近世代数环同态的性质 ppt课件

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《近世代数》课件

近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之一，是学习其它数学分支的重要基础。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数学的基本思想方法具有重要意义，有助于培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上的一个多项式，那么E在F上形成一个子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上的一个不可约多项式，那么E在F上形成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等，并讨论理想的封闭性、运算性质等。

代数结构与数理逻辑-环同态基本定理

❖ 例:复数域[C;+,]是实数域[R;+,]的扩张,(1, i)是它的一组基
C={a+ib|a,bR,i2=-1}, [C:R]=2
❖ 引进线性空间的目的是为了方便表示扩域中的元素。
❖ 例:Z5[x]是域Z5上的多项式环, K=Z5[x]/(x3+x+1) ={(x3+x+1)+a0+a1x+a2x2|a0,a1,a2Z5} K为Z5上的线性空间,基为(1,x,x2), [K:Z5]=3。
❖ 因时间关系，14.5整环与分式域不做介绍
第十五章域
❖ 方程x2-2=0 ❖ 有理数域内无解 ❖ 扩充到实数域中则有解。 ❖ 域扩张
§1 扩域
❖ 一、扩域
❖ 1. 扩域
❖ 定义15.1：当[F;+,*]是域,F‘F,F’,F'按F中
的运算也是域时,称[F';+,*]是[F;+, *]的子域; 也称F为F'的扩域;又称F是域F'的一个扩张。
?
L K( 2 )
K( 2 )是包含 2的最小域
❖ 推广到一般情况:当F的扩域L为在F上添加 k≥1 个元素 1 , , k 得到的 , 我们就把它记为 L=F(1,,k)=F(1)(k-1)(k)。这 k个元素作扩张的先后次序不影响最终结果。
❖ 二、素域
❖ 定义15.4：一个没有真子域的域称为素域。 ❖ 设p为素数,则Zp是素域. ❖ 域F的特征数 ❖ 定理14.5:任何整环的特征数或为素数或
❖ [Q;+,]是实数域[R;+,]的子域, ❖ R是Q的扩域, ❖ 同理,复数域C 是实数域的扩张, 也是有

近世代数课件第11节子环与理想

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近世代数
理想子环的实例
前面的例1已经证明：对任意给定的自然数n, nZ={nz|z∈Z}
是整数环Z的子环。于是有： 2Z ={2z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环. 3Z ={3z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
…… nZ={nz|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
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近世代数
极大理想
由(交换)环得到域的方法之一：利用极大理想的方法
定义1 环R的理想H称为R的极大理想，如果H是R的真理想，且R不存在真理想N使得H N.
定义1’ 环R的一个不等于R的理想H称为R的极大理想，如果除了R同H自己以外，没有包含H的理想.
定义1” 环R的真理想H称为R的极大理想，如果N是R
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近世代数
子环的判定
定理1 (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a–b∈S； (2) a, b∈S, ab∈S.
定理1’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a+b∈S； (2) a∈S, -a∈S; (3) a, b∈S, ab∈S.
的特征数，简称为特征，记为ChR.
定理2 若无零因子环R的特征数为正整数p，则p为素
数.
推论2 整环、体和域的特征数或是无穷大，或是
一个素数.
问题：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
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近世代数
第11节子环与理想
主要内容:
子环理想(子环) 环的同态基本定理极大理想
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近世代数
定理1’’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。

近世代数课件--3.1. 加群、环的定义

1.1 加群及符号的转换
( m+n)a=?? n(a+b)=?? n(ma)=?? 加群的一个非空子集S作成一个子群的充分必要条件是 : ??
1.2 环的定义及基本性质
定义：一个集合R叫做一个环，假如 1．R是一个加群，换一句话说，R对于一个叫做加法的
代数运算来说作成一个交换群； 2．R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的； 3．这个乘法适合结合律：
它一些子集也可以构成环
多项式环: F[x]
F[x]
它一些子集也可以构成环 • 剩余类环: Zn {[0],[1],[2] [n 1]}
a(bc) (ab)c
4.两个分配律都成立：
a b c ab ac b c a ba ac
1.2 环的定义及基本性质
基本性质: (7) a(b-c)=??, (b-c)a=?? (8) 0a=a0=??, 这里0是零元素
(9) (a)b a(b) ab
(10)
(a)(b) ab
(2)
a-a=??
(3)
-(-a)=??
1.1 加群及符号的转换
(4) a+b=c b=a-c
(5) –(a+b)=??
由于加群的加法适合结合律，n个元的和有意义，
这??
表n 示ai： i 1
i 1
??, n 0 na ??, n 0
??, n 0
i 1
j 1
i1 j1
1.2 环的定义及基本性质
(13) (na)b a(nb) n(ab)
这里:n是任何整数
规定:
n个
an aa a
这里:n是正整数 ,它有下面的性质:
(14)

近世代数课件-3-3_环的同态与同构

2020/4/27
18:19
一、环同态与同构的定义
注：
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一、环同态与同构的定义
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一、环同态与同构的定义
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一、环同态与同构的定义
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一、环同态与同构的定义
2020/4/27
二、同态的性质
近世代数
第三章环
环是具有两种代数运算的代数系，它也是近世代数的一个重要分支。
本章介绍环的一些初步理论。
2020/4/27
§3.3 环的同态与同构
对环进行比较，采用的主要工具是环同态和环同构，从而可揭示出两个貌似不同的环之间的某些共同性质，这是在环的研究中具有重要意义的基本观念和基本方法，同时也是实践性很强的一种基本要求。
本节教学目的与要求：了解环同态和同构的代数现象；了解环同态和同构的
代数传递性质和一些不能传递的代数性质；熟悉一些常用的彼此同态和同构的实例。
领会代数性质的传递是重点，掌握其中的定理证明方法是难点。
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§3.3 环的同态与同构
一.环同态与同构的定义二.环同态的性质三.同态象和同态核的定义
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三、同态像与同态核
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三、同态像与同态核
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作业：P83第1,4题
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2020/4/27
说明如下：
二、同态的性质
2020/4/27
二、同态的性质
注
2020/4/27
二、同态的性质
2020/4/27
三、同态像与同态核
2020/4/27
三、同态像与同态核

近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质

,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
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三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
2020/9/27
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2020/9/27
2.整环定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环都是整环, 而偶数环为无零因子环.
2020/9/27
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不是左零因子也不是右零因子的元素，叫做正则元.
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例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.

4：环同态PPT课件

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11
设σ是R到R′上的同态映射，R′的零0′的逆映象 σ-1(0′)叫σ的核。
定理6.7.3同态映射σ的核N是R的一个理想.设a′ 是R′的任意元素,则a′的逆映象
σ-1(a′)={a∈R∣σ(a)=a′}是N的一个剩余类。
证明：因为σ是R的加法群到R′的加法群上面的一个同态映射,所以σ的核N=σ-1(0′)是R的一个子群,且a′的逆映象σ-1（a′）是模N的一个剩余类。现在再证N做成理想，即证：若 a∈N,х∈R,则aх∈N,χa∈N, 事实上σ(aχ)=σ(a)σ(χ)=0′σ(χ)=0′, 故aχ∈N,同样可证χa∈N。
.
23
事实上，根据定理6.7.8和定理6.7.9，R∕N是一个域，必要而且只要R∕N是一个有壹的交换的单纯环，又根据定理6.7.7，对于有壹的环R∕N（环R∕N有壹,则R∕N中至少有两个元素,因之N<R ）,其为单纯环,必要而且只要N是R的一个极大理想.
规定σ（a）= a+N，则σ是R到R∕N上的一个同态映射，其核为N。
R∕N叫做R对于N的剩余环，前面定理6.7.1中（4），（5）所说的加法和乘法的同态性，其实是
说剩余环R∕N中的加法和乘法运算可由剩余类中的任意元素来确定，剩余类的运算与其中元素的特殊选择无关。剩余环R∕N有了这加法和乘法两种运算，就与环R同态。
证明：取F的任意理想N≠（0），则有a∈N,a≠0, 于是有a-1∈F。因为N是F的理想,故aa-1∈N，
即1∈N，因此，对于任意的χ∈F，有χ=1χ∈N，即FN。但自然NF，所以N=F。总之，F为单纯环。
定理6.7.10 设R是有壹的交换环，N是R的理想。于是，R∕N是一个域，必要而且只要N是一个极大理想。