则抛物线解析式可设为2(1)4y x k =+-+，把(2,0)-代入得2(21)40k -+-+=，解得3k =，即将该二次函数图象向上平移3个单位长度后恰好过点(2,0)-．故答案为40y -；3．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．22．（8分）（2018春•福清市期中）如图，在ABCD 中，AD AB >，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，过点E 作//EF AB 交AD 于点F ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若菱形ABEF 的周长为16，120EBA ∠=︒，求AE 的大小．【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；LA：菱形的判定与性质【专题】14：证明题【分析】（1）由题意可得四边形ABEF是平行四边形，由AE平分BAD∠，可得AB BE=，则结论可得（2）：连接BF交AE于点O；则BF AE⊥于点O．由题意可得4AB=，90AOB∠=︒，30BAE∠=︒，可得AO的长即可求AE的长．【解答】（1）证明：ABCD//BC AD∴，即//BE AF//EF AB∴四边形ABEF为平行四边形AE平分BAF∠EAB EAF∴∠=∠//BC ADBEA EAF∴∠=∠BEA BAE∴∠=∠AB BE∴=∴四边形ABEF是菱形（2）解：连接BF交AE于点O；则BF AE⊥于点OBA BE=，120EBA∠=︒30BEA BAE∴∠=∠=︒菱形ABEF的周长为164AB∴=在Rt ABO∆中30BAO∠=︒∴122BO BA==由勾股定理可得：AO==2AE AO∴==【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，关键是利用这些性质和判定解决问题．23．（9分）（2019秋•岳麓区校级月考）为响应国家全民阅读的号召，望月湖区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；（2）已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2019至2020年图书借阅总量的增长率不低于2017至2019年的年平均增长率，那么2020年的人均借阅量比2019年增长%a，a的值至少是多少？【考点】AD：一元二次方程的应用；9C：一元一次不等式的应用【专题】523：一元二次方程及应用；69：应用意识【分析】（1）设该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为x，根据该社区2017年及2019年的图书借阅总量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2020年的借阅总量2019=年的人均借阅量(1⨯+增长率）2020⨯年借阅图书人数结合2019至2020年图书借阅总量的增长率不低于2017至2019年的年平均增长率，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为x ，依题意，得：27500(1)10800x +=，解得：10.220%x ==，1 2.2x =-（舍去）．答：该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为20%．（2）依题意，得：10800(1%)144010800(120%)1350a ⨯+⨯⨯+， 解得：12.5a ．答：a 的值至少是12.5．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24．（9分）（2019•洪泽区二模）某手机专营店，第一期进了甲种手机50部．售后统计，甲种手机的平均利润是160元/部．调研发现：甲种手机每增加1部，平均利润减少2元/部；该店计划第二期进货甲种手机比第一期增加x 部，（1）第二期甲种手机售完后的利润为8400元，那么甲种手机比第一期要增加多少部？（2）当x 取何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润W 最大，最大利润是多少？【考点】HE ：二次函数的应用【专题】536：二次函数的应用【分析】（1）甲种手机利润=销售品牌手机的数量⨯每件品牌手机的利润，根据这个关系即可列出方程；（2）表示出第二期进的甲种手机售完后获得的总利润，根据二次函数，即可求出最大利润．【解答】解：（1）根据题意，(50)(1602)8400x x +-=，解得110x =，220x =，因为增加10件和增加20件品牌手机的利润是相同的，为了减少成本故第二期甲种手机售完后的利润为8400元，品牌手机应该增加10部；（2）2(50)(1602)2(15)8450W x x x =+-=--+，当x 取15时，第二期进的甲手机售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是8450元．【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，能够根据实际问题列出一元二次方程和二次函数是解答此题的关键．25．（10分）（2019•宛城区一模）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y （个)与销售单价x （元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y （个)与销售单价x （元/个）的几组数据如表：（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为 75 个，此时，获得日销售利润是 ．（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．。
湖南省长沙市长郡双语实验中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题
初中代表队 a
85
b
S初2 中
高中代表队 85
c
100
160
(1)根据条形图计算出 a，b，c 的值：a _________，b _________，c _________．
(2)计算初中代表队决赛成绩的方差 S初2 中 ，并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定．
20．如图，直线 l1：y kx 1与 x 轴交于点 D ，直线 l2：y x b 与 x 轴交于点 A ，且经
abc 0 ；② 4a 2b c 0 ；③ a b c 0；④ 1 a 2 ；其中正确结论的个数有（ ）
3
3
试卷第 2 页，共 6 页
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题 11．因式分解： y3 6y2 9y ．
12．计算： 8 3 6 ．
13．如果将抛物线 y x2 2 向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位，那么所得到的 新抛物线的表达式是． 14．清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小， 也学牡丹开”，若苔花的花粉直径约为 0.0000084 米，用科学记数法表示为米． 15．如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠DAB，交 DC 于 E，AD＝5，AB＝8，则 EC 的长为．
湖南省长沙市长郡双语实验中学 2023-2024 学年九年级上学 期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，最大的一个数是（ ）
A． 1
B．2
2．下列运算正确的是（ ）
C． 1 5
湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题一、单选题1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）AB C D 2．下列曲线中不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．14 C ．7 D ．7或25 4．在某一次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85、81、89、81、72、82、77、81、79、83则这组数据的众数、平均数与中位数分别为( )A ．81、82、81B ．81、81、76.5C ．83、81、77D ．81、81、815．直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（ ）. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 6．如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F 处．若AE ＝5，BF ＝3，则CD 的长是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．107．抛物线22y ax ax c =-+与x 轴的一个交点为()5,0，则它与x 轴的另一个交点的坐标为（ ） A ．()3,0B ．()3,0-C ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．不能确定，与a 的值有关8．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是( ) A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对 9．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是（ ）A ．12米B ．13米C ．14米D ．15米10．对称轴为直线x ＝1的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc ＜0；②b 2＞4ac ；③4a +2b +c ＞0；④a +b ≤m （am +b ）（m 为任意实数）；⑤当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．将直线=5y x --向上平移5个单位长度，得到直线．12．甲、乙两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，统计两人的成绩得；平均数x 甲＝x 乙，方差S 2甲＜S 2乙，则成绩较稳定的是（填甲或乙）13．如图，平行四边形ABCD 中，3AD =，5AB =，90ADB ∠=︒，则平行四边形ABCD 的面积为．14．如图，函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(,5)A m ，则不等式24x ax <+的解集为．15．设m 、n 是一元二次方程x 2＋3x -7＝0的两个根，则m 2＋4m ＋n ＝．16．已知二次函数y=x 2﹣2ax （a 为常数）．当﹣1≤x≤4时，y 的最小值是﹣12，则a 的值为三、解答题17．解方程： （1）2650x x -+=；（2） 22310x x --=．18．如图，一次函数y kx b =＋的图象与正比例函数2y x =的图象交于点(),2A m ，与y 轴的交点为C ，与x 轴的交点为D ．(1)若一次函数图象经过点()2,1B --，求一次函数的解析式；(2)在（1）的条件下，求AOD △的面积．19．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2+k ﹣1=0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=11，求k 的值．20．学校广播站要招聘一名播音员，考查形象、知识面、普通话三个项目（每个项目按百分制计分）．若按形象占10%，知识面占40%，普通话占50%计算加权平均数，作为最后评定的总成绩．李颖和张明两位同学的各项成绩如表所示：（1）计算李颖同学的总成绩；（2）若张明同学要在总成绩上超过李颖同学，求x的范围．21．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．22．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF 与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；AB的长．（2）若23．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少?24．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点(13),，()26,，,)3，……，都是“一中点”．例如：抛物线24y x =-上存在两个“一中点”()P 1412，，)(P --213，． (1)在下列函数中，若函数图像上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图像上不存在“一中点”的打“×”．①21y x =-________；②21y x =-________；③24y x =+________．(2)若抛物线()y x m x m m =-++--+2212231239上存在“一中点”，且与直线3y x =相交于点11(,)A x y 和22(,)B x y ，令t x x =+2122，求t 的最小值；(3)若函数()y x b c x a c =+-+++-21324的图像上存在唯一的一个“一中点”，且当12b -≤≤时，a 的最小值为c ，求c 的值．25．定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P （x ，y ）的纵坐标y 与其横坐标x 的差y-x 称为点P 的“坐标差”，而图形G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G 的“特征值”（1）点A（2，6）的“坐标差”为________；（2）求抛物线y=-x2+5.x+4的“特征值”；（3）某二次函数y=-x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为-1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；（4）二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO 是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上点下在x轴上，当二次函数y=-x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值.。
湖南省长沙市某校九年级(上)开学数学试卷及答案
2020-2021学年湖南省长沙市某校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1. −12020=（）A.1B.−1C.2020D.−20202. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3. 今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字“1109万”用科学记数法可表示为( )A.1.109×107B.1.109×106C.0.1109×108D.11.09×1064. 下列运算正确的是（）A.x5÷x3＝x2B.(y5)2＝y7C.√2+√3=√5D.√2×√3=√55. 下列各函数中，x逐渐增大y反而减小的函数是（）A.y=13x B.y＝−x C.y＝x2 D.y＝4x−16. 下列命题是真命题的是（）A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.菱形的对角线相等C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.四边都相等的四边形是矩形7. 不等式组{2x−13>−11−3x≥−5的解集在数轴上可表示为（）A. B.C. D.8. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时．列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax2+bx+c＝−5的解为（）A.x1＝2，x2＝−2B.x1＝2，x2＝−3C.x1＝2，x2＝−4D.x1＝2，x2＝−59. 如图，矩形ABCD的长和宽分别为6和4，E、F、G、H依次是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH的周长等于（）A.20B.4√13C.10D.2√1310. 乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB // CD，∠BAE＝92∘，∠DCE＝121∘，则∠AEC的度数是（）A.30∘B.29∘C.28∘D.27∘11. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A.3(x−1)=6210xB.6210x−1=3 C.3x−1=6210xD.6210x=312. 如图，在四边形ABCD 中，AD // BC ，AB ＝CD ，B ＝60∘，AD ＝2，BC ＝8，点P 从点B 出发沿折线BA −AD −DC 匀速运动，同时，点Q 从点B 出发沿折线BC −CD 匀速运动，点P 与点Q 的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P 运动的路程为x ，△BPQ 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：这次调查中的众数和中位数分别是________，________．若A(−134,y 1)，B(−54,y 2)，C(14,y 3)为二次函数y =x 2+4x −5的图象上三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________<________<________．已知菱形ABCD 的边长为5cm ，对角线AC ＝6cm ，则其面积为 24 cm 2．在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使得点B 落在CD 上的点Q 处．折痕为AP ，再将△PCQ ，△ADQ 分别沿PQ ，AQ 折叠，此时点C ，D 落在AP 上的同一点R 处．解答下列问题：(1)填空：∠AQP =________∘；(2)求∠PAQ 的度数；(3)当四边形APCD 是平行四边形时，求ABQR 的值．三、解答题（本大题共9小题，共72分）计算：(−12)−2+√8−|1−√2|+(π+2020)0．先化简，再求值：(1−1x−1)÷x 2−4x+4x 2−1，从−1，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．解方程：（1）(x +1)2＝2x +2；（2）2x 2−4x −1＝0．为提升学生的艺术素养，学习计划开设四门艺术选修课：A 书法；B 绘画；C 乐器；D 舞蹈，为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有________人，扇形统计图中∠α的度数是________；（2）请把条形统计图补充完整；（3）如果该校共有2500名学生，请你估计该校D类学生约有多少人？已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2(m−3)x+m2+1的两个根．（1）当m取何值时，原方程有两个不相等的实数根？（2）若以x1，x2为对角线的菱形边长是√3，试求m的值．疫情期间，小明去药店购买A、B两种口罩，每次购买同一种口罩的单价相同．第一次购买A种口罩30个、B 种口罩10个共110元；第二次购买A种口罩20个、B种口罩30个共120元．根据以上信息解答下列问题：（1）求A、B两种口罩的单价；（2）若第三次购买这两种口罩共60个，且A种口罩的数量不少于B种口罩数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．如图，在四边形ABCD中，AD // BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，（1）求证：AE＝CE；（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30∘，则四边形ABCF的面积为________．新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60∘，∠B＝70∘，求∠C，∠D的度数（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立．请你证明此结论（3）已知：在“等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60∘，∠ABC＝90∘，AB＝10，AD＝8．求对角线AC的长．如图，已知抛物线：y1=−x2−2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B′两点（B′在B的右侧），顶点D的对应点为点D′，若∠BD′B′=90∘，求点B′的坐标及抛物线y2的解析式；(3)在(2)的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省长沙市某校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1.【答案】B【考点】有理数的乘方【解析】根据有理数的乘方运算，即可得出答案．【解答】解：−12020=−1．故选B.2.【答案】C【考点】轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．3.【答案】A【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．【解答】解：科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，∵1109万=11090000，∴11090000=1.109×107．故选A.4.【答案】A【考点】同底数幂的除法二次根式的混合运算幂的乘方与积的乘方【解析】根据同底数幂的除法法则对A进行判断；根据幂的乘方对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．【解答】A、原式＝x2，所以A选项正确；B、原式＝y10，所以B选项错误；C、√2与√3不能合并，所以C选项错误；D、原式=√2×3=√6，所以D选项错误．5.【答案】B【考点】正比例函数的性质二次函数的性质一次函数的性质【解析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．【解答】函数y＝−x中，y随x的增大而减小，故选项B符合题意（1）函数y＝x2，当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意（2）函数y＝4x−1中，y随x的增大而增大，故选项D 不符合题意（3）故选：B．6.【答案】A【考点】命题与定理菱形的性质【解析】利用菱形、矩形及正方形的判定方法及菱形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A，一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意；B，菱形的对角线互相垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；D，四边都相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意.故选A.7.【答案】A【考点】在数轴上表示不等式的解集 解一元一次不等式组【解析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而在数轴上表示即可． 【解答】{2x−13>−11−3x ≥−5，解①得：x >−1， 解②得：x ≤2，故不等式组的解集为：−1<x ≤2， 在数轴上表示解集为：．8. 【答案】 C【考点】抛物线与x 轴的交点 【解析】由表格中的数据可求出抛物线的解析式，则一元二次方程ax 2+bx +c ＝−5中各项的系数已知，再解方程即可． 【解答】由题意可知点(−2, 3)，(0, 3)，(1, 0)在二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象上， 则{3=4a −2b +c c =30=a +b +c ， 解得：{a =−1b =−2c =3，所以一元二次方程ax 2+bx +c ＝−5可化为：−x 2−2x +3＝−5， 解得：x 1＝2，x 2＝−4， 9.【答案】 B【考点】 矩形的性质 中点四边形【解析】根据矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点，利用三角形中位线定理求证EF ＝GH ＝FG ＝EH ，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形．根据菱形的性质来计算四边形EFGH 的周长即可． 【解答】连接BD ，AC ．在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，∠DAB ＝90∘，则由勾股定理易求得BD ＝AC ＝2√13．∵ 矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点， ∴ EF 为△ABC 的中位线， ∴ EF =12AC =√13，EF // AC ， 又GH 为△BCD 的中位线， ∴ GH =12AC =√13，GH // AC ，∴ HG ＝EF ，HG // EF ，∴ 四边形EFGH 是平行四边形．同理可得：FG =12BD =√13，EH =12AC =√13， ∴ EF ＝GH ＝FG ＝EH =√13， ∴ 四边形EFGH 是菱形．∴ 四边形EFGH 的周长是：4EF ＝4√13， 10. 【答案】 B【考点】 平行线的性质 【解析】延长DC 交AE 于F ，依据AB // CD ，∠BAE ＝92∘，可得∠CFE ＝92∘，再根据三角形外角性质，即可得到∠AEC ＝∠DCE −∠CFE ． 【解答】如图，延长DC 交AE 于F ， ∵ AB // CD ，∠BAE ＝92∘， ∴ ∠CFE ＝92∘， 又∵ ∠DCE ＝121∘，∴ ∠AEC ＝∠DCE −∠CFE ＝121∘−92∘＝29∘． 11.【答案】 A【考点】由实际问题抽象为分式方程 【解析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【解答】依题意，得：3(x −1)=6210x．12.【答案】 B【考点】特殊角的三角函数值动点问题 【解析】①当点P 在AB 上运动时(0≤x ≤6)，y =12BQ ×BP sin B =√34x 2，当x ＝6时，y ＝9√3；②6<x <8，y 为一次函数；③当x ≥8时，点PC ＝6+2+6−x ＝14−x ，QC ＝x −8，则PQ ＝22−2x ，而△BPQ 的高常数，即可求解． 【解答】由题意得：四边形ABCD 为等腰梯形，如下图，分别过点A 、D 作梯形的高AM 、DN 交BC 于点M 、N ，则MN ＝AD ＝2，BM ＝NC =12(BC −AD)＝3，则AB ＝2BM ＝6，①当点P 在AB 上运动时(0≤x ≤6)， y =12BQ ×BP sin B =√34x 2，当x ＝6时，y ＝9√3， 图象中符合条件的有B 、D ； ②6<x <8，y 为一次函数；③当x ≥8时，点PC ＝6+2+6−x ＝14−x ，QC ＝x −8， 则PQ ＝22−2x ，而△BPQ 的高常数，故y 的表达式为一次函数， 故在B 、D 中符合条件的为B ，二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 【答案】 5,5【考点】 中位数 众数【解析】根据中位数和众数的概念求解即可． 【解答】这次调查中的众数是5，这次调查中的中位数是，【答案】 y 2,y 1,y 3 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【解析】此题可根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线x ＝−2，再比较图象上三点到对称轴的距离，则距离越大，其纵坐标越大． 【解答】解：∵ 二次函数y =x 2+4x −5，a =1>0， ∴ 开口向上，对称轴为直线x =−2． 又A ，B ，C 三点到对称轴的距离分别为： |−134−(−2)|=54，|−54−(−2)|=34，|14−(−2)|=94，∴ y 2<y 1<y 3.故答案为：y 2；y 1；y 3. 【答案】∵ 菱形ABCD 的边长为5cm ，对角线AC ＝6cm ， ∴ AO ＝CO ＝3cm ，则BO =√AB 2−AO 2=4(cm)， 则BD ＝8cm ，则其面积为：12×6×8＝24(cm 2)． 故答案为：24．【考点】 菱形的性质 【解析】根据菱形的性质结合勾股定理得出BD 的长，进而利用菱形面积公式求出答案． 【解答】 如图所示：∵ 菱形ABCD 的边长为5cm ，对角线AC ＝6cm ， ∴ AO ＝CO ＝3cm ，则BO =√AB 2−AO 2=4(cm)， 则BD ＝8cm ，则其面积为：12×6×8＝24(cm 2)． 故答案为：24．【答案】 90(2)由(1)得，∠B =∠AOP =90∘ ，∠CPQ =∠QPR =∠APB =13×180∘=60∘， ∴ ∠PAB =30∘， ∴ ∠PAQ =30∘.(3)当四边形APCD是平行四边形时，∠C=∠DAP，∠DAP=2∠PAQ=60∘. 又∵∠CPQ=60∘，∴△QPC是等边三角形，∴CQ=PQ.又∵CQ=QR，PQ=PB，∴QR=PB.在Rt△ABP中，∵∠B=90∘，∠PAB=30∘，∴PB:PA:AB=1:2:√3，∴AB:PB=√3:1，∴ABQR =ABPB=√3，即ABQR=√3.【考点】翻折变换（折叠问题）平行线的性质平行四边形的性质等边三角形的性质直角三角形的性质【解析】（1）由折叠的性质可得∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180∘，∠AQP＝90∘，可证AD // BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90∘，即可求解；（2）由平行四边形和折叠的性质可得AR＝PR，由直角三角形的性质可得AP＝2PB＝2QR，AB=√3PB，即可求解．【解答】解：(1)由折叠的性质，得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP.∵∠QRA+∠QRP=180∘，∴∠D+∠C=180∘，∴AD // BC，∴∠B+∠DAB=180∘.∵∠DQR+∠CQR=180∘，∴∠DQA+∠CQP=90∘，∴∠AQP=90∘.故答案为：90.(2)由(1)得，∠B=∠AOP=90∘，∠CPQ=∠QPR=∠APB=13×180∘=60∘，∴∠PAB=30∘，∴∠PAQ=30∘. (3)当四边形APCD是平行四边形时，∠C=∠DAP，∠DAP=2∠PAQ=60∘.又∵∠CPQ=60∘，∴△QPC是等边三角形，∴CQ=PQ.又∵CQ=QR，PQ=PB，∴QR=PB.在Rt△ABP中，∵∠B=90∘，∠PAB=30∘，∴PB:PA:AB=1:2:√3，∴AB:PB=√3:1，∴ABQR=ABPB=√3，即ABQR=√3.三、解答题（本大题共9小题，共72分）【答案】原式＝4+2√2−(√2−1)+1＝4+2√2−√2+1+1=√2+6．【考点】实数的运算零指数幂负整数指数幂【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】原式＝4+2√2−(√2−1)+1＝4+2√2−√2+1+1=√2+6．【答案】解：原式=(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1=x−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2=x+1x−2．∵x2−1≠0，x−2≠0，∴ x≠±1，2，∴取x=3，原式=3+13−2=4．【考点】分式的化简求值【解析】根据分式的化简求值的过程计算即可求解．【解答】解：原式=(1−1x−1)÷x 2−4x+4x 2−1=x−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2=x+1x−2．∵ x 2−1≠0，x −2≠0， ∴ x ≠±1，2，∴ 取x =3，原式=3+13−2=4． 【答案】(x +1)2＝2x +2，(x +1)2−2(x +1)＝0， (x +1)(x +1−2)＝0， ∴ x +1＝0或x −1＝0， ∴ x 1＝−1，x 2＝1； 2x 2−4x −1＝0， x 2−2x =12，x 2−2x +1=12+1，即(x −1)2=32 ∴ x −1=±√62， ∴ x 1＝1+√62，x 2＝1−√62． 【考点】解一元二次方程-配方法 解一元二次方程-因式分解法 【解析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【解答】(x +1)2＝2x +2，(x +1)2−2(x +1)＝0， (x +1)(x +1−2)＝0， ∴ x +1＝0或x −1＝0， ∴ x 1＝−1，x 2＝1； 2x 2−4x −1＝0， x 2−2x =12，x 2−2x +1=12+1，即(x −1)2=32 ∴ x −1=±√62， ∴ x 1＝1+√62，x 2＝1−√62． 【答案】 40,108∘补全条形统计图如图所示： 2500×1640=1000（人）．答：该校2500名学生中D 类的约有1000人．【考点】扇形统计图 条形统计图 用样本估计总体 【解析】（1）从两个统计图可得，“B 组”的有8人，占调查人数的20%，可求出班级人数；样本中，“D 组”占1640，因此圆心角占360∘的1640，可求出度数；（2）求出“C 组”人数，即可补全条形统计图：（3）样本估计总体，样本中，“D 组”占1640，估计总体500人的1640，是“D 组”人数． 【解答】8÷20%＝40（人），C 组人数为40−4−8−16＝12（人），360∘×1240=108∘，故答案为：40，108∘，补全条形统计图如图所示： 2500×1640=1000（人）．答：该校2500名学生中D 类的约有1000人．【答案】由题意得△＝[2(m−3)]2−4(m2+1)＝32−24m，要使方程有两个不相等的实数根，需要△>0，即32−24m>0，解得m<43，即m<43时，方程有两个不相等的实数根．∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2(m−3)x+m2+1＝0的两个根，∴x1+x2＝−2(m−3)，x1⋅x2＝m2+1．∵x1，x2为菱形的对角线，∴x1，x2互相垂直并且平分，∴( 12x1)2+( 12x2)2＝3，∴x12+x22＝12，∴(x1+x2)2−2x1⋅x2＝12，∴(x1+x2)2−2x1⋅x2＝12，∴[−2(m−3)]2−2(m2+1)＝12，∴m2−12m+11＝0，解得，m1＝1，m2＝11．∵m<43，∴m2＝11不合题意，舍去，∴m的值为1．【考点】根的判别式菱形的性质【解析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则有△＝b2−4ac>0，得到关于m的不等式，求解即可；（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝−2(m−3)，x1⋅x2＝−m2+1．根据菱形的对角线互相垂直平分的性质以及勾股定理得出(12x1)2+(12x2)2＝3，那么(x1+x2)2−2x1⋅x2＝12，由此得出关于m的方程，解方程即可．【解答】由题意得△＝[2(m−3)]2−4(m2+1)＝32−24m，要使方程有两个不相等的实数根，需要△>0，即32−24m>0，解得m<43，即m<43时，方程有两个不相等的实数根．∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2(m−3)x+m2+1＝0的两个根，∴x1+x2＝−2(m−3)，x1⋅x2＝m2+1．∵x1，x2为菱形的对角线，∴x1，x2互相垂直并且平分，∴( 12x1)2+( 12x2)2＝3，∴x12+x22＝12，∴(x1+x2)2−2x1⋅x2＝12，∴(x1+x2)2−2x1⋅x2＝12，∴[−2(m−3)]2−2(m2+1)＝12，∴m2−12m+11＝0，解得，m1＝1，m2＝11．∵m<43，∴m2＝11不合题意，舍去，∴m的值为1．【答案】设A种口罩的单价为x元，B种口罩的单价为y元，依题意，得：{30x+10y=11020x+30y=120，解得：{x=3y=2．答：A种口罩的单价为3元，B种口罩为2元．设第三次购买A种口罩m个，则购买B种口罩(60−m)个，依题意，得：m≥2(60−m)，解得：m≥40．设第三次购买这两种口罩共需w元，则w＝3m+2(60−m)＝m+120，∵k＝1>0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝40时，w取得最小值，∴最省钱的购买方案为：购买A种口罩40个，B种口罩20个．【考点】一元一次不等式的实际应用二元一次方程组的应用——行程问题二元一次方程的应用二元一次方程组的应用——其他问题【解析】（1）设A种口罩的单价为x元，B种口罩的单价为y元，根据“第一次购买A种口罩30个、B种口罩10个共110元；第二次购买A种口罩20个、B种口罩30个共120元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设第三次购买A种口罩m个，则购买B种口罩(60−m)个，根据购进A种口罩的数量不少于B种口罩数量的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设第三次购买这两种口罩共需w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】设A种口罩的单价为x元，B种口罩的单价为y元，依题意，得：{30x+10y=11020x+30y=120，解得：{x=3y=2．答：A种口罩的单价为3元，B种口罩为2元．设第三次购买A种口罩m个，则购买B种口罩(60−m)个，依题意，得：m≥2(60−m)，解得：m≥40．设第三次购买这两种口罩共需w元，则w＝3m+2(60−m)＝m+120，∵k＝1>0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝40时，w取得最小值，∴最省钱的购买方案为：购买A种口罩40个，B种口罩20个．【答案】证明：∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，∵AD // BC，∴∠ADE＝∠CBE，在△ADE和△CBE中{∠ADE=∠CBE DE=BE ∠AED=∠CEB∴△ADE≅△CBE(ASA)，∴AE＝CE；证明：∵AE＝CE，BE＝DE，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB // CD，AB＝CD，∵DF＝CD，∴DF＝AB，即DF＝AB，DF // AB，∴四边形ABDF是平行四边形；6【考点】平行四边形的性质与判定全等三角形的性质与判定【解析】（1）根据平行线的性质得出∠ADE＝∠CBE，根据全等三角形的判定得出△ADE≅△CBE，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据平行四边形的判定推出即可；（3）求出高DQ和CH，再根据面积公式求出即可．【解答】证明：∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，∵AD // BC，∴∠ADE＝∠CBE，在△ADE和△CBE中{∠ADE=∠CBE DE=BE ∠AED=∠CEB∴△ADE≅△CBE(ASA)，∴AE＝CE；证明：∵AE＝CE，BE＝DE，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB // CD，AB＝CD，∵DF＝CD，∴DF＝AB，即DF＝AB，DF // AB，∴四边形ABDF是平行四边形；过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB＝2，AF＝4，∠F＝30∘，∴DF＝AB＝2，CD＝AB＝2，BD＝AF＝4，BD // AF，∴∠BDC＝∠F＝30∘，∴DQ=12DF=12×2=1，CH=12DC=12×2=1，∴四边形ABCF的面积S＝S平行四边形BDFA+S△BDC＝AF×DQ+12×BD×CH=4×1+12×4×1=6，故答案为：6．【答案】∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60∘，∠B＝70∘，∴∠D＝∠B＝70∘，∴∠C＝360∘−70∘−70∘−60∘＝160∘；证明：如图2，连接BD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC−∠ABD＝∠ADC−∠ADB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD；分两种情况：①当∠ADC＝∠ABC＝90∘时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：∵∠ABC＝90∘，∠DAB＝60∘，AB＝10，AD＝8，∴∠E＝30∘，∴AE＝2AB＝20，∴DE＝AE−AD＝20−8=12，∵∠EDC＝90∘，∠E＝30∘，∴CD=√3=4√3，∴AC=√AD2+CD2=√82+(4√3)2=4√7；②当∠BCD＝∠DAB＝60∘时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：则∠AMD＝90∘，四边形BNDM是矩形，∵∠DAB＝60∘，AD＝8，AB＝10，∴∠ADM＝30∘，∴AM=12AD＝4，∴DM=√3AM＝4√3，∴BM＝AB−AM＝10−4＝6，∵四边形BNDM是矩形，∴DN＝BM＝6，BN＝DM＝4√3，∵∠BCD＝60∘，∴CN=DN√3=2√3，∴BC＝CN+BN＝6√3，∴AC=√AB2+BC2=√102+(6√3)2=4√13．综上所述：AC的长为4√7或4√13．【考点】四边形综合题【解析】（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D＝∠B＝70∘，根据四边形内角和定理求出∠C即可；（2）连接BD，根据等边对等角得出∠ABD＝∠ADB，求出∠CBD＝∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；（3）分两种情况：①当∠ADC＝∠ABC＝90∘时，延长AD，BC相交于点E，先用含30∘角的直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC；②当∠BCD＝∠DAB＝60∘时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD＝90∘，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN＝BM＝6，BN＝DM＝4√3，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可．【解答】∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60∘，∠B＝70∘，∴∠D＝∠B＝70∘，∴∠C＝360∘−70∘−70∘−60∘＝160∘；证明：如图2，连接BD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC−∠ABD＝∠ADC−∠ADB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD；分两种情况：①当∠ADC＝∠ABC＝90∘时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：∵∠ABC＝90∘，∠DAB＝60∘，AB＝10，AD＝8，∴∠E＝30∘，∴AE＝2AB＝20，∴DE＝AE−AD＝20−8=12，∵∠EDC＝90∘，∠E＝30∘，∴CD=3=4√3，∴AC=√AD2+CD2=√82+(4√3)2=4√7；②当∠BCD＝∠DAB＝60∘时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：则∠AMD＝90∘，四边形BNDM是矩形，∵∠DAB＝60∘，AD＝8，AB＝10，∴∠ADM＝30∘，∴AM=12AD＝4，∴DM=√3AM＝4√3，∴BM＝AB−AM＝10−4＝6，∵四边形BNDM是矩形，∴DN＝BM＝6，BN＝DM＝4√3，∵∠BCD＝60∘，∴ CN =DN √3=2√3，∴ BC ＝CN +BN ＝6√3，∴ AC =√AB 2+BC 2=√102+(6√3)2=4√13． 综上所述：AC 的长为4√7或4√13．【答案】解：(1)对于y 1=−x 2−2x +3，令y 1=0， 得到−x 2−2x +3=0，解得x =−3或1， ∴ A(−3, 0)，B(1, 0)， 令x =0，得到y 1=3， ∴ C(0, 3)．(2)设平移后的抛物线的解析式为y 2=−(x −a)2+b ， 如图1中，过点D′作D′H ⊥OB′于H ，连接BD′．∵ D′是抛物线的顶点， ∴ D′B =D′B′，D′(a, b)，∵ ∠BD′B′=90∘，D′H ⊥BB′， ∴ BH =HB′，∴ D′H =BH =HB′=b ， ∴ a =1+b ，又∵ y 2=−(x −a)2+b ，经过B(1, 0)， ∴ b =(1−a)2，解得a =2或1（不合题意舍弃），b =1，∴ B′(3, 0)，y 2=−(x −2)2+1=−x 2+4x −3． (3)如图2中，观察图象可知，当点P 的纵坐标为3或−3时，存在满足条件的平行四边形． 对于y 1=−x 2−2x +3，令y 1=3，x 2+2x =0， 解得x =0或−2，可得P 1(−2, 3)，令y 1=−3，则x 2+2x −6=0，解得x =−1±√7， 可得P 2(−1−√7, −3)，P 3(−1+√7, −3)，对于y 2=−x 2+4x −3，令y 2=3，方程无解， 令y 2=−3，则x 2−4x =0，解得x =0或4， 可得P 4(0, −3)，P 5(4, −3)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(−2, 3)或(−1−√7, −3)或(−1+√7, −3)或(0, −3)或(4, −3)． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 等腰直角三角形待定系数法求二次函数解析式二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质二次函数综合题【解析】（1）令x＝0或y1＝0，解方程可得结论．（2）设平移后的抛物线的解析式为y2＝−(x−a)2+b，如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H．，连接BD′，B′D′．构建方程组解决问题即可．（3）观察图象可知，当点P的纵坐标为3或−3时，存在满足条件的平行四边形．分别令y1和y2等于3或−3，解方程即可解决问题．【解答】解：(1)对于y1=−x2−2x+3，令y1=0，得到−x2−2x+3=0，解得x=−3或1，∴A(−3, 0)，B(1, 0)，令x=0，得到y1=3，∴C(0, 3)．(2)设平移后的抛物线的解析式为y2=−(x−a)2+b，如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H，连接BD′．∵D′是抛物线的顶点，∴D′B=D′B′，D′(a, b)，∵∠BD′B′=90∘，D′H⊥BB′，∴BH=HB′，∴D′H=BH=HB′=b，∴a=1+b，又∵y2=−(x−a)2+b，经过B(1, 0)，∴b=(1−a)2，解得a=2或1（不合题意舍弃），b=1，∴B′(3, 0)，y2=−(x−2)2+1=−x2+4x−3．(3)如图2中，观察图象可知，当点P的纵坐标为3或−3时，存在满足条件的平行四边形．对于y1=−x2−2x+3，令y1=3，x2+2x=0，解得x=0或−2，可得P1(−2, 3)，令y1=−3，则x2+2x−6=0，解得x=−1±√7，可得P2(−1−√7, −3)，P3(−1+√7, −3)，对于y2=−x2+4x−3，令y2=3，方程无解，令y2=−3，则x2−4x=0，解得x=0或4，可得P4(0, −3)，P5(4, −3)，综上所述，满足条件的点P的坐标为(−2, 3)或(−1−√7, −3)或(−1+√7, −3)或(0, −3)或(4, −3)．。
2024年湖南省长沙市长郡中学数学九年级第一学期开学检测模拟试题【含答案】
2024年湖南省长沙市长郡中学数学九年级第一学期开学检测模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列命题中，不正确的是（）．A ．一个四边形如果既是矩形又是菱形，那么它一定是正方形B ．有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形C ．有一组邻边相等的矩形是正方形D ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形2、（4分）如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm ，一只电子甲虫从点A 开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm 时停下，则它停的位置是()A ．点F B ．点E C ．点A D ．点C 3、（4分）四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的是（）A ．当AC BD =时，它是菱形B ．当AC BD =时，它是矩形C ．当AC BD =时，它是正方形D ．当AC BD ⊥时，它是正方形4、（4分）四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AO CO =，那么下列条件不能判断四边形ABCD 为平行四边形的是（）A ．OB OD =B ．AB CD ∥C ．AB CD =D ．ADB DBC∠=∠5、（4分）如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，则第2018个正方形的边长为A．22017B．22018C．2017D．20186、（4分）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（）A．x2﹣4B．﹣x2﹣y2C．m2n2﹣1D．a2﹣4b27、（4分）下列说法错误的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线相等的平行四边形是矩形8、（4分）如图,矩形ABCD中,AB=7,BC=4,按以下步骤作图：以点B为圆心,适当长为半径画弧,交AB,BC于点E,F;再分别以点E,F为圆心,大于12EF的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点H,作射线BH,交DC于点G,则DG的长为()A．1B．112C．3D．212二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，F为DE的中点，∠B＝66°，∠EDC＝44°，则∠EAF的度数为_____．10、（4分）已知函数，当时，函数值为______．11、（4分）在函数y =x 的取值范围是__________．12、（4分）如图，函数y 1=ax 和y 2=-12x+b 的图象交于点P ，则根据图象可得，二元一次方程组12y ax 1y x b 2=⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解是______．13、（4分）下列函数的图象（1）y x =-，（2）1y x =+，（3）21y x =-+，（4）1y x =-不经过第一象限，且y 随x 的增大而减小的是__________.（填序号）三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）在正方形ABCD 中，对角线BD 所在的直线上有两点E 、F 满足BE=DF ，连接AE 、AF 、CE 、CF ，如图所示．（1）求证：△ABE ≌△ADF ；（2）试判断四边形AECF 的形状，并说明理由．15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝2x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的直线交x 轴于C ，且△ABC 面积为1．（1）求点C 的坐标及直线BC 的解析式；（2）如图1，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 右侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标；（3）如图2，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，点E 为直线AM 上一动点，在x 轴上是否存在点D ，使以点D ，E ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．16、（8分）如图，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别是点E 、F ，DE =CF ，AE =BF ，求证：A C ∥BD ．17、（10分）如图，在四边形ABCD 中，AD ⊥BD ，BC ＝4，CD ＝3，AB ＝13，AD ＝12，求证：∠C ＝90°．18、（10分）（1）在图中以正方形的格点为顶点，画一个三角形，、；（2）求此三角形的面积及最长边上的高.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，AD 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；③作AP 射线，交边CD 于点Q ，若DQ ＝2QC ，BC ＝3，则平行四边形ABCD 周长为_____．20、（4分）已知关于x 的分式方程233x k x x -=--有一个正数解，则k 的取值范围为________.21、（4分）如图，已知四边形ABCD 是正方形，直线l 经过点D ，分别过点A 和点C 作AE ⊥l 和CF ⊥l ，垂足分别为E 和F ，若DE ＝1，则图中阴影部分的面积为_____．22、（4分）已知△ABC 中，AB ＝12，AC ＝13，BC ＝15，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，则△DEF 的周长是_____．23、（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝2cm ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 从点E 出发，沿EF 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时动点Q 从点B 出发，沿BF 方向匀速运动，速度为2cm /s ，连接PQ ，设运动时间为ts （0＜t ＜1），则当t ＝___时，△PQF 为等腰三角形．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在平行四边形ABCD 中，点F 在AD 上，且AF =AB ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，连接EF ，BF ，与AE 交于点O ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若四边形ABEF 的周长为40，BF =10，求AE 的长及四边形ABEF 的面积．25、（10分）已知y 与x+3成正比例，且当x=1时，y=8（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若点（a ，6）在这个函数的图象上，求a 的值.26、（12分）解方程：(1)9x 2＝(x ﹣1)2(2)34x 2﹣2x ﹣12＝0一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】试题分析：根据正方形的判定定理可得选项A正确；有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，选项B正确；有一组邻边相等的矩形是正方形，选项C 正确；两条对角线垂直平方且相等的四边形是正方形，选项D错误，故答案选D．考点：正方形的判定．2、A【解析】分析：利用菱形的性质，电子甲虫从出发到第1次回到点A共爬行了8cm（称第1回合），而2014÷8=251……6，即电子甲虫要爬行251个回合，再爬行6cm，所以它停的位置是F点．详解：一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，从出发到第1次回到点A共爬行了8cm，而2014÷8=251……6，所以当电子甲虫爬行2014cm时停下，它停的位置是F点．故选A．点睛：本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．3、B【解析】根据正方形、菱形、矩形的概念逐个判断即可.【详解】解：当四边形ABCD为平行四边形时：当AC=BD时，它应该是矩形，所以A、C错误，B正确.时，它是菱形，所以D错误.当AC BD故选B.本题主要考查正方形、菱形、矩形的概念，这是必考点，必须熟练掌握，这也是同学们最容易忘掉的一个判定定理.4、C 【解析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可.【详解】解：A 、加上BO=DO 可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B 、加上条件AB ∥CD 可证明△AOB ≌△COD 可得BO=DO ，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；C 、加上条件AB=CD 不能证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意；D 、加上条件∠ADB=∠DBC 可利用ASA 证明△AOD ≌△COB ，可证明BO=DO ，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；故选：C ．此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．5、C 【解析】分析：首先根据勾股定理求出AC 、AE 、AG 的长度，可以看出每个正方形的边长都是前一个正方形边长的倍，即可解决问题.详解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =1，∠B =90°，∴AC 2=12+12，AC同理可得：AE =）2，AG =）3，……，∴第n 个正方形的边长a n =）n -1．∴第2018个正方形的边长a 2018=）2．点睛：此题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应熟练掌握正方形有关定理和勾股定理并能灵活运用，通过计算发现规律是解答本题的关键.6、B【解析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：下列各式不能用平方差公式法分解因式的是-x2-y2，故选：B．本题考查了用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.7、B【解析】根据正方形，平行四边形，矩形，菱形的判定定理判断即可．【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故正确；B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误；C、对角线相等的菱形是正方形，故正确；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故正确；故选：B．本题考查了正方形，平行四边形，矩形，菱形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．8、C【解析】利用基本作图得到BG平分∠ABC，再证明△BCG为等腰直角三角形得到GC=CB=4，从而计算CD-CG即可得到DG的长．【详解】由图得BG平分∠ABC，∵四边形ABCD为矩形，CD=AB=7，∴∠ABC=∠B=90︒，∴∠CBG=45︒，∴GC=CB=4，∴DG=CD−CG=7−4=3.故选：C.本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是得到GC=CB=4.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、68°【解析】只要证明∠EAD＝90°，想办法求出∠FAD即可解决问题.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC＝66°，AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，∵F为DE的中点，∴FA＝FD＝EF，∵∠EDC＝44°，∴∠ADF＝∠FAD＝22°，∴∠EAF＝90°﹣22°＝68°，故答案为：68°.本题考查平行四边形的性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10、5【解析】根据x的值确定函数解析式代入求y值.【详解】解：因为>0,所以故答案为5本题考查了函数表达式，正确选择相应自变量范围内的函数表达式是解题的关键.11、x＞-1【解析】试题解析：根据题意得，x+1>0，解得x >-1．故答案为x >-1．．12、x 2y 3=⎧⎨=⎩【解析】先根据函数图象确定P 点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【详解】解：由图可得，函数y 1=ax 和y 2=-12x+b 的图象交于点P （2，3），∴二元一次方程组12y ax 1y x b 2=⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解是x 2y 3=⎧⎨=⎩，故答案为：x 2y 3=⎧⎨=⎩．本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解题时注意：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．13、（1）【解析】根据一次函数的增减性与各项系数的关系逐一判断即可．【详解】解：（1）y x =-中，因为-1＜0，所以y 随x 的增大而减小，且经过二、四象限，故符合题意；（2）1y x =+中，因为1＞0，所以y 随x 的增大而增大，故不符合题意；（3）21y x =-+，因为-2＜0，所以y 随x 的增大而减小，但经过一、二、四象限，故不符合题意；（4）1y x =-中，因为1＞0，所以y 随x 的增大而增大，故不符合题意．故答案为：（1）．此题考查的是一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）证明见解析（2）菱形【解析】分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）四边形AECF 是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；详证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ，∴∠ABE=∠ADF ，在△ABE 与△ADF 中AB AD ABE ADF BE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△ADF.（2）如图，连接AC ，四边形AECF 是菱形．理由：在正方形ABCD 中，OA=OC ，OB=OD ，AC ⊥EF ，∴OB+BE=OD+DF ，即OE=OF ，∵OA=OC ，OE=OF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形．点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．15、（1）C（3，0），直线BC 的解析式为y ＝﹣x +4；（2）满足条件的点G 坐标为（0，）或（0，﹣1）；（3）存在，满足条件的点D 的坐标为（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）【解析】（1）利用三角形的面积公式求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．（2）分两种情形：①当时，如图中，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，．求出．②当时，如图中，同法可得，利用待定系数法即可解决问题．（3）利用三角形的面积公式求出点的坐标，求出直线的解析式，作交直线于，此时，，当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，，，再根据对称性可得解决问题．【详解】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，，，，，，，，设直线的解析式为，则有，．直线的解析式为．（2），，，，设，①当时，如图中，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，．四边形是正方形，易证，，，，点在直线上，，．②当时，如图中，同法可得，点在直线上，，，．综上所述，满足条件的点坐标为或．（3）如图3中，设，，，，，，，直线的解析式为，作交直线于，此时，，当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，，，根据对称性可得点关于点的对称点，也符合条件，综上所述，满足条件的点的坐标为，或，或，．本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．16、答案见解析．【解析】试题分析：欲证明AC ∥BD ，只要证明∠A=∠B ，只要证明△DEB ≌△CFA 即可．试题解析：∵DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，∴∠DEB=∠AFC=90°，∵AE=BF ，∴AF=BE ，在△DEB 和△CFA 中，∵DE=CF ，∠DEB=∠AFC ，AF=BE ，△DEB ≌△CFA ，∴∠A=∠B ，∴AC ∥DB ．考点：全等三角形的判定与性质．17、证明见解析.【解析】先根据勾股定理求出BD 的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明CD ⊥BC ．【详解】证明：∵AD ⊥BD ，AB ＝13，AD ＝12，∴BD ＝1．又∵BC ＝4，CD ＝3，∴CD 2+BC 2＝BD 2．∴∠C ＝90°本题考查了勾股定理及其逆定理，注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．18、（1）三角形画对（2）三角形面积是5【解析】试题分析：（1）根据勾股定理画出三角形即可；（2）求出三角形的面积，再由三角形的面积公式即可得出结论.试题解析：（1）如图，△ABC 即为所求.（2）111341313425222ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，=一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1．【解析】试题解析：∵由题意可知，AQ 是∠DAB 的平分线，∴∠DAQ =∠BAQ ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，BC =AD =2，∠BAQ =∠DQA ，∴∠DAQ =∠DAQ ，∴△AQD 是等腰三角形，∴DQ =AD =2．∵DQ =2QC ，∴QC =12DQ =32，∴CD =DQ +CQ =2+32=92，∴平行四边形ABCD 周长=2（DC +AD ）=2×（92+2）=1．故答案为1．20、k <6且k≠1【解析】分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．详解：233x k x x -=--，方程两边都乘以（x-1），得x=2（x-1）+k ，解得x=6-k≠1，关于x 的方程程233x k x x -=--有一个正数解，∴x=6-k ＞0，k ＜6，且k≠1，∴k 的取值范围是k ＜6且k≠1．故答案为k ＜6且k≠1．点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k 的范围是解此题的关键．21、12【解析】证明△ADE ≌△DCF ，得到FC=DE=1，阴影部分为△EDC 面积可求．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC=90°，AD=CD ．∵∠EAD+∠ADE=90°，∠CDF+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠CDF ．又∠AED=∠DFC=90°，∴△ADE ≌△DCF （AAS ）．∴FC=DE=1．∴阴影部分△EDC 面积=12ED×CF=12×1×1=12．故答案为12．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决这类问题线段的等量转化要借助全等三角形实现．22、20【解析】首先根据△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，判断出四边形DBFE 和四边形DFCE 为平行四边形，又根据平行四边形的性质,求出DE 、EF 、DF 的值，进而得出△DEF 的周长.【详解】解：∵△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴DE ∥BC ，DF ∥AC ，EF ∥AB ∴四边形DBFE 和四边形DFCE 为平行四边形，又∵AB ＝12，AC ＝13，BC ＝15，∴DB=EF=12AB=6DF=CE=12AC=6.5DE=FC=12BC=7.5∴△DEF 的周长是DE+EF+DF=7.5+6+6.5=20.此题主要考查平行四边形的判定，即可得解.23、2﹣或6311．【解析】由勾股定理和含30°角的直角三角形的性质先分别求出AC 和BC ，然后根据题意把PF 和FQ 表示出来，当△PQF 为等腰三角形时分三种情况讨论即可.【详解】解：∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝2cm ，∴AC ＝2AB ＝4cm ，BC ＝，∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF ＝12BC cm ，BF ＝12AC ＝2cm ，由题意得：EP ＝t ，BQ ＝2t ，∴PF t ，FQ ＝2﹣2t ，分三种情况：①当PF ＝FQ 时，如图1，△PQF 为等腰三角形．﹣t ＝2﹣2t ，t ＝2；②如图2，当PQ ＝FQ 时，△PQF 为等腰三角形，过Q 作QD ⊥EF 于D ，∴PF ＝2DF ，∵BF ＝CF ，∴∠FBC ＝∠C ＝30°，∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ，∴∠PFQ ＝∠FBC ＝30°，∵FQ ＝2﹣2t ，∴DQ ＝12FQ ＝1﹣t ，∴DF ＝（1﹣t ），∴PF ＝2DF ＝（1﹣t ），∵EF ＝EP+PF ＝，∴（1﹣t ，t ＝11；③因为当PF ＝PQ 时，∠PFQ ＝∠PQF ＝30°，∴∠FPQ ＝120°，而在P 、Q 运动过程中，∠FPQ 最大为90°，所以此种情况不成立；综上，当t ＝2或6+311时，△PQF 为等腰三角形．故答案为：2或6+311．勾股定理和含30°角的直角三角形的性质及等腰三角形的判定和性质都是本题的考点，本题需要注意的是分类讨论不要漏解.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）见解析；（2）AE =ABEF 的面积=【解析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE =∠AEB ，证出BE =AB ，由AF =AB 得出BE =AF ，即可得出结论．（2）根据菱形的性质可得AB =10，AE ⊥BF ，BO =12FB =5，AE =2AO ，利用勾股定理计算出AO 的长，进而可得AE 的长．菱形的面积=对角线乘积的一半．【详解】（1）证明∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE =∠AEB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE ，∴∠BAE =∠AEB ，∴BE =AB ，且AF =AB ，∴BE =AF ，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF =AB ，∴四边形ABEF 是菱形；（2）∵四边形ABEF 为菱形，且周长为40，BF =10∴AB =BE =EF =AF =10，AE ⊥BF ，BO =12FB =5，AE =2AO ，在Rt △AOB 中，AO ，∴AE =2AO =∴四边形ABEF 的面积=12BF •AE =12×10×本题主要考查了菱形的性质和判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分．25、（1）y=1x+6；（1）2.【解析】分析：（1）根据y 与x+3成正比，设y=k （x+3），把x 与y 的值代入求出k 的值，即可确定出关系式；（1）把点（a ，6）代入一次函数解析式求出a 的值即可．详解：（1）根据题意：设y=k （x+3），把x=1，y=8代入得：8=k （1+3），解得：k=1．则y 与x 函数关系式为y=1（x+3）=1x+6；（1）把点（a ，6）代入y=1x+6得：6=1a+6，解得a=2．点睛：此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．26、（1）112x =-，214x =；（2）143x =，243x -=．【解析】（1）利用因式分解法即可解答（2）先将分数化为整数，再利用判别式进行计算即可【详解】（1）229(1)x x =-229(1)0x x --=，则(31)(31)0x x x x +--+=，故(41)(21)0x x -+=，解得：112x =-，214x =；（2）2312042x x --=则23820x x --=，△246424880b ab =-=+=>，则86x =，解得：143x =，243x -=．此题考查解一元二次方程-因式分解法和判别式，掌握运算法则是解题关键。
2023—2024学年湖南省长沙外国语学校九年级上学期开学考试数学试卷
2023—2024学年湖南省长沙外国语学校九年级上学期开学考试数学试卷一、单选题1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2. 在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是S甲2=0.35，S乙2=0.15，S丙2=0.25，S丁2=0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁3. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4. 下列命题是真命题的是（）A．四边都是相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正D．对角线相等的平行四边形是矩形方形5. 如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝（）A．B．C．2D．6. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞07. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（－4，0），则原点到直线AB的距离是（）A．2B．2.4C．2.5D．38. 已知抛物线y＝﹣x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m 2﹣m+2019的值为( )A．2018B．2019C．2020D．20219. 将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（）A．B．C．D．10. 如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题11. 已知m、n是关于x的方程x2+2 x﹣1=0的两个不相等的实数根，则m+ n= ______ ．12. 当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是_____ ．13. 一次函数的图像与轴的交点坐标是 __ ．14. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作直线分别与、相交于、两点，若，，则图中阴影部分的面积等于______ .15. 点关于x轴对称的点的坐标为 ________ ．16. 二次函数y＝x2+ bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+ bx﹣2 t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4的范围内有解，则t的取值范围是_____ ．三、解答题17. 计算：．18. 解一元二次方程．19. 为了调查学生每天的零花钱情况，对我校初二学年某班50名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图．(1)直接写出这50名同学零花钱数据的众数是______________；中位数是______________．(2)求这50名同学零花钱的平均数．20. 已知某二次函数的图象如图所示．(1)求这个二次函数的解析式；(2)观察图象，当时，的取值范围为______．（直接写出答案）21. 如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点．(1)求证：四边形是菱形；(2)若菱形的周长为，，求的大小．22. 为响应国家全民阅读的号召，望月湖社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．(1)求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；(2)已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2020年图书借阅总量的增长率与前两年相同，那么2019至2020年的人均借阅量增长率是多少？23. 某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y（个）与销售单价x（元/个）的几组数据如表：（1）求出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m的值．（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为个，此时，获得日销售利润是．（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．。
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长沙市九年级上学期数学开学考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2019·芜湖模拟) 一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）
A . k＞4
B . k≥4
C . k≤4
D . k≤4且k≠0
2. （2分） (2019七上·道里期末) 已知下列方程：① ；② ；③ ；④ ；其中是一元二次方程的有（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
3. （2分）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A . k＞-1
B . k＞-1且k≠0
C . k＜1
D . k＜1且k≠0
4. （2分）下列说法正确的是（）
A . 圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B . 在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C . 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D . 将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
5. （2分） (2019九上·潮南期末) 一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（）
A . 12
B . 13
C . 14
D . 12或14
6. （2分）用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（）
A . （x﹣2）2=3
B . 2（x﹣2）2=3
C . 2（x﹣1）2=1
D . =
7. （2分）(2017·安顺) 若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）
A . 0
B . ﹣1
C . 2
D . ﹣3
8. （2分）已知x+2+=10，则x等于（）
A . 4
B . ±2
C . 2
D . ±4
9. （2分）已知一元二次方程x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（）
A . 该方程有两个相等的实数根
B . 该方程有两个不相等的实数根
C . 该方程无实数根
D . 该方程根的情况不确定
10. （2分） (2016九上·端州期末) 一元二次方程总有实数根，则m应满足的条件是：（）
A . m＞1
B . m=1
C . m＜1
D . m≤1
二、填空题 (共8题；共8分)
11. （1分） (2016九上·柘城期中) 如果（m﹣1）x2+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的取值范围为________．
12. （1分） (2017八上·扶沟期末) 已知a+b=8，a2b2=4，则﹣ab=________．
13. （1分） (2019八下·衢州期末) 如果关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，那么k的值为________.
14. （1分）如果△APC的三边长a、b、c满足关系式，则△APC的周长
是________．
15. （1分） (2018九上·阜宁期末) 已知这五个数据，其中、是方程的两个根，则这五个数据的极差是________．
16. （1分）(2019·陇南模拟) a、b、k都为常数，且 +|b﹣1|＝0，关于x的一元二次方程kx2+ax+b ＝0有两个相等的实数根，k的值为________．
17. （1分）(2018·福建模拟) 已知关于x的方程mx2+2x﹣1=0有两个实数根，则m的取值范围是________．
18. （1分）方程3（x﹣5）2=2（x﹣5）的根是________
三、解一元二次方程 (共1题；共20分)
19. （20分） (2018九上·遵义月考) 解下列方程
（1） 25x2﹣36＝0
（2） x2﹣4x﹣5＝0
（3） x2﹣4＝5x+10
（4） 2x2﹣2 x+1＝0
四、解方程解应用题 (共5题；共45分)
20. （5分）如图所示，某工人师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m．求裁剪后剩下的阴影部分的面积．
21. （5分）某市2012年国民经济和社会发展统计公报显示，2012年该市新开工的住房有商品房、廉租房、经济适用房和公共租赁房四种类型．老王对这四种新开工的住房套数和比例进行了统计，并将统计结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）求经济适用房的套数，并补全图1；
（2）假如申请购买经济适用房的对象中共有950人符合购买条件，老王是其中之一．由于购买人数超过房子套数，购买者必须通过电脑摇号产生．如果对2012年新开工的经济适用房进行电脑摇号，那么老王被摇中的概率是多少？
（3）如果计划2014年新开工廉租房建设的套数要达到720套，那么2013～2014这两年新开工廉租房的套数的年平均增长率是多少？
22. （15分）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程
的两个实数根。
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
（3） k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
23. （10分）(2020·江州模拟) 近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注.当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.
（1）从去年年底至今年3月20日，猪肉价格不断走高，3月20日比去年年底价格上涨了60%.某市民在今年3月20日购买2.5千克猪肉至少要花200元钱，那么去年年底猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2） 3月20日，猪肉价格为每千克60元，3月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克60元的基础上下调a%出售.某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克60元的情况下，该天的两种猪肉总销量比3月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比3月20日提高了，求a的值.
24. （10分）某农作物的生长率与温度（）有如下关系：如图，当10≤ ≤25时可近似用函数刻画；
当25≤ ≤37时可近似用函数刻画．
（1）求的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数 (天)与生长率满足函数关系，部分数据如下：生长率0.20.250.30.35
提前上市的天数（天）051015
求：①求关于的函数表达式；
②请用含的代数式表示
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在大棚恒温20℃时每天的成本为100元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天，问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由。
（注：农作物上市售出后大鹏暂停使用）
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共8题；共8分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解一元二次方程 (共1题；共20分)
19-1、
19-2、
19-3、
19-4、
四、解方程解应用题 (共5题；共45分) 20-1、
21-1、22-1、
22-2、
22-3、23-1、
23-2、24-1、
24-2、。