运筹学(第三章)ppt课件
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运筹学PPT——第三章
第三章整数规划Integer Programming§1问题的提出[eg.1]用集装箱托运货物问：甲乙货物托运多少箱，使总利润最大？货物m3/箱百斤/箱百元/箱甲5220乙4510限制2413分析：设x1为甲货物托运箱数，x2为乙货物托运箱数。
则max z= 20x1+10x25x1+4x2≤242x1+5x2≤13x 1,x2≥0x 1,x2取整数图解法：x 1x 24321012 4.8①2.6②(4,1)∴x 1*= 4 x 2*= 1 z I *= 90一般，整数规划的最优解不会优于相应线性规划的最优解。
对于max 问题，z I * ≤z l *对于min 问题，z I *≥ z l *数学模型：取整数j j nj iijij nj jj x nj x m i b xa x c z ,,10,,1max 11 =≥=≤=∑∑==§2 分枝定界法用单纯形法，去掉整数约束IP LP xl*判别是否整数解x I *= xl*Yes去掉非整数域No多个LP……§3 0-1规划（xi= 0或1的规划）[eg.2]选择投资场所A i 投资Bi元，总投资≤B，收益Ci元.问：如何选择Ai ，使收益最大？A6A7A4A5A3A2A1最多选2个最少选1个最少选1个分析：引入xi= 1 A i选中0 Ai落选max z= C1x1+C2x2+… +C7x7x 1+x2+x3≤2x 4+x5≥1x 6+x7≥1B 1x1+B2x2+… +B7x7≤Bx i = 0或1南区西区东区[eg.3]求解如下0-1规划max z= 3x1-2x2+5x3x1+2x2-x3≤2 ①x 1+4x2+x3≤4 ②x 1+x2≤3 ③4x2+x3≤6 ④x 1,x2,x3= 0或1解：(1)观察一个可行解x1= 1 x2= x3= 0此时，z= 3(2)增加一个过滤条件3x1-2x2+5x3≥3 *(3)列表计算x x x *可行？z0015√51003110√3123①②③④0000×-1115010-2×01131×110180211√81101×111626×∴ 最优解：x 1*= 1 x 2*= 0 x 3*= 1 此时，z *= 8第四章。
运筹学教学课件 第三章 运输问题
7 4 9 3 6 5 6
2.1 确定初始基可行解
• 这与一般线性规划问题不同，产 销平衡的运输问题总是存在可行解。 因有
b a
i 1 j i 1
m
m
i
d
必存在 0≤ xij,i=1,…,m,j=1,…,n 是可行解。又因 0≤xij≤min(a1,bj) • 故运输问题的可行解和最优解必存在。 • 确定初始可行解的方法有很多，一般 希望的方法即简便又尽可能接近最优解。 下面介绍两种方法：最小元素法和伏格 尔（Vogel）法。（其它如西北角法等）
例1
• 某公司经销甲产品，它下设三个加工厂。每 日的产量分别为： • A1——7吨，A2——4吨，A3——9吨。该公 司把这些产品分别运往四个销售点。各销售 点每日的销量为：B1——3吨，B2——6吨， • B3——5吨，B4——6吨。已知从各工厂到各 销售点的单位产品的运价为表3-3所示，问该 公司应如何调运产品，在满足各销点的需要 量的前提下，使总运费为最少。
运价表与行差和 列差的计算
表3-10 伏格尔法
伏格尔法基可行解， 总运费为85，恰好得 到最优解
销地 B1 B2 B3 B4 行 产 差 量 产地
销地 B1 B2 B3 B4 产地 A1 A2
A1
A2 A3
3
1 7
11 3
9 4 5 6 2 1 5
10 0
8 3 6 1 1
7
4 9
10 5
列差 2 销量 3
A3
表3-13
B1 销地 加工厂 A1 A2 A3 销量 ห้องสมุดไป่ตู้2 B3 B4 产量
5 3 6 3 6 5
2 1 3 6
7 4 9
运筹学第三章课件
B3
3 2 10 ３
B4
10 8 5
日产量
罚金成本
A1 A2 A3
销量 罚金成本
7 4 9-6
0 1 1
０ 1 ２
②
6 5
5 1
6 -３ 3
①
1.5 表上作业法
③重复步骤②，直至求得求得初始调运方案。与最小元素法相同，最后表中 应有m＋n－1个数字格。对应初始基本可行解的m＋n－1个基变量。
x13 =5,x14 =2,x 21 =3,x 24 =1,x 32 =6,x 34 = 3
······
0
i=m j=1 j=2
0 1 0
······
······ 0 ···· ···· ·· 0 ······ 0 0 1 ······
0 1 0
······
······ 1 ···· ···· · 0 ······ 0 0 1
0 ······ 0 ···· ···· ·· 1 ······ 0 ······
日产量（吨）
A1 A2 A3
日销量（吨）
7 4 9
问该公司应如何确定调运方案，在满足各销地需求量的前提下可 使得总运费最小？
1.5 表上作业法
最小元素法确定初始基本可行解的步骤：
① 从全部单位运价中找出最低单位运价（若有两个以上最低单位运 价，则可在其中任选其一）。然后比较最低运价所对应的加工厂的日 产量和销地的日销量，并且确定第一笔供销关系。
1.5 运输问题
运输问题（Transportation Problem）： 一类特殊的线性规划问题：它们的约束方程组的系数矩阵 具有特殊的结构，利用这一特点，可能找到比单纯形法更 简便的算法。
运输问题及其数学模型 表上作业法 产销不平衡的运输问题
《运筹学》第三章：运输问题培训课件
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
7
3
7
7
2
60
6
5
9
11
3
50
需求总计 40 40 60 20
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
40 10
7
3
7
7
2
30 30
60
6
5
9
11
3
30 20
50
需求总计 40 40 60 20
2
34
9 12 9 6
1
40
10
U1
7
3
7
7
2
★
40
20
U2
3
6
5
9
11
40
10
U3
V1 V2 V3 V4
21 (7 6 9) (9 11 7) 5
继续求检验数
门市部
工厂
1
2
3
4
供应总 计
9 12 9 6
1
40 （12） （5）
10
50
7
3
7
7
2
(-5) 40
20 （-2） 60
3
6
计算检验数方法一：闭合回 路法
门市部 工厂
1
9 1
40
7 2
6 3
需求总计 40
2
3
运筹学(第三章)PPT课件
B1 4
8
2
8
8
B2
12
8
10
6
5
14
B3
4
3
4
11
8
12
B4
产量
11
16 ②
9
10 ④
6
14
22 ⑥
14
48
①
③
⑤
⑥
8×4+8×12 +6×10+4×3+8×11+14×6= 372（元）
-
14
最小元素法——每次找最小元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2
8
8
8
B2 12
10
5
14
14
B3
i =1
xij 0
-
31
此时增加一个假想的产地m+1，该产地的产量
为n
bj
m
ai，而假想产地到各销地的单位运价定为
j =1
i =1
0，就转化成产销平衡的运输问题。
销地 产地 A1
A2
B1
C 11 x 11
C 21 x 21
Am
A m+1 (虚产地)
销量
x m1
x m+1，1 b1
C m1 0
B2
-
37
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 2 1 3
10
B2 4 5 2
4
B3 3 6 4
6
产量 6≤a1≤11
a2=7 a3≥4
A3最多可能送出的产品数量：(10+4+6)-(6+7)=7
运筹学03-单纯形法
C
m n
m个!n。n! m!
定义 在线性规划问题的一个基本可行解中，如果
所有的基变量都取正值，则称它为非退化解，如
果所有的基本可行解都是非退化解。称该问题为
非退化的线性规划问题；若基本可行解中，有基 变量为零，则称为退化解，该问题称为退化的线 性规划问题。
21
解的集合： 解空间
非
基
可 行 解
可本 行可 解行
16
解：① 令X3 =X4 - X5 ② 加松弛变量X6 ③加剩余变量X7 ④ 令Z'= -Z
Max Z'= X1 -2X2 +3X4 -3X5 X1 +X2 +X4 -X5 +X6=7
s.t X1 -X2 +X4 -X5 -X7 =2
X1 , X2 , X4 , … , X7 0
17
3.2 线性规划问题的解
5
向量形式
Max Z CX
s.t
n
Pj x j
b
C c1
c2
cn
j1
X 0
价值向量
x1
X
x2
xn
决策向量
a1 j
Pj
a2 j
anj
列向量
b1
b
b2
bm
右端向量
6
(4) 一般型向标准型的转化
对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可 以通过以下变换，将其转化为标准形式: 目标函数
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4
0
(2) 求基本解
由上式得
A
3 6
5 2
1 0
10 b 1254
第三部分运筹学方法 ppt课件
s.t.
x1 x2 12 x1 3课x件2 18
x1, x2 0
28
• （1）第一步，求可行解域：
• 可行解域是所有满足约束条件的数组，四 个不等式是四个半平面，而可行解域就是 这四个半平面的公共部分。其形状为一个 凸多边形区域，可行解是凸多边形内的一 个点，如图5.1。
课件
29
15
• 定义5.2 某个线性规划模型的全体可行解 组成的集合，称为该线性规划模型的可 行解域。
课件
23
二．线性规划模型的标准型
• 线性规划模型的标准型为：
目标函数 max Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
约束条件（s.t.）
a21 x1
利润 Z 2x1 5x2 最大；
第三步，确定约束条件：在这个问题中，约束条件是设 备及材料的限制，
设备 A： x1 2x2 8
材料 A： 6x1 24
材料 B： 5x2 15
课件
14
则这一问题的线性规划模型为：
max Z 2x1 5x2
x1 2x2 8
6x1 24 5x2 15
s.t
. x1 , x2 0
课件
15
• 例题5.2（合理下料问题）某厂生产 过程中需要用长度分别为3．1米、 2．5米和1．7米的同种棒料毛坯分 别为200、100和300根，而现在只 有一种长度为9米的原料，问应如何 下料才能使废料最少?
课件
16
解 解决下料问题的关键在于找出所有可能的下料方法
5xx11
x2 x2
10 5
解出
B
点坐标为
5 4
,
15 4
运筹学基础教学课件PPT
都江堰水利工程
Page 4
川西太守李冰 父子主持修建， 其目标是利用 岷江上游的水 资源灌溉川西 平原，追求的 效益还有防洪 与航运。其总 体构思是系统 思想的杰出运 用
北宋丁谓主持修复皇宫
Page 5
例2、北宋丁谓主持修复皇宫 面临的问题：木材、石材、 砖瓦等建筑材料如何取得？
修建如何进行？
大街 开封 皇宫
2、策略集
策 略：在对策中，局中人在整个决策过程中针对一系 列行动制定的完整行动方案。
策略集：每个局中人策略的全体集合。 局 势：每个局中人从自己的策略集合中选择一个策
略，构成一个局势。
3、赢得函数
利用全部局势集合上的一个实值函数，来描述 每个局势完结后局中人的得失的报酬数值。
对策的分类
Page 23
目标函数: 约束条件:1原材料的限制 2工时的限制 3座椅的限制 4非负限制 数学模型:
图解法
x2
1000
5x1+2.5x2≤2500
x1=400
800
Z=2600
600
400
Z=1800
Page 20
max Z=4x1+3x2
2x1 2x2 1600 5x1x1420.05x2 2500 x1 0、x2 0
线平衡率 秒表法/PTS
动作和方法研究
动改法
成本控制 设施规划
双手操作法 人机配合法
物流分析
防错法
PMP体系
PAC体系
系统设计
……
工作抽样法 流程程序法
五五法 其它
1工程学 2人机学(人因工程学) 3材料学 4管理学 5统计学 6运筹学 7系统工程学 8材料力学 9工程力学 10物流与设施规划
运筹学课件 第三章
2013-7-12 Introduction to Operations Research Page 7
OR
Graphical Solution
In a similar fashion, the restriction 2x2 < 12 (or, equivalently, x2< 6) implies that the line 2x2=12 should be added to the boundary of the permissible region. The final restriction, 3x1 + 2x2 < 18, provides another line to complete the boundary. The resulting region of permissible values of (x1, x2) , called the feasible region, is shown in Fig. 3.2. The final step is to pick out the point in this feasible region that maximizes the value of Z = 3x1 + 5x2 through trial-and-error procedure.
Chapters 4 and 5 focus on the simplex method. Chapter 6 discusses the further analysis of linear programming problems after the simplex method has been initially applied. Chapter 7 presents several widely used extensions of the simplex method. Chapters 8 and 9 consider some special types of linear programming problems.
OR
Graphical Solution
In a similar fashion, the restriction 2x2 < 12 (or, equivalently, x2< 6) implies that the line 2x2=12 should be added to the boundary of the permissible region. The final restriction, 3x1 + 2x2 < 18, provides another line to complete the boundary. The resulting region of permissible values of (x1, x2) , called the feasible region, is shown in Fig. 3.2. The final step is to pick out the point in this feasible region that maximizes the value of Z = 3x1 + 5x2 through trial-and-error procedure.
Chapters 4 and 5 focus on the simplex method. Chapter 6 discusses the further analysis of linear programming problems after the simplex method has been initially applied. Chapter 7 presents several widely used extensions of the simplex method. Chapters 8 and 9 consider some special types of linear programming problems.
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第3章PPT课件
B1b CB B1b
z
B 1 CBB
1
XB X N1 X N2
(27)
12
.
第1节 单纯形法的矩阵描述
单纯形表中的数据
基变量
非基变量
等式右边
XB 系数矩阵 B 1 B 1
检验数
0
XN
Xs RHS
B1N1
B1
B1b
CN1 CBB1N1 CBB1 CBB1b
13
.
小结
4
.
第1节 单纯形法的矩阵描述
若以Xs为基变量，并标记成XB，可将系数矩阵（A，I） 分为（B，N）两块。B是基变量的系数矩阵，N是非基 变量的系数矩阵。并同时将决策变量也分为两部分：
X
X X
B N
相应地可将目标函数系数C分为两部分：CB和CN，分别 对应于基变量XB和非基变量XN，并且记作
C=（CB, CN）
10
.
第1节 单纯形法的矩阵描述
（2）θ规则表示为：
RHS值
表示选用>0的分量
m i((B B n 1 1 P bj))ii (B1P j)i0 ((B B 11 P bj))ii
换入变量的系数向量
11
.
第1节 单纯形法的矩阵描述
（3）单纯形表与矩阵表示的关系
0 1
B 1 N1
1 0 CN CB B1N1
a1m a2m
am1
am2
amm
16
.
第2节 改进单纯形法
以a11为主元素, 进行变换
主元素
a11 P1 a12
1/ a11
1
a21/
a11
(1)
a1m
物流运筹学第3章 库存管理
df(Q)
C Kt
dQ
Q2 2
Q 2CD Kt
库存结构管理方式
❖ 针对不同种类的物资采用不同物资库存控制 方式称之为物资储存的重点管理法，又称 ABC管理法。
❖ 一般将占用65%-80%资金的15%-20%的货物 划分为A类货物；将占用15%-20%资金的 30%-40%的货物划分为B类货物；将占用 5%-15%资金的40%-55%的货物划分为C类 货物。
年历卖出数量概率表
x
x0 x1
p
p0 p1
… xn … pn
❖ 商人预订的年历数应该满足以下不等式
Q1
x0
px
SD S W
Q
px
x0
❖
上式中
S S
D W
就是最佳订货量
Q 的概率
实例分析
❖ 设有一报童卖晨报，他每天早上从批发商那 里领回一定数量的报纸，又已知每份报纸的 进价为0.4元，卖价为0.5元，，若到下午五 点之前还没卖完，则每份晨报以0.3元处理。 若又已知卖晨报为x的概为:
C i (Q)
C1
1 2
Q' R
C3 Q'
Ki
❖ 取 Q 分别为Qi1,Qi2,Qn，代入平均单位货物
所需费用函数进行比较，然后选取最小费用 所对应的值Q 即为最佳定购批量 Q *
随机性存储模型
❖ 单周期随机需求模型是指：它把一个存储周 期作为时间的最小单位，而且只在周期开始 时刻作出一次决策，确定出订货量，即进货 量的决定是一次性的，一旦决策完成，就不 再存在补货的情况，直到这个存储周期结束。
❖ 例3.1（卖年历问题）一位年历商人在年前购进一批 年历，已知每份年历的进价为D元，售价为S元 (S D)；如果年前卖不掉，年后削价处理，每份W元 可以全部处理（WD）。根据历史的数据，知道年前 能卖掉年历的数量x的概率分布如表所示，问年前购 进的数量为多少时，商人的平均收益最大或平均损 失最小？
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转入（3）； （3）解的调整。得到一个新的基本可行解，
重新回到步骤二。
所有步骤都在表上进行操作
运输表
销地 产地 A1
A2
Am 销量
B1
C 11 x 11
C 21 x 21
B2
x12 x22
C12 C22
Cm1
x m1
xm2
b1
b2
Cm2
… …
Bn
产量
x1n x2n
C1n a1 C2n a2
xmn bn
12
B4
产量
11 16
9 10
6 22
14
48
.
一、找出初始基可行解
1.西北角法
较差
2.最小元素法 较好
3.沃格尔法（差值法） 更好
.
西北角法——每次找最左上角对应的元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
8
2
8
8
B2
12
8
10
4
3
4
11
8
12
B4
产量
11
16 ②
9
10 ④
6
14
22 ⑥
价为 cij (i = 1,2,..., m; n = 1,2,..., n) ，又假设产销是平衡的，即：
m
n
ai = b j ，问应如何安排运输可使总运费最小？
i =1
j =1
.
二、运输问题的数学模型
假定 xij 表示由 Ai 到 B j 的运输量，则平衡条件下的运输问题可写出
如下的线性规划模型：
第三章
运输问题
.
主要内容：
第一节 运输问题及数学模型 第二节 用表上作业法求解运输问题 第三节 运输问题的进一步讨论 第四节 运输问题的应用举例
第一节
运输问题及其数学模型
.
一、运输问题的一般提法
运输问题是一种应用广泛的网络最优化模型，其主要目的是为物资调
运、车辆调度选择最经济的运输路线。有些问题，比如有 m 台机床加工
14
48
①
③
⑤
⑥
8×4+8×12 +6×10+4×3+8×11+14×6= 372（元）
.
最小元素法——每次找最小元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2
8
8
8
B2 12
10
5
14
14
B3
4
10
3
2
11
12
B4
产量
11
6
16 ⑥
9
10 ②
6
8
22 ⑤
14
48
①
④
③
⑥
8×2+14×5 +10×4+2×3+6×11+8×6= 246（元）
xmn = am
um
x11 0x12 0x1n x210x22 xm1 0xmn = b1
1
1
1
1
1
1
1
1
1(mn)m n
.
系数矩阵的特点：
（1）约束条件系数矩阵的元素为0或1；
（2）约束条件系数矩阵的每一列有两个1元素， 对于变量xij在第i个约束方程中出现一次， 在第m+j个方程中出现第二次；
（3）系数矩阵的秩为m+n-1。
第二节
用表上作业法求解运输问题
.
基本思路： （1）找出基本可行解； （2）检验是否为最优解。是，则停止，否，
2
10
1 （14） 5
14
B3
4
（10）
3
（2）
11
12
12
B4
产量
11
（6）
16
9
-1
10
6
（8）
22
14
48
11 =4432=1 2= 2 1 3 0 4 1 6 1 5 = 1
2= 49 1 1 4 3= 1
存在小于0的检验数，故此基.可行解不是最优解。
注意：
在运输问题中通常目标函数是求最小值，所以 当所有的检验数为正值时，得到最优解。 对于每一个非基变量，在运输表中唯一对应一条 这样的闭回路。
n 种零件的问题，工厂的合 理布局问题等 , 虽要求与提法不同 , 但经过适
当变化也可以使用本模型求得最优解。
运输问题的一般提法是：
某种物资有 m 个产地 Ai ，产量分别为 ai (i = 1,2,..., m) ，有 n 个销
地 B j ，销量（需求最）分别为 b j ( j = 1,2,..., n) , 已知 Ai 到 B j 的单位运
0x1 1
0x1n
x21 x22 x2n 0x31 0xmn
= a2
0x11
0x1n
0xm1 n
xm1 xm2
xmn = am
x11 0x12 0x1n x210x22 xm1 0xmn = b1
0x11 x12 0x21 x22 0xm1 xm2 0xmn = b2
.
二、解的最优性检验
1.闭回路法 2.对偶变量法（位势法）
.
闭回路法：
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2
（8）
8
8
B2 12 10
（14） 5
14
B3 4
（10）
3
（2）
11
12
B4
产量
11
（6）
16
9
10
6
（8）
22
14
48
.
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1
4
1
2
（8）
8
10
8
B2
12
0x1 1
x1n 0x21
x2n
0xm1
xmn
= bn
三、运输问题数学模型的特点
1.平衡条件下的运输问题一定有最优解。 2.运输问题的系数矩阵
x 1x 1 1 2 x 1 n x 2 x 2 1 2 x 2 n x m 1 x m 2 x mn
1 1 1
11 1
1 1 1
Cmn am
例子：
某部门有3个生产同类产品的工厂，生产的产品由4个销 售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单 位均为吨）以及各工厂到各销售点的单位运价（元/吨） 如下表，要求研究产品如何调运才能使总运费最小。
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4 2 8
8
B2 12 10 5
14
B3 4 3 11
.
对偶变量法（位势法）：
mn
Minz =
cij xij
i=1 j =1
x11 x12 x1n 0x21 0x2n 0x31 0xmn = a1
u1
0x1 1
0x1n
x21 x22 x2n 0x31 0xmn
= a2
u2
0x11
0x1n
0xm1 n
xm1 xm2
mn
Minz =
cij xij
i=1 j =1
n
xij = ai
j =1
(i = 1,2,...,m)
m
s.t
xij = bj ( j = 1,2,..., n)
i =1
xij 0
.
约束方程即为：
x11 x12 x1n 0x21 0x2n 0x31 0xmn = a1
.
沃格尔法——每次找行罚数和列罚数中最大值所对应的行 或列中最小的元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
列 罚 数
B1 4
2
8
8
8
2 2
B2 12
10
5
14
14
5
B3 4
12
3
11
12
1 1
B4
产量 行罚数
11
4
16
9
2
10
6
8
22
14
48
0 07
1 16 12
3 2
8×2+14×5 +12×4+4×11+2×9+8×6= 244（元）
重新回到步骤二。
所有步骤都在表上进行操作
运输表
销地 产地 A1
A2
Am 销量
B1
C 11 x 11
C 21 x 21
B2
x12 x22
C12 C22
Cm1
x m1
xm2
b1
b2
Cm2
… …
Bn
产量
x1n x2n
C1n a1 C2n a2
xmn bn
12
B4
产量
11 16
9 10
6 22
14
48
.
一、找出初始基可行解
1.西北角法
较差
2.最小元素法 较好
3.沃格尔法（差值法） 更好
.
西北角法——每次找最左上角对应的元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
8
2
8
8
B2
12
8
10
4
3
4
11
8
12
B4
产量
11
16 ②
9
10 ④
6
14
22 ⑥
价为 cij (i = 1,2,..., m; n = 1,2,..., n) ，又假设产销是平衡的，即：
m
n
ai = b j ，问应如何安排运输可使总运费最小？
i =1
j =1
.
二、运输问题的数学模型
假定 xij 表示由 Ai 到 B j 的运输量，则平衡条件下的运输问题可写出
如下的线性规划模型：
第三章
运输问题
.
主要内容：
第一节 运输问题及数学模型 第二节 用表上作业法求解运输问题 第三节 运输问题的进一步讨论 第四节 运输问题的应用举例
第一节
运输问题及其数学模型
.
一、运输问题的一般提法
运输问题是一种应用广泛的网络最优化模型，其主要目的是为物资调
运、车辆调度选择最经济的运输路线。有些问题，比如有 m 台机床加工
14
48
①
③
⑤
⑥
8×4+8×12 +6×10+4×3+8×11+14×6= 372（元）
.
最小元素法——每次找最小元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2
8
8
8
B2 12
10
5
14
14
B3
4
10
3
2
11
12
B4
产量
11
6
16 ⑥
9
10 ②
6
8
22 ⑤
14
48
①
④
③
⑥
8×2+14×5 +10×4+2×3+6×11+8×6= 246（元）
xmn = am
um
x11 0x12 0x1n x210x22 xm1 0xmn = b1
1
1
1
1
1
1
1
1
1(mn)m n
.
系数矩阵的特点：
（1）约束条件系数矩阵的元素为0或1；
（2）约束条件系数矩阵的每一列有两个1元素， 对于变量xij在第i个约束方程中出现一次， 在第m+j个方程中出现第二次；
（3）系数矩阵的秩为m+n-1。
第二节
用表上作业法求解运输问题
.
基本思路： （1）找出基本可行解； （2）检验是否为最优解。是，则停止，否，
2
10
1 （14） 5
14
B3
4
（10）
3
（2）
11
12
12
B4
产量
11
（6）
16
9
-1
10
6
（8）
22
14
48
11 =4432=1 2= 2 1 3 0 4 1 6 1 5 = 1
2= 49 1 1 4 3= 1
存在小于0的检验数，故此基.可行解不是最优解。
注意：
在运输问题中通常目标函数是求最小值，所以 当所有的检验数为正值时，得到最优解。 对于每一个非基变量，在运输表中唯一对应一条 这样的闭回路。
n 种零件的问题，工厂的合 理布局问题等 , 虽要求与提法不同 , 但经过适
当变化也可以使用本模型求得最优解。
运输问题的一般提法是：
某种物资有 m 个产地 Ai ，产量分别为 ai (i = 1,2,..., m) ，有 n 个销
地 B j ，销量（需求最）分别为 b j ( j = 1,2,..., n) , 已知 Ai 到 B j 的单位运
0x1 1
0x1n
x21 x22 x2n 0x31 0xmn
= a2
0x11
0x1n
0xm1 n
xm1 xm2
xmn = am
x11 0x12 0x1n x210x22 xm1 0xmn = b1
0x11 x12 0x21 x22 0xm1 xm2 0xmn = b2
.
二、解的最优性检验
1.闭回路法 2.对偶变量法（位势法）
.
闭回路法：
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2
（8）
8
8
B2 12 10
（14） 5
14
B3 4
（10）
3
（2）
11
12
B4
产量
11
（6）
16
9
10
6
（8）
22
14
48
.
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1
4
1
2
（8）
8
10
8
B2
12
0x1 1
x1n 0x21
x2n
0xm1
xmn
= bn
三、运输问题数学模型的特点
1.平衡条件下的运输问题一定有最优解。 2.运输问题的系数矩阵
x 1x 1 1 2 x 1 n x 2 x 2 1 2 x 2 n x m 1 x m 2 x mn
1 1 1
11 1
1 1 1
Cmn am
例子：
某部门有3个生产同类产品的工厂，生产的产品由4个销 售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单 位均为吨）以及各工厂到各销售点的单位运价（元/吨） 如下表，要求研究产品如何调运才能使总运费最小。
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4 2 8
8
B2 12 10 5
14
B3 4 3 11
.
对偶变量法（位势法）：
mn
Minz =
cij xij
i=1 j =1
x11 x12 x1n 0x21 0x2n 0x31 0xmn = a1
u1
0x1 1
0x1n
x21 x22 x2n 0x31 0xmn
= a2
u2
0x11
0x1n
0xm1 n
xm1 xm2
mn
Minz =
cij xij
i=1 j =1
n
xij = ai
j =1
(i = 1,2,...,m)
m
s.t
xij = bj ( j = 1,2,..., n)
i =1
xij 0
.
约束方程即为：
x11 x12 x1n 0x21 0x2n 0x31 0xmn = a1
.
沃格尔法——每次找行罚数和列罚数中最大值所对应的行 或列中最小的元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
列 罚 数
B1 4
2
8
8
8
2 2
B2 12
10
5
14
14
5
B3 4
12
3
11
12
1 1
B4
产量 行罚数
11
4
16
9
2
10
6
8
22
14
48
0 07
1 16 12
3 2
8×2+14×5 +12×4+4×11+2×9+8×6= 244（元）