第四讲 等差数列与等比数列
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
等差数列与等比数列PPT课件
1.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比 数列,则a:b:c=________________
(A)
2.数列{an}是等差数列,且S10=100, S100=10,则S110= (D) (A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110 3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比 数列,则三内角的公差为 (A ) (A)0 (B)150 (C) 300 (D) 450
1. 已知等比数列{an}中,an>0, 且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=
提示:
a2a4=(a3)2 a4a6=(a5)2
原式=(a3+a5)2=25=> a3+a5=5 (an>0)
2.数列{an}是等差数列,且S10=100, S100=10,则S110= (A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110
( )
解: S10,S20-S10,S30-S20,........,S110-S100成等差数列,公差100d.
例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数. 解法1: 如图:a1,a2,a3,a4 等比 (a2)2=a1a3 已知: a1+a2+a3=19 等差2a3=a2+a4 已知: a2+ a3+ a4 =12 a1+a2+a3=19 (a2)2=a1a3 a2+ a3+ a4 =12 2a3=a2+a4 a1=9 a2=6 或 a3=4 a4 =2 a1=25 a2=-10 a3=4 a4 =18
练习2
练习2
1. 如果 a,b,c 成等差数列 , 而 a.c.b 三数成 等比数列,则a:b:c=________________ 1:1:1或4:1:(-2)
等差等比数列的证明ppt课件
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
等差数列与等比数列的性质
7．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则数列 ．若数列 是等差数列， ∈ 是等差数列 bn＝ (n∈N*)也为等差数列．类 ∈ 也为等差数列 也为等差数列．
比上述性质，相应地：若数列 是等比数列， 比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn＞0 是等比数列 (n∈N*)，则有 n＝______ ∈ ，则有d _____(n∈N*)也是等比数列． ∈ 也是等比数列 也是等比数列．
(5)若a1 >0,q>1,则{an }为 {an }为
递增 数列；若a1<0,q>1,则 数列；
递减
数列; 数列;若a1>0,0<q<1,则{an}为递减
数列； 递增数列； 数列；若a1<0,0<q<1，则{an}为递增数列；若q<0,则
− a1 (6)当q≠１时,Sn = 1− q
摆动数列； 数列. {an}为摆动数列；若q=1,则{an}为 常 数列.
已知等比数列{ 数列{ 8. 已知等比数列 {an} 中 ， 有 a3a11=4a7 ， 数列 {bn} 是 等差数列, 等于（ 等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于（ C ）
A.2
B.4
C.8
D.16
因 为 a3a11=a72=4a7 ， 因 为 a7≠0 ， 所 以 a7=4，所以b7=4. 因为{ 为等差数列， 因为 {bn} 为等差数列 ， 所以 b5+b9=2b7=8 ， 故选C 故选C.
(4)若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则数列Sn,S2n-Sn,S3n(4)若 是等比数列, 1,则数列
S2n,…也是 ,…也是
等比
数列. 1,且 为偶数时, 数列.当q=-1,且n为偶数时,数
等差数列与等比数列
等差数列与等比数列数列是数学中重要的概念之一，它是由一系列按照特定规律排列的数字所组成的序列。
等差数列和等比数列是常见的两种数列类型，它们在数学和实际问题中具有广泛应用。
本文将对等差数列和等比数列进行详细介绍，并探讨它们之间的区别与联系。
一、等差数列（Arithmetic Sequence）等差数列是指一个数列中的每一项与它前面的一项之差都相等的数列。
这个公差（Common Difference）可以是正数、负数或零。
等差数列的通项公式为：An = A1 + (n-1)d其中，An表示第n项，A1表示第一项，d表示公差，n表示项数。
例如，1，4，7，10，13，...就是一个等差数列，公差d为3。
等差数列的特点是每一项与前一项之间的差值恒定，如果我们知道了等差数列的首项和公差，就可以轻松地计算出其任意一项的值。
等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(A1 + An)其中，Sn表示前n项和，n表示项数，A1表示第一项，An表示第n项。
二、等比数列（Geometric Sequence）等比数列是指一个数列中的每一项与它前面的一项之比都相等的数列。
这个公比（Common Ratio）可以是正数或负数，但不能为零。
等比数列的通项公式为：An = A1 * r^(n-1)其中，An表示第n项，A1表示第一项，r表示公比，n表示项数。
例如，2，6，18，54，...就是一个等比数列，公比r为3。
等比数列的特点是每一项与前一项之间的比值恒定，如果我们知道了等比数列的首项和公比，就可以简单地计算出其任意一项的值。
等比数列的求和公式为：Sn = A1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项和，A1表示第一项，r表示公比，n表示项数。
三、等差数列与等比数列的区别与联系1. 区别：等差数列中每一项与它前面的一项之差相等，而等比数列中每一项与它前面的一项之比相等。
2. 联系：等差数列和等比数列在数学和实际问题中都有广泛的应用。
等差数列与等比数列定义及公式
等差数列与等比数列基础知识1．数列的概念定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。
数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。
定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。
定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。
定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。
定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。
2．等差数列定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。
等差数列具有以下几种性质：（1）等差数列的通项公式：或；（2）等差数列的前项和公式：或；（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；（6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；（8）若，则；特别地，当时，；（9）设，，，则有；（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；（11）对于项数为的等差数列，有，；（12）是等差数列的前项和，则；（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.3．等比数列定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。
第六章 第4讲 等差数列、等比数列与数列求和
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
解
(1)设{an}的公比为 q，则 b1＝1＋a，b2＝2＋aq，b3
＝3＋aq2，由 b1，b2，b3 成等比数列得(2＋aq)2＝(1＋a)(3 ＋aq2)， 即 aq2－4aq＋3a－1＝0.* 由 a＞0 得， Δ＝4a2＋4a＞0， 故方程*有两个不同的实根． 再由{an}唯一， 知方程*必有一根为 0， 将 q＝0 代入方程* 1 得 a＝ . 3
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
(2)倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“ 距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数 列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即 是用此法推导的． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列 和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(21＋22＋…＋2n)＋n
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
21－2n ＋ ＝ ＋n＝2n 1＋n－2. 1－2
设An＝Tn－6n＝2n＋1－5n－2，则An＋1－An＝2n＋1－5， 所以当n＝1时，有An＋1<An；当n≥2时，有An＋1>An. 故最小项为A2＝23－10－2＝－4. 即数列{Tn－6n}中最小项的值为－4.
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
(2)假设存在两个等比数列{an}，{bn}使 b1－a1，b2－a2， b3－a3，b4－a4 成公差不为 0 的等差数列． 设{an}的公比为 q1，{bn}的公比为 q2，则 b2－a2＝b1q2－
2 3 3 a1q1，b3－a3＝b1q2 － a q ， b － a ＝ b q － a q 2 1 1 4 4 1 2 1 1.
第四讲 数列与数表
第四讲数列与数表综合【知识点】一、等差数列1.首项：a1 =a n-(n-1)×d2.末项：a n =a1+(n-1)×d3.公差：d=( a n – a1 )÷(n-1)4.项数：n=( a n – a1 )÷d+15.和：Sn=( a1 + a n )×n÷2二、特殊数列1.山顶数列：1+2+3…+n+…+3+2+1=n22.奇数数列：1+3+5+…+(2n-1)=n23.平方数列：12 + 22+ 32… +n2=n×(n+1)×(2n+1)÷64.立方数列：13 + 23+ 33… +n3=（1+2+3…+n）2三、等比数列1.公比：q=a2÷a12.求和：Sn=(末项×公比-首项)÷（公比-1）复习：1.完全平方公式：（a±b）2=a2+b2±2ab2.平方差公式：a2-b2=(a+b)×(a-b)【周周测】练习1 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、……，该数列中的前101项和是（），2010是数列中的第（）项练习2 昊昊从1开始写了若干个连续奇数，并对它们列竖式求和.因为粗心，昊昊把一个数多加了，最后得到的和是2011.请问：昊昊从1写到哪个数？多加了哪个数？练习3 我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中（不包括自然数0），去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是（）。
练习4 1×3+2×4+3×5+…+97×99+98×100=练习5 在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656，且第一名得分数超过了90分（满分100分）。
已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是（）。
等差数列与等比数列教案高考例题目精析
一、等差数列与等比数列的概念解析1. 等差数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做这个数列的公差，这样的数列叫做等差数列。
2. 等比数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都是一个常数，这个常数叫做这个数列的公比，这样的数列叫做等比数列。
二、等差数列的性质与通项公式1. 等差数列的性质：（1）等差数列的相邻两项之差相等。
（2）等差数列的任意一项都可以用首项和公差表示。
（3）等差数列的前n项和公式为：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。
2. 等差数列的通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$a_n$是第n项。
三、等比数列的性质与通项公式1. 等比数列的性质：（1）等比数列的相邻两项之比相等。
（2）等比数列的任意一项都可以用首项和公比表示。
（3）等比数列的前n项和公式为：$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$n$是项数。
2. 等比数列的通项公式：$a_n = a_1 q^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$a_n$是第n项。
四、等差数列与等比数列的判定1. 等差数列的判定：如果一个数列满足相邻两项之差相等，则这个数列是等差数列。
2. 等比数列的判定：如果一个数列满足相邻两项之比相等，则这个数列是等比数列。
五、等差数列与等比数列的求和1. 等差数列的求和：已知首项$a_1$，公差$d$，项数$n$，求前n 项和$S_n$。
根据公式$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$，直接代入求解。
2. 等比数列的求和：已知首项$a_1$，公比$q$，项数$n$，求前n 项和$S_n$。
根据公式$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$，直接代入求解。
数列的规律等差数列与等比数列的区别与应用
数列的规律等差数列与等比数列的区别与应用数列的规律：等差数列与等比数列的区别与应用数列是数学中的一个重要概念，是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，我们常常会遇到两种特殊的数列：等差数列和等比数列。
本文将对这两种数列的规律进行比较，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、等差数列等差数列是指数列中的每个数与它前面的数之差都相等的数列。
我们可以用以下公式来表示等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列中的第n项，a1表示第一项，d表示公差（等差数列中的任意两项之间的差值）。
等差数列的特点是每一项与它前面的一项之差相等。
例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，公差d为2。
等差数列在各种实际问题中有广泛的应用，比如时间、距离等的变化规律。
二、等比数列等比数列是指数列中的每个数与它前面的数之比都相等的数列。
我们可以用以下公式来表示等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示等比数列中的第n项，a1表示第一项，r表示公比（等比数列中的任意两项之比）。
等比数列的特点是每一项与它前面的一项之比相等。
例如，1, 2, 4, 8, 16就是一个等比数列，公比r为2。
等比数列在不断增长或者不断衰减的情况下有广泛的应用，比如金融领域的利率增长、细胞的增殖等。
三、等差数列与等比数列的区别等差数列和等比数列虽然都是由一系列按照一定规律排列的数所组成，但它们之间有一些明显的区别。
首先，等差数列的规律是每一项与它前面的一项之差相等，而等比数列的规律是每一项与它前面的一项之比相等。
这是两者的核心区别。
其次，等差数列中的公差通常是常数，而等比数列中的公比常常是不同的。
公差是等差数列中任意两项之差的差值，公比是等比数列中任意两项之比的比值。
最后，等差数列的增长速度是固定的，而等比数列的增长速度会随着公比的大小而改变。
等差数列的增长是线性的，等比数列的增长则是指数的。
等差数列与等比数列PPT教学课件
Listen and read
What can Betty do?
She can play football, play basketball and speak English.
What can’t Betty do?
She can’t speak Chinese.
What can Tony do?
Sing
Summery
Some sports
I can ….
I can’t ….
He/She can…. He/she can’t….
Can you …?
Yes, I can. No, I can’t.
Can he/she …?
Yes, he/she can. No, he/she can’t.
Workbook
2.{an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13的值.
【解题回顾】本题若用通项公式将各项转化成a1、d关系后再
求，也是可行的，但运算量较大.
3 . 已 知 点 An(n,an) 为 函 数 F1∶y=√x2+1 上 的 点 ， Bn(n,bn) 为 函 数F2∶y=x上的点，其中n∈N+，设cn=an-bn(n∈N+). (1)求证：数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较cn与cn+1的大小.
第1课时 等差数列与等比数列
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差(比)数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差
(比)等于同一个常数，这个数列叫做等差(比)数列.
等差数列与等比数列
等差数列与等比数列数列是数学中常见的概念，它描述了按一定规律排列的数的集合。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将介绍等差数列和等比数列的定义、性质以及它们在数学和实际生活中的应用。
一、等差数列1. 定义若一个数列中每个项与它的前一项之差保持不变，这个数列就被称为等差数列。
这个常数差称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
2. 性质（1）通项公式等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示等差数列的第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
（2）前n项和公式等差数列的前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn 表示等差数列的前n项和。
3. 应用等差数列在数学中有广泛的应用，例如：（1）几何图形的边长或面积随着序号的增加而变化的情况。
（2）利润、财富等随着时间的推移而变化的情况。
二、等比数列1. 定义若一个数列中每个项与它的前一项之比保持不变，这个数列就被称为等比数列。
这个常数比称为等比数列的公比，通常用字母q表示。
2. 性质（1）通项公式等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
（2）前n项和公式等比数列的前n项和公式可以表示为：Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1)，其中Sn表示等比数列的前n项和。
3. 应用等比数列在数学和实际生活中也有广泛的应用，例如：（1）成倍递增或递减的现象，如细菌繁殖、利息计算等。
（2）音乐和艺术中的音高、色彩等的变化。
（3）经济增长、人口增长等方面的研究。
三、等差数列与等比数列的比较1. 相同点（1）都是数学中常见的数列类型。
（2）都可以通过通项公式和前n项和公式来计算。
2. 不同点（1）差别在于等差数列的项之间的差是常数，而等比数列的项之间的比是常数。
（2）等差数列的公差用d表示，等比数列的公比用q表示。
数列—等差数列与等比数列(初等数学课件)
am an 2ap 。
例题讲解
例 已知各项均为正数的两个数列 an 和 bn 满足 an1
+1 = 1 +
an bn
an2 bn2
b 2
∈ ∗ ，求证：数列 n 是等差数列。
an
证明 由题意知
an1
an bn
an2 bn2
1
bn
an
bn
1
an
2ຫໍສະໝຸດ bn1 bn 1
an
2
n N ，
例题讲解
2
2
2
bn1 bn
bn
bn1
1
所以
1 ，从而
初等数学研究
等差数列
等差数列的概念
如果数列 an 满足
an1 an d n N , d为常数
那么这个数列就叫做等差数列，常数 d 叫做等差数列的公差。
等差数列 an 的通项公式为 an a1 n 1d ，其前 n 项的和为
等差数列的性质
（1）设 an 是公差为 d 的等差数列。则 an b, b都是常数 是公差为 d
的等差数列。
（2）设 an ，bn 是等差数列，则 1an 2bn 1, 2都是常数也是等差数列。
（3）设 an ， bn 是等差数列，且 bn N ，则 abn 也是等差数列。
（ 4 ） 若 m n p q ， 则 am an ap aq 。 特 别 地 ， 当 m n 2 p 时 ，
an1
an1 an
等差数列与等比数列
等差数列与等比数列在数学中，等差数列和等比数列是两个常见的数列类型。
它们在许多不同的应用中起着重要的作用。
本文将介绍等差数列和等比数列的定义、性质和应用。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，它的公差是2。
1. 定义设数列a1, a2, a3, ...是一个等差数列，若存在常数d使得对于任意正整数n，都有an = a1 + (n-1)d成立，则称该数列为等差数列。
2. 性质（1）通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n个项an可以由通项公式an = a1 + (n-1)d计算得出。
（2）求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，共有n项，则该数列的和Sn可以由求和公式Sn = (a1 + an)n/2计算得出。
（3）性质推导：使用数学归纳法可以证明等差数列的各性质。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和实际生活中的问题。
它们被用于建模和解决各种有序序列的计算和预测问题。
例如，等差数列可以用于计算时间序列数据、金融分析、物理过程模拟等。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。
例如，2, 6, 18, 54就是一个等比数列，它的公比是3。
1. 定义设数列a1, a2, a3, ...是一个等比数列，若存在常数r使得对于任意正整数n，都有an = a1 * r^(n-1)成立，则称该数列为等比数列。
2. 性质（1）通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n个项an可以由通项公式an = a1 * r^(n-1)计算得出。
（2）求和公式：当公比r不等于1时，设等比数列的首项为a1，末项为an，共有n项，则该数列的和Sn可以由求和公式Sn = a1 * (1- r^n)/(1-r)计算得出。
（3）性质推导：使用数学归纳法可以证明等比数列的各性质。
3. 应用等比数列在实际问题中也有着广泛的应用。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的数列类型。
它们在数学应用、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将针对等差数列与等比数列的定义、特点、常见性质和应用进行总结。
一、等差数列1. 定义等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
设数列的通项公式为an，公差为d，则等差数列可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数。
2. 特点（1）相邻两项之差保持恒定，即公差d是常数。
（2）首项和公差可以确定一个等差数列。
（3）等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 常见性质（1）首项和末项之和等于中间各项之和的和。
（2）等差数列的和可以用以下公式计算：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn为前n项和。
（3）若相邻两项互换，则公差不变。
（4）数列中的每一项都可以表示为首项与公差的线性组合。
等差数列常被用于描述随时间变化的一些规律，比如每年增长固定数量的人口、一段时间内的温度变化等等。
在计算机科学中，等差数列的性质也被广泛应用于算法设计与分析。
二、等比数列1. 定义等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
设数列的通项公式为an，公比为q，则等比数列可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。
2. 特点（1）相邻两项之比保持恒定，即公比q是常数。
（2）首项和公比可以确定一个等比数列。
（3）等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 常见性质（1）首项和末项之比等于中间各项之比的积。
（2）等比数列的和（若存在）可以用以下公式计算：Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，需满足|q|<1。
（3）若相邻两项互换，则公比不变。
（4）数列中的每一项都可以表示为首项与公比的幂的乘积。
等比数列常被用于描述随时间变化的指数增长或指数衰减，比如复利计算、物种繁殖等。
数列的等差数列与等比数列的推导
数列的等差数列与等比数列的推导数列是数学中一种重要的数学工具，它由一系列数字按照一定的规律排列而成。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将对等差数列和等比数列进行推导，并分别讨论它们的性质和应用。
一、等差数列的推导等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则可得到如下的等差数列公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项。
为了推导等差数列公式，我们可以通过以下的步骤来进行：1. 设等差数列的首项为a1，公差为d；2. 第二项为a2 = a1 + d；3. 第三项为a3 = a2 + d = a1 + 2d；4. 依此类推，可以得到第n项an = a1 + (n-1)d。
通过上述推导过程，我们可以得到等差数列的通项公式，这个公式可以用来计算等差数列的任意一项。
二、等比数列的推导等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则可得到如下的等比数列公式：an = a1 * q^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项。
为了推导等比数列公式，我们可以通过以下的步骤来进行：1. 设等比数列的首项为a1，公比为q；2. 第二项为a2 = a1 * q；3. 第三项为a3 = a2 * q = a1 * q^2；4. 依此类推，可以得到第n项an = a1 * q^(n-1)。
通过上述推导过程，我们可以得到等比数列的通项公式，这个公式可以用来计算等比数列的任意一项。
三、等差数列与等比数列的性质和应用1. 等差数列的性质：（1）等差数列的相邻两项之差恒定，可以用来求解缺失的数值。
（2）等差数列的前n项和可以通过求和公式来计算，公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
（3）等差数列的平均数等于它的首项和末项的平均数。
（4）等差数列可以表示数学问题中的线性关系，例如速度与时间的关系等。
2. 等比数列的性质：（1）等比数列的相邻两项的比值恒定，可以用来求解缺失的数值。
等比数列等差数列知识点归纳总结
等比数列等差数列知识点归纳总结等比数列和等差数列是数学中常见且重要的概念之一。
在解决各种数学问题和应用中，它们都有着广泛的应用。
本文将对等比数列和等差数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这两个数列的特点和应用。
一、等差数列等差数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之差保持恒定。
具体来说，对于一个等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为：an = a₁ + (n-1)d其中，a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的常用术语包括首项、公差、通项公式和项数等。
1. 首项（a₁）：等差数列的第一项称为首项。
2. 公差（d）：等差数列中相邻两项的差称为公差。
公差可以是正数、负数或零。
3. 通项公式：等差数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。
在通项公式中，n表示项数。
4. 项数：等差数列包含的项的个数称为项数。
等差数列的主要特点是任意两项之差相等，这使得我们可以根据已知的条件，快速求解未知项的值。
一些常见的应用包括求和公式、平均数问题、等差数列的图像和几何问题等。
二、等比数列等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之比保持恒定。
具体来说，对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为：an = a₁ * r^(n-1)其中，a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。
等比数列的常用术语包括首项、公比、通项公式和项数等。
1. 首项（a₁）：等比数列的第一项称为首项。
2. 公比（r）：等比数列中相邻两项的比称为公比。
公比可以是正数、负数或零，但不能为1。
3. 通项公式：等比数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。
在通项公式中，n表示项数。
4. 项数：等比数列包含的项的个数称为项数。
等比数列的主要特点是任意两项之比相等，这使得我们可以根据已知的条件，快速求解未知项的值。
一些常见的应用包括求和公式、计算几何问题和金融领域的应用等。
等差数列与等比数列.ppt
例10.若a2，b2，c2成等差数列， 且(a+b)(b+c)(c+a)≠0.求证: 1 ， 1 ， 1 也成等差数列.
bc ca ab
例10.若a2，b2，c2成等差数列， 且(a+b)(b+c)(c+a)≠0.求证: 1 ， 1 ， 1 也成等差数列.
bc ca ab
分析:
an=a1qn-1
an+1=anq
Sn=na1 (q=1)
Sn=
a1(1 q n ) 1 q
(q≠1)
a1·an=a2·an-1=…
G2=a·b
例1.(1)求等差数列8, 5, 2, ……的第20项.
(2)-401是不是等差数列-5, -9, -13,....
的项?如果是,是第几项?
解:(1)由a1= 8,d=5-8=-3,n=20, a20=a1+(20-1)d=8+19·(-3)=-49
(1 5
S5 )2
1
3
S3
1 4
S4
2
3ad 5d 2
,整理得:
2a
5 2
d
2
解得:
a d
1 0
,
or
a d
4
12 5
,∴
an
1,或an
32 5
12 5
n.
例5.在等差数列{an}中，已知a3=12,S12>0， S13<0，
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1、S2、…S12，哪个值最大，并说 明理由。
解:(1)p+q=10(a1+an),∴Sn=
(a1 an )n ( p q)n
等差数列与等比数列
等差数列与等比数列数学中的等差数列和等比数列是常见且重要的数列类型。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括代数、几何、物理和经济等。
本文将分别对等差数列和等比数列进行介绍，并探讨它们的性质和应用。
一、等差数列等差数列是一种以固定公差（差值）递增（或递减）的数列。
数列的每一项与前一项之差都相等。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式为an = a₁ + (n - 1)d，其中n为项数。
1. 性质与特点（1）等差数列的相邻两项差值相等，即an+1 - an = d。
（2）等差数列的首项与末项之和等于所有项之和的一半，即a₁ + an = (n + 1) × (a₁ + an) / 2。
（3）等差数列的前n项和是n乘以首项与末项之和的一半，即Sn = n × (a₁ + an) / 2。
2. 应用举例（1）数学中经常使用等差数列来解决问题，如求和、推导等。
例如，在几何网格中，等差数列可用于计算方格的总数。
（2）在经济学中，等差数列可用于计算投资额、利润和成本等相关问题。
（3）在物理学中，等差数列可应用于时间、距离和速度的关系等。
二、等比数列等比数列是一种以固定公比递增（或递减）的数列。
数列的每一项与前一项的比值都相等。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为an = a₁ × r^(n - 1)，其中n为项数。
1. 性质与特点（1）等比数列的相邻两项比值相等，即an+1 / an = r。
（2）等比数列的前n项和是首项与首项与公比的n次方项之差的一比率（不含首项），即Sn = a₁ × (r^n - 1) / (r - 1)，其中r ≠ 1。
2. 应用举例（1）等比数列在金融领域中有广泛的应用，如复利的计算等都会涉及等比数列。
（2）在自然科学中，等比数列可以用于模型建立和数据分析等方面。
（3）在人口统计学中，等比数列可用于人口增长和减少等问题的研究。
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第四讲 等差数列与等比数列一、知识梳理1. 等差、等比数列的定义与性质 等差数列 等比数列定义 1+n a -n a =dnn a a 1+=q(q ≠0) 通项公式 n a =1a +（n-1）dn a =1a 1-n q (q ≠0) 递推公式 n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)dn a =1-n a q n a =m a m n q -中项A=2ba + 推广：A=2a k n k n a +-+（n,k∈N + ;n>k>0） ab G =2。
推广：G=k n k n a a +-±（n,k∈N + ;n>k>0）。
任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个前n 项和n S =2n（1a +n a ）n S =n 1a +2)1(n -n d n S =q q a n --11()1 n S =qqa a n --11性质（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=（5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） （6）d=nm a nm --a (m ≠n)(7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q1、数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).2、数列是不是等比数列有以下四种方法：①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )③n n cq a =(q c ,为非零常数).④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等差数列.二、课堂练习 <一>等差数列1.已知为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（ ）A. -1B. 1C. 3D.72.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 633.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于A ．1 B53C.- 2 D 3 4.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝A.－2B.－12 C.12D.2 5.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =( )A.12B.13C.14D.15 6.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 （ ）A ．18B 27C 36D 97.已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．48 9.等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（ ）A ．12B ．10C ．8D ．610.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．2711.已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ） A ．15 B ．30C ．31D ．6412.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．二、填空题13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a =16.已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=三、解答题17.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++ .18、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0，①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.19、己知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？20、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.21、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元，（1）问第几年开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.22.已知等差数列{n a }中，0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .<二>等比数列一．选择题1.设{}n a 是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则18a a +与45a a +的大小关系为（ ） A ．1845a a a a +>+ B ．1845a a a a +<+ C ． 1845a a a a +=+ D ．与公比的值有关 2．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，那么35a a +=（ ） A ． 10 B ． 15 C ． 5 D ．63．设{}n a 是正数组成的等比数列，公比2q =，且30123302a a a a = ，那么36930a a a a = （ ）A ． 102B ． 202C ． 162D ．1524．三个数成等比数列，其和为44，各数平方和为84，则这三个数为（ ） A ．2，4，8 B ．8，4，2 C ．2，4，8，或8，4，2 D ．142856,,333- 5．等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列1{}n a ，由1{}na 的前n 项的和是（ ） A ．15B ． 1n q SC ．1n S q -D ．nq S6．若等比数列{}n a 的前项之和为3n n S a =+，则a 等于（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ．1-7．一个直角三角形三边的长成等比数列，则（ ） A ．三边边长之比为3:4:5，B ．三边边长之比为1:3:3，C ．较小锐角的正弦为512-， D ．较大锐角的正弦为512-， 8．等比数列1a 2a 3a 的和为定值m(m>0)，且其公比为q<0，令123t a a a =，则t 的取值范围是（ ）A ． 3[,0)m - B ． 3[,)m -+∞ C ． 3(0,]m D ．3(,]m -∞ 9．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和(,)nn S P P R n N +=∈∈,那么{}n a （ ） A ．是等比数列 B ．当时0P ≠是等比数列C ．当0P ≠,1P ≠时是等比数列D ．不是等比数列10．认定：若等比数列{}n a 的公比q 满足1q <，则它的所有项的和11a S q=-，设23412127777S =++++ 。
则S =（ ） A ．415 B ． 116 C ．316 D ．81511.若数列是等比数列，下列命题正确的个数是（ ） ①2{}n a ，2{}n a 是等比数列 ②{lg }n a 成等差数列 ③1{}na ，{}n a 成等比数列 ④{}n ca ，{}n a k ±(0)k ≠成等比数列。
A ． 5B ．4C ．3D ．2 12．等比数列{}n a 中1512a =，公比12q =-，用12n n a a a ∏= 表示它的前n 项之积，则12,,,∏∏ 中最大的是（ ）A ． 11∏B ．10∏C ．9∏D ．8∏二．填空题13.有三个正数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数分别为_____________。
14．若不等于1的三个正数a ，b ，c 成等比数列，则(2log )(1log )b c a a -+=_______。
15．在等比数列中，13a =，4q =，使3000n S >的最小自然数n=________。
16．若首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项1a 公比q 的一组取值可以是1(,)a q =_________。
三．解答题17． 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。
18．设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是其前n 项和， 证明0.50.520.51log log log 2n n n S S S +++>。
19．{}n a 为等差数列(0)d ≠，{}n a 中的部分项组成的数列12,,n k k k a a a 恰为等比数列，且1231,5,17k k k ===，求12n k k k +++ 。
20．设有数列{}n a ，156a =，若以123,,,,n a a a a 为系数的二次方程2110n n a x a x --+=都有根,αβ，且满足331ααββ-+=。