高中数学课下能力提升(二)新人教A版必修4

课下能力提升(二)
[学业水平达标练]
题组1 弧度的概念
1．下列叙述中正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 2．与角－π
6终边相同的角是( )
A.
5π6 B.π3 C.11π6 D.2π3
3．角－29
12π的终边所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 题组2 角度与弧度的换算 4．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π
3
B ．－10
3π化成度是－600°
C ．－150°化成弧度是－7
6π
D.
π
12
化成度是15° 5．把角－690°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________． 6．已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成θ＋2k π(k ∈Z ，0≤θ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角； (3)在区间[0，5π)上找出与α终边相同的角． 题组3 扇形的弧长公式和面积公式的应用
7．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为( ) A.
403π B.203π C.2003D.4003
π
8．若扇形的面积为3π
8，半径为1，则扇形的圆心角为( )
A.
3π2 B.3π4 C.3π8 D.3π16
9．一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________． 10.如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．
[能力提升综合练]
1．角α的终边落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A.
1
sin 0.5
B ．sin 0.5
C ．2sin 0.5
D ．tan 0.5
3．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.
π3 B.2π
3
C. 3 D ．2 4．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( ) A ．∅
B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
C ．{α|－4≤α≤4}
D ．{α|0≤α≤π}
5．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________． 6．若角α的终边与8π5角的终边相同，则在[0，2π]上，终边与α
4角的终边相同的角
是________．
7．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2.
8．如图所示，已知一长为3dm ，宽为1 dm 的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路径长及
走过的弧所在扇形的总面积．
答 案
[学业水平达标练]
1. 解析：选D 由弧度的定义知，选项D 正确．
2. 解析：选C 与角－π6终边相同的角的集合为{α|α＝－π
6＋2k π，k ∈Z }，当k ＝1
时，α＝－π6＋2π＝11π
6
，故选C.
3. 解析：选D －2912π＝－4π＋1912π，19
12
π的终边位于第四象限，故选D.
4. 解析：选C 对于A ，60°＝60×π180＝π3；对于B ，－10π3＝－10
3×180°＝－600°；
对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝1
12
×180°＝15°.
5. 解析：法一：－690°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫690×π180＝－236π.
∵－236π＝－4π＋π6，∴－690°＝－4π＋π
6
.
法二：－690°＝－2×360°＋30°，则－690°＝－4π＋π6.
答案：－4π＋π
6
6. 解析：(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π
6.
又π<7π6<3π2，角α与角7π
6的终边相同，故α是第三象限角．
(2)与α终边相同的角可以写为β＝7π
6
＋2k π(k ∈Z )．
又－5π≤β＜0，∴k ＝－3，－2，－1.当k ＝－3时，β＝－29π
6；当k ＝－2时，β
＝－17π6；当k ＝－1时，β＝－5π6
.
(3)与α终边相同的角可以写为γ＝7π
6
＋2k π(k ∈Z )．
又0≤γ＜5π，∴k ＝0，1.当k ＝0时，γ＝7π6；当k ＝1时，γ＝19π
6.
7. 解析：选A 240°＝240180π＝43π，∴弧长l ＝43π×10＝40
3
π，选A.
8. 解析：选B S 扇形＝12lR ＝12(αR )·R ＝12αR 2
，由题中条件可知S 扇形＝3π8，R ＝1，从
而α＝2S 扇形R 2＝3π
41＝3π
4
，故选B.
9. 解析：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝1
2
l ·R .
联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1.解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝2
1＝2.
答案：2
10. 解：∵120°＝120180π＝2
3π，
∴l ＝6×2
3π＝4π，
∴AB ︵
的长为4π.
∵S 扇形OAB ＝12lr ＝1
2
×4π×6＝12π，如图所示，
有S △OAB ＝1
2×AB ×OD (D 为AB 中点)
＝1
2×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.
[能力提升综合练]
1. 解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π
2
的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．
2. 解析：选A 连接圆心与弦的中点，则弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形．弦长的一半为1，弦所对的圆心角也为1，
所以圆的半径为1
sin 0.5
，
所以该圆心角所对的弧长为1×1sin 0.5＝1
sin 0.5
，故选A.
3. 解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝
3R
R
＝ 3.
4. 解析：选B 如图，在k ≥1或k ≤－2时，[2k π，(2k ＋1)π]∩[－4，4]为空集，分别取k ＝－1，0，于是A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}．
5. 解析：A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝π5，B ＝π3，C ＝7π
15.
答案：π5，π3，7π
15
6. 解析：由题意，得α＝8π
5
＋2k π， ∴α4＝2π5＋k π
2
(k ∈Z )． 令k ＝0，1，2，3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.
答案：2π5，9π10，7π5，19π
10
7. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π
9
， ∴α＝－800°＝14π
9＋(－3)×2π.
∵α与14π9
角终边相同，∴α是第四象限角．
(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π
9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，
∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴－π2<2k π＋14π9<π
2
，k ∈Z ，解得k ＝－1，
∴γ＝－2π＋14π9＝－4π
9
.
8. 解：AA 1︵所在的圆半径是2 dm ，圆心角为π2；A 1A 2︵所在的圆半径是1 dm ，圆心角为π
2
；
A 2A 3所在的圆半径是3dm ，圆心角为π3，所以点A 走过的路径长是三段圆弧之和，即2×
π2
＋1×π2＋3×π3＝（9＋23）π
6
(dm)．
三段圆弧所在扇形的总面积是12×π×2＋12×π2×1＋12×3π3×3＝7π4
(dm 2)．。