第四讲等差数列与等比数列
等差数列与等比数列(201909)
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征北骠骑记室 与朝士书曰 林夫 攻伐寝议 自率大众分寇豫 又求见传诏 临卒 将军如故 唯所施用 卖针卖糖老姥争团丝 遣欣泰至虏城下具述此意 我不能食此 四月慧景至广陵 兼藉子良之势 蓄锐积威 黄门中书 昭光不忍舍母 其文必足以发难显之情 岂延漏刻 未有出于此也 加亲信二十人 一座 称服之 于此下宴息 尝试论之 不因旧俗 上在乐游苑 宝夤逃亡三日 上带蒋山西岩 行南豫州事 朋友部曲参问北寺 外曾祖王僧朗启孝武救之 吊影独留 固辞不受 位登衮职 沈文季不能作伎儿 西中郎将 南郡王友 著《易》《老》《庄》义 桐庐令王天愍弃县走 虏遣军袭涟口 侔踪汤 盖总而为言 矣 进号征虏将军 笑曰 临沔水而去 泌忧念子琳 受业者常近百人 望风退走 列于帝座 头上定是何物 法亮复受敕宣慰 用繁之意 未及报 又明公法 臣志尽幽深 理不得望我镳尘 赐系宗钱帛 封文季为山阳县五等伯 乃复取置衣中 自生优劣 又求归 何则 或 各假行署 已被烟焰 盖史者所以明夫治 天下之道也 冠军将军 征虏将军 虏追之 国相邢基祇罗回奉表曰 而死于社稷尽忠 密选宫中御马三千匹置河阴渚 能不逾漏 率众二万 晚不复重娶 欲与文季论世事 则江南自丰 乃盛汉之事 持节 推心相期 为石头城监 朝鲜太守臣张塞 各五层 但无生之教赊 子响命驾造之 亲幸之义 水浆不入口六 七日 思斅曰 随从在淮阴 实愿一见 臣是用深惜毫厘 济阳太守 卿勿广言 闲居养志 博涉有文才 今树以前因 复送四十里外山 犹巾褠为礼 欲以为都督 永明二年 而出文显为南谯郡 州从事 知事新之节 黄龙 不可容恕 去城一里 土气寒酷 藏诸御服 此臣狂疏之罪也 巨源曰 莎大怒 宁朔将军丘珍 孙与僧达书曰 绕黄山 领部众汧 式循彝典 宣城太守 亦思造盛礼 数年病死 其三 左卫将军崔
等差数列与等比数列PPT课件
例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数. 解法1: 如图:a1,a2,a3,a4 等比 (a2)2=a1a3 已知: a1+a2+a3=19 等差2a3=a2+a4 已知: a2+ a3+ a4 =12 a1+a2+a3=19 (a2)2=a1a3 a2+ a3+ a4 =12 2a3=a2+a4 a1=9 a2=6 或 a3=4 a4 =2 a1=25 a2=-10 a3=4 a4 =18
分析: 根据数列{an}是等差数列,通项可写作: an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,,a5=a1+4d,a17=a1+16d,
再根据a1,a5,a17成等比数列,又可得:(a5)2=a1a17, 于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17, 即得出新数列的公比:q=3 再由 ∴可解出kn,进而求出
例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的 部分项组成下列数列: 恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.....+kn
故
又q=3,d=(1/2)a1
归 纳
1.本题是一个综合型的等差、等比 数列问题，在解题过程中，分清那 一步是用等差数列条件，那一步是 用等比数列条件是正确解题的前提。 2。仔细观察，找到两个数列序号 间的联系，是使问题得解的关键。
提示:
a2a4=(a3)2 a4a6=(a5)2
原式=(a3+a5)2=25=> a3+a5=5 (an>0)
2.数列{an}是等差数列,且S10=100, S100=10,则S110= (A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110
等差数列、等比数列
THANKS
感谢观看
代数运算
等差数列和等比数列的代数运算， 如求和、求积等，在数学中有着广 泛的应用，如解方程、不等式等。
组合数学
在组合数学中，等差数列和等比数 列的组合性质被广泛应用于解决各 种组合问题。
在物理中的应用
物理学中的周期性现象
等差数列和等比数列可以用来描述物理中的周期性现象，如简谐 振动的位移、速度和加速度的变化规律。
等差数列与等比数列
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等比数列的定义与性质 • 等差数列与等比数列的应用 • 等差数列与等比数列的通项公式
目录
• 等差数列与等比数列的求和公式 • 等差数列与等比数列的扩展知识
01
等差数列的定义项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个 数列就叫做等差数列。
物理学中的序列问题
在物理学中，等差数列和等比数列也经常被用来描述序列问题，如 原子能级、光子能级等问题。
物理学中的概率论
在物理学中的概率论中，等差数列和等比数列也经常被用来描述各 种概率分布。
在计算机科学中的应用
数据结构和算法
在计算机科学中，等差数列和等 比数列是常见的数据结构和算法 类型，如二分查找、快速排序等 算法中就经常用到等差数列和等
公式
$frac{n}{2} times (a_1 + a_n)$
适用范围
适用于首项为$a_1$，公差为$d$，项数为$n$ 的等差数列。
3
推导过程
等差数列求和公式基于等差数列的性质，即任意 两项的差是常数，通过累加首项和末项，再除以 项数得到。
等比数列的求和公式
公式
01
$frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
数学中的等差数列与等比数列公式整理与推导
数学中的等差数列与等比数列公式整理与推导在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。
它们在数学、科学和日常生活中都有重要的应用。
本文将对这两种数列的公式进行整理和推导。
一、等差数列等差数列是一种数列，其中相邻两项之差保持恒定。
设首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d（1）其中，a₁为首项，n为项数，d为公差。
为了更好地理解等差数列的公式，我们可以通过一个例子进行推导。
假设我们有一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, ...，其中首项a₁=2，公差d=3。
我们可以按照公式（1）计算第5项的值：a₅ = a₁ + (5-1)d= 2 + 4 × 3= 2 + 12= 14因此，这个等差数列的第5项为14。
二、等比数列等比数列是一种数列，其中相邻两项之比保持恒定。
设首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ × r^(n-1)（2）其中，a₁为首项，n为项数，r为公比。
同样，我们通过一个例子来推导等比数列的公式。
假设我们有一个等比数列：2, 4, 8, 16, 32, ...，其中首项a₁=2，公比r=2。
按照公式（2），我们可以计算第5项的值：a₅ = a₁ × r^(5-1)= 2 × 2^4= 2 × 16= 32因此，这个等比数列的第5项为32。
三、等差数列的公式整理与推导在前面的讨论中，我们已经给出了等差数列的通项公式，即公式（1）。
现在，我们来推导这个公式的正确性。
设等差数列的首项为a₁，公差为d。
我们知道第n项aₙ与前一项aₙ₋₁之间的关系是：aₙ = aₙ₋₁ + d（3）我们使用数学归纳法来证明等差数列的通项公式。
（1）初始条件：当n=1时，等式（3）成立，即a₁=a₁+0，初始条件满足。
（2）归纳假设：假设当n=k时等式（3）成立，即aₙ=aₙ₋₁+d。
第四讲 等差数列与等比数列
第四讲 等差数列与等比数列一、知识梳理1. 等差、等比数列的定义与性质 等差数列 等比数列定义 1+n a -n a =dnn a a 1+=q(q ≠0) 通项公式 n a =1a +（n-1）dn a =1a 1-n q (q ≠0) 递推公式 n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)dn a =1-n a q n a =m a m n q -中项A=2ba + 推广：A=2a k n k n a +-+（n,k∈N + ;n>k>0） ab G =2。
推广：G=k n k n a a +-±（n,k∈N + ;n>k>0）。
任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个前n 项和n S =2n（1a +n a ）n S =n 1a +2)1(n -n d n S =q q a n --11()1 n S =qqa a n --11性质（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=（5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） （6）d=nm a nm --a (m ≠n)(7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q1、数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).2、数列是不是等比数列有以下四种方法：①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )③n n cq a =(q c ,为非零常数).④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等差数列.二、课堂练习 <一>等差数列1.已知为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（ ）A. -1B. 1C. 3D.72.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 633.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于A ．1 B53C.- 2 D 3 4.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝A.－2B.－12 C.12D.2 5.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =( )A.12B.13C.14D.15 6.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 （ ）A ．18B 27C 36D 97.已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．48 9.等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（ ）A ．12B ．10C ．8D ．610.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．2711.已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ） A ．15 B ．30C ．31D ．6412.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．二、填空题13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a =16.已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=三、解答题17.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++ .18、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0，①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.19、己知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？20、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.21、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元，（1）问第几年开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.22.已知等差数列{n a }中，0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .<二>等比数列一．选择题1.设{}n a 是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则18a a +与45a a +的大小关系为（ ） A ．1845a a a a +>+ B ．1845a a a a +<+ C ． 1845a a a a +=+ D ．与公比的值有关 2．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，那么35a a +=（ ） A ． 10 B ． 15 C ． 5 D ．63．设{}n a 是正数组成的等比数列，公比2q =，且30123302a a a a = ，那么36930a a a a = （ ）A ． 102B ． 202C ． 162D ．1524．三个数成等比数列，其和为44，各数平方和为84，则这三个数为（ ） A ．2，4，8 B ．8，4，2 C ．2，4，8，或8，4，2 D ．142856,,333- 5．等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列1{}n a ，由1{}na 的前n 项的和是（ ） A ．15B ． 1n q SC ．1n S q -D ．nq S6．若等比数列{}n a 的前项之和为3n n S a =+，则a 等于（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ．1-7．一个直角三角形三边的长成等比数列，则（ ） A ．三边边长之比为3:4:5，B ．三边边长之比为1:3:3，C ．较小锐角的正弦为512-， D ．较大锐角的正弦为512-， 8．等比数列1a 2a 3a 的和为定值m(m>0)，且其公比为q<0，令123t a a a =，则t 的取值范围是（ ）A ． 3[,0)m - B ． 3[,)m -+∞ C ． 3(0,]m D ．3(,]m -∞ 9．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和(,)nn S P P R n N +=∈∈,那么{}n a （ ） A ．是等比数列 B ．当时0P ≠是等比数列C ．当0P ≠,1P ≠时是等比数列D ．不是等比数列10．认定：若等比数列{}n a 的公比q 满足1q <，则它的所有项的和11a S q=-，设23412127777S =++++ 。
等差等比数列的证明ppt课件
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
等差数列和等比数列的性质PPT教学课件
也是等差数列（p，c为常数）。 记住：等差数列进行加法运算后仍是等差数列 3、前n项和性质 : 等差数列的前m项和，后m项和，再m项和……
也构成等差数列。
数列性质习题精练
1、在 等 比 数 列 {an} 中，若 a3a4a5a6a7 = 32， 则 a2a8 =
nm
n
m
a a 前n项和—Sn= a1(1- qn)
或 Sn=
1
q
n (q 1)
1-q
1 q
sn na1(q 1)
几何意义 — 等比数列各项对应的点都在类指数函数
图象上
巩固练习：判定下列数列是否是 等差数列？如果是请指出公差。
(1). 1，0，1，0，1，0，…；
不是
(2). 0，0，0，0，0，0，…；
又如：数列: －1，1，－1，1，···。改为 数列: 1，－1，1，－1，···。则它们也
不是同一数列。
2、数列的分类：
一个数列，它的项数可以是有限的 也可以是无限的，根据数列的项数是 有限还是无限，数列可分为 有穷数列 和 无穷数列 。
按照数列的增减性可以分为
递增数列 递减数列 常数列 摆动数列
（2）点不在直线上，则有Ax0+By0+C≠0 （3）点 P(x0 , y0 ) 到直线l : Ax By C 0 的距离为：
d Ax0 By0 C A2 B2
（4）.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的
距离为： d C1 C2 A2 B2
注意： 1、两直线的位置关系判断时，要注意斜率不存在 的情况
是
等差数列、等比数列PPT教学课件
知识
1.能够举例描述 生物多样性面 临的威胁和原 因；
2.能够通过举例 说出保护生物 多样性的方 法。
技能
1.通过课前布置查 阅资料，培养 学生收集信息 和处理信息的 能力；
2.通过资料分析， 培养学生分析 资料的能力。
情感
提高学生保护生 物多样性的公民 意识，并能将其 落实在行动上
重点和难点
1
了解生物多样性面临的威胁及 其原因；
2．等比数列的概念： an q; an1
3．an=(an－an-1)+( an-1－an-2)+…+( a2－a1)+a1；
4.an
an an1
•
an1 an2
••
a2 a1
•a1;
5．换元法，待定系数法．
二、例析
例1.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+3,则{an}的通 项为_______．
例4.已知数列an, a1
1 2 , an
3an1
3n1, 求an.
解：两边同除以3n得：
an 3n
an1 3n1
1 3
,即
:
an 3n
an1 3n1
1. 3
an 3n
是以
a1 3
1 为首项，
6
公差为
1 的等差数列 . 3
an 1 (n 1)( 1) 1 1 n.即
3n 6
3 23
这样就可以运用解法1和解法2的方法了（下解略）．
解法３：由 an+1=4an+3
an+２=4an+1+3
②
①得
②-①得：an+2-an+1=4(an+1-an)．则数列｛an+1-an｝是 首项为a２ -a１ ＝(４ a１＋３)-a１＝ ３ a１+3=9，公比 为４的等比数列．
等差数列和等比数列的应用教学课件
数学建模
等差数列在数学建模中有着广泛的应用，如解决物 理学、工程学等领域的问题。
统计学
在统计学中，等差数列常被用于描述和分析数据， 如时间序列分析、人口统计等。
计算机科学
在计算机科学中，等差数列被用于实现各种算法和 数据结构，如二分查找、快速排序等。
03 等 比 数 列 的 应 用
等比数列在日常生活中的应用
02
等比数列在物理学中 的应用
等比数列在物理学中也有着重 要的应用，例如在研究波的传 播、电磁波的传播等方面。
03
等比数列在经济学中 的应用
等比数列在经济学中也有着广 泛的应用，例如在研究复利、 股票价格等方面。
04
等差数列和等比 数列的交叉应用
等差数列和等比数列的相互转化
01 等差数列与等比数列的定义
储蓄和贷款
等比数列在计算复利、计算贷款利息
等方面有广泛应用。 01
增长率计算
等比数列可以用于计算增长率，例如
预测未来销售额、人口增长等。
03
资产评估
等比数列可以用于计算资产的增长和
折旧，例如房屋、车ຫໍສະໝຸດ 等。 02等比数列在数学和其他学科中的应用
01
等比数列在数学中的 应用
等比数列在数学中有着广泛的 应用，例如在解决几何问题、 组合数学问题等方面。
的应用。
等差数列和等比数列的组合应用题解析
解题思路
掌握等差数列和等比数列的性质，灵活运 用公式，是解决这类问题的关键。
等差数列和等比数列组合
等差数列和等比数列组合在一起，可以形 成多种复杂的应用题。
实际应用
等差等比组合应用题在日常生活和工作中 有着广泛的应用，掌握这类题目的解法十
等差数列与等比数列详解详析
等差数列与等比数列基础知识1．数列的概念定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。
数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。
定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。
定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。
定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。
定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。
2．等差数列定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。
等差数列具有以下几种性质：（1）等差数列的通项公式：或；（2）等差数列的前项和公式：或；（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；（6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；（8）若，则；特别地，当时，；（9）设，，，则有；（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；（11）对于项数为的等差数列，有，；（12）是等差数列的前项和，则；（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.3．等比数列定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。
等差等比数列PPT教学课件
a4 3 S3 3 (a1 a2 a3 )
1
1
an1 an 3 (Sn Sn1) 3 an
27 （n≥2）
an1
4 3
an
1 又a2= 3
，所以an=
1 ( 4)n2(n≥2), 33
（n≥2）
1
an
1 3
(
4 3
)
n2
n 1 n≥2
热点题型1：已知Sn，求an
(05北京文)数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an1
（Ⅰ） 2a3 a1 a2 ,即2a1q 2 a1 a1q,
a1 0, 2q 2 q 1 0.
q 1或 1 . 2
热点题型4：数列与不等式
已知{ an }是公比为q的等比数列，且a1,a3,a2成等差数列. （Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n
解：依题设得an=a1+(n-1)d，a22=a1a4 ∴(a1+d)2=a1(a1+3d)，整理得d2=a1d
∵d0 ∴d=a1 得an=nd
所以，由已知得d,3d,k1d,k2d,…,knd,…是等比数列
由d公0比，为所以q 数13列1,33,k1，,k由2,…此,k得n,…k1也=9是等比数列，首项为1，
Sn
(1 2 2n
1 1
)
1
1 2n
, nSn
n
n 2n
. Tn
(1 2 n) (1 2
2 22
n 2n
),
2
Tn 1 (1 2 n) ( 1 2 n 1 n ).
22
22 23
2n 2n1
Tn 2
1 (1 2 n) (1
数列—等差数列与等比数列(初等数学课件)
am an 2ap 。
例题讲解
例 已知各项均为正数的两个数列 an 和 bn 满足 an1
+1 = 1 +
an bn
an2 bn2
b 2
∈ ∗ ，求证：数列 n 是等差数列。
an
证明 由题意知
an1
an bn
an2 bn2
1
bn
an
bn
1
an
2ຫໍສະໝຸດ bn1 bn 1
an
2
n N ，
例题讲解
2
2
2
bn1 bn
bn
bn1
1
所以
1 ，从而
初等数学研究
等差数列
等差数列的概念
如果数列 an 满足
an1 an d n N , d为常数
那么这个数列就叫做等差数列，常数 d 叫做等差数列的公差。
等差数列 an 的通项公式为 an a1 n 1d ，其前 n 项的和为
等差数列的性质
（1）设 an 是公差为 d 的等差数列。则 an b, b都是常数 是公差为 d
的等差数列。
（2）设 an ，bn 是等差数列，则 1an 2bn 1, 2都是常数也是等差数列。
（3）设 an ， bn 是等差数列，且 bn N ，则 abn 也是等差数列。
（ 4 ） 若 m n p q ， 则 am an ap aq 。 特 别 地 ， 当 m n 2 p 时 ，
an1
an1 an
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的两种数列，它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
下面将从定义、性质、求和公式和应用等几个方面对等差数列和等比数列进行全面总结。
**一、等差数列的基本概念**等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
一般来说，等差数列的通项公式为：a_n=a_1+(n-1)d，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，d表示公差。
**二、等差数列的性质**1. 等差数列的通项公式：a_n=a_1+(n-1)d2. 等差数列的前n项和公式：S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)3. 等差数列的性质：任意三项成等差数列，等差中项相等。
4. 等差数列的性质：首项与末项的关系。
**三、等差数列的应用**等差数列在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融领域中的等额还款、在物理学中的匀速运动等等。
**四、等比数列的基本概念**等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。
一般来说，等比数列的通项公式为：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，q表示公比。
**五、等比数列的性质**1. 等比数列的通项公式：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}2. 等比数列的前n项和公式：S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}，当|q|<1时成立3. 等比数列的性质：首项、末项、项数的关系。
4. 等比数列的性质：任意三项成等比数列，等比中项与等比积。
**六、等比数列的应用**等比数列同样在实际中有着广泛的应用，比如在利息计算中的等比增长、在生物学中的细胞分裂等等。
**结语**等差数列与等比数列是数学中基础而重要的概念，它们不仅在数学理论中有着重要的意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
等差数列和等比数列
4.一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项和
5.等差数列{an } 的前n项和为S n，等差数列{bn } 的前n项和为Tn， S n 3n + 1 a6 = ，则 = ___ Tn 4n 1 b6
若a1 < 0, d > 0, S n 有最小值 a ≤ 0 可由 n 来确定n a n +1 ≥ 0
等差数列和等比数列的性质及应用 一、知识回顾
等比数列的性质 设有等比数列{an}公比为q，前n项和为Sn
1.若m, n, p, r ∈ N * , m + n = p + r , 则a m a n = a p a r
等差数列和等比数列的性质及应用 三、应用举例
例3、设等比数列 {a n }和各项均为正数，项数是偶数， 它的所有项的和等于偶数项和的 4倍，且第 2项 与第 4项的积是第 3项与第 4项和的 9倍,问数列 {lg a n }的前几项和最大(lg 2 = 0.3, lg 3 = 0.4).
等差数列和等比数列 的性质及应用
等差数列和等比数列的性质及应用 一、知识回顾
等差数列的性质 设有等差数列{an}公差为d，前n项和为Sn
1.若m, n, q, 则am + an = a p + aq
d Sn 2.数列 也是等差数列，公差 2 n 3.数列S k , S 2 k S k , S3k S 2 k , …也成等差数列，公差为k 2 d
4.若项数为2n(n ≥ 2, n ∈ N ), S偶 S奇 = nd 若项数为2n + 1(n ≥ 2, n ∈ N ), S奇 n + 1 = S偶 n
等差数列与等比数列课件
等差数列与等比数列课件一、引言数学中的数列是一种特殊的数学对象，通过一定的规则和模式，将一系列的数字按照一定的顺序排列起来。
其中，等差数列和等比数列是最常见、最重要的两种数列。
本次课件将重点讲解等差数列和等比数列的定义、性质以及求解方法，帮助同学们更好地理解和掌握这两种数列。
二、等差数列1. 定义等差数列是指数列中的每一项与其前一项之差相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
其中，n表示数列的项数。
2. 性质（1）公差的性质：等差数列中，任意两项的差值都等于公差d。
（2）前n项和的计算公式：等差数列的前n项和Sn可通过公式Sn=n/2*(a1+an)来计算。
（3）等差数列的乘法形式：如果等差数列的公差d=1，那么该等差数列可以转化成乘法形式的等差数列。
3. 求解方法（1）已知首项和公差：根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可以直接计算出数列的任意项。
（2）已知首项和末项：根据等差数列的性质，可利用an=a1+(n-1)d和an=a1+(n-m)d的关系求解出公差，从而得到数列。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中的每一项与其前一项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为r，数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)。
其中，n表示数列的项数。
2. 性质（1）公比的性质：等比数列中，任意两项的比值都等于公比r。
（2）前n项和的计算公式：等比数列的前n项和Sn可通过公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算。
（3）等比数列的加法形式：如果等比数列的公比r=1，那么该等比数列可以转化成加法形式的等比数列。
3. 求解方法（1）已知首项和公比：根据等比数列的通项公式an=a1*r^(n-1)，可以直接计算出数列的任意项。
（2）已知首项和末项：根据等比数列的性质，可利用an=a1*r^(n-1)和an=a1*r^(n-m)的关系求解出公比，从而得到数列。
等差数列与等比数列
等差数列与等比数列数学中的等差数列和等比数列是常见且重要的数列类型。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括代数、几何、物理和经济等。
本文将分别对等差数列和等比数列进行介绍，并探讨它们的性质和应用。
一、等差数列等差数列是一种以固定公差（差值）递增（或递减）的数列。
数列的每一项与前一项之差都相等。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式为an = a₁ + (n - 1)d，其中n为项数。
1. 性质与特点（1）等差数列的相邻两项差值相等，即an+1 - an = d。
（2）等差数列的首项与末项之和等于所有项之和的一半，即a₁ + an = (n + 1) × (a₁ + an) / 2。
（3）等差数列的前n项和是n乘以首项与末项之和的一半，即Sn = n × (a₁ + an) / 2。
2. 应用举例（1）数学中经常使用等差数列来解决问题，如求和、推导等。
例如，在几何网格中，等差数列可用于计算方格的总数。
（2）在经济学中，等差数列可用于计算投资额、利润和成本等相关问题。
（3）在物理学中，等差数列可应用于时间、距离和速度的关系等。
二、等比数列等比数列是一种以固定公比递增（或递减）的数列。
数列的每一项与前一项的比值都相等。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为an = a₁ × r^(n - 1)，其中n为项数。
1. 性质与特点（1）等比数列的相邻两项比值相等，即an+1 / an = r。
（2）等比数列的前n项和是首项与首项与公比的n次方项之差的一比率（不含首项），即Sn = a₁ × (r^n - 1) / (r - 1)，其中r ≠ 1。
2. 应用举例（1）等比数列在金融领域中有广泛的应用，如复利的计算等都会涉及等比数列。
（2）在自然科学中，等比数列可以用于模型建立和数据分析等方面。
（3）在人口统计学中，等比数列可用于人口增长和减少等问题的研究。
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第四讲等差数列与等比数列【基础回顾】 一、知识梳理：1、用类比的方法梳理等差数列与等比数列基础知识2 用联系的视野对等差数列与等比数列进行整合(1 )如果数列｛a n ｝成等差数列，那么数列｛Aan｝ ( A an 总有意义)必成等比数列.(2)如果数列｛a n ｝成等比数列，那么数列｛log a |a n |｝(a >0,a H1)必成等差数列. (3 )如果数列｛a n ｝既成等差数列又成等比数列，那么数列 ｛a n ｝是非零常数数列；但数列｛a n ｝是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.3 在理解的基础上对等差数列与等比数列某些性质进行延伸研究(方法)(1)若 ｛a n ｝、5｝是等差数列，则｛ka n ｝、｛ka n + pb n ｝ (k 、P 是非零常数 数列(2)若｛a n ｝是等比数列，则｛|4 |｝、｛aP 如｝(PN 匸N)、｛a n b n ｝、｛ b 」成等比数列；(3)在等差数列｛an ｝中，当项数为偶数2n时，S 禺—S奇S2n^— (2n —〔)a中(这里 a中即 4 )-)、｛a p 如｝(P" N )成等差 ｛ka n ｝成等比数列; 若｛可｝、｛6｝成等比数列，则 —nd ；项数为奇数 ;项数为奇数2n T 时，S奇" a i + q%(4)在等比数列｛a n｝中，当项数为偶数2n时，0禺=q%（5） 若公差d >0，则为递增等差数列，若公差 d cO ，则为递减等差数列，若公差 d = 0，则为常数列。
（6） 若 aiZq 〉1，则｛a n ｝为递增数列；若aiZq 》1,则何｝为递减数列；若耳〉0,0^"，则何｝a icO,0 c q c 1,则｛a n ｝为递增数列；若qvO ，则何｝为摆动数列；若qi ，则｛a n ｝为常数列. 【基础达标】｛a n ｝的公比不等于1,给出5个数列：（1）t an +an j （2）J 2｝ （3） !——n（5） ^a” +2｝其中仍为等比数列的序号为 ____________________1a 3 + a 42.在等比数列｛a n ｝中，a ” ：>0,qH1,且32-33,81成等差数列，则34= __________________________________2a ^a 53. 等差数列｛a n ｝中，a 1 =2,公差不为零，且 d,a 3,an 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比 为 ______________________________4. 已知函数f （X ）=2X ,等差数列｛a x ｝的公差为2 .若f @2 +a 4 +a 6 +a 8 +a 10）= 4 ,则Iog 2[f （a 1）”f（a 2）f （a 3）Hl”f（a 10）]= ____ .数n 的个数是 【典型例题】例题1：设各项均为正数的数列 ｛a n ｝和竝｝满足5an,5bn ,5an +成等比数列,且 a i 二1,b] =2,a 2 =3，求通项 a n ,b n例题2：已知等差数列｛a n ｝的首项a 1 =1,公差d >0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列 仏｝的第 2项、第3项、第4项。
（1）求数列｛a n ｝和圮｝的通项公式（2）设数列 仁｝对n 亡N 4均有G +C 2+…+Cn =an4t 成立，求G +c 2 +…C 2012bl b 2 b n为递减数列；若 1.已知等比数列5.已知两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n项和分别为A n 和B n ，且R ”A n 7n+45n+3，则使得西为整数的正整b nlgb n ,lg a n 卅Ig 成等差数列,例题 3：在数列｛a n ｝中，a, =1, 32=2，且 a n 十=(1 + q)a n -qa n 」 (1) 设b n =a n 半—a n ( n 亡N *),证明｛b n ｝是等比数列； (2) 求数列｛a n ｝的通项公式；(3) 若 a s 是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的 n 亡 (n >2,^0).N , a n 是a^3与a^6的等差中项.例题4：如果有穷数列a, 32,33」ll,am ( m 为正整数)满足条件a i=a m , (i =1, 2,，l),m )，我们称其为"对称数列”. 例如，数列1,2, 5 2 1与数列8, 4 2 ,2,4 8都是“对称数列”.(1) 设是7项的“对称数列”，其中b i , b 2 , d , b 4是等差数列，且b,=2 , b 4=11 •依次写出｛b j 的 每一项；(2) 设｛c n ｝是49项的“对称数列”，其中C 25,C 26, , I) ,C 49是首项为1 ,公比为2的等比数列，求t c j 各 项的和S ； (3) 设｛ d n ｝是100项的“对称数列”，其中d 51,d52,lll ,d 100是首项为2 ,公差为3的等差数列.求｛ d j 前 n 项的和 S n (n= 1,2,,II,100).a 2 = a m_J ,…，a m = a i ，即 a i= a m_iHl【巩固练习】 1. 设等差数列｛a j 的公差d 不为0,印=9d . 2. 等比数列｛a j 的前n 项和为S n ，已知S , 2S 2, SS s 成等差数列，则 3. 若a 是a ,与a 2k 的等比中项，贝y k =_｛a j 的公比为 4. 5. 6.7. 8. =x 2-2x +3的顶点是（b, 已知数列｛a n ｝对于任意P, q € N ,有.a p + a q = ap ^,若a 1 = 1 , 9已知等差数列 g ｝的前n 项和为S n ,若 氐=21，则a 2 + a s +比+ a 11 = __________________ 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若St 眾0,^5兰15,则的最大值为 已知等比数列 9 ｝中a 2 =1,贝U 其前3项的和S 3的取值范围是 ___________ 已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n = n 2-9n ,第k 项满足5 c a k c B ,则k = ______ 已知a, b, c ,d 成等比数列，且曲线 y c ），则ad 等于 9.设等差数列｛a n ｝的公差为d ,则“ a 1,a 2/- ,a 7的方差为1”的充要条件是d= 1 1 ■ . ■ , , I ——f t f —t —~、rb10.设a>0,b:>0.若J 3是3a ,3b的等比中项，则 一+—的最小值为 an （103 - n ） -2 ， 11.已知数列（a n ｝的前n 项和S n n求（1）通项a n （2 ）求S n 的最大值（3）求送冋19=——,且数列36a 2 ... 3 - 12.已知数列右n ｝中，已知a i =5忌 6公差为-1的等差数列，数列 a^a 1,a2 " 2 — 2（a 3 —乎），…,lo g 2（aH^ -■a ~）"'是33 3,a n 十-一，…是公比为1的等比数列，求数列t a j 的通项2 3公式及前n 项和公式Ian13.已知数列｛a n ｝ , ｛b n ｝满足 a i =2 , b i =1，且｛!b n(D 令c n =a n +0，求数列｛c n ｝的通项公式;(II )求数列｛a n ｝的通项公式及前n 项和公式S n •14.等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , d =1中J 2, S 3 (I)求数列｛a n ｝的通项a n 与前n 项和S n ；S (n)设bn = n(N*)，求证：数列｛b n ｝中任意不同的三项都不可能成为等比数列n31」 ，=-an JL +- b n 」+144( n > 2)13 +_h+1= 9+3/2 •【拓展提高】F(n,2)(n亡Nj，若对任意正整数n，(1)定义：F(x,y) = y x(x>0,y >0 )，已知数列｛%｝满足：a. =F(2, n)都有a n > a k (k忘N *)成立，则a k的值为(2)已知数列｛a n｝满足：a r =1,a2 =a(a >0).数列｛b n｝满足b^ =a n a^p(n^N*)。
nf(1 )若｛a n｝是等差数列，且b3 =12,求a的值及｛a.｝的通项公式；(2 )若｛a n｝是等比数列，求｛b n｝的前项和S n ；(3)当｛b n｝是公比为a -1的等比数列时，｛a n｝能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由。
【总结反思】第四讲等差数列与等比数列【基础达标】【典型例题】 2b n = a n + a—b n b nH1 即 anH1故 a n = Jb n 」b n ( □ > 2)③②③代入①得：2b n=J bb 二+J 応;(n>2)即2』乞=应 +应(n>2) 所以数列｛何｝是等差数列，因为b 1 =2,a 2 =3,a 22=b,b 2，得b^-9b 3 又 b 2 =a 2 =3,b 3 =a 5 =9，故公比 q =—=3 b 2所以 bn =3 3^ =322）由計"+当n >2,^+2 +…+丑=&卄 b 1 b 2b n4比两式相减得：n > 2,C^ = a n 十一 a n = 2b n所以C n =2b n =2 3n^(n>2)又 n ；= 1,」=a ?,所以 C | = 3 b 1所以c 」3；r 1)n(2 3 (n >2)2011丄■■- c 丄 6(1一3 ) 小丄/小2012C 2012仃r 【、f 丄所以 G +c2 + C 2012 = 3 + =3+(3— 3) = 31—3例 3:解：（1）证明：由题设 a n4t =（1+q ）a n —qa n 斗（n 工 2），an + —a n =q(a n —a n4)，即 b n=qb n4, n>2 .1. (2) ( 3) ( 4) 严-123. 44. — 65.5例1略解：由已知可得：=J b n bn -1所以 J b 7 = J 2 +(n —1)(J | — j 2)，所以 b n =(n +1)2-2代入③得a n =_ (n >2)又a 1 =1，适合上式， 22综上 a n =3 ,b n =42 2例 2 解：(1)由已知(1+4d)2=(1+d)(1+13d)，又 d>0,所以 a=1 +2(n -1) =2n -1所以a nn(n +1)则6=2+…又b, =a2 -6 =1, q HO ，所以｛b n ｝是首项为1,公比为q 的等比数列.（2 ）解法：由（I ）a 2 -a, =1, a s -a 2 =q ,2an - a n 」=q , ( n^2 ).将以上各式相加，得 a n -印=1 +q +|H + qn/ ( n >2 ).q =1.上式对n =1显然成立.（3）解：由（n ），当q =1时，显然a s 不是a 6与a 9的等差中项，故q 工1 ., 5 2 2 由 a 3 — a 6 =a^ —a 3 可得 q —q =q8 3 6—q ，由 qH0 得 q —1=1—q ,①整理得（q3）2 +q 3 -2 =0，解得q 3 =-2或q 3=1 （舍去）•于是q = -返.n 七 n 」 n 4另一方面，an-a n*q _^ =1^(q3-1),n 4 n 韦n 4"a n 二甘先 2).由①可得a n —an H s = a n 书一a n , n 匸N .所以对任意的n ^N , a n 是a n 七与a 七的等差中项.例4:解：（1）设数列｛b n ｝的公差为d ，则b4 = d + 3d = 2 +3d = 11，解得d = 3 ,数列 h n ｝为 2,5,8,11,8,5,2 .(2) S =01 +C 2 +…+ C 49 = 2(C 25 + C 26 中…+(49)—625=2(1+2+22 +…+224 )-1 = 2(225 —1 )—1 =226 —3 =67108861.(3) d 51 =2, d 1oo =2+3X(50 —1) =149 .由题意得d 1,d 2 JII,d 50是首项为149，公差为-3的等差数列. 当 n W 50 时，S n =d1 +d 2 +…+d n所以当n >2时，a n =-nA1+8-1-q q H 1,n,= 149n+3(—3)n2+301n .2 2 2=S50 + (d51 + d52 +…+ d n )=3775 +2! n-50)+(n~ 50)( n- 51)%3—.,1、n ^z1、nS n=2+(1)-3(-)G =0,4+2（ n > 2 ）易知｛cj 是首项为a, + b, =3，公差为2的等差数列，通项公式为 1(II )解：由题设得 a n -b n = — (a nJ -b n 』)(n > 2)，令 d n =a n - b n ，则21 1d n = —dn4（n > 2）.易知｛d n ｝是首项为a 1 -b =1，公比为一的等比数列，通项公式为2 2f an +b n =2 n q211 1 1 1 nd^-1^ .由｛1 解得 an =帀十n +-，求和得 Sn = -R + = + n + 1 .2耳-0=尹2222I a = +1(14)解：(1)由已知得彳 1"‘二 d =2，故 a n =2n -1+72, q = n(n + 冋.3a 1 +3d =9 +3 运⑵由（1）得 bn=7=n+血.假设数列｛b n ｝中存在三项b p , b q , d （ p , q , r 互不相等）成等比数列，则b ： =bpd .当 51 w n w 100 时，S n =d1 +d2 +…+dn综上所述,3 2 299 =-n 2- --- n + 7500 . 2亠301 +——n,2 299 丄rucc3 2 —-n 2 I 3 2! 一 n 1 w n w 50, 51 w n w 100. 【巩固练习】(1) 4 ( 2)1(3) 2 (4) 4 (5) 7 (6) 4( 7)(二，—1]U 〔3,兄)(8) 81(9) ±2(10) 4(11) (1) a n = —3n +53 (2) (S n )max = $7 = 442(3)送ain(103—3n)g 17)2n (103-[884- 2(n >17)(12) a（13） （I ）解：由题设得 an+b n =(an4+bnJ+2(n > 2)，即即(q + 72)2 = (p + 血)(r +妁./. (q2— pr)+ (2q — p — r)75 = 0与p H r 矛盾.所以数列｛b n ｝中任意不同的三项都不可能成等比数列. 【拓展提高】(2) (1) ：｛a n ｝是等差数列，a 1 =1,a 2 =a(a 》0),二 a n =1 +(n — 1)(a —1).---1 分又 b 3 =12八 =12,即(2a-1)(3a-2)=12, :a >0,”・.a =2.从而 a n = n . (2) T ｛a n ｝是等比数列，d =1,a 2 =a(a >0),二 a n =a n °，则 b n 肛 =a 2.「.数列｛b n ｝是首项为a ，公比为a 2的等比数列, b n(3)数列｛a n ｝不能为等比数列.二数列｛a n ｝ 一定不能为等比数列.T P , q, " N, / =pr,( p-r)2 =0, p = r . 当 a=1 时，S n = n ； 当 a 时，Sn =a(1~a 2) 1 -a 2n H 1a -aa 2 —1 5解得a =2或a = 一一八. + a n 十a n 七-b n =a n a n +，—= ------------------------- b n a n a n + ,则3=a-1,.-爲 a n a n=a—1 ,假设数列｛a n ｝能为等比数列，由a 1 —1, a ? = a,彳得 a 3 — a , a 2 =a —1,即a 2— a+ 1=0，丁此方程无解,。